屆高中數(shù)學競賽教案講義 立體幾何

第十二章立體幾何

一、基礎知識

公理1一條直線。上如果有兩個不同的點在平面。內.則這條直線在這個

平面內，記作：aua.

公理2兩個平面如果有一個公共點，則有且只有一條通過這個點的公共直

線，即若P￡aGB,則存在唯一的直線m,使得aAB=m,且P￡m。

公理3過不在同一條直線上的三個點有且只有一個平面。即不共線的三點

確定一個平面.

推論1直線與直線外一點確定一個平面.

推論2兩條相交直線確定一個平面.

推論3兩條平行直線確定一個平面.

公理4在空間內，平行于同一直線的兩條直線平行.

定義1異面直線及成角：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直

線.過空間任意一點分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，

不超過90°的角叫做兩條異面直線成角.與兩條異面直線都垂直相交的直線

叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長度叫做兩條

異面直線之間的距離.

定義2直線與平面的位置關系有兩種；直線在平面內和直線在平面外.直

線與平面相交和直線與平面平行（直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平

行）統(tǒng)稱直線在平面外.

定義3直線與平面垂直：如果直線與平面內的每一條直線都垂直，則直線

與這個平面垂直.

定理1如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直,則直線與平面垂直.

定理2兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行.

定理3若兩條平行線中的一條與一個平面垂直，則另一條也和這個平面垂

直.

定理4平面外一點到平面的垂線段的長度叫做點到平面的距離，若一條直

線與平面平行，則直線上每一點到平面的距離都相等，這個距離叫做直線與

平面的距離.

定義5一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線.由斜線上每

一點向平面引垂線，垂足叫這個點在平面上的射影.所有這樣的射影在一條

直線上，這條直線叫做斜線在平面內的射影.斜線與它的射影所成的銳角叫

做斜線與平面所成的角.

結論1斜線與平面成角是斜線與平面內所有直線成角中最小的角.

定理4（三垂線定理）若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內的射影,

c為平面a內的一條直線，若cj_b,則c_La.逆定理：若c_La,則c_Lb.

定理5直線d是平面a外一條直線，若它與平面內一條直線b平行，則它

與平面a平行

定理6若直線。與平面a平行，平面B經過直線a且與平面a交于直線6,

則a

定理9平面a與平面B平行，平面yAa=a,丫GB=b，則a,定理10如

果一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

定理11如果兩個平面垂直，過第一個平面內的一點作另一個平面的垂線

在第一個平面內.

定理12如果兩個平面垂直，過第一個子面內的一點作交線的垂線與另一

個平面垂直.

定義8有兩個面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個平

行四邊形的公共邊（稱為側棱）都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱

柱.兩個互相平行的面叫做底面.如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體;

側棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.底

面是矩形的直棱柱叫做長方體.棱長都相等的正四棱柱叫正方體.

定義9有一個面是多邊形（這個面稱為底面），其余各面是一個有公共頂點

的三角形的多面體叫棱錐.底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中

心的棱錐叫正棱錐.

定理13（凸多面體的歐拉定理）設多面體的頂點數(shù)為V,棱數(shù)為E,面數(shù)為

F,則

V+F-E=2.

定義10空間中到一個定點的距離等于定長的點的軌跡是一個球面.球面

所圍成的幾何體叫做球.定長叫做球的半徑，定點叫做球心.

定理14如果球心到平面的距離d小于半徑R,那么平面與球相交所得的截

面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直.設截面半徑為r,則d2+r2=R2.過

球心的截面圓周叫做球大圓.經過球面兩點的球大圓夾在兩點間劣弧的長度

叫兩點間球面距離.

定義11（經度和緯度）用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四

周叫做緯線.緯線上任意一點與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點的

緯度.用經過南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周（以兩極為端

點）叫做經線，經線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫

做經度，根據(jù)位置不同又分東經和西經.

定理15（祖原理）夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩

個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾

何體的體積相等.

定理16（三面角定理）從空間一點出發(fā)的不在同一個平面內的三條射線共

組成三個角.其中任意兩個角之和大于另一個，三個角之和小于360°.

定理17（面積公式）若一個球的半徑為R,則它的表面積為S球面=4五片。

若一個圓錐的母線長為1,底面半徑為r,則它的側面積S十nrl.

定理18（體積公式）半徑為R的球的體積為V球=9成若棱柱（或圓柱）

3

的底面積為s,高h,則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s,

高為h,則它的體積為V=1就.

3

定理19四面體ABCD中，記NBDC=a,ZADC=0,ZADB=y,ZBAC=A,

ZABC=B,ZACB=CODHj"平面ABC于H。

（1）射影定理：SAABD?COS?=SAABH,其中二面角D—AB—H為中。

（2）正弦定理：吆=強2=皿.

sinAsinBsinC

（3）余弦定理：cosa=cosBcosy+sinBsinYcosA.

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosa.

（4）四面體的體積公式V=』DH?SAABC

3

二—abcyjl-cos26Z-cos2/7-cos2/+2cosacos/?cos/

6''''

=-aadsin（p（其中d是a1，a之間的距離，。是它們的夾角）

6l

=—SA?ScD?sin0（其中0為二面角B—AD—C的平面角）。

3aMDiA

二、方法與例題

1.公理的應用。

例1直線a,b,c都與直線d相交，且a.CC5Al11

5.二面角問題。

例10設S為平面ABC外一點，ZASB=45°,ZCSB=60°,二面角A—SB—C為

直角二面角，求NASC的余弦值。

例11已知直角AABC的兩條直角邊AC=2,BC=3,P為斜邊AB上一點，沿

CP將此三角形折成直二面角A—CP—B,當AB=近時，求二面角P—AC—B

的大小。

6.距離問題。

例12正方體ABCD—ABCD的棱長為a,求對角線AC與BG的距離。

例13在三棱維S—ABC中，底面是邊長為4痣的正三角形，棱SC的長為2,

且垂直于底面，E,D分別是BC,AB的中點，求CD與SE間的距離。

［分析］取BD中點F,則EF2石

注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、

射影法，請讀者在解題中認真總結。

三、基礎訓練題

1.正三角形ABC的邊長為4,到A,B,C的距離都是1的平面有

個.

2.空間中有四個點E,F,G,H,命題甲：E,F,G,H不共面；命題乙：直

線EF和GH不相交，則甲是乙的條件。

3.動點P從棱長為a的正方體的一個頂點出發(fā)，沿棱運動，每條棱至多經

過一次，則點P運動的最大距離為o

4.正方體ABCD—ABCD中，E,F分別是面ADDA、面ABCD的中心,G為棱

CG中點，直線CE,GF與AB所成的角分別是a,6。則a+8=。

5.若a,b為兩條異面直線，過空間一點。與a,b都平行的平面有

個。

6.CD是直角△ABC斜邊AB上的高，BD=2AD,將△ACD繞CD旋轉使二面角A

—CD—B為60°,則異面直線AC與BD所成的角為。

7.已知PAL平面ABC,AB是。。的直徑，C是圓周上一點且AC='AB,則二

2

面角A—PC—B的大小為o

8.平面a上有一個△ABC,ZABC=105°,AC=2(V6+V2),平面a兩側各有一

點S,T,使得SA=SB=SC=JZT,TA=TB=TC=5,則ST=.

9.在三棱錐S—ABC中，SA_L底面ABC,二面角A—SB—C為直二面角，若N

BSC=45°,SB=a,則經過A,B,C,S的球的半徑為.

10.空間某點到棱長為1的正四面體頂點距離之和的最小值為

11.異面直線a,b滿足aS；=S：+S；+S￡.￡_LCCCC￡C2￡2.空間四邊形

PC1

ABCD中，AD=1,BC=73,且AD_LBC,BD=—,AC=—,則AC與BD所成的

22

角為.

3.平面a_L平面B,an8=直線AB,點CWa,點D6B,ZBAC=45°,Z

BAD=60°,且CD_LAB,則直線AB與平面ACD所成的角為.

4.單位正方體ABCD—ABCD中，二面角A—BDLBI大小為.

5.如圖12-13所示，平行四邊形ABCD的頂點A在二面角a—MN—0的棱

MN上，點B,C,D都在a上，且AB=2AD,ZDAN=45°,ZBAD=60°,若QABCD

在半平面B上射影為為菜，則二面角a—MN—6=.

6.已知異面直線a,b成角為8,點M,A在a上，點N,B在b上，MN為公

垂線，且MN=d,MA=m,NB=n。則AB的長度為.

7.已知正三棱錐S—ABC側棱長為4,ZASB=45°,過點A作截面與側棱SB,

SC分別交于M,N,則截面AAMN周長的最小值為.

8.L與h為兩條異面直線，L上兩點A,B到h的距離分別為a,b,二面角

A-1-B大小為0,則L與k之間的距離為.

9.在半徑為R的球0上一點P引三條兩兩垂直的弦PA,PB,PC,則

PA2+PB2+PC2=.

10.過AABC的頂點向平面a引垂線AA”BB,,CC”點A-B,,Gea,則

NBAC與NBAG的大小關系是.

11.三棱錐A—BCD中NACB=NADB=90°,ZABC=60°,ZBAD=45°,二面角A

—CD—B為直角二面角。（1）求直線AC與平面ABD所成的角；（2）若M為

BC中點，E為BD中點，求AM與CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。

12.四棱錐P—ABCD底面是邊長為4的正方形，PD，底面ABCD,PD=6,M,N

分別是PB,AB的中點，（1）求二面角M—DN—C的大小；（2）求異面直線

CD與MN的距離。

13.三棱錐S—ABC中，側棱SA,SB,SC兩兩互相垂直，M為△ABC的重心，

D為AB中點，作與SC平行的直線DP,證明：（1）DP與SM相交；（2）設DP

與SM的交點為。，則。為三棱錐S—ABC外接球球心。

五、聯(lián)賽一試水平訓練題

1.現(xiàn)有邊長分別為3,4,5的三角形兩個，邊長分別為4,5,歷的三角

形四個，邊長分別為*后，4,5的三角形六個，用上述三角形為面，可以

6

拼成個四面體。

2.一個六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形,

這兩個多面體的內切球的半徑之比是一個既約分數(shù)%,那么mn=。

n

3.已知三個平面a,B,丫每兩個平面之間的夾角都是且

aDQ=a,/Dy="7na=c,命題甲：6>g；命題乙：a,b,c相交于一點。

則甲是乙的條件。

4.棱錐M—ABCD的底面是正方形，且MA_LAB,如果△AMD的面積為1,則能

放入這個棱錐的最大球的半徑為.

5.將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角

都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長為2,則最遠兩個頂點間距離為

6.空間三條直線a,b.c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有

條。

7.一個球與正四面體的六條棱都相切，正四面體棱長為a,這個球的體積

為O

8.由曲線x2=4y,x'-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉一周所得旋轉體的

體積為V.,滿足x2+y2^16,x2+(y-2)2^4,x2+(y+2)2^4的點(x,y)組成的圖形

繞y軸旋轉一周所得旋轉體的體積為V2,則k=o

匕

9.頂點為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓圍上的點，B是

底面圓內的點，。為底面圓圓心，AB10B,垂足為B,0H1PB,垂足為H,且

PA=4,C為PA的中點，則當三棱錐C—HPC體積最大時，0B=。

10.無為，灰是三個互相垂直的單位向量，n是過點0的一個平面，

分別是A,B,C在五上的射影，對任意的平面-由OAZ+OB'+OC?構成的

集合為。

11.設空間被分為5個不交的非空集合，證明：一定有一個平