2022年河北省衡水中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

第第頁2022年河北省衡水中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。3、非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|log2x＜1}，則A∩B＝（）A．（0，3） B．（1，2） C．（﹣∞，3） D．（0，2）2．（5分）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種 C．60種 D．30種3．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都相等，M為A1C1的中點(diǎn)，則AM與BC1所成角的余弦值為（）A．104 B．53 C．644．（5分）已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP→=4FQ→A．72 B．3 C．525．（5分）已知圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，點(diǎn)P在直線y＝x+3上．線段AB為圓C的直徑，則PA→?PBA．2 B．52 C．3 D．6．（5分）如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）A．10300 B．10400 C．10500 D．106007．（5分）已知f（x）是偶函數(shù)，且對任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．設(shè)a＝f（32A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b8．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，過點(diǎn)A的直線l與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q，直線QF與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若AQ→?A．2 B．5-1 C．5 D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。（多選）9．（5分）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S17＝S18，則下列各式的值為0的是（）A．a(chǎn)17 B．S35 C．a(chǎn)17﹣a19 D．S19﹣S16（多選）10．（5分）函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π3個(gè)單位長度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象B．f（x）的圖象的一條對稱軸可能為直線x=-πC．f（x）在區(qū)間[17π6，23π6D．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（4π3（多選）11．（5分）黃金分割是一種數(shù)學(xué)上的比例，是自然的數(shù)美．黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．應(yīng)用時(shí)一般取0.618．將離心率為黃金比5-12的倒數(shù)，即e0=5+12的雙曲線稱為黃金雙曲線，若aA．當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2B．若雙曲線的弦EF的中點(diǎn)為M，則kEF?kOM＝﹣e0 C．a(chǎn)，b，c成等比數(shù)列 D．雙曲線的右頂點(diǎn)A（a，0），上頂點(diǎn)B（0，b）和左焦點(diǎn)F（﹣c，0）構(gòu)成的△ABF是直角三角形（多選）12．（5分）函數(shù)f（x）＝ekx?lnx（k為常數(shù)）的圖象可能是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若正實(shí)數(shù)a，b滿足1a+2b=14．（5分）如圖，在△ABC中，cosC=3sinB，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥AC，AD＝2，則AB的長為15．（5分）某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是．16．（5分）將兩個(gè)一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長為，該組合體的外接球的體積為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)f(x)=2cosω2xsin(（1）求f（x）在區(qū)間[-π（2）若f(θ2)=-35請從①若|f（x）1﹣f（x2）|＝2，|x1﹣x2|的最小值為π2；②f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為π2；③若f（x1）＝f（x2）＝0，|x1﹣x2|的最小值為18．（12分）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+3Sn＝3Sn+1+anan+1+1．（1）求證：數(shù)列{1a（2）記數(shù)列{（a3n﹣2+1）（a3n+1+1）}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．19．（12分）雙曲線x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2（1）直線l的傾斜角為π2，△F1AB（2）設(shè)b=3，若l的斜率存在，且（F1A→+20．（12分）如圖，矩形ABCD和梯形ABEF所在的平面垂直，BE∥AF，∠BEF＝90°，∠BAF＝30°，BF＝2，AF＝4．（1）求證：BF⊥面ABCD；（2）若直線AC與平面ABEF所成的角等于30°，求鈍二面角D﹣CF﹣E的余弦值．21．（12分）設(shè)點(diǎn)P為圓C1：x2+y2＝2上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q．點(diǎn)M滿足2MQ（1）求點(diǎn)M的軌跡C2的方程．（2）過直線x＝2上的點(diǎn)T作圓C1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB與（1）中的曲線C2交于兩點(diǎn)C，D．分別記△TAB，△TCD的面積為S1，S2，求S122．（12分）已知函數(shù)f（x）＝nx﹣xn，x∈R，其中n∈N?，且n≥2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線y＝f（x）與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y＝g（x），求證：對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）＝a（a為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1，x2，求證：|x2﹣x1|＜a

2022年河北省衡水中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|log2x＜1}，則A∩B＝（）A．（0，3） B．（1，2） C．（﹣∞，3） D．（0，2）【解答】解：∵A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝（1，2）．故選：B．2．（5分）6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種 C．60種 D．30種【解答】解：因?yàn)槊棵瑢W(xué)只去1個(gè)場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，甲場館從6人中挑一人有：?6乙場館從余下的5人中挑2人有：?5余下的3人去丙場館；故共有：6×10＝60種安排方法；故選：C．3．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都相等，M為A1C1的中點(diǎn)，則AM與BC1所成角的余弦值為（）A．104 B．53 C．64【解答】解：以A為原點(diǎn)，在平面ABC中過A作AC的垂線為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都為2，A（0，0，0），M（0，1，2），B（3，1，0），C1（0，2，2），AM→=（0，1，2），BC設(shè)AM與BC1所成角為θ，則cosθ=|∴AM與BC1所成角的余弦值為104故選：A．4．（5分）已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若FP→=4FQ→A．72 B．3 C．52【解答】解：設(shè)Q到l的距離為d，則|QF|＝d，∵FP→=4∴|PQ|＝3d，∴不妨設(shè)直線PF的斜率為-22d∵F（2，0），∴直線PF的方程為y＝﹣22（x﹣2），與y2＝8x聯(lián)立可得x＝1，∴|QF|＝d＝1+2＝3，故選：B．5．（5分）已知圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，點(diǎn)P在直線y＝x+3上．線段AB為圓C的直徑，則PA→?PBA．2 B．52 C．3 D．【解答】解：PA→?=|PC由點(diǎn)P在直線y＝x+3上，點(diǎn)C位圓心，C（1，1），所以|PC→|的最小值為：點(diǎn)C則PA→?PB故選：B．6．（5分）如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3）A．10300 B．10400 C．10500 D．10600【解答】解：將數(shù)字塔中的數(shù)字改寫成指數(shù)式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好成楊輝三角，前10層的指數(shù)和為1+2+22+??+29＝210﹣1＝1023，所以原數(shù)字塔中前10層所有安數(shù)字之積為21023＝10lg21023=101023lg2＝101023×0.3故選：A．7．（5分）已知f（x）是偶函數(shù)，且對任意x1，x2∈（0，+∞），f(x1)-f(x2)x1-x2＞0．設(shè)a＝f（32A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a(chǎn)＜c＜b【解答】解：根據(jù)題意，f（x）滿足對任意x1，x2∈（0，+∞），f(x則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，又由f（x）是偶函數(shù)，則c＝f（﹣0.83）＝f（0.83），又由0.83＜1＜32＜32log33＝log則c＜a＜b；故選：B．8．（5分）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，過點(diǎn)A的直線l與C的一條漸近線交于點(diǎn)Q，直線QF與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若AQ→?A．2 B．5-1 C．5 D．【解答】解：由已知得A（a，0），設(shè)F（c，0），由AQ→?AB→=AQ→∴l(xiāng)垂直于x軸，即l：x＝a，不妨設(shè)Q在第一象限，則Q（a，b），設(shè)B（x0，y0），由BQ→=3FQ→∴（c﹣x0，﹣y0）＝2（a﹣c，b），則x0=3c-2ay0=-2b，即B（3c∵B（x0，y0）在雙曲線上，∴(3c-2a)整理得：9c2﹣12ac﹣a2＝0，即9e2﹣12e﹣1＝0，解得e=2+53故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。（多選）9．（5分）設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S17＝S18，則下列各式的值為0的是（）A．a(chǎn)17 B．S35 C．a(chǎn)17﹣a19 D．S19﹣S16【解答】解：設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，由S17＝S18，即17a1+17×162d＝18a1+得a1＝﹣17d，∴an＝（n﹣18）d，Sn=n(-17d+nd-18d)2所以a18＝0，S35＝0．a(chǎn)17﹣a19＝﹣d﹣d＝﹣2d，S19﹣S16=19×(-16)2d-故選：BD．（多選）10．（5分）函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π3個(gè)單位長度，得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象B．f（x）的圖象的一條對稱軸可能為直線x=-πC．f（x）在區(qū)間[17π6，23π6D．f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（4π3【解答】解：由圖象可知，34T＝[5π6-(-所以T＝2π，所以ω＝1，因?yàn)閳D象過點(diǎn)（5π6所以cos（5π6解得5π6+φ=2kπ（k∈由﹣π＜φ＜0，可知φ=-5π所以f（x）＝cos（x-5π對于A，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移π3個(gè)單位長度，可得y＝cos（x-5π6+π3由正弦函數(shù)為奇函數(shù)可知，A正確；對于B，因?yàn)閒（x）＝cos（x-5π6）的對稱軸方程為x-5π6=kπ，即x=5π6當(dāng)k＝﹣1時(shí)，x=-π6，故對于C，當(dāng)x∈[17π6，23π6]時(shí)，x-5π6∈[2而余弦函數(shù)在該區(qū)間不是單調(diào)遞增的，故C錯誤；對于D，令x-5π6=kπ+π2解得：x=43π+所以其對稱中心為（4π3+kπ，0）（k∈當(dāng)k＝0時(shí)可知，D正確．故選：ABD．（多選）11．（5分）黃金分割是一種數(shù)學(xué)上的比例，是自然的數(shù)美．黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值．應(yīng)用時(shí)一般取0.618．將離心率為黃金比5-12的倒數(shù)，即e0=5+12的雙曲線稱為黃金雙曲線，若aA．當(dāng)焦點(diǎn)在x軸時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2B．若雙曲線的弦EF的中點(diǎn)為M，則kEF?kOM＝﹣e0 C．a(chǎn)，b，c成等比數(shù)列 D．雙曲線的右頂點(diǎn)A（a，0），上頂點(diǎn)B（0，b）和左焦點(diǎn)F（﹣c，0）構(gòu)成的△ABF是直角三角形【解答】解：對于A，若雙曲線為黃金雙曲線，則離心率為e0又e0所以b2所以黃金雙曲線的方程為x2a2對于B，由A可知，黃金雙曲線的方程為x2設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），線段EF的中點(diǎn)M（x0，y0），則x1兩式相減得x1所以x1即x0即1a所以1a2-kOM?1e0a2?對于C，因?yàn)閎2所以b2＝ac，所以a，b，c成等比數(shù)列，故C正確；對于D，kAB所以kAB?kBF=-ba×bc故D正確；故選：ACD．（多選）12．（5分）函數(shù)f（x）＝ekx?lnx（k為常數(shù)）的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：令f（x）＝ekx?lnx＝0，解得x＝1，即函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故D不可能，f′（x）=ekxx令y＝xlnx，則y'＝lnx+1，令y'＞0，則x＞1e，即函數(shù)y在（令y'＜0，則x＜1e，即函數(shù)y在（0，∴當(dāng)x=1e時(shí)，y取得最小值，為-1e，即xlnx∈[-1e，+∞），且x→0時(shí)，故當(dāng)0≤k≤e時(shí)，f'（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，選項(xiàng)A可能，當(dāng)k＞e時(shí)，f'（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且0＜x1＜1e＜∴f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞增，在（x1，x2）上單調(diào)遞減，選項(xiàng)B可能，當(dāng)k＜0時(shí)，f'（x）存在唯一零點(diǎn)x0，且x0＞1，∴f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，選項(xiàng)C可能，故選：ABC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）若正實(shí)數(shù)a，b滿足1a+2b=ab，則【解答】解：∵正實(shí)數(shù)a，b滿足1a∴ab=1a+2∴ab≥22當(dāng)且僅當(dāng)1a=2b即a=4故答案為：22．14．（5分）如圖，在△ABC中，cosC=3sinB，點(diǎn)D在邊BC上，AD⊥AC，AD＝2，則AB的長為23【解答】解：因?yàn)锳D⊥AC，所以sin∠ADB＝sin∠ADC＝cosC，結(jié)合cosC=3sinB，故sin∠ADB=所以ABsin∠ADB=ADsinB，又因?yàn)楣蔄B的長為23．故答案為：23．15．（5分）某班上午有五節(jié)課，分別安排語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一節(jié)課，要求語文與化學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，且數(shù)學(xué)課不排第一節(jié)，則不同排課法的種數(shù)是16．【解答】解：若數(shù)學(xué)安排在第二節(jié)，則由于物理與數(shù)學(xué)不相鄰，語文與化學(xué)相鄰，所以物理安排在第五節(jié)，語文化學(xué)從3，4節(jié)中各選一節(jié)，所以有A2若數(shù)學(xué)安排在第三節(jié)，物理只能為第一或第五，若物理第一節(jié)則語文化學(xué)從4，5節(jié)選有A22，若物理第五節(jié)，則語文化學(xué)1，2節(jié)選，有若數(shù)學(xué)安排在第四節(jié)，則物理只能在1，語文化學(xué)2，3節(jié)選，有A2若數(shù)學(xué)在第五節(jié)，則物理應(yīng)從3，2，1節(jié)選，若物理為3，則語文化學(xué)從1，2節(jié)中各選一節(jié)，所以有A22種，若物理為2，則語文化學(xué)從3，4節(jié)中各選一節(jié)，所以有A22種，若物理為1，則語文化學(xué)從2，3節(jié)中或3，4節(jié)中各選一節(jié)，所以有2故答案為：16．16．（5分）將兩個(gè)一模一樣的正三棱錐共底面倒扣在一起，已知正三棱錐的側(cè)棱長為2，若該組合體有外接球，則正三棱錐的底面邊長為6，該組合體的外接球的體積為823【解答】解：如圖，連接PA交底面BCD于點(diǎn)O，則點(diǎn)O就是該組合體的外接球的球心．設(shè)三棱雉的底面邊長為a，則CO=PO=R=3得2×所以a=6所以V=4故答案為：6；四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)f(x)=2cosω2xsin(（1）求f（x）在區(qū)間[-π（2）若f(θ2)=-35請從①若|f（x）1﹣f（x2）|＝2，|x1﹣x2|的最小值為π2；②f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為π2；③若f（x1）＝f（x2）＝0，|x1﹣x2|的最小值為【解答】解：f(x)=2cosω2xsin(ω2x-π3)+32=2cosω＝sinω2xcosω2x-3cos2=12sinωx-3?1+cosωx2+（1）選擇條件①：若|f（x）1﹣f（x2）|＝2，則|x1﹣x2|的最小值為π2所以最小正周期T＝2×π2=π=所以f（x）＝sin（2x-π選擇條件②：因?yàn)閒（x）圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為π2所以最小正周期T＝2×π2=π=所以f（x）＝sin（2x-π選擇條件③：若f（x1）＝f（x2）＝0，則|x1﹣x2|的最小值為π2所以最小正周期T＝2×π2=π=所以f（x）＝sin（2x-π因?yàn)閤∈[-π6，π6]，所以2x-π3（2）因?yàn)閒(θ所以f（θ2）＝sin（2?θ2-π3）＝sin（又θ∈[-π6，5π6]，所以θ-π3∈[-所以sinθ＝sin[（θ-π3）+π3]＝sin（θ-π3）cosπ3+cos（θ18．（12分）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+3Sn＝3Sn+1+anan+1+1．（1）求證：數(shù)列{1a（2）記數(shù)列{（a3n﹣2+1）（a3n+1+1）}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn．【解答】解：（1）證明：由an+3Sn＝3Sn+1+anan+1+1，可得an＝3Sn+1﹣3Sn+anan+1+1＝3an+1+anan+1+1，即為an+1=a所以an+1+1=an-1則1a可得數(shù)列{1an+1（2）由（1）可得1an+1=12即有an+1=2所以（a3n﹣2+1）（a3n+1+1）=23n-2?23n+1則Tn=43（1-14+14-119．（12分）雙曲線x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過F2（1）直線l的傾斜角為π2，△F1AB（2）設(shè)b=3，若l的斜率存在，且（F1A→+【解答】解：（1）雙曲線x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，a＝1，c直線l過F2且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為π2，△F1AB可得：A（c，b2），可得：323b4＝4（a2+b2），即3b4﹣4b2﹣4＝0，b＞0，解得b2＝2．所求雙曲線方程為：x2-y其漸近線方程為y＝±2x．（2）b=3，雙曲線x2-y23=1，可得F設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線的斜率為：k=y直線l的方程為：y＝k（x﹣2），由題意可得：y=kx-2kx2-y23=1，消去y可得：（3﹣k2）x2+4Δ＝36（1+k2）＞0且3﹣k2≠0，可得x1+x2=4則y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝k（4k2kF1A→=（x1F1B→=（x2（F1A→+F1B→）?AB→=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）?（x1可得x1+x2+4+（y1+y2）k＝0，得4k2k2-3可得：k2=3解得k＝±155l的斜率為：±15520．（12分）如圖，矩形ABCD和梯形ABEF所在的平面垂直，BE∥AF，∠BEF＝90°，∠BAF＝30°，BF＝2，AF＝4．（1）求證：BF⊥面ABCD；（2）若直線AC與平面ABEF所成的角等于30°，求鈍二面角D﹣CF﹣E的余弦值．【解答】（1）證明：在△ABF中，由正弦定理可得BFsin∠BAF所以sin∠ABF=AF?sin∠BAF所以∠ABF＝90°，即BF⊥AB，又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，BF?平面ABEF，所以BF⊥面ABCD；（2）解：由于ABCD是矩形，所以CB⊥AB，又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，CB?平面ABCD，所以CB⊥平面ABEF，故直線AC與平面ABEF所成的角為∠BAC，所以∠BAC＝30°，因?yàn)锳B=AF2所以CB＝ABtan30°＝2，因?yàn)锽E∥AF，則∠EBF＝∠AFB，又∠BEF＝∠ABF＝90°，所以△ABF∽△FEB，所以BEBF=BFAF所以EF=B以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BF、BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz，則D(23，0，2)，C(0，0，2)，所以DC→設(shè)平面DCF的一個(gè)法向量為m=(x，y，z)由m→?DC→=0m→?DF所以m→設(shè)平面CFE的一個(gè)法向量為n→由n→?CE→=0n→所以n→所以cos＜m故鈍二面角D?CF?E的余弦值為?1021．（12分）設(shè)點(diǎn)P為圓C1：x2+y2＝2上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q．點(diǎn)M滿足2MQ（1）求點(diǎn)M的軌跡C2的方程．（2）過直線x＝2上的點(diǎn)T作圓C1的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB與（1）中的曲線C2交于兩點(diǎn)C，D．分別記△TAB，△TCD的面積為S1，S2，求S1【解答】解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由2MQ→=由于點(diǎn)P在圓C1：x2+y2故點(diǎn)M的軌跡方程為x2（2）如圖所示，設(shè)點(diǎn)T（2，t），A（x'1，y'1），B（x'2，y'2），則直線AT和BT的方程分別為x'1x+y'1y＝2，x'2x+y'2y＝2，又點(diǎn)T（2，t）在直線AT和BT上，則有2x'1+ty'1＝2①，2x'2+ty'2＝2②，由①、②可知，直線AB的方程為2x+ty＝2，設(shè)點(diǎn)C（x1，y1），D（x2，y2），則圓心O到AB的距離d=2則|AB|=2r聯(lián)立方程組2x+ty=2x22+y2=1，可得（t于是y1+y所以|CD|=1+于是|AB||CD|設(shè)t2+4＝s，則s≥4，則|AB||CD|設(shè)1s=m，則|AB||CD|設(shè)f（m）＝1+6m﹣32m3，則f'（m）＝6﹣96m2，令f'（m）＝0，可得m=1當(dāng)0＜m≤14時(shí)，f'（m）＞0，則f（m）故f（m）∈（1，2]，所以|AB||CD|的范圍為(1，2]22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝nx﹣xn，x∈R，其中n∈N?，且n≥2．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)曲線y＝f（x）與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，