7.1空間幾何體的直觀圖表面積與體積

7.1空間幾何體的直觀圖、表面積與體積課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成1.認(rèn)識(shí)柱體、錐體、臺(tái)體、球體及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)的直觀圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征通過(guò)幾何體的基本概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)斜二測(cè)畫法通過(guò)畫幾何體的直觀圖,培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)空間幾何體的側(cè)面積與表面積通過(guò)柱體、錐體、臺(tái)體、球的表面積的計(jì)算,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)空間幾何體的體積通過(guò)柱體、錐體、臺(tái)體、球的體積的計(jì)算,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論錯(cuò)誤的有().A.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱B.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C.側(cè)面是全等的等腰梯形的三棱臺(tái)是正棱臺(tái)D.棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形2.(對(duì)接教材)(多選)下列利用斜二測(cè)畫法得到的結(jié)論中,正確的有().A.三角形的直觀圖是三角形B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形C.菱形的直觀圖仍是菱形D.圓的直觀圖是圓3.(對(duì)接教材)一個(gè)直角梯形的上底、下底和高之比為2∶4∶5,將此直角梯形以垂直于底的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓臺(tái),則這個(gè)圓臺(tái)的上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為.

4.(易錯(cuò)自糾)下列三個(gè)空間圖形中棱臺(tái)的個(gè)數(shù)為().圖1圖2圖3A.0 B.1 C.2 D.35.(真題演練)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,則該棱臺(tái)的體積為.

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征典例1給出下列命題:①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱;②有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱為直棱柱;③直平行六面體是長(zhǎng)方體;④側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;⑤底面是正多邊形的棱錐是正棱錐;⑥存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體.其中正確命題的個(gè)數(shù)是().A.1 B.2 C.3 D.4解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)的問(wèn)題的技巧(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念,要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析,即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只需舉出一個(gè)反例即可.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上,解題時(shí)要注意正確利用軸截面中各元素的關(guān)系.(3)因?yàn)槔?圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的,所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí),要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.訓(xùn)練1(2023·江蘇常州?？级?(多選)如圖,透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCDA1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)了一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器以BC為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn),則().A.有水的部分始終是棱柱B.水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變C.棱A1D1始終與水面平行D.當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱CC1上(均不含端點(diǎn))時(shí),BE·BF不是定值斜二測(cè)畫法典例2已知等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A'B'C'D'的面積為.

(1)在斜二測(cè)畫法中,要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段的位置,注意“三變”與“三不變”.(2)平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關(guān)系是S直觀圖=24訓(xùn)練2水平放置的△ABC的斜二測(cè)直觀圖如圖所示,已知B'C'=4,A'C'=3,B'C'∥y'軸,則△ABC中BC邊上的中線的長(zhǎng)度為().A.5 B.52 C.73 D.空間幾何體的表面積典例3(1)如圖,四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形,其三個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上,另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心,則圓柱的側(cè)面積是().A.2π3 B.32π4 C.(2)(2023·江蘇?？级?如圖,圓錐的底面半徑為1,側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為60°的扇形.把該圓錐截成圓臺(tái),已知圓臺(tái)的下底面與該圓錐的底面重合,圓臺(tái)的上底面半徑為13,則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.8π3 B.35π2 C.空間幾何體的側(cè)面積和表面積(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用,并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)球的截面問(wèn)題的解題技巧:①有關(guān)球的截面問(wèn)題,常畫出過(guò)球心的截面圓,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問(wèn)題.②解題時(shí)要注意借助球的半徑R,截面圓半徑r,球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形,即R2=d2+r2.訓(xùn)練3(多選)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的表面積可以為().A.2π B.(1+2)πC.22π D.(2+2)π空間幾何體的體積典例4(1)《本草綱目》中記有麥門冬這一種藥物,書中所提麥門冬,別名麥冬、寸冬等,臨床可用于治療肺燥干咳、津傷口渴、喉痹咽病、陰虛勞嗽等.一粒麥門冬可近似看作底面拼接在一起的兩個(gè)圓錐,如圖所示,則該麥門冬的體積約為.

(2)紫砂壺是中國(guó)特有的手工制造的陶土工藝品,起源于江蘇,有一紫砂壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái).下圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容積約為().A.100cm3 B.200cm3 C.300cm3 D.400cm31.求規(guī)則幾何體的體積,主要是先找準(zhǔn)關(guān)鍵的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入體積公式計(jì)算.2.三棱錐的體積計(jì)算要注意通過(guò)等積變形(轉(zhuǎn)換頂點(diǎn))來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算.訓(xùn)練4陀螺是中國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一,也稱陀羅.圖1是一種木陀螺,可近似地看作是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱的組合體,其直觀圖如圖2所示,其中B,C分別是上、下底面圓的圓心,且AC=3AB=6,底面圓的半徑為2,則該陀螺的體積是(). 圖1圖2A.80π3 B.70π3 C.20π 割補(bǔ)法求體積在求不規(guī)則幾何體和組合體的體積時(shí),通常是把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進(jìn)行體積計(jì)算,或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體,便于計(jì)算其體積.典例如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為().A.23 B.33 C.43割補(bǔ)法求體積(1)分析結(jié)構(gòu)特征.(2)設(shè)計(jì)計(jì)算方法.根據(jù)組成形式,設(shè)計(jì)計(jì)算方法,特別要注意“拼接面”面積的處理.利用“切割”“補(bǔ)形”的方法求體積.(3)計(jì)算求值.根據(jù)設(shè)計(jì)的計(jì)算方法求值.訓(xùn)練如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,則四面體ABEF的體積為().A.13 B.23 C.1 一、單選題1.下列說(shuō)法正確的是().A.棱柱的側(cè)面可以是三角形B.棱柱的側(cè)面是全等的平行四邊形C.正四面體的所有棱長(zhǎng)都相等D.棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等2.用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形,其直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形,則原來(lái)的圖形是().A BC D3.已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形,側(cè)面均為腰長(zhǎng)為4的等腰梯形,則該四棱臺(tái)的表面積為().A.10+615 B.34C.20+1215 D.684.在三棱錐PABC中,線段PC上的點(diǎn)M滿足PM=13PC,線段PB上的點(diǎn)N滿足PN=23PB,則三棱錐PAMN和三棱錐PABC的體積之比為(A.19 B.29 C.13二、多選題5.已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,下列說(shuō)法正確的有().A.長(zhǎng)方體的表面積為20B.長(zhǎng)方體的體積為6C.沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短距離為32D.沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短距離為256.某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng),加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2,在軸截面ABCD中,AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,則下列說(shuō)法正確的是().A.該圓臺(tái)軸截面ABCD的面積為33cm2B.該圓臺(tái)的體積為73πC.該圓臺(tái)的表面積為10πcm2D.沿著該圓臺(tái)表面,從點(diǎn)C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm三、填空題7.如圖,△A'B'C'是水平放置的斜二測(cè)直觀圖,其中A'B'=2,B'C'=3,則原圖形△ABC的面積是.

8.如圖,一個(gè)實(shí)心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底邊長(zhǎng)為4,高為3,若在中間鉆一個(gè)圓柱形孔后其表面積沒(méi)有變化,則孔的半徑為.

四、解答題9.如圖所示,正六棱錐的底面周長(zhǎng)為24,H是BC的中點(diǎn),O為底面中心,∠SHO=60°.(1)求出正六棱錐的高,斜高,側(cè)棱長(zhǎng);(2)求出六棱錐的表面積和體積.10.現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),由上、下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1,下部分的形狀是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍.(1)若AB=6m,PO1=2m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少?(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m,當(dāng)PO1為多少時(shí),下部的正四棱柱側(cè)面積最大?最大側(cè)面積是多少?11.(2024·河北調(diào)研卷)有一種鉆頭由兩段組成,前段是高為3cm,底面邊長(zhǎng)為2cm的正六棱錐,后段是高為1cm的圓柱,圓柱的底面圓與正六棱錐底面的正六邊形內(nèi)切,則此鉆頭的體積為().A.(33+3π)cm3