第03講 勾股定理的應(yīng)用-2024年新八年級數(shù)學(xué)暑假提升講義（北師大版 學(xué)習(xí)新知）

第03講勾股定理的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．利用勾股定理及逆定理解決生活中的實(shí)際問題；2．通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念．3．能夠從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，并能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。知識點(diǎn)1：勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.知識點(diǎn)2：平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解考點(diǎn)一：應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度例1．（23-24八年級下·甘肅武威·期中）如圖，一架2.5米長的梯子斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底部B到墻底端的距離為0.7米，考慮爬梯子的穩(wěn)定性，現(xiàn)要將梯子頂部A沿墻下移0.4米到處，問梯子底部B將外移多少米？【變式1-1】（23-24八年級下·廣西柳州·期中）如圖1是籃球架側(cè)面示意圖，小明為了測量籃板的長度，設(shè)計(jì)了如下方案：如圖2，垂直地面于點(diǎn)，線段，表示同一根竹竿，第一次將竹竿的一個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)重合，另一端點(diǎn)落在地面的點(diǎn)處，第二次將竹竿的一個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)重合，另一端點(diǎn)落在地面的點(diǎn)處．測量得竹竿的長為5米，的長為3米，的長為4米．根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助小明求出籃板的長度．【變式1-2】（23-24八年級下·遼寧大連·期中）一架長的梯子，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻．(1)如圖，，，求這架梯子的頂端距地面有多高？(2)如圖，如果梯子靠墻下移，底端向右移動至點(diǎn)處，求它的頂端A沿墻下移多少米？

【變式1-3】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，一個(gè)梯子長為5米，頂端A靠在墻上，這時(shí)梯子下端B與墻角C之間的距離是4米．(1)求梯子的頂端與墻角C之間的距離．(2)如圖2，將梯子的底端B向C方向挪動1米，若在墻的上方點(diǎn)E處須懸掛一個(gè)廣告牌，點(diǎn)E與C之間的距離是4.2米，試判斷：此時(shí)的梯子的擺放位置能否夠到點(diǎn)E處？考點(diǎn)二：應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度例2.（23-24八年級下·河南漯河·期中）如圖①，為直立在水平操場上的旗桿，旗繩自然下垂，發(fā)現(xiàn)旗繩的長度比旗桿的高度多，現(xiàn)在要測量旗桿的高度（不許將旗桿放倒）．(1)第一小組的方法是將旗繩的底端從點(diǎn)B滑動到點(diǎn)C，并使旗繩筆直，如圖②，此時(shí)測量得出，請按此方法求出旗繩的長度；(2)第二小組的方法是利用高的標(biāo)桿，將旗繩的底端與標(biāo)桿頂端D重合，并移動標(biāo)桿至旗繩筆直，且標(biāo)桿垂直于地面，如圖③，請利用（1）中的結(jié)論求出標(biāo)桿和旗桿的水平距離的長度）．【變式2-1】（23-24八年級下·湖北荊門·期中）為了測量學(xué)校旗桿的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子垂到了地面B并多出了一段的長度為1米，把繩子拉直向左走5米后，繩子底端C正好落在地面D處，請通過以上信息求出旗桿的高度．【變式2-2】（23-24八年級下·吉林·階段練習(xí)）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面多出一段的長度為1米，小迪同學(xué)將繩子拉直，測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米．(1)求旗桿的高度；(2)小迪在C處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂(拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直)，后退至將繩子剛好拉直為止，測得小迪手臂伸直后離地的高度為2米，且小迪與旗桿的水平距離相等，即．求小迪需要后退的距離的長度(結(jié)果保留根號)．【變式2-3】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）武漢光谷中央生態(tài)大走廊大草坪上，不僅有空軌旅游專線，而且視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所．某校801班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．(1)求風(fēng)箏的垂直高度；(2)如果小明站在原地想風(fēng)箏沿方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？(3)小亮想一邊收線，一邊后退，也使風(fēng)箏沿方向下降12米，且讓收線的長度和后退的距離相等．試問小亮的想法能否實(shí)現(xiàn)，如果能實(shí)現(xiàn)，請求出收線的長度；如果不能實(shí)現(xiàn)，請說明理由．考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離例3.（23-24八年級下·新疆喀什·期中）如圖，一只小鳥旋停在空中點(diǎn)，點(diǎn)到地面的高度米，點(diǎn)到地面點(diǎn)（，兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離米．(1)求出的長度；(2)若小鳥豎直下降到達(dá)點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），此時(shí)小鳥到地面點(diǎn)的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．【變式3-1】（23-24八年級下·浙江臺州·期中）如圖，有兩棵樹，分別記為，．其中一棵樹高12米，另一棵樹高6米，兩棵樹相距8米．若一只小鳥從樹梢A飛到樹梢C，求小鳥飛行的最短距離．【變式3-2】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，一只小鳥旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度米，A點(diǎn)到地面C點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離米．(1)求出的長度；(2)若小鳥豎直下降到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段上），此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．考點(diǎn)四：應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度例4.（23-24八年級下·西藏日喀則·期中）如圖，一次“臺風(fēng)”過后，一根旗桿被臺風(fēng)從離地面3米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部4米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？【變式4-1】（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：在中，，求的長．【變式4-2】（22-23八年級上·陜西西安·期中）我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠(yuǎn)．問：原處還有多高的竹子？（丈尺）

【變式4-3】（23-24八年級上·河北保定·期中）如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為．

(1)求旗桿在距地面多高處折斷（即求的長度）．(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方的點(diǎn)D處，有一條明顯的裂痕，將旗桿C處修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部米處是否有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？考點(diǎn)五：應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題例5.（23-24八年級下·陜西延安·期中）如圖，圓柱形茶杯內(nèi)部底面的直徑為，若將長為的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度為，則筷子露在茶杯口外的部分的最短長度是多少？【變式5-1】（23-24八年級下·廣東汕尾·階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)水池，其底面是邊長為16尺的正方形，一根蘆葦生長在它的正中央，高出水面部分的長為2尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的，則這根蘆葦?shù)拈L是多少尺？【變式5-2】（23-24八年級下·云南昭通·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面部分為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄笏詈吞J葦長各是多少尺？【變式5-3】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，一個(gè)直徑為（即）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點(diǎn)E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），當(dāng)筷子倒向杯壁時(shí)（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯壁D，求筷子的長度．

考點(diǎn)六：應(yīng)用勾股定理解決航海問題例6.（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習(xí)）一艘輪船從港向南偏西方向航行到達(dá)島，再從島沿方向航行到達(dá)島，港到航線的最短距離是．(1)若輪船速度為小時(shí)，求輪船從島沿返回港所需的時(shí)間．(2)島在港的什么方向？【變式6-1】（23-24七年級上·遼寧朝陽·期中）如圖，一艘輪船先從A地出發(fā)行駛到B地，又從B地行駛到C地，B地在A地南偏西的方向，距離A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距離B地100海里．

(1)表示出B地相對于C地的位置；(2)求A，C兩地之間的距離．【變式6-2】（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）一輛轎車從地以的速度向正東方向行駛，同時(shí)一輛貨車以速度從地向正北方向行駛，2小時(shí)后兩車同時(shí)到達(dá)走向公路上的兩地．(1)求兩地的距離；(2)若要從地修建一條最短新路到達(dá)公路，求的距離．【變式6-3】如圖，甲，乙兩條輪船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時(shí)30海里的速度向東北方向航行，乙船以每小時(shí)15海里的速度沿著北偏東方向航行，1小時(shí)后，甲船接到命令要與乙船會合，于是甲船在B處改變航向，沿南偏東方向航行，結(jié)果甲，乙兩船在小島C處相遇．假設(shè)乙船的速度和航向保持不變，求：（結(jié)果保留根號）

(1)港口A與小島C之間的距離；(2)甲船從B處行至小島C的速度．考點(diǎn)七：應(yīng)用勾股定理解決河的寬度例7.（23-24八年級下·河北唐山·期中）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)，點(diǎn)是與方向成直角的方向上一點(diǎn)，測得長為米，長為米．求兩點(diǎn)間的距離（?。咀兪?-1】（23-24八年級下·廣東東莞·期中）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多．求該河的寬度的長．【變式7-2】（22-23八年級下·陜西延安·期末）如圖，湖的兩岸有兩棵景觀樹，在與垂直的方向上取一點(diǎn)，測得米，米．求兩棵景觀樹之間的距離．

【變式7-3】（22-23八年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比河寬多10米．(1)求該河的寬度；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決臺階上地毯長度例8.（23-24八年級上·山東棗莊·階段練習(xí)）某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高、長、寬的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元？【變式8-1】（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，在一個(gè)高米，長米的樓梯表面鋪地毯，則該地毯的長度至少是米．【變式8-2】（22-23八年級下·安徽宣城·期中）為慶?！包h的二十大”勝利召開，市活動中心組建合唱團(tuán)進(jìn)行合唱表演，欲在如圖所示的階梯形站臺上鋪設(shè)紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價(jià)為30元，站臺寬為，則購買這種地毯至少需要元．【變式8-3】（21-22八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖有一個(gè)四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，臺階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？考點(diǎn)九：應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題例9.（23-24八年級下·廣東廣州·期中）某段公路限速是．“流動測速小組”的小王在距離此公路的A處觀察，發(fā)現(xiàn)有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從處行駛后到達(dá)處，測得，若．求出速度并判斷可疑汽車是否超速？【變式9-1】（23-24八年級下·廣西玉林·期中）某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過，如圖，一輛小汽車在該筆直路段上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀的正前方的點(diǎn)處，后小汽車行駛到點(diǎn)處，測得此時(shí)小汽車與車速檢測儀間的距離為，．(1)求的長．(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【變式9-2】（23-24八年級上·廣東佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流動測速小組”的小王在距離此公路400m的A處觀察，發(fā)現(xiàn)有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從C處行駛10s后到達(dá)B處，測得，若．(1)求BC的長度；(2)求出速度判斷可疑汽車是否超速？【變式9-3】（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段上限速60千米小時(shí)，為了檢測車輛是否超速，在公路旁設(shè)立了觀測點(diǎn)C，從觀測點(diǎn)C測得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒，已知，米，米．

(1)請求出觀測點(diǎn)C到公路的距離；(2)此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）考點(diǎn)十：應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題例10.（23-24八年級下·四川瀘州·期中）年7月五號臺風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報(bào)道，這是今年以來對我國影響最大的臺風(fēng)，風(fēng)力影響半徑（即以臺風(fēng)中心為圓心，為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風(fēng)影響）．如圖，線段是臺風(fēng)中心從市向西北方向移動到市的大致路線，是某個(gè)大型農(nóng)場，且．若，之間相距，，之間相距．(1)判斷農(nóng)場是否會受到臺風(fēng)的影響，請說明理由．(2)若臺風(fēng)中心的移動速度為，則臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時(shí)間有多長？【變式10-1】（2024·湖南永州·模擬預(yù)測）如圖某貨船以海里的速度將一批重要的物資由處運(yùn)往正西方向的處，經(jīng)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨．此時(shí)，接到氣象部門的通知，一臺風(fēng)中心、以海里的速度由處向北偏西方向移動，距臺風(fēng)中心海里以內(nèi)的圓形區(qū)域會受到影響．（）問：(1)處是否會受到臺風(fēng)的影響？請說明理由．(2)如果處受到臺風(fēng)影響，那么求出影響的時(shí)間．【變式10-2】（23-24八年級下·云南昭通·期中）6號臺風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向由A向B移動，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為，，又，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．(1)海港C受臺風(fēng)影響嗎?為什么?(2)若臺風(fēng)中心的移動速度為20千米/時(shí)，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長?【變式10-3】（23-24八年級下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，在A處有一所中學(xué)，米，此時(shí)有一輛消防車在公路上沿方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)有噪音影響．(1)學(xué)校是否會受到影響？請說明理由．(2)如果受到影響，則影響時(shí)間是多長？考點(diǎn)十一：應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題例11.（23-24八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距，C，D為兩村莊，于A，于B．現(xiàn)要在上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求的長．【變式11-1】（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習(xí)）如圖，直線l為一條公路，A，D兩處各有一個(gè)村莊，于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，千米，千米，千米．現(xiàn)需要在上建立一個(gè)物資調(diào)運(yùn)站E，使得E到A，D兩個(gè)村莊距離相等，請求出E到C的距離．【變式11-2】（23-24八年級下·重慶開州·階段練習(xí)）如圖，開州大道上兩點(diǎn)相距為兩商場，于于．已知．現(xiàn)在要在公路上建一個(gè)土特產(chǎn)產(chǎn)品收購站，使得兩商場到站的距離相等，

(1)求站應(yīng)建在離點(diǎn)多少處？(2)若某人從商場以的速度勻速步行到收購站，需要多少小時(shí)？【變式11-3】（23-24七年級上·山東淄博·期中）為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設(shè)成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路如圖所示，現(xiàn)從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路和，C地、D地、B地在同一筆直公路上，公路和公路互相垂直，又從D地修了一條筆直的公路與公路在H處連接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路的長度；(2)若修公路每千米的費(fèi)用是200萬元，請求出修建公路的總費(fèi)用．考點(diǎn)十二：應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中最短路徑問題例12.（23-24八年級下·山東聊城·期中）綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20，寬為15的長方形，連接，經(jīng)過計(jì)算得到長度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm，高是8cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）【變式12-1】（23-24八年級下·江西新余·期中）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，求螞蟻吃到飯粒器爬行的最短路徑的長【變式12-2】（23-24八年級下·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)實(shí)心長方體盒子，長，寬，高，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？（點(diǎn)撥：分三種情況討論解答）【變式12-3】（23-24八年級下·河北滄州·期中）【閱讀材料】如圖1，有一個(gè)圓柱，它的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對的點(diǎn)B處的食物，螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？【方法探究】對于立體圖形中求最短路程問題，應(yīng)把立體圖形展開成平面圖形，再確定A，B兩點(diǎn)的位置，依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，結(jié)合勾股定理，解決相應(yīng)的問題．如圖2，在圓柱的側(cè)面展開圖中，點(diǎn)A，B對應(yīng)的位置如圖所示，利用勾股定理即可求出螞蟻爬行的最短路程線段的長．【方法應(yīng)用】（1）如圖3，圓柱形玻璃容器的高為，底面周長為，在外側(cè)距下底的點(diǎn)S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處的點(diǎn)F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度．（2）如圖4，長方體的棱長，，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)開始以的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒內(nèi)壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？一、單選題1．（23-24八年級下·寧夏石嘴山·期中）如圖，在高為，斜坡長為的樓梯臺階上鋪地毯（

）A．7 B．8 C．9 D．52．（23-24八年級下·重慶開州·期中）如圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（

）米A． B．5 C．8 D．73．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的C處，當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級下·北京·期中）如圖，在桌面上放置一個(gè)正方體，正方體的棱長為，點(diǎn)為一條棱的中點(diǎn)，螞蟻在正方體表面爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路程是（

）A． B． C． D．5．（23-24八年級下·河南駐馬店·期中）如圖，長方形是一塊草地，折線是一條人行道，米，米，為了避免行人穿過草地（走虛線），踐踏綠草，管理部門分別在B、D處各掛了一塊牌子，牌子上寫著“少走（

）米，踏之何忍”A．5 B．6 C．4 D．7二、填空題6．（23-24八年級下·廣西南寧·期中）在“綜合與實(shí)踐”課—測量旗桿高度中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多出了2米．當(dāng)把繩子向外拉直并使繩子底端剛好碰地時(shí)，經(jīng)過測量此時(shí)繩子底端距離旗桿底部6米（如圖所示），則旗桿的高度為米．7．（23-24八年級下·北京豐臺·期中）一帆船從某處出發(fā)時(shí)受風(fēng)向影響，先向正西航行8千米，然后向正南航行15千米，這時(shí)它離出發(fā)點(diǎn)有千米．8．（2024八年級下·天津·專題練習(xí)）如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，底端離墻的距離為，當(dāng)梯子下滑到時(shí)，，則m．9．（23-24八年級下·湖南湘西·期中）如圖所示，將一根長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為、和的長方體無蓋盒子中，則細(xì)木棒露在盒外面的最短長度是．10．（23-24八年級下·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）如圖(1)，在某居民小區(qū)內(nèi)有一塊近似長方形的草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草，如圖(2)，經(jīng)過測量，，計(jì)算僅僅少走了步．(假設(shè)米為步)三、解答題11．（23-24八年級下·云南玉溪·期中）如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方用繩子拉船靠岸，開始時(shí)，繩長，，且，拉動繩子將船從點(diǎn)B沿的方向拉到點(diǎn)D后，繩長，求船體移動的距離的長度．12．（23-24八年級下·重慶開州·期中）如圖，在氣象站臺的正西方向320的處有一臺風(fēng)中心，該臺風(fēng)中心以每小時(shí)20的速度沿北偏東60°的方向移動，在距離臺風(fēng)中心200內(nèi)的地方都要受到其影響．(1)臺風(fēng)中心在移動過程中，與氣象臺的最短距離是多少？(2)臺風(fēng)中心在移動過程中，氣象臺將受臺風(fēng)的影響，求臺風(fēng)影響氣象臺的時(shí)間會持續(xù)多長？13．（23-24八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，有一架秋千，當(dāng)它靜止在的位置時(shí)，踏板離地的垂直高度為，將秋千往前推送，到達(dá)的位置，此時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度為，秋千的繩索始終保持拉直的狀態(tài)．

(1)根據(jù)題意，______m，______m，______m；(2)根據(jù)（1）中求得的數(shù)據(jù)，求秋千的長度．14．（23-24八年級下·河北滄州·階段練習(xí)）如圖，有兩個(gè)長度相同的滑梯（即），左邊滑梯的高與右邊滑梯水平方向的長度相等．(1)求證：；(2)若兩個(gè)滑梯的長度，右邊滑梯的高度，由于太陡，在保持的長度不變的情況下，現(xiàn)在將點(diǎn)E向下移動，點(diǎn)F隨之向右移動．若點(diǎn)E向下移動的距離為，求滑梯底端F向右移動的距離；(3)在（2）的移動過程中，直接寫出面積的最大值為．15．（22-23八年級下·云南昭通·期中）如圖，四邊形為某街心花園的平面圖，經(jīng)測量，，且．(1)試判斷的形狀，并說明理由；(2)若射線為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)處安裝一個(gè)監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路的車輛通行情況，且被監(jiān)控的道路長度要超過．已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍（包含），請問該監(jiān)控裝置是否符合要求?并說明理由．（參考數(shù)據(jù)，）16．（23-24八年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）（1）如圖1，長方體的長為，寬為，高為．求該長方體中能放入木棒的最大長度；（2）如圖2，長方體的長為，寬為，高為．現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)處沿長方體的表面爬到點(diǎn)G處，求它爬行的最短路程；（3）如圖3，若將題中的長方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿與飯粒相對的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？

第03講勾股定理的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．利用勾股定理及逆定理解決生活中的實(shí)際問題；2．通過觀察圖形，探索圖形間的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念．3．能夠從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，并能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明。知識點(diǎn)1：勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論.知識點(diǎn)2：平面展開圖-最短路徑問題幾何體中最短路徑基本模型如下：基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解考點(diǎn)一：應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度例1．（23-24八年級下·甘肅武威·期中）如圖，一架2.5米長的梯子斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底部B到墻底端的距離為0.7米，考慮爬梯子的穩(wěn)定性，現(xiàn)要將梯子頂部A沿墻下移0.4米到處，問梯子底部B將外移多少米？【答案】梯子底部外移0.8米．【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，在中，根據(jù)已知條件運(yùn)用勾股定理可將的長求出，又知的長可得的長，在中再次運(yùn)用勾股定理可將求出，的長減去的長即為底部外移的距離．【詳解】解：在中，，，米，又，，在中，米，則米．故：梯子底部外移0.8米．【變式1-1】（23-24八年級下·廣西柳州·期中）如圖1是籃球架側(cè)面示意圖，小明為了測量籃板的長度，設(shè)計(jì)了如下方案：如圖2，垂直地面于點(diǎn)，線段，表示同一根竹竿，第一次將竹竿的一個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)重合，另一端點(diǎn)落在地面的點(diǎn)處，第二次將竹竿的一個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)重合，另一端點(diǎn)落在地面的點(diǎn)處．測量得竹竿的長為5米，的長為3米，的長為4米．根據(jù)以上測量結(jié)果，請你幫助小明求出籃板的長度．【答案】籃板的長度為1米．【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，利用勾股定理分別求出的長即可得到答案．【詳解】解：由題意得，米，，在中，由勾股定理得米，在中，由勾股定理得米，∴米，∴籃板的長度為1米．【變式1-2】（23-24八年級下·遼寧大連·期中）一架長的梯子，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻．(1)如圖，，，求這架梯子的頂端距地面有多高？(2)如圖，如果梯子靠墻下移，底端向右移動至點(diǎn)處，求它的頂端A沿墻下移多少米？

【答案】(1)這架梯子的頂端距地面有(2)梯子的頂端沿墻下移【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理，計(jì)算得出答案即可；（2）根據(jù)、，結(jié)合勾股定理計(jì)算，最后根據(jù)得出答案即可．【詳解】（1）解：∵于點(diǎn)，∴，在中，根據(jù)勾股定理，得，∵，，∴，答：這架梯子的頂端距地面有；（2）解：由題意，得，∴，∵，∴在中，根據(jù)勾股定理，得，∴，∴，答：梯子的頂端沿墻下移．【變式1-3】（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖1，一個(gè)梯子長為5米，頂端A靠在墻上，這時(shí)梯子下端B與墻角C之間的距離是4米．(1)求梯子的頂端與墻角C之間的距離．(2)如圖2，將梯子的底端B向C方向挪動1米，若在墻的上方點(diǎn)E處須懸掛一個(gè)廣告牌，點(diǎn)E與C之間的距離是4.2米，試判斷：此時(shí)的梯子的擺放位置能否夠到點(diǎn)E處？【答案】(1)3米(2)不能【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理求邊長；（1）根據(jù)勾股定理求邊長即可；（2）先求出底端B向C方向挪動1米后底端到墻角C的距離，再由勾股定理求解梯子的頂端到達(dá)的高度，再與E的高度進(jìn)行比較即可；【詳解】（1）解：由題意知米，，在中，米，梯子的頂端與墻角C之間的距離是3米；（2）不能，理由如下：設(shè)B向C方向挪動1米到，此時(shí)A向上挪動到，則米，米，米，米，米，在中，米，，，梯子的擺放位置不能夠到點(diǎn)E處；考點(diǎn)二：應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度例2.（23-24八年級下·河南漯河·期中）如圖①，為直立在水平操場上的旗桿，旗繩自然下垂，發(fā)現(xiàn)旗繩的長度比旗桿的高度多，現(xiàn)在要測量旗桿的高度（不許將旗桿放倒）．(1)第一小組的方法是將旗繩的底端從點(diǎn)B滑動到點(diǎn)C，并使旗繩筆直，如圖②，此時(shí)測量得出，請按此方法求出旗繩的長度；(2)第二小組的方法是利用高的標(biāo)桿，將旗繩的底端與標(biāo)桿頂端D重合，并移動標(biāo)桿至旗繩筆直，且標(biāo)桿垂直于地面，如圖③，請利用（1）中的結(jié)論求出標(biāo)桿和旗桿的水平距離的長度）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題．（1）根據(jù)題意可知構(gòu)成直角三角形，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可求得的長度；（2）過點(diǎn)D作，垂足為F，于是構(gòu)成矩形，在直角三角形中利用勾股定理即可求得的長，即為標(biāo)桿和旗桿的水平距離的長度．【詳解】（1）設(shè)旗繩的長度為，則旗桿的長為，解得：，即．答：旗繩的長度為．（2）由題意可知：過點(diǎn)D作，垂足為F，則，答：標(biāo)桿與旗桿的水平距離為．【變式2-1】（23-24八年級下·湖北荊門·期中）為了測量學(xué)校旗桿的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端A的繩子垂到了地面B并多出了一段的長度為1米，把繩子拉直向左走5米后，繩子底端C正好落在地面D處，請通過以上信息求出旗桿的高度．【答案】12米【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)旗桿的高度為x米，則（米），在中由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：由題意知米，設(shè)旗桿的高度為x米，則（米），在中，由勾股定理得，∴，解得，∴米.答；旗桿的高度為12米．【變式2-2】（23-24八年級下·吉林·階段練習(xí)）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面多出一段的長度為1米，小迪同學(xué)將繩子拉直，測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米．(1)求旗桿的高度；(2)小迪在C處，用手拉住繩子的末端，伸直手臂(拉繩處E與腳底F的連線與地面垂直)，后退至將繩子剛好拉直為止，測得小迪手臂伸直后離地的高度為2米，且小迪與旗桿的水平距離相等，即．求小迪需要后退的距離的長度(結(jié)果保留根號)．【答案】(1)旗桿的高度為米(2)小迪需要后退的距離的長度為米【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)旗桿的高度為米，根據(jù)系在旗桿頂端的繩子垂到地面多出一段的長度為1米，將繩子拉直，測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）勾股定理求出的長，再用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)旗桿的高度為米，則繩子的長為米，由勾股定理，得：，解得：；即：旗桿的高度為米；（2）由（1）可知，繩子的長度為米，由題意，得：米，米，∴由勾股定理，得：米，∴米，∴（米）；答：小迪需要后退的距離的長度為米．【變式2-3】（23-24八年級下·湖北武漢·期中）武漢光谷中央生態(tài)大走廊大草坪上，不僅有空軌旅游專線，而且視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場所．某校801班的小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測得風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測得水平距離的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線的長為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．(1)求風(fēng)箏的垂直高度；(2)如果小明站在原地想風(fēng)箏沿方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？(3)小亮想一邊收線，一邊后退，也使風(fēng)箏沿方向下降12米，且讓收線的長度和后退的距離相等．試問小亮的想法能否實(shí)現(xiàn)，如果能實(shí)現(xiàn)，請求出收線的長度；如果不能實(shí)現(xiàn)，請說明理由．【答案】(1)21.6米(2)8米(3)4.2米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求出的長即可得出結(jié)果；（2）設(shè)他應(yīng)該往回收線米，根據(jù)勾股定理得出方程求解即可；（3）設(shè)收線的長度為米，根據(jù)勾股定理得出方程求解即可．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，（米），（米）；風(fēng)箏的垂直高度為21.6米．（2）解：設(shè)他應(yīng)該往回收線米，根據(jù)勾股定理得，，解得，答：他應(yīng)該往回收線8米．（3）解：設(shè)收線的長度為米，如圖，則米，（米，米，根據(jù)勾股定理得，，解得，答：收線的長度為4.2米．考點(diǎn)三：應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離例3.（23-24八年級下·新疆喀什·期中）如圖，一只小鳥旋停在空中點(diǎn)，點(diǎn)到地面的高度米，點(diǎn)到地面點(diǎn)（，兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離米．(1)求出的長度；(2)若小鳥豎直下降到達(dá)點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），此時(shí)小鳥到地面點(diǎn)的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．【答案】(1)米(2)小鳥下降的距離為米【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，熟練的掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）在直角三角形中運(yùn)用勾股定理即可解答；（2）在中，根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】（1）由題意知，∵米，米．在中米，（2）設(shè)，到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段上），此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離與下降的距離相同，則，，在中，，，解得，小鳥下降的距離為米．【變式3-1】（23-24八年級下·浙江臺州·期中）如圖，有兩棵樹，分別記為，．其中一棵樹高12米，另一棵樹高6米，兩棵樹相距8米．若一只小鳥從樹梢A飛到樹梢C，求小鳥飛行的最短距離．【答案】小鳥飛行的最短路程為10米【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．解題的關(guān)鍵是將現(xiàn)實(shí)問題建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是長方形，連接．∵米，米，米，∴米，米，米，在中，(米)，故小鳥飛行的最短路程為10米．【變式3-2】（2024八年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，一只小鳥旋停在空中A點(diǎn)，A點(diǎn)到地面的高度米，A點(diǎn)到地面C點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)處于同一水平面）的距離米．(1)求出的長度；(2)若小鳥豎直下降到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段上），此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離與下降的距離相同，求小鳥下降的距離．【答案】(1)15米；(2)米【分析】本題主要考查了勾股定理得實(shí)際應(yīng)用，熟練地掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）在直角三角形中運(yùn)用勾股定理即可解答；（2）在中，根據(jù)勾股定理即可解答．【詳解】（1）由題意知，∵米，米．在中米，（2）設(shè)，到達(dá)D點(diǎn)（D點(diǎn)在線段上），此時(shí)小鳥到地面C點(diǎn)的距離與下降的距離相同，則，，在中，，，解得，小鳥下降的距離為米．考點(diǎn)四：應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度例4.（23-24八年級下·西藏日喀則·期中）如圖，一次“臺風(fēng)”過后，一根旗桿被臺風(fēng)從離地面3米處吹斷，倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部4米處，那么這根旗桿被吹斷裂前至少有多高？【答案】8米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，據(jù)勾股定理，計(jì)算，后根據(jù)樹高為計(jì)算即可．【詳解】如圖：由題意得：，，，∴，∴（米）答：根旗桿被吹斷裂前高為8米．【變式4-1】（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：在中，，求的長．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．在中利用勾股定理建立方程即可求出．【詳解】解：∵，∴，在中，，，即，解得．【變式4-2】（22-23八年級上·陜西西安·期中）我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部3尺遠(yuǎn)．問：原處還有多高的竹子？（丈尺）

【答案】【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺．利用勾股定理解題即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，故原處還有尺高的竹子．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理求解．【變式4-3】（23-24八年級上·河北保定·期中）如圖，一根直立的旗桿高，因刮大風(fēng)旗桿從點(diǎn)C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為．

(1)求旗桿在距地面多高處折斷（即求的長度）．(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點(diǎn)C的下方的點(diǎn)D處，有一條明顯的裂痕，將旗桿C處修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點(diǎn)D處吹斷，則距離旗桿底部米處是否有被砸傷的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】(1)(2)有危險(xiǎn)，見解析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，（1）根據(jù)題意，，結(jié)合，代入計(jì)算即可．（2）根據(jù)，，得到，求得，根據(jù)勾股定理求出的長，比較后判斷即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，，，∵，∴，解得，故的長度為3米．（2）根據(jù)(1)得，，∴，∴，∴，∵，，且，∴，故有危險(xiǎn)．考點(diǎn)五：應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題例5.（23-24八年級下·陜西延安·期中）如圖，圓柱形茶杯內(nèi)部底面的直徑為，若將長為的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度為，則筷子露在茶杯口外的部分的最短長度是多少？【答案】筷子露在茶杯口外的部分的最短長度是【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)筷子露在杯子口外的最短長度以及筷子的長度，求出筷子插入茶杯的最大長度，根據(jù)勾股定理求出的長度是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得，，，由勾股定理，得，∴，∴筷子露在茶杯口外的部分的最短長度是．【變式5-1】（23-24八年級下·廣東汕尾·階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)水池，其底面是邊長為16尺的正方形，一根蘆葦生長在它的正中央，高出水面部分的長為2尺，如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的，則這根蘆葦?shù)拈L是多少尺？【答案】這根蘆葦?shù)拈L是17尺．【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．如圖所示，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，根據(jù)題意得到尺，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L．【詳解】解：如圖所示，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，因?yàn)槌撸猿咴谥?，，解得：，∴尺．∴蘆葦長17尺．【變式5-2】（23-24八年級下·云南昭通·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦生長在它的中央，高出水面部分為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳壳『门龅桨哆叄笏詈吞J葦長各是多少尺？【答案】水深尺，蘆葦長尺【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知的長為尺，則尺，設(shè)出尺，表示出水深，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長尺，則水深尺，

因?yàn)槌?，所以尺，在中，，解之得，即水深尺，蘆葦長尺．【變式5-3】（23-24八年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，一個(gè)直徑為（即）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點(diǎn)E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外（即），當(dāng)筷子倒向杯壁時(shí)（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯壁D，求筷子的長度．

【答案】【分析】設(shè)杯子的高度是，則筷子的高度為，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)杯子的高度是，則筷子的高度為，

∵杯子的直徑為，∴，在中，由勾股定理得：，解得，∴筷子．答：筷子的長度為．考點(diǎn)六：應(yīng)用勾股定理解決航海問題例6.（23-24八年級下·安徽安慶·階段練習(xí)）一艘輪船從港向南偏西方向航行到達(dá)島，再從島沿方向航行到達(dá)島，港到航線的最短距離是．(1)若輪船速度為小時(shí)，求輪船從島沿返回港所需的時(shí)間．(2)島在港的什么方向？【答案】(1)從島返回港所需的時(shí)間為3小時(shí)(2)島在港的北偏西【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，方向角問題，是基礎(chǔ)知識比較簡單．（1）中，利用勾股定理求得的長度，則；然后在中，利用勾股定理來求的長度，則時(shí)間間路程速度；（2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定義作答．【詳解】（1）由題意，中，，得．．．．（小時(shí)）．答：從島返回港所需的時(shí)間為3小時(shí)．（2），．．．島在港的北偏西．【變式6-1】（23-24七年級上·遼寧朝陽·期中）如圖，一艘輪船先從A地出發(fā)行駛到B地，又從B地行駛到C地，B地在A地南偏西的方向，距離A地80海里，C地在B地北偏西的方向，距離B地100海里．

(1)表示出B地相對于C地的位置；(2)求A，C兩地之間的距離．【答案】(1)B地在C地南偏東的方向，距離C地100海里(2)海里【分析】本題考查了方向角，勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）結(jié)合圖形觀察即可求解；（2）判斷，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，

∵C地在B地北偏西的方向，距離B地100海里∴B地在C地南偏東的方向，距離C地100海里；（2）解：根據(jù)題意，得，∴海里，即A，C兩地之間的距離海里．【變式6-2】（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）一輛轎車從地以的速度向正東方向行駛，同時(shí)一輛貨車以速度從地向正北方向行駛，2小時(shí)后兩車同時(shí)到達(dá)走向公路上的兩地．(1)求兩地的距離；(2)若要從地修建一條最短新路到達(dá)公路，求的距離．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了方位角、勾股定理的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，，，∴，即兩地的距離為；（2）解：根據(jù)等面積法知：，即，∴，即的距離為【變式6-3】如圖，甲，乙兩條輪船同時(shí)從港口A出發(fā)，甲輪船以每小時(shí)30海里的速度向東北方向航行，乙船以每小時(shí)15海里的速度沿著北偏東方向航行，1小時(shí)后，甲船接到命令要與乙船會合，于是甲船在B處改變航向，沿南偏東方向航行，結(jié)果甲，乙兩船在小島C處相遇．假設(shè)乙船的速度和航向保持不變，求：（結(jié)果保留根號）

(1)港口A與小島C之間的距離；(2)甲船從B處行至小島C的速度．【答案】(1)海里(2)海里/時(shí)【分析】（1）自B作，垂足為M，根據(jù)題意知，可推知，，分別在與中依據(jù)已知的特殊角、已知邊，可逐一求出的長，于是的長度可求出．（2）先依據(jù)的距離與乙船航行的速度可求得乙船航行的時(shí)間，然后求出甲船從B處行至小島C的時(shí)間，最后求得甲船此段航行的速度．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)B作，垂足為M，

由題意得，，°，設(shè)指示南北方向，點(diǎn)N在線段上，則，∴．由題意知，，∴在中，海里，∴海里，海里，在中，，∴海里，∴海里，答：港口A與小島C之間的距離為海里；（2）在中，海里，∴（海里），∴乙船行駛的時(shí)間為小時(shí)，∴甲船從B處行至小島C的時(shí)間為（小時(shí)）．∴甲船從B處行至小島C的速度為（海里/時(shí)），答：甲船從B處行至小島C的速度為海里/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與方向角有關(guān)的計(jì)算題，涉及勾股定理的應(yīng)用、含30°角的直角三角形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解“方向角”．考點(diǎn)七：應(yīng)用勾股定理解決河的寬度例7.（23-24八年級下·河北唐山·期中）如圖，池塘邊有兩點(diǎn)，點(diǎn)是與方向成直角的方向上一點(diǎn)，測得長為米，長為米．求兩點(diǎn)間的距離（?。敬鸢浮棵祝痉治觥勘绢}考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理直接計(jì)算即可求解，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，∵米，米，∴米，答：兩點(diǎn)間的距離為米．【變式7-1】（23-24八年級下·廣東東莞·期中）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)A處偏離欲到達(dá)地點(diǎn)B處，結(jié)果他在水中實(shí)際游的路程比河的寬度多．求該河的寬度的長．【答案】米【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，在一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么．設(shè)米，則米，根據(jù)勾股定理得出，求出即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可知：設(shè)米，則米，在中，，，即，解得：，即米，答．該河的寬度為75米．【變式7-2】（22-23八年級下·陜西延安·期末）如圖，湖的兩岸有兩棵景觀樹，在與垂直的方向上取一點(diǎn)，測得米，米．求兩棵景觀樹之間的距離．

【答案】兩棵景觀樹之間的距離是12米【分析】根據(jù)勾股定理：在直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt中，由勾股定理，得：，（米）．答：兩棵景觀樹之間的距離是12米．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理．【變式7-3】（22-23八年級下·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，某渡船從點(diǎn)B處沿著與河岸垂直的路線橫渡，由于受水流的影響，實(shí)際沿著航行，上岸地點(diǎn)C與欲到達(dá)地點(diǎn)A相距70米，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比河寬多10米．(1)求該河的寬度；（兩岸可近似看作平行）(2)設(shè)實(shí)際航行時(shí)，速度為每秒5米，從C回到A時(shí)，速度為每秒4米，求航行總時(shí)間．【答案】(1)米(2)航行總時(shí)間為67.5秒【分析】（1）根據(jù)題意可知為直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出直角邊的距離．（2）根據(jù)時(shí)間路程速度，求出行駛的時(shí)間即可．【詳解】（1）解：設(shè)米，則米，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，答：河寬240米．（2）解：（秒），（秒），（秒），答：航行總時(shí)間為67.5秒．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，列出方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八：應(yīng)用勾股定理解決臺階上地毯長度例8.（23-24八年級上·山東棗莊·階段練習(xí)）某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高、長、寬的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元？【答案】1020【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即與的和，在直角中，根據(jù)勾股定理即可求得的長，地毯的長與寬的積就是面積，再乘地毯每平方米的單價(jià)即可求解．【詳解】解：由勾股定理得，則地毯總長為，則地毯的總面積為（平方米），所以鋪完這個(gè)樓道至少需要（元）．故答案為：1020．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解地毯的長度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖，在一個(gè)高米，長米的樓梯表面鋪地毯，則該地毯的長度至少是米．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是知道求地毯長度即求在直角三角形中，已知，，根據(jù)勾股定理即可求得的值，根據(jù)題意求地毯長度即求得即可．【詳解】解：將水平地毯下移，豎直地毯右移即可發(fā)現(xiàn)：地毯長度為直角三角形的兩直角邊之和，即，根據(jù)勾股定理可得米，故地毯長度為米，故答案為：．【變式8-2】（22-23八年級下·安徽宣城·期中）為慶祝“黨的二十大”勝利召開，市活動中心組建合唱團(tuán)進(jìn)行合唱表演，欲在如圖所示的階梯形站臺上鋪設(shè)紅色地毯，已知這種地毯每平方米售價(jià)為30元，站臺寬為，則購買這種地毯至少需要元．【答案】2100【分析】利用勾股定理求出水平的直角邊長，然后求出需要地毯的總長度，進(jìn)而可得需要地毯的總面積，然后可得答案．【詳解】解：由勾股定理得，水平的直角邊，所以地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長，所以需要地毯的總長度為，所以需要地毯的總面積為，所以購買這種地毯至少需要元，故答案為：2100．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，平移的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析得出地毯水平部分的和是水平邊的長，豎直部分的和是豎直邊的長．【變式8-3】（21-22八年級下·重慶九龍坡·期末）如圖有一個(gè)四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺階表面8個(gè)矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？(2)A和C是這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，臺階角落點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點(diǎn)C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為多少分米？【答案】(1)每一級臺階的高為2分米．(2)螞蟻沿著臺階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【分析】（1）設(shè)每一級臺階的高為x分米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（2）先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：設(shè)每一級臺階的高為x分米，根據(jù)題意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一級臺階的高為2分米；（2）四級臺階平面展開圖為長方形，長為18分米，寬為（2＋4）×4＝24分米，則螞蟻沿臺階面從點(diǎn)A爬行到C點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：AC＝（分米），答：螞蟻沿著臺階面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短路程為30分米．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開?最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．考點(diǎn)九：應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題例9.（23-24八年級下·廣東廣州·期中）某段公路限速是．“流動測速小組”的小王在距離此公路的A處觀察，發(fā)現(xiàn)有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從處行駛后到達(dá)處，測得，若．求出速度并判斷可疑汽車是否超速？【答案】，超速了【分析】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)速度公式求出速度，即可解答．【詳解】解：∵，，，∴根據(jù)勾股定理可得：，∴該汽車的速度為，∵，∴可疑汽車超速了．【變式9-1】（23-24八年級下·廣西玉林·期中）某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車在此路段上的行駛速度不得超過，如圖，一輛小汽車在該筆直路段上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對面的車速檢測儀的正前方的點(diǎn)處，后小汽車行駛到點(diǎn)處，測得此時(shí)小汽車與車速檢測儀間的距離為，．(1)求的長．(2)這輛小汽車超速了嗎？并說明理由．【答案】(1)(2)這輛小汽車不超速，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，由勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理求出的長即可；（2）求出這輛小汽車的速度，即可解決問題．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，，，答：的長為；（2）解：這輛小汽車不超速，理由如下：該小汽車的速度為，這輛小汽車不超速．【變式9-2】（23-24八年級上·廣東佛山·期中）某段公路限速是100km/h．“流動測速小組”的小王在距離此公路400m的A處觀察，發(fā)現(xiàn)有一輛可疑汽車在公路上疾駛，他趕緊拿出紅外測距儀，可疑汽車從C處行駛10s后到達(dá)B處，測得，若．(1)求BC的長度；(2)求出速度判斷可疑汽車是否超速？【答案】(1)m；(2)可疑汽車已經(jīng)超速．【分析】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用．（1）根據(jù)勾股定理求出敵方汽車行駛的距離；（2）根據(jù)速度的計(jì)算公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意得，m，m，由勾股定理得，m；（2）解：km/h，，答：可疑汽車已經(jīng)超速．【變式9-3】（23-24八年級下·河北廊坊·階段練習(xí)）“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段上限速60千米小時(shí)，為了檢測車輛是否超速，在公路旁設(shè)立了觀測點(diǎn)C，從觀測點(diǎn)C測得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒，已知，米，米．

(1)請求出觀測點(diǎn)C到公路的距離；(2)此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)觀測點(diǎn)C到公路的距離為米(2)此車沒有超速，理由見解析【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作于H，先求出的長，再用勾股定理求解即可；（2）先求出的長，再求出的長，進(jìn)而求出汽車的速度，即可得出答案．【詳解】（1）過點(diǎn)C作于H，在中，，．米米米即觀測點(diǎn)C到公路的距離為米．

（2）米，米米∴車速為米/秒千米/小時(shí)米秒，∴此車沒有超速．考點(diǎn)十：應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題例10.（23-24八年級下·四川瀘州·期中）年7月五號臺風(fēng)“杜蘇芮”登陸，使我國很多地區(qū)受到嚴(yán)重影響．據(jù)報(bào)道，這是今年以來對我國影響最大的臺風(fēng)，風(fēng)力影響半徑（即以臺風(fēng)中心為圓心，為半徑的圓形區(qū)域都會受臺風(fēng)影響）．如圖，線段是臺風(fēng)中心從市向西北方向移動到市的大致路線，是某個(gè)大型農(nóng)場，且．若，之間相距，，之間相距．(1)判斷農(nóng)場是否會受到臺風(fēng)的影響，請說明理由．(2)若臺風(fēng)中心的移動速度為，則臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時(shí)間有多長？【答案】(1)會受到臺風(fēng)的影響，理由見解析；(2)臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時(shí)間為．【分析】（）勾股定理求出，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)面積法求出，判斷即可；（）假設(shè)臺風(fēng)在線段上移動時(shí)，會對農(nóng)場造成影響，得，，由勾股定理，可得的長度，再除以速度即可得到時(shí)間；此題考查了勾股定理的應(yīng)用，應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，正確理解題意確定直角三角形利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）會受到臺風(fēng)的影響，理由：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)樵谥?，，，，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以農(nóng)場會受到臺風(fēng)的影響；（2）如圖，假設(shè)臺風(fēng)在線段上移動時(shí)，會對農(nóng)場造成影響，所以，，由勾股定理，可得，因?yàn)榕_風(fēng)的速度是，所以受臺風(fēng)影響的時(shí)間為，答：臺風(fēng)影響該農(nóng)場持續(xù)時(shí)間為．【變式10-1】（2024·湖南永州·模擬預(yù)測）如圖某貨船以海里的速度將一批重要的物資由處運(yùn)往正西方向的處，經(jīng)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨．此時(shí)，接到氣象部門的通知，一臺風(fēng)中心、以海里的速度由處向北偏西方向移動，距臺風(fēng)中心海里以內(nèi)的圓形區(qū)域會受到影響．（）問：(1)處是否會受到臺風(fēng)的影響？請說明理由．(2)如果處受到臺風(fēng)影響，那么求出影響的時(shí)間．【答案】(1)會受臺風(fēng)影響，理由見解析(2)小時(shí)【分析】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理解三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用相關(guān)知識．（1）處是否會受到臺風(fēng)影響，其實(shí)就是到的垂直距離是否超過海里，如果超過則不會影響，反之受影響，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求出即可求解；（2））結(jié)合題意可得在點(diǎn)右側(cè)相同的距離內(nèi)點(diǎn)也受影響，即可求出時(shí)間；將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造出與實(shí)際問題有關(guān)的直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在中，，，海里，海里，，會受臺風(fēng)影響；（2）如圖2，如圖，海里，在中，海里，同時(shí)在點(diǎn)右側(cè)相同的距離內(nèi)點(diǎn)也受影響，小時(shí)，影響的時(shí)間為小時(shí)．【變式10-2】（23-24八年級下·云南昭通·期中）6號臺風(fēng)“煙花”風(fēng)力強(qiáng)，累計(jì)降雨量大，影響范圍大，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，臺風(fēng)“煙花”中心沿東西方向由A向B移動，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為，，又，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響．(1)海港C受臺風(fēng)影響嗎?為什么?(2)若臺風(fēng)中心的移動速度為20千米/時(shí)，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長?【答案】(1)會受到影響，理由見解析(2)小時(shí)【分析】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，進(jìn)而得出的度數(shù)；利用三角形面積得出的長，進(jìn)而得出海港是否受臺風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出以及的長，進(jìn)而得出臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【詳解】（1）海港受臺風(fēng)影響，理由：，，，，是直角三角形，；過點(diǎn)作于，是直角三角形，，，，以臺風(fēng)中心為圓心周圍以內(nèi)為受影響區(qū)域，海港受臺風(fēng)影響；（2）如圖，當(dāng)，時(shí)，正好影響港口，，，臺風(fēng)的速度為20千米小時(shí)，（小時(shí)）．答：臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為10小時(shí)．【變式10-3】（23-24八年級下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期中）如圖，公路和公路在點(diǎn)P處交匯，且，在A處有一所中學(xué)，米，此時(shí)有一輛消防車在公路上沿方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)有噪音影響．(1)學(xué)校是否會受到影響？請說明理由．(2)如果受到影響，則影響時(shí)間是多長？【答案】(1)學(xué)校受到噪音影響．理由見解析(2)學(xué)校受影響的時(shí)間為32秒．【分析】本題主要考查了含直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造直角三角形成為解題的關(guān)鍵．（1）如圖：作于B，根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)可得，然后與比較即可；（2）如圖：以點(diǎn)A為圓心，為半徑作交于C、D，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再運(yùn)用勾股定理求得，即，最后求出影響時(shí)間即可．【詳解】（1）解：學(xué)校受到噪音影響．理由如下：如圖：作于B，∵，∴，∵，∴消防車在公路上沿方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響．（2）解：如圖：以點(diǎn)A為圓心，為半徑作交于C、D，∵，∴，在中，，∴，∴，∵消防車的速度，∴消防車在線段上行駛所需要的時(shí)間（秒），∴學(xué)校受影響的時(shí)間為32秒．考點(diǎn)十一：應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題例11.（23-24八年級下·廣東珠?！て谥校┤鐖D，在筆直的鐵路上A、B兩點(diǎn)相距，C，D為兩村莊，于A，于B．現(xiàn)要在上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，求的長．【答案】的長為【分析】本題考查的是勾股定理，比較簡單，需要熟練掌握勾股定理的基礎(chǔ)知識．先設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以，解得：即的長為．【變式11-1】（23-24八年級下·湖北荊州·階段練習(xí)）如圖，直線l為一條公路，A，D兩處各有一個(gè)村莊，于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，千米，千米，千米．現(xiàn)需要在上建立一個(gè)物資調(diào)運(yùn)站E，使得E到A，D兩個(gè)村莊距離相等，請求出E到C的距離．【答案】E到C的距離為千米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，設(shè)千米，則千米，由根據(jù)勾股定理可得關(guān)于的方程，解方程即得結(jié)果．【詳解】如圖，設(shè)千米，則千米，在中，根據(jù)勾股定理，，在中，根據(jù)勾股定理，，∵，∴，即，解得：，即E到C的距離為千米．【變式11-2】（23-24八年級下·重慶開州·階段練習(xí)）如圖，開州大道上兩點(diǎn)相距為兩商場，于于．已知．現(xiàn)在要在公路上建一個(gè)土特產(chǎn)產(chǎn)品收購站，使得兩商場到站的距離相等，

(1)求站應(yīng)建在離點(diǎn)多少處？(2)若某人從商場以的速度勻速步行到收購站，需要多少小時(shí)？【答案】(1)站應(yīng)建在離站處(2)需要2小時(shí)【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理正確建立方程是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)勾股定理可得，，從而可得，設(shè)，則，據(jù)此建立方程，解方程即可得；（2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出時(shí)間．【詳解】（1）解：∵使得兩村到站的距離相等，∴，∵，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴，答：站應(yīng)建在離站處；（2）解：，（小時(shí)）答：需要2小時(shí)．【變式11-3】（23-24七年級上·山東淄博·期中）為推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，把家鄉(xiāng)建設(shè)成為生態(tài)宜居、交通便利的美麗家園，某地大力修建嶄新的公路如圖所示，現(xiàn)從A地分別向C、D、B三地修了三條筆直的公路和，C地、D地、B地在同一筆直公路上，公路和公路互相垂直，又從D地修了一條筆直的公路與公路在H處連接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米．(1)求公路的長度；(2)若修公路每千米的費(fèi)用是200萬元，請求出修建公路的總費(fèi)用．【答案】(1)千米(2)600萬元【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案；（2）根據(jù)面積相等得出，求出即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，千米，千米，∴千米，∵千米，∴千米；（2）解：∵，∴，∴千米∴修建公路的費(fèi)用為（萬元）．考點(diǎn)十二：應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中最短路徑問題例12.（23-24八年級下·山東聊城·期中）綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級臺階，它每一級的長、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過思考得到如下解題方法：如圖②，將三級臺階展開成平面圖形，可得到長為20，寬為15的長方形，連接，經(jīng)過計(jì)算得到長度為______，就是最短路程．【變式探究】（2）如圖③，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長是30cm，高是8cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為______．【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不計(jì)）【答案】（1）25；（2）17cm；（3）B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是10cm【分析】本題考查勾股定理最短路徑問題：（1）直接利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）將圓柱體展開，利用勾股定理求解即可；（3）將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：（1）由勾股定理，得：；故答案為：25；（2）將圓柱體展開，如圖，由題意，得：，，由勾股定理得：；故答案為：17cm．（3）如圖，將玻璃杯側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作，交延長線于點(diǎn)，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，【變式12-1】（23-24八年級下·江西新余·期中）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，求螞蟻吃到飯粒器爬行的最短路徑的長【答案】【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、平面展開－最短路徑問題，勾股定理的應(yīng)用等，正確利用側(cè)面展開圖、熟練運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．將容器側(cè)面展開，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知的長度即為所求，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，高為，底面周長為，在容器內(nèi)壁離容器底部的點(diǎn)處有一飯粒，此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿與飯粒相對的點(diǎn)處，將容器側(cè)面展開，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則即為最短距離，，，即螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑的長是．【變式12-2】（23-24八年級下·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)實(shí)心長方體盒子，長，寬，高，一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點(diǎn)處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？（點(diǎn)撥：分三種情況討論解答）【答案】把長方體沿展開，螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，最短距離為5．【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，把長方體沿展開，把長方體沿展開，把長方體沿展開，三種情況利用勾股定理求出對應(yīng)的最短距離即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，把長方體沿展開，則螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，由題意得，，∴由勾股定理得；如圖所示，把長方體沿展開，則螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，由題意得，，∴由勾股定理得；如圖所示，把長方體沿展開，則螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，由題意得，，∴由勾股定理得；∵，∴把長方體沿展開，螞蟻沿著的路線爬行的路程最短，最短距離為5．【變式12-3】（23-24八年級下·河北滄州·期中）【閱讀材料】如圖1，有一個(gè)圓柱，它的高為，底面圓的周長為，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對的點(diǎn)B處的食物，螞蟻沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？【方法探究】對于立體圖形中求最短路程問題，應(yīng)把立體圖形展開成平面圖形，再確定A，B兩點(diǎn)的位置，依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，結(jié)合勾股定理，解決相應(yīng)的問題．如圖2，在圓柱的側(cè)面展開圖中，點(diǎn)A，B對應(yīng)的位置如圖所示，利用勾股定理即可求出螞蟻爬行的最短路程線段的長．【方法應(yīng)用】（1）如圖3，圓柱形玻璃容器的高為，底面周長為，在外側(cè)距下底的點(diǎn)S處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口處的點(diǎn)F處有一蒼蠅，試求急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度．（2）如圖4，長方體的棱長，，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)開始以的速度在盒子的內(nèi)部沿棱向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以相同的速度在盒內(nèi)壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？【答案】（1）34cm；（2）秒．【分析】題目主要考查圓柱及棱柱的展開圖，勾股定理解三角形，最短距離等問題，理解題意，熟練掌握運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意將圓柱展開，然后利用勾股定理求解即可；（2）設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑爬行，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，這是圓柱形玻璃容器的側(cè)面展開圖，線段就是蜘蛛走的最短路線．由題意可得在中，，，，∴，∴蜘蛛所走的最短路線的長度為34cm．（2）設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑爬行，爬行捕捉到昆蟲甲需x秒．如圖2，在中，∵長方體的棱長，，∴，，，，∴，解得．答：昆蟲乙至少需要秒才能捕捉到昆蟲甲．一、單選題1．（23-24八年級下·寧夏石嘴山·期中）如圖，在高為，斜坡長為的樓梯臺階上鋪地毯（

）A．7 B．8 C．9 D．5【答案】A【分析】此題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識，利用勾股定理求出的長度是解答本題的關(guān)鍵．先求出的長，利用平移的知識可得出地毯的長度．【詳解】解：在中，（米），故可得地毯長度（米），故選：A．2．（23-24八年級下·重慶開州·期中）如圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（

）米A． B．5 C．8 D．7【答案】C【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．運(yùn)用勾股定理直接解答即可求出斜邊，據(jù)此求解即可．【詳解】解：米，米，，折斷的部分長為（米），折斷前高度為（米）．故選：C．3．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的C處，當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是（

）A． B． C