高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題(新高考地區(qū)專用)考向27數(shù)列求和經(jīng)典題型歸納(十二大經(jīng)典題型)(原卷版+解析)

考向27數(shù)列求和經(jīng)典題型歸納經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法經(jīng)典題型二：公式法經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法經(jīng)典題型四：分組求和法經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法經(jīng)典題型六：倒序相加法經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和(2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴(2023·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【解析】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法1．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列，，，，，，的前項(xiàng)和的值等于_____________2．(2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，時(shí)滿足．為前n項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求和．4．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為A． B． C． D．經(jīng)典題型二：公式法5．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．如圖，從點(diǎn)做軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：，；，；，，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法7．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，且.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前項(xiàng)和為.8．(2023·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.9．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））在①；②；③，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題的橫線處，并解答．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，______．(1)；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．10．(2023·湖北·應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，其中.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；經(jīng)典題型四：分組求和法11．(2023·河南省杞縣高中高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求.12．(2023·廣東·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.13．(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和14．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））已知等比數(shù)列的公比大于1，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.15．(2023·河南·高三開學(xué)考試（理））已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等差數(shù)列的公差為，且，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法16．(2023·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)若，證明：．17．(2023·黑龍江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，滿足，且，，1成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.18．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，令，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.19．(2023·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求.20．(2023·安徽·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足且，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.21．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是與的等比中項(xiàng)，且.若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型六：倒序相加法23．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和_________．24．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和______．25．(2023·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．26．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中，記，則（

）A． B．C． D．經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和27．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則__．28．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，則數(shù)列{ancosnπ}的前2020項(xiàng)的和為（

）A．1009 B．1010 C．2019 D．202029．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為()，其前項(xiàng)和為，則_______.30．(2023·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（

）A．0 B．1010 C．2020 D．202431．(2023·河北唐山·一模）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求的值；（2）求的最大值.經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和32．(2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，(1)求和(2)求證：．33．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前項(xiàng)和為滿足，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：.34．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證:.經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和35．(2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.36．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.37．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．38．(2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和39．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記的前項(xiàng)和為，求.40．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.41．(2023·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．42．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則的前100項(xiàng)和為（

）A．67 B．68 C．134 D．16743．(2023·上海中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足且，則的最小值是___________．44．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，在數(shù)列中，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則___________.45．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和46．(2023·廣東廣州·高三開學(xué)考試）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)若，求m的值；(2)求的值.47．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后，將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項(xiàng)之和為（

）A．23804 B．23946 C．24100 D．2461248．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“提丟斯數(shù)列”，是由世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家提丟斯給出，具體如下：，，，，，，，，，容易發(fā)現(xiàn)，從第項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍；將每一項(xiàng)加上得到一個(gè)數(shù)列：，，，，，，，，；再將每一項(xiàng)除以后得到：“提丟斯數(shù)列”：，，，，，，，，則下列說法中，正確的是（

）A．“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列 B．“提丟斯數(shù)列”的第項(xiàng)為C．“提丟斯數(shù)列”前項(xiàng)和為 D．“提丟斯數(shù)列”中，不超過的有項(xiàng)經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和49．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列是公差大于零的等差數(shù)列，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求.50．(2023·廣東佛山·三模）設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．51．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.52．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.53．(2023·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為________.

1．（2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇·高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．3．(2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．4．（2023·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．5．（2023·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．6．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．8．（2023·全國(guó)·高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為______；如果對(duì)折次，那么______.

經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法1．答案：【解析】依題意，易得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，；故答案為：.2．【解析】（1）由，得，即，由是單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，得，則，即，故是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，即.（2）要證：，只需證：，即證：，即證：，即證：，即證：，即證：，而此不等式顯然成立，所以成立.3．【解析】∵，∴．4．【解析】解數(shù)列通項(xiàng)，．故選：．經(jīng)典題型二：公式法5．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項(xiàng)公式為．（2）由得，是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列．．6．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，由得點(diǎn)處切線方程為由得．（Ⅱ），，得，經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法7．【解析】（1）時(shí)，，又，所以是首項(xiàng)是1，公比是的等比數(shù)列，所以；設(shè)的公差為，則由，得.（2）由（1）知，所以，所以.8．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，①，②，由①②，得，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.（2），則，所以，，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，.9．【解析】（1）選①，由得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以．選②，由得，作差得，符合上式，所以．選③，由得作差得，即，即，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以．（2），所以．設(shè)，，，，作差得，化簡(jiǎn)得，所以．10．【解析】（1）因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是以1為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，所以，所以①，②，所以①-②得，所以經(jīng)典題型四：分組求和法11．【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則從而由，得，又，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以12．【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為－1的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；（2）.13．【解析】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以的通?xiàng)公式為；（2）因?yàn)椋?4．【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解之得或（舍去），由得，，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，所以的前項(xiàng)和為15．【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，且，，所以，解得，

所以綜上，．（2）由（1）得：

所以

．經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法16．【解析】（1）由，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，∴，∴，當(dāng)時(shí)，滿足，故對(duì)．（2）證明：，故，故17．【解析】（1）由題意得，則，∴數(shù)列為等差數(shù)列．又，∴，即數(shù)列的公差為1，∴，即．（2）由已知得，∴．18．【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，由題意可得：解得：∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由(1)，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前2022項(xiàng)和19．【解析】（1），，兩式作差得:，，成等差數(shù)列，又當(dāng)時(shí)，，所以即（2）由（1）知，則，即，故

.20．【解析】（1）因?yàn)椋?，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）證明：，所以，由，得，所以，綜上，.21．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴（2）∵∴數(shù)列的前項(xiàng)和22．答案：A【解析】因?yàn)閿?shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差.由題意得即解得或（舍去）.所以.所以.所以故選：A.經(jīng)典題型六：倒序相加法23．答案：【解析】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：24．答案：【解析】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.25．答案：B【解析】因?yàn)椋?，?又，兩式相加得：，解得，故選：B26．答案：A【解析】，∴，，∴，故選：A．經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和27．答案：-2【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，，，，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540，所以，所以，解得．故答案為：．28．答案：D【解析】設(shè)的公差為d，則有，解得，∴，設(shè)，則，，…，∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．故選：D29．答案：【解析】，∴.故答案為：30．答案：C【解析】由，，令，可得，，兩式相加可得，，，兩式相加，進(jìn)行推論歸納可得，，所以數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為．故選：C.31．【解析】（1）由可得當(dāng)時(shí)，

（?。┧裕?，…，，因此.（2）當(dāng)時(shí)，

（ⅱ），（?。┦綔p去（ⅱ）式得，又，于是，可得；當(dāng)時(shí)，；又，則時(shí)，；又，時(shí)，；因此時(shí)，取得最大值，且.經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和32．【解析】（1）時(shí)，，時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以，（2）當(dāng)時(shí)，，原式成立．當(dāng)時(shí)，所以．33．【解析】（1）由，得，兩式相減，得.由，，得，所以，，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，從而有.（2）證明：由（1）知，從而，所以，當(dāng)時(shí)，，從而有；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.綜上有成立.34．【解析】，經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和35．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，.所以數(shù)列的前14項(xiàng)和為.36．【解析】(1)由題意得，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）知，所以，所以.37．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)，且時(shí)，，顯然滿足；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所以（2）．38．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，即經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和39．【解析】(1)，或，為正項(xiàng)數(shù)列，；(2)，是周期為12的周期數(shù)列，，，，，，，，，，，，.40．【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，即41．【解析】（1）∵；∵，∴兩式相減可得，又，∴.（2）由（1）知：，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．42．答案：B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列的項(xiàng)依次為2，1，1，0，1，1，0，…，所以從第2項(xiàng)起，3項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，所以的前100項(xiàng)的和為，故選：B．43．答案：【解析】由得：，，，…，，，，累加得，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)；為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)；則為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值．當(dāng)數(shù)列滿足，（且為偶數(shù)），（且為奇數(shù)）時(shí)，符合條件.故答案為：44．答案：4956【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.故答案為：45．答案：【解析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和46．【解析】（1）因?yàn)?，所以?shù)列中前項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項(xiàng)，數(shù)列中前項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，共有3項(xiàng)，排列后為1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17.（2）因?yàn)?，，，所以?shù)列中前50項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項(xiàng)，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，所以數(shù)列中前50項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項(xiàng)，所以.47．答案：D【解析】因?yàn)?，，，故?shù)列的前項(xiàng)中包含的前項(xiàng)，故數(shù)列的前150項(xiàng)包含的前項(xiàng)排除與公共的8項(xiàng).記數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，故選：D.48．答案：C【解析】記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，符合該式；當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，A故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”的第項(xiàng)為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”前項(xiàng)和為：，故C正確；D選項(xiàng)：由，得，成立；時(shí)，，即，解得，“提丟斯數(shù)列”中，不超過的有項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：C經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和49．【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又，解得或，，，.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故是以2為周期的周期數(shù)列，且，.50．【解析】(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當(dāng)時(shí)，，所以有化簡(jiǎn)得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列所以(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，綜上所述：51．【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.（2）由（1）得，則，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，綜上所述，52．【解析】（1）證明：因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，即，則.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，綜上所述，.53．答案：【解析】∵，∴時(shí)，，即，，由已知，當(dāng)時(shí)，(*)，(*)式中為偶數(shù)時(shí)，，，此時(shí)為奇數(shù)，∴為奇數(shù)時(shí)即時(shí)，；(*)式中為奇數(shù)時(shí)，，，即，此時(shí)為偶數(shù)，∴為偶數(shù)即時(shí)，，∴，由，得為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的前7項(xiàng)和為．故答案為：．1．（2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)?，所以，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．2．答案：【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對(duì)比系數(shù)可知，故.故答案為：3．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴4．【解析】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯(cuò)位相減求和法的一種方法.5．【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.6．【解析】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.7．【解析】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對(duì)任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時(shí)減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號(hào)兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時(shí)也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯(cuò)位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當(dāng)時(shí)，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因?yàn)椋?，則，，所以．故．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對(duì)于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡(jiǎn)化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法三：由化簡(jiǎn)得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯(cuò)位相減法解出，該法也是此類經(jīng)典題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過程簡(jiǎn)單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時(shí)，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項(xiàng)公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可，其中數(shù)列的前項(xiàng)和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡(jiǎn)化了運(yùn)算．8．答案：

5

【解析】（1）由對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對(duì)著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；故對(duì)折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；（2）由于每次對(duì)著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對(duì)著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)為120,第n次對(duì)折后的圖形面積為，對(duì)于第n此對(duì)折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，設(shè)，則，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.考向27數(shù)列求和經(jīng)典題型歸納經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法經(jīng)典題型二：公式法經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法經(jīng)典題型四：分組求和法經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法經(jīng)典題型六：倒序相加法經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和(2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴(2023·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【解析】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)椋?，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．（3）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．常見的裂項(xiàng)技巧積累裂項(xiàng)模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項(xiàng)模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項(xiàng)模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項(xiàng)模型4：對(duì)數(shù)型積累裂項(xiàng)模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則積累裂項(xiàng)模型6：階乘（1）（2）常見放縮公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．經(jīng)典題型一：通項(xiàng)分析法1．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））數(shù)列，，，，，，的前項(xiàng)和的值等于_____________答案：【解析】依題意，易得該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，；故答案為：.2．(2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，時(shí)滿足．為前n項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【解析】（1）由，得，即，由是單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，得，則，即，故是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，即.（2）要證：，只需證：，即證：，即證：，即證：，即證：，即證：，而此不等式顯然成立，所以成立.3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求和．【解析】∵，∴．4．?dāng)?shù)列9，99，999，的前項(xiàng)和為A． B． C． D．【解析】解數(shù)列通項(xiàng)，．故選：．經(jīng)典題型二：公式法5．已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項(xiàng)公式為．（2）由得，是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列．．6．如圖，從點(diǎn)做軸的垂線交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，再?gòu)淖鲚S的垂線交曲線于點(diǎn)，依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：，；，；，，記點(diǎn)的坐標(biāo)為，，2，，．（Ⅰ）試求與的關(guān)系；（Ⅱ）求．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)，，由得點(diǎn)處切線方程為由得．（Ⅱ），，得，經(jīng)典題型三：錯(cuò)位相減法7．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列為等差數(shù)列，且.(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)記，求的前項(xiàng)和為.【解析】（1）時(shí)，，又，所以是首項(xiàng)是1，公比是的等比數(shù)列，所以；設(shè)的公差為，則由，得.（2）由（1）知，所以，所以.8．(2023·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，①，②，由①②，得，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.（2），則，所以，，上述兩個(gè)等式作差可得，所以，.9．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））在①；②；③，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題的橫線處，并解答．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，______．(1)；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】（1）選①，由得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以．選②，由得，作差得，符合上式，所以．選③，由得作差得，即，即，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以．（2），所以．設(shè)，，，，作差得，化簡(jiǎn)得，所以．10．(2023·湖北·應(yīng)城市第一高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）在數(shù)列中，，其中.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；【解析】（1）因?yàn)?，所以，，所以?shù)列是以1為公差，1為首項(xiàng)的等差數(shù)列；（2）由（1）可得，所以，所以①，②，所以①-②得，所以經(jīng)典題型四：分組求和法11．(2023·河南省杞縣高中高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列滿足，設(shè).(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求.【解析】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則從而由，得，又，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以12．(2023·廣東·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)的和.【解析】（1）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為－1的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；（2）.13．(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試（文））已知公差不為0的等差數(shù)列滿足．若，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】（1）假設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以的通?xiàng)公式為；（2）因?yàn)?，所?4．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））已知等比數(shù)列的公比大于1，，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，解之得或（舍去），由得，，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，所以的前項(xiàng)和為15．(2023·河南·高三開學(xué)考試（理））已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等差數(shù)列的公差為，且，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，且，，所以，解得，

所以綜上，．（2）由（1）得：

所以

．經(jīng)典題型五：裂項(xiàng)相消法16．(2023·安徽·蕪湖一中模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)若，證明：．【解析】（1）由，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，∴，∴，當(dāng)時(shí)，滿足，故對(duì)．（2）證明：，故，故17．(2023·黑龍江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，滿足，且，，1成等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：.【解析】（1）由題意得，則，∴數(shù)列為等差數(shù)列．又，∴，即數(shù)列的公差為1，∴，即．（2）由已知得，∴．18．(2023·浙江·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，令，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則，由題意可得：解得：∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由(1)，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前2022項(xiàng)和19．(2023·云南·昆明一中高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求.【解析】（1），，兩式作差得:，，成等差數(shù)列，又當(dāng)時(shí)，，所以即（2）由（1）知，則，即，故

.20．(2023·安徽·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足且，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【解析】（1）因?yàn)?，所以，兩式相減得，當(dāng)時(shí)，，又，所以，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）證明：，所以，由，得，所以，綜上，.21．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∵，∴.當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得即∴數(shù)列，均為公比為4的等比數(shù)列∴，∴（2）∵∴數(shù)列的前項(xiàng)和22．(2023·河南·高三開學(xué)考試（文））已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是與的等比中項(xiàng)，且.若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因?yàn)閿?shù)列是遞增的等差數(shù)列，所以數(shù)列的公差.由題意得即解得或（舍去）.所以.所以.所以故選：A.經(jīng)典題型六：倒序相加法23．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子，19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若，則的前n項(xiàng)和_________．答案：【解析】由得，，由，得，故，故，所以，則，兩式相減得：故，故答案為：24．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項(xiàng)和______．答案：【解析】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故答案為：.25．(2023·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成;因此，此方法也稱之為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因?yàn)椋?，?又，兩式相加得：，解得，故選：B26．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中，記，則（

）A． B．C． D．答案：A【解析】，∴，，∴，故選：A．經(jīng)典題型七：并項(xiàng)求和27．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列滿足，前16項(xiàng)和為540，則__．答案：-2【解析】因?yàn)閿?shù)列滿足，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，，，，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，，，，，，，故，，，，，，，因?yàn)榍?6項(xiàng)和為540，所以，所以，解得．故答案為：．28．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，則數(shù)列{ancosnπ}的前2020項(xiàng)的和為（

）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020答案：D【解析】設(shè)的公差為d，則有，解得，∴，設(shè)，則，，…，∴數(shù)列的前2020項(xiàng)的和．故選：D29．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為()，其前項(xiàng)和為，則_______.答案：【解析】，∴.故答案為：30．(2023·江蘇·高郵市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（

）A．0 B．1010 C．2020 D．2024答案：C【解析】由，，令，可得，，兩式相加可得，，，兩式相加，進(jìn)行推論歸納可得，，所以數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為．故選：C.31．(2023·河北唐山·一模）已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求的值；（2）求的最大值.【解析】（1）由可得當(dāng)時(shí)，

（?。┧裕?，…，，因此.（2）當(dāng)時(shí)，

（ⅱ），（ⅰ）式減去（ⅱ）式得，又，于是，可得；當(dāng)時(shí)，；又，則時(shí)，；又，時(shí)，；因此時(shí)，取得最大值，且.經(jīng)典題型八：先放縮后裂項(xiàng)求和32．(2023·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，(1)求和(2)求證：．【解析】（1）時(shí)，，時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以，（2）當(dāng)時(shí)，，原式成立．當(dāng)時(shí)，所以．33．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列前項(xiàng)和為滿足，.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：.【解析】（1）由，得，兩式相減，得.由，，得，所以，，即數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，從而有.（2）證明：由（1）知，從而，所以，當(dāng)時(shí)，，從而有；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.綜上有成立.34．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求證:.【解析】，經(jīng)典題型九：分段數(shù)列求和35．(2023·湖南·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前14項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.(2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，.所以數(shù)列的前14項(xiàng)和為.36．(2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，(1)令，求，及的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【解析】(1)由題意得，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，，又，所以是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）知，所以，所以.37．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)，且時(shí)，，顯然滿足；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，所以（2）．38．(2023·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，即經(jīng)典題型十：含絕對(duì)值、取整、取小數(shù)等數(shù)列求和39．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記的前項(xiàng)和為，求.【解析】(1)，或，為正項(xiàng)數(shù)列，；(2)，是周期為12的周期數(shù)列，，，，，，，，，，，，.40．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且，正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，由，得，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，即41．(2023·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．【解析】（1）∵；∵，∴兩式相減可得，又，∴.（2）由（1）知：，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為．42．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則的前100項(xiàng)和為（

）A．67 B．68 C．134 D．167答案：B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列的項(xiàng)依次為2，1，1，0，1，1，0，…，所以從第2項(xiàng)起，3項(xiàng)一個(gè)循環(huán)，所以的前100項(xiàng)的和為，故選：B．43．(2023·上海中學(xué)高三期中）已知數(shù)列滿足且，則的最小值是___________．答案：【解析】由得：，，，…，，，，累加得，，，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)；為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)；則為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值．當(dāng)數(shù)列滿足，（且為偶數(shù)），（且為奇數(shù)）時(shí)，符合條件.故答案為：44．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，在數(shù)列中，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則___________.答案：4956【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，.故答案為：45．(2023·浙江·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.答案：【解析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：經(jīng)典題型十一：數(shù)列插項(xiàng)求和46．(2023·廣東廣州·高三開學(xué)考試）已知集合，，將A與B中的所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列）為1，3，3，5，7，9，9，11，….,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.(1)若，求m的值；(2)求的值.【解析】（1）因?yàn)椋詳?shù)列中前項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，共有14項(xiàng)，數(shù)列中前項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，共有3項(xiàng)，排列后為1，3,3,，5，7，9，9，…，27，27，29，…，所以或17.（2）因?yàn)?，，，所以?shù)列中前50項(xiàng)中含有B中的元素為3，9，27，81共有4項(xiàng)，它們都是正奇數(shù)，均屬于A，所以數(shù)列中前50項(xiàng)中含有A中的元素為1，3，5，7，9，…，27，29，…，79，81，83，…，，共有46項(xiàng)，所以.47．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為，，現(xiàn)從數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后，將余下的項(xiàng)按照從小到大的順序進(jìn)行排列，得到新的數(shù)列，則數(shù)列的前150項(xiàng)之和為（

）A．23804 B．23946 C．24100 D．24612答案：D【解析】因?yàn)?，，，故?shù)列的前項(xiàng)中包含的前項(xiàng)，故數(shù)列的前150項(xiàng)包含的前項(xiàng)排除與公共的8項(xiàng).記數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，故選：D.48．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“提丟斯數(shù)列”，是由世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家提丟斯給出，具體如下：，，，，，，，，，容易發(fā)現(xiàn)，從第項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍；將每一項(xiàng)加上得到一個(gè)數(shù)列：，，，，，，，，；再將每一項(xiàng)除以后得到：“提丟斯數(shù)列”：，，，，，，，，則下列說法中，正確的是（

）A．“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列 B．“提丟斯數(shù)列”的第項(xiàng)為C．“提丟斯數(shù)列”前項(xiàng)和為 D．“提丟斯數(shù)列”中，不超過的有項(xiàng)答案：C【解析】記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，符合該式；當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，A故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”的第項(xiàng)為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：“提丟斯數(shù)列”前項(xiàng)和為：，故C正確；D選項(xiàng)：由，得，成立；時(shí)，，即，解得，“提丟斯數(shù)列”中，不超過的有項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：C經(jīng)典題型十二：數(shù)列奇偶項(xiàng)求和49．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列是公差大于零的等差數(shù)列，已知，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，又，解得或，，，.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故是以2為周期的周期數(shù)列，且，.50．(2023·廣東佛山·三模）設(shè)各項(xiàng)非零的數(shù)列的前項(xiàng)和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當(dāng)時(shí)，，所以有化簡(jiǎn)得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列所以(2)由(1)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，①當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，②當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，綜上所述：51．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】（1）因?yàn)?，所以，又，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.故，即.（2）由（1）得，則，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，，綜上所述，52．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【解析】（1）證明：因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，即，則.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則，綜上所述，.53．(2023·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則數(shù)列的前7項(xiàng)和為________.答案：【解析】∵，∴時(shí)，，即，，由已知，當(dāng)時(shí)，(*)，(*)式中為偶數(shù)時(shí)，，，此時(shí)為奇數(shù)，∴為奇數(shù)時(shí)即時(shí)，；(*)式中為奇數(shù)時(shí)，，，即，此時(shí)為偶數(shù)，∴為偶數(shù)即時(shí)，，∴，由，得為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，∴數(shù)列的前7項(xiàng)和為．故答案為：．1．（2023·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)椋?，．由，即根?jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由裂項(xiàng)求和法得：所以，即．故選：A．2．（2023·江蘇·高考真題）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．答案：【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過對(duì)比系數(shù)可知，故.故答案為：3．(2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于