2024年高考數學一輪復習滿分攻略(新高考地區(qū)專用)考點05基本不等式(精練)(原卷版+解析)

第5練基本不等式eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關)eq\o\ac(○,練)練習一利用基本不等式比較大小1、(2023·全國·高三專題練習（理））若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．2、(2023·四川攀枝花·三模（理））已知，，設，，，則a，b，c的大小關系正確的是（

）．A． B．C． D．3、【多選】(2023·重慶八中高三階段練習）設，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．4、【多選】(2023·山東淄博·模擬預測）已知，則a，b滿足（

）A． B． C． D．5、【多選】(2023·全國·高三專題練習）設a，，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，且，則6、(2023·新疆烏魯木齊·模擬預測（文））設a，b，c均為正數，且，證明：(1)；(2)．(2023·全國·高三專題練習）已知：，求證：.練習二利用基本不等式求最值1、(2023·河南駐馬店）已知a>0，則當取得最小值時，a的值為（

）A． B． C． D．32、(2023·吉林·模擬預測（理））已知，則的最小值是______．3、(2023·全國·高三專題練習）若a>0，則a＋eq\f(8,2a＋1)的最小值為________4、(2023·全國·高三專題練習）已知0<x<1,則x(4-3x)取得最大值時x的值為.

5、(2023·全國·高三專題練習（理））若，則的最大值是（

）A． B． C． D．6、(2023·全國·高三專題練習（理））若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值7、（2023·遼寧）已知正實數x，則的最大值是（

）A． B． C． D．8、(2023·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值是________.9、(2023·安徽·南陵中學模擬預測（文））已知，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．2710、(2023·山西呂梁·三模（文））已知實數滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．611、(2023·湖南湘潭·三模）已知正數a，b滿足，則的最小值為___________.12、(2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學模擬預測）已知，，，則的最小值為__．13、(2023·天津河北·一模）已知，，且，則的最大值為__________.14、(2023·全國·高三專題練習）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．315、(2023·全國·高三專題練習）已知，且，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值16、(2023·四川·石室中學三模（文））已知，且，則的最小值是(

)A．49 B．50 C．51 D．5217、(2023·四川成都·三模（理））若實數m，n滿足，則的最大值為（

）．A．2 B．3 C． D．418、(2023·全國·高三專題練習）已知a>b>0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值為________。(2023·天津南開·二模）已知，，則的最大值是________．練習三與基本不等式有關的參數問題1、(2023·上?！ざ＃┮阎獙?，不等式恒成立，則實數的最大值是_________.2、(2023·全國·高三專題練習）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3、(2023·全國·高三專題練習）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（

）A．10 B．12 C．16 D．94、(2023·全國·高三專題練習）已知，，若不等式恒成立，則實數的最大值為（

）A．10 B．9 C．8 D．75、(2023·全國·高三專題練習）若，且恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6、(2023·全國·高三專題練習）若兩個正實數，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．7、【多選】(2023·全國·高三專題練習）當，，時，恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C．1 D．28、(2023·全國·高三專題練習）“”是“關于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件練習四基本不等式的實際應用1、(2023·上海市實驗學校高三階段練習）某工廠的產值第二年比第一年的增長率是，第三年比第二年的增長率是，而這兩年的平均增長率為，在為定值的情況下，的最大值為___________（用?表示）2、(2023·全國·高三專題練習）蘄春縣內有一路段A長325米，在某時間內的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數關系為，交通部門利用大數據，采用“信號燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設置時間T（秒）＝路段長×，那么在車流量最大時，路段A的紅燈設置時間為___________秒.3、(2023·上?！とA東師范大學附屬東昌中學高三階段練習）如圖，某街道擬設立一占地面積為平方米的常態(tài)化核酸采樣點，場地形狀為矩形．根據防疫要求，采樣點周圍通道設計規(guī)格要求為：長邊外通道寬5米，短邊外通道寬8米，采樣點長邊不小于20米，至多長28米．(1)設采樣點長邊為米，采樣點及周圍通道的總占地面積為平方米，試建立關于的函數關系式，并指明定義域；(2)當時，試求的最小值，并指出取到最小值時的取值．4、(2023·全國·高三專題練習）杭州市將于2022年舉辦第19屆亞運會，本屆亞運會以“綠色、智能、節(jié)位、文明”為辦賽理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對城市發(fā)展的牽引作用，從而促進經濟快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放當地市場，已知該種設備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產一臺需另投入80元，設該公司一年內生產該設備x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入（萬元）與年產量x（萬臺）滿足如下關系式：（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬臺）的函數解析式：（利潤=銷售收入-成本）（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．練習五基本不等式的綜合應用1、(2023·上海市實驗學校模擬預測）已知函數的圖像恒過定點，又點的坐標滿足方程，則的最大值為_____．2、【多選】(2023·全國·高三專題練習）已知，當時，，則（

）A．， B．C． D．3、(2023·湖南·模擬預測）已知為銳角，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．4、(2023·山東濱州·二模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，，成等差數列，則的面積的最大值為__________．5、(2023·全國·高三專題練習）在中，點是線段上的點，且滿足，過點的直線分別交直線、于點、，且，，其中且，若的最小值為3，則正數的值為(

)A．2 B．3 C． D．6、(2023·江蘇鹽城·三模）已知平面凸四邊形ABCD，點E、F分別在AD、BC上，滿足，，且，與的夾角為，設，，則的最大值為__________．7、(2023·黑龍江·哈爾濱三中三模（理））已知等差數列的前n項和為，滿足，且，則的最大值為___________.8、(2023·江西·模擬預測（理））在正項等比數列中，，前三項的和為7，若存在m，使得，則的最小值為（）A． B． C． D．9、(2023·安徽·馬鞍山二中模擬預測（理））設為等比數列的前n項和，已知，，若存在，使得成立，則m的最小值為___．10、(2023·全國·高三專題練習）若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為（）A． B． C． D．第5練基本不等式eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關)eq\o\ac(○,練)練習一利用基本不等式比較大小1、(2023·全國·高三專題練習（理））若，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【解析】取滿足，且，此時，A錯誤；取滿足，且，此時，B錯誤；可得，C正確；取滿足，且，此時，D錯誤.故選：C.2、(2023·四川攀枝花·三模（理））已知，，設，，，則a，b，c的大小關系正確的是（

）．A． B．C． D．【解析】依題意得，，，，由基本不等式得：，又為單調遞增函數即，故選：D.3、【多選】(2023·重慶八中高三階段練習）設，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【解析】對于A：因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以成立.故A正確；對于B：因為，所以，當且僅當時取等號.所以成立.故B正確；對于C：因為，所以，所以.記，則，所以，所以，即.故C錯誤；對于D：因為所以.故D錯誤.故選：AB4、【多選】(2023·山東淄博·模擬預測）已知，則a，b滿足（

）A． B． C． D．【解析】由，則,則所以，所以選項A不正確.,所以選項B不正確.由，因為，故等號不成立，則，故選項C正確.因為，故等號不成立，故選項D正確.故選：CD5、【多選】(2023·全國·高三專題練習）設a，，則下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，且，則【解析】對于A：因為，所以，因為在上單減，所以.故A錯誤；對于B：因為，所以.故B正確；對于C：因為，所以.記函數.因為為增函數，為減函數，所以為增函數，所以.故C正確.對于D：取滿足，且，但是.故D錯誤.故選：BC6、(2023·新疆烏魯木齊·模擬預測（文））設a，b，c均為正數，且，證明：(1)；(2)．【解析】(1)因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，所以，即，即，當且僅當時，等號成立.(2)因為,所以，當且僅當時，等號成立，即，即，所以，當且僅當時，等號成立.7、(2023·全國·高三專題練習）已知：，求證：.【解析】，兩邊平方得，根據基本不等式有，將上述個不等式相加得，即，所以，整理得，當且僅當時等號成立.練習二利用基本不等式求最值1、(2023·河南駐馬店）已知a>0，則當取得最小值時，a的值為（

）A． B． C． D．3【解析】∵a>0，∴，當且僅當，即時，等號成立，故選：C2、(2023·吉林·模擬預測（理））已知，則的最小值是______．【解析】，則，當且僅當，即時取“=”，所以的最小值是6.故答案為：63、(2023·全國·高三專題練習）若a>0，則a＋eq\f(8,2a＋1)的最小值為________【解析】由題意可知a＋eq\f(8,2a＋1)＝a＋eq\f(1,2)＋eq\f(4,a＋\f(1,2))－eq\f(1,2)≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))×\f(4,a＋\f(1,2)))－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2)，當且僅當a＋eq\f(1,2)＝eq\f(4,a＋\f(1,2))，即a＝eq\f(3,2)時等號成立。所以a＋eq\f(8,2a＋1)的最小值為eq\f(7,2)。4、(2023·全國·高三專題練習）已知0<x<1,則x(4-3x)取得最大值時x的值為.

【解析】x(4-3x)=13×(3x)·(4-3x)≤13×[3x+(4?3x)2故所求x的值為23答案:25、(2023·全國·高三專題練習（理））若，則的最大值是（

）A． B． C． D．【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選：B.6、(2023·全國·高三專題練習（理））若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【解析】因，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，有最大值.故選：A7、（2023·遼寧）已知正實數x，則的最大值是（

）A． B． C． D．【解析】因為，又因為，所以，所以，當且僅當時，即時等號成立，所以，即y的最大值是.故選：D.8、(2023·全國·高三專題練習）已知，，且，則的最小值是________.【解析】因為，，且，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值是8，故答案為：8.9、(2023·安徽·南陵中學模擬預測（文））已知，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．27【解析】由題意得，當且僅當即時等號成立．故選：D10、(2023·山西呂梁·三模（文））已知實數滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C． D．6【解析】由得，則，當且僅當時“=”，所以的最小值為4．故選：B11、(2023·湖南湘潭·三模）已知正數a，b滿足，則的最小值為___________.【解析】因為，所以，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.12、(2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學模擬預測）已知，，，則的最小值為__．【解析】，當且僅當析，時，等號成立.故答案為：13、(2023·天津河北·一模）已知，，且，則的最大值為__________.【解析】.因為，，且，所以，當且僅當即時取等.所以.，即的最大值為.故答案為：.14、(2023·全國·高三專題練習）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【解析】因為，所以，則，因為，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故選：B.15、(2023·全國·高三專題練習）已知，且，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【解析】因為，所以，所以，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，當且僅當時等號成立.故選：A.16、(2023·四川·石室中學三模（文））已知，且，則的最小值是(

)A．49 B．50 C．51 D．52【解析】由已知，得，當且僅當，即，時等號成立．因此，的最小值是50．故選：B．17、(2023·四川成都·三模（理））若實數m，n滿足，則的最大值為（

）．A．2 B．3 C． D．4【解析】由可得：，所以即，，當且僅當即時取等.故選：D.18、(2023·全國·高三專題練習）已知a>b>0，那么a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值為________?！窘馕觥恳驗閍>b>0，所以a－b>0，所以b(a－b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))2＝eq\f(a2,4)，所以a2＋eq\f(1,ba－b)≥a2＋eq\f(4,a2)≥2eq\r(a2·\f(4,a2))＝4，當且僅當b＝a－b且a2＝eq\f(4,a2)，即a＝eq\r(2)且b＝eq\f(\r(2),2)時取等號，所以a2＋eq\f(1,ba－b)的最小值為4。19、(2023·天津南開·二模）已知，，則的最大值是________．【解析】因為，，則，即，當且僅當是，等號成立；又，即，當且僅當是，等號成立；故，則，當且僅當是，等號成立.故答案為：.練習三與基本不等式有關的參數問題1、(2023·上?！ざ＃┮阎獙?，不等式恒成立，則實數的最大值是_________.【解析】由已知可得，，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，，故實數的最大值不存在.故答案為：不存在.2、(2023·全國·高三專題練習）當時，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【解析】∵，∴，∴當且僅當，即時取等號，∵當時，不等式恒成立，∴只需．∴的取值范圍為：．故選A．3、(2023·全國·高三專題練習）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（

）A．10 B．12 C．16 D．9【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉化成求的最小值，，當且僅當時取等所以．故選：D．4、(2023·全國·高三專題練習）已知，，若不等式恒成立，則實數的最大值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【解析】因為，，則，所以，當且僅當即等號成立，要使不等式恒成立，所以所以實數的最大值為8.故選：C.5、(2023·全國·高三專題練習）若，且恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】不等式恒成立，即，，等號成立的條件是，即，與條件聯立，解得，所以的最小值是8，即，解得：.故選：A6、(2023·全國·高三專題練習）若兩個正實數，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】由知，，當且僅當時，等號成立，則使不等式有解，只需滿足即可，解得故選：C7、【多選】(2023·全國·高三專題練習）當，，時，恒成立，則的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2【解析】因為，，所以，當且僅當時，等號成立．因為．若恒成立，則，解得．故選：AB.8、(2023·全國·高三專題練習）“”是“關于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】由題意知，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以當時，的最小值為，當時，可得關于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：關于的不等式有解時，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“關于的不等式有解”的充分不必要條件.故選：A.練習四基本不等式的實際應用1、(2023·上海市實驗學校高三階段練習）某工廠的產值第二年比第一年的增長率是，第三年比第二年的增長率是，而這兩年的平均增長率為，在為定值的情況下，的最大值為___________（用?表示）【解析】設第一年的產值為，則第二年的產值為，第三年的產值為，又這兩年的平均增長率為，所以，因為為定值，所以，當且僅當時，等號成立，所以，所以，所以的最大值為.故答案為：2、(2023·全國·高三專題練習）蘄春縣內有一路段A長325米，在某時間內的車流量y（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數關系為，交通部門利用大數據，采用“信號燈不再固定長短，交通更加智能化”策略，紅燈設置時間T（秒）＝路段長×，那么在車流量最大時，路段A的紅燈設置時間為___________秒.【解析】不妨設，，當且僅當時等號成立.千米/小時米/秒此時紅燈設置時間為秒.故答案為：3、(2023·上?！とA東師范大學附屬東昌中學高三階段練習）如圖，某街道擬設立一占地面積為平方米的常態(tài)化核酸采樣點，場地形狀為矩形．根據防疫要求，采樣點周圍通道設計規(guī)格要求為：長邊外通道寬5米，短邊外通道寬8米，采樣點長邊不小于20米，至多長28米．(1)設采樣點長邊為米，采樣點及周圍通道的總占地面積為平方米，試建立關于的函數關系式，并指明定義域；(2)當時，試求的最小值，并指出取到最小值時的取值．【解析】(1)由題意采樣點及周圍通道構成的矩形的長是，寬是，故；(2)由（1）知，，當時，，當且僅當即時取等號，此時，且滿足，故此時S的最小值為，此時;當時，令，則，由于時，，故，即單調遞減，故，此時，滿足,故S的最小值為，此時.4、(2023·全國·高三專題練習）杭州市將于2022年舉辦第19屆亞運會，本屆亞運會以“綠色、智能、節(jié)位、文明”為辦賽理念，展示杭州生態(tài)之美、文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對城市發(fā)展的牽引作用，從而促進經濟快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設備供采購商洽談采購，并決定大量投放當地市場，已知該種設備年固定研發(fā)成本為50萬元，每生產一臺需另投入80元，設該公司一年內生產該設備x萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入（萬元）與年產量x（萬臺）滿足如下關系式：（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量x（萬臺）的函數解析式：（利潤=銷售收入-成本）（2）當年產量為多少萬臺時，該公司獲得的年利潤最大？并求最大利潤．【解析】（1）由題意知：，∴.（2）由（1）知：，∴時，單調遞增，則；時，，當且僅當時等號成立.綜上，當年產量為萬臺時，該公司獲得的年利潤最大為萬元.練習五基本不等式的綜合應用1、(2023·上海市實驗學校模擬預測）已知函數的圖像恒過定點，又點的坐標滿足方程，則的最大值為_____．【解析】過定點，所以,所以故，當且僅當時等號成立.故答案為：2、【多選】(2023·全國·高三專題練習）已知，當時，，則（

）A．， B．C． D．【解析】因為，且，可得，從而得到，因為，所以，所以，而，（，等號不成立）所以.從而可知選項ACD正確.故選：AC