高考數(shù)學(xué)微專(zhuān)題集第04節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的命題點(diǎn)預(yù)測(cè)(原卷版+解析)

第04節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的命題點(diǎn)預(yù)測(cè)第四節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的命題點(diǎn)預(yù)測(cè)1．利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)主要是指單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等，利用導(dǎo)數(shù)研究這些性質(zhì)的途徑如下．1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增（或遞減），則（或）．2）可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．3）當(dāng)為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，函數(shù)取得最大或最小值，此時(shí)函數(shù)在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處的切線斜率為0，即．例1設(shè)函數(shù)，則（）．A．的最大值為C．在單調(diào)遞增D．在單調(diào)遞減解析對(duì)于A，，A正確．對(duì)于B，令，則，由，得，整理得，解得．，所以，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，易知，令，則在上單調(diào)遞減，且，所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，D正確．綜上，選A，D．點(diǎn)評(píng)本題考查三角函數(shù)的恒等變換、周期、最單調(diào)性等性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．考查的知識(shí)容量大；需要考生掌握三角函數(shù)的恒等變換，熟練運(yùn)用設(shè)參、三角函數(shù)的有界性、求導(dǎo)、函數(shù)零點(diǎn)判斷等知識(shí)與方法進(jìn)行求解，考查的能力素養(yǎng)較全面．2利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的最值要求三角函數(shù)的最值通常利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值．例2已知三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，且成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)________，最大值為_(kāi)______．解析因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，由正弦定理得．由余弦定理得．由基本不等式得，所以．由B是的內(nèi)角知，所以．記，則．令，解得，由于，故．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，即．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即．因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且；當(dāng)時(shí)，取得最小值，且．綜上所述，的最小值為，最大值為．點(diǎn)評(píng)該解法首先利用正弦定理、余弦定理、基本不等式求得角B的范圍，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的滲透與應(yīng)用．3利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的極值點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，常結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時(shí)，要緊扣極值點(diǎn)的概念進(jìn)行求解，即函數(shù)在處滿足，若導(dǎo)函數(shù)的值在該點(diǎn)附近符合“左正右負(fù)”，則是極大值點(diǎn)；若符合“左負(fù)右正”，則是極小值點(diǎn)．例3已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù)．證明：在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)．解析的定義域?yàn)?，因?yàn)椋裕?，則．在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，且，，所以，使得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點(diǎn)．綜上所述，在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而證得結(jié)論．4借助導(dǎo)數(shù)討論三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常要使用零點(diǎn)存在定理，證明在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．例4已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù)．證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．解析由題意知的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，由例3可知在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減．又，所以為在上的唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)．又，所以，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，所以在上恒成立，從而在上不存在零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．又，所以在上存在唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上不存在零點(diǎn)．綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題．解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，同時(shí)，要利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可．5利用導(dǎo)數(shù)研究三角不等式問(wèn)題例5已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求a的值．解析（1）．當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，而，所以．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，，則．（2）由已知條件得．設(shè)，所以．由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，．若，則，故存在唯一，使得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，所以．若，故存在唯一，使得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，所以．若．若，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，故；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以．綜上，．點(diǎn)評(píng)本題是三角不等式問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的交會(huì)問(wèn)題，在分類(lèi)討論的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值，充分考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．6導(dǎo)數(shù)與三角結(jié)合的綜合問(wèn)題例61．已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.點(diǎn)評(píng)本題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的綜合問(wèn)題，考查了變換、放縮等解題技巧及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)第04節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的命題點(diǎn)預(yù)測(cè)第四節(jié)三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的命題點(diǎn)預(yù)測(cè)1．利用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)主要是指單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱(chēng)性等，利用導(dǎo)數(shù)研究這些性質(zhì)的途徑如下．1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增（或遞減），則（或）．2）可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．3）當(dāng)為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，函數(shù)取得最大或最小值，此時(shí)函數(shù)在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處的切線斜率為0，即．例1設(shè)函數(shù)，則（）．A．的最大值為C．在單調(diào)遞增D．在單調(diào)遞減解析對(duì)于A，，A正確．對(duì)于B，令，則，由，得，整理得，解得．，所以，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，易知，令，則在上單調(diào)遞減，且，所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，D正確．綜上，選A，D．點(diǎn)評(píng)本題考查三角函數(shù)的恒等變換、周期、最單調(diào)性等性質(zhì)及函數(shù)零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．考查的知識(shí)容量大；需要考生掌握三角函數(shù)的恒等變換，熟練運(yùn)用設(shè)參、三角函數(shù)的有界性、求導(dǎo)、函數(shù)零點(diǎn)判斷等知識(shí)與方法進(jìn)行求解，考查的能力素養(yǎng)較全面．2利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的最值要求三角函數(shù)的最值通常利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值．例2已知三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，且成等差數(shù)列，則的最小值為_(kāi)________，最大值為_(kāi)______．解析因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，由正弦定理得．由余弦定理得．由基本不等式得，所以．由B是的內(nèi)角知，所以．記，則．令，解得，由于，故．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故，即．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即．因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且；當(dāng)時(shí)，取得最小值，且．綜上所述，的最小值為，最大值為．點(diǎn)評(píng)該解法首先利用正弦定理、余弦定理、基本不等式求得角B的范圍，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的滲透與應(yīng)用．3利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的極值點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求三角函數(shù)的極值點(diǎn)問(wèn)題，常結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，同時(shí)，要緊扣極值點(diǎn)的概念進(jìn)行求解，即函數(shù)在處滿足，若導(dǎo)函數(shù)的值在該點(diǎn)附近符合“左正右負(fù)”，則是極大值點(diǎn)；若符合“左負(fù)右正”，則是極小值點(diǎn)．例3已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù)．證明：在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)．解析的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以．令，則．在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，且，，所以，使得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點(diǎn)．綜上所述，在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)求得導(dǎo)函數(shù)后，可判斷出導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷出，使得，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在上的單調(diào)性，從而證得結(jié)論．4借助導(dǎo)數(shù)討論三角函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常要使用零點(diǎn)存在定理，證明在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．例4已知函數(shù)為的導(dǎo)數(shù)．證明：有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．解析由題意知的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，由例3可知在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞減．又，所以為在上的唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn)．又，所以，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，所以在上恒成立，從而在上不存在零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．又，所以在上存在唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，所以，即在上不存在零點(diǎn)．綜上所述，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題．解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用零點(diǎn)存在定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，同時(shí)，要利用函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可．5利用導(dǎo)數(shù)研究三角不等式問(wèn)題例5已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求a的值．解析（1）．當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，而，所以．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，，則．（2）由已知條件得．設(shè)，所以．由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，．若，則，故存在唯一，使得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，所以．若，故存在唯一，使得．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，而，所以．若．若，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又，故；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，所以．綜上，．點(diǎn)評(píng)本題是三角不等式問(wèn)題與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的交會(huì)問(wèn)題，在分類(lèi)討論的基礎(chǔ)上，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值，充分考查了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．6導(dǎo)數(shù)與三角結(jié)合的綜合問(wèn)題例61．已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.點(diǎn)評(píng)本題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的綜合問(wèn)題，考查了變換、放縮等解題技巧及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)參考答案：1．（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.分析：(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定其在各個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)[方法一]由題意將所給的式子進(jìn)行變形，利用四元基本不等式即可證得題中的不等式；(3)[方法一]將所給的式子進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法由四元均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立．所以．[方法二]：構(gòu)造新函數(shù)+齊次化方法因?yàn)?，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值．求導(dǎo)得，令，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的最大值為，故．[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行證明注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：利用(2)的結(jié)論由于，所以．[方法二]：數(shù)學(xué)歸納法+放縮當(dāng)時(shí)，，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)原式成立，即．那么，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)不等式也成立．綜上所述，不等式對(duì)所有的都成立．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：基本不等式