3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時練習(xí)高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第1課時雙曲線的簡單幾何性質(zhì)一、必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點一](多選題)[2024山東臨沂高二統(tǒng)考期末]已知雙曲線C:x2y2=1,則下列有關(guān)雙曲線的說法正確的有()A.實軸長為1B.虛軸長為2C.離心率e=2D.漸近線方程為x±y=02.[探究點三]若雙曲線的兩個頂點將兩焦點間的線段三等分,則該雙曲線的離心率為()A.3 B.3 C.2 D.23.[探究點一][2024河南平頂山高二統(tǒng)考期末]雙曲線C:x29-y24A.2 B.5 C.3 D.44.[探究點二][2024四川成都高二校聯(lián)考期末]若雙曲線的漸近線方程為y=±3x,實軸長為2a=2,且焦點在x軸上,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2y29=1或y29x2=1 B.yC.x2y29=1 D.x295.[探究點三][2024四川達(dá)州高二統(tǒng)考期末]已知雙曲線x2a2-y2b2A.y=±3x B.y=±2xC.y=±x D.y=±226.[探究點二]過點(2,3)且與橢圓5x2+9y2=45有相同焦點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2y23=1 B.x29C.x22-y29=7.[探究點一][2024四川高二統(tǒng)考期末]若雙曲線x2y2b2=1(b>0)經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程為8.[探究點三]兩個正數(shù)a,b的和為5,積為6,且a>b,則雙曲線x2a2-y2b2=9.[探究點三]雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以坐標(biāo)原點O為圓心,以c為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一個交點為P,若三角形F1PF2的面積為10.[探究點二][2024湖南衡陽高二統(tǒng)考期末]求滿足下列條件的雙曲線的方程:(1)已知雙曲線x2a2-y2b2=1((2)已知雙曲線的實軸長為2,且與橢圓x28+二、關(guān)鍵能力提升練11.(多選題)[2024海南?？寄M預(yù)測]下列關(guān)于雙曲線y29-xA.實軸長為6B.與雙曲線4y29x2=1有相同的漸近線C.焦點到漸近線的距離為4D.與橢圓y21512.過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ,F1是另一焦點,若∠PF1Q=π2,則雙曲線的離心率等于(A.21 B.2C.2+1 D.2+213.[2024江西贛州高二校聯(lián)考階段練習(xí)]如圖所示,F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線C的右支上存在一點B滿足BF1⊥BF2,BF1與雙曲線C的左支的交點AA.±3 B.±23C.±13 D.±1514.(多選題)已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程可能為()A.x23y2=1 B.xC.y23-x212=15.(多選題)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2y2=1的左、右焦點,P是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點,且PF1·PA.雙曲線C的漸近線方程為y=±xB.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1C.點F1到雙曲線的一條漸近線的距離為1D.△PF1F2的面積為116.已知l為雙曲線C:x2a2-y2b2=1的一條漸近線,其傾斜角為π4,且C的右焦點為(2,0),則17.已知F為雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,過點F向雙曲線E的一條漸近線引垂線,垂足為A,且交另一條漸近線于點B18.[2024河南新鄉(xiāng)校考模擬預(yù)測]已知雙曲線C:x22-y2b2=1(b>0)的離心率為3,焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線C上.若△PF1F2的周長為142,求三、學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.已知F1,F2分別為雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點,雙曲線上的點P到原點的距離為b,且sin∠PF2F1=3sinA.y=±22x B.y=±3C.y=±2x D.y=±3x參考答案1.BCD由C:x2y2=1可知,a=b=1,c=2,故實軸長為2a=2,虛軸長為2b=2,離心率e=ca=2,漸近線方程為y=±bax=±x,即x±y=2.A已知雙曲線的兩個頂點將兩焦點間的線段三等分,則2a=13×2c,即ca則該雙曲線的離心率為3.故選A.3.A依題意得a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13,所以a=3,b=2,c=13,所以漸近線方程為y=±23x,右焦點為(13所以點(13,0)到漸近線2x3y=0的距離為2134+9=2.4.C設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y29=1.5.A由x2a2-y2b∵雙曲線的離心率為2,∴ca=a2∴雙曲線的漸近線方程為y=±3x.故選A.6.A橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2故4a2故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y23=1.7.y=±2x雙曲線x2y2b2=1(b>0)經(jīng)過點(3,4),則916b2=1,所以雙曲線的方程為x2y22=1,則該雙曲線的漸近線方程為y=±28.133y=±23x由a又a>b,∴a=3,b=2,∴c=13,∴e=ca漸近線方程為y=±23x9.2不妨設(shè)P為右支上一點,設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,由雙曲線的定義可得mn=2a,由題意可得△PF1F2為直角三角形,且∠F1PF2=90°,可得m2+n2=4c2,且12mn=a2由(mn)2=m2+n22mn=4c24a2=4a2,即c=2a,可得e=ca10.解(1)由e=2,得ca=2,即c=又b2=c2a2=(2a)2a2=a2,所以a=b.則雙曲線的方程為x2a2-y2a2=1,將點(2,2)的坐標(biāo)代入得所以雙曲線的方程為x22-(2)橢圓x28+y24=1的焦點為(±2,0),設(shè)雙曲線的方程為x2a且a2+b2=4,所以a=1,b2=3,所以雙曲線的方程為x2y23=11.ABD由題意得,雙曲線y29-x24=1滿足a2=9,b2=4,即雙曲線y29-x24=1的焦點在y軸上,故漸近線方程為y=±abx=±32x,而雙曲線4y29x2=1的焦點也在y軸上,故漸近線方程為雙曲線y29-x24=1的焦點為(0,±13),不妨取其中一個焦點(0,根據(jù)點到直線的距離公式,焦點到漸近線的距離為2133橢圓y215+x故D正確.故選ABD.12.C不妨設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2依題意知直線PQ所在直線方程為x=c,代入雙曲線方程得|PQ|=2b因為∠PF1Q=π2,所以|F1F2|=|PF2|,即2c=b于是2ac=b2=c2a2,所以e22e1=0,解得e=2+1或e=12(舍去).故選C.13.B設(shè)|AB|=|AF1|=x(x>0),則|BF1|=2x,由雙曲線的定義得|BF2|=2x2a,|AF2|=x+2a.又由BF1⊥BF2得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2,即(x+2a)2=x2+(2x2a)2,得x=3a,所以|BF1|=6a,|BF2|=4a.在直角三角形BF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2,即(2c)2=(6a)2+(4a)2,整理得c2=13a2,則b2=c2a2=12a2,雙曲線C的漸近線的斜率為±b2a2=±2314.ABD依題意,知漸近線與x軸的夾角為30°或60°,所以雙曲線C的漸近線方程為y=±33x或y=±3x,根據(jù)選項檢驗可知A,B,D均可能15.ACD易得雙曲線C的漸近線方程為y=±x,故A正確;由a=b=1得c=2,因此以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=2,故B錯誤;易知F1(2,0),則F1到雙曲線的一條漸近線的距離d=|-2-由PF1·PF2=0得,PF1⊥PF2,因此點P在圓x2+y2=2上,由x2+y2=2,x2-y2=1,得y2=12,故16.(2,0)x22-y22=1由題意可得c=2,即a2+b2=4,一條漸近線的斜率為k=ba=tanπ4=1,解得a=b=2,則雙曲線的右頂點為(17.233如圖所示,過F向另一條漸近線引垂線,垂足為由題意得,雙曲線的漸近線方程為y=±bax則F(c,0)到漸近線的距離d=|bc|即|FA|=|FD|=b.又|OF|=|FB|=c,∴|OA|=|OD|=a,|AB|=b+c.∵△OFB為等腰三角形,∴D為OB的中點,∴|OB|=2a.∵AB⊥OA,∴|OB|2=|OA|2+|AB|2,即4a2=a2+(b+c)2,整理得c2bc2b2=0,∴c=2b.則2a=3c,∴e=ca18.解設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,因為雙曲線C:x22-y所以ca=3,即c=3a=32又△PF1F2的周長為142,所以m+n+2c=142.由雙曲線的定義得mn=2a=22,解得m=52,n=32.由余弦定理得cos∠F1PF2=m2+n2-4c22mn=所以S△F1PF2=12mnsin∠F1PF2=1219.A由雙曲線的方程可知,雙曲線的焦點在y軸上,設(shè)F1為雙曲線的下焦點,F2為雙曲線的上焦點,過點P作PH⊥F1F2于點H(圖略).因為sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2,所以|PH||PF2|=3|PH|由雙曲線的定義可知,|PF1||PF2|=2a,所以|PF2|=a.因為雙曲線上的點P到原點O的距離為b,即|PO|=b,且|OF2|=c,所以|PF2|