廣東省中考真題數(shù)學

目錄

中考真題數(shù)學........................................................2

廣東中考數(shù)學第23題集..............................................15

⑴求m的值；...................................................15

(2)求函數(shù)y=ax?+b(aWO)的解析式；..............................15

(2)當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；......................16

(3)在(2)的條件下，求sin/OCB的值.............................16

(1)求yi的解析式；...............................................20

(2)若y2隨著x的增大而增大，且yi與y2都經(jīng)過x軸上的同一點，求y2的解

析式...............................................................20

12.已知拋物線y=x2+mx-2m-4(m>0).............................21

廣東中考數(shù)學第23題集..............................................23

參考答案與試題解析.................................................23

一.解答題(共12小題)............................................23

中考真題數(shù)學

一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個選項中，只有一個

是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑.

1.四個實數(shù)0、p-3.14,2中，最小的數(shù)是（）

A.0

1

B.-

3

C.-3.14

D.2

解析：正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的

反而小，據(jù)此判斷即可.

答案：C.

2.據(jù)有關部門統(tǒng)計,2018年“五一小長假”期間，廣東各大景點共接待游客約14420000人次，

將數(shù)14420000用科學記數(shù)法表示為（）

A.1.442x107

B.0.1442X107

C.1.442x108

D.0.1442x108

解析：根據(jù)科學記數(shù)法的表示方法可以將題目中的數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表

示.14420000=1.442*107.

答案：A.

3.如圖，由5個相同正方體組合而成的幾何體，它的主視圖是（）

解析：根據(jù)主視圖是從物體正面看所得到的圖形解答即可.

答案：B.

4.數(shù)據(jù)1、5、7、4、8的中位數(shù)是（）

A.4

B.5

C.6

D.7

解析：將數(shù)據(jù)重新排列為1、4、5、7、8,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5.

答案：B.

5.下列所述圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）

A.圓

B.菱形

C.平行四邊形

D.等腰三角形

解析：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項正確.

答案：D.

6.不等式3x-Gx+3的解集是（）

A.x<4

B.x>4

C.x<2

D.x>2

解析：移項，得：3x-x>3+l,

合并同類項，得：2x%,

系數(shù)化為1,得：x>2.

答案：D.

7.在UABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則一ADE與」ABC的面積之比為（）

1

B.-

3

1

C.一

4

解析：由點D、E分別為邊AB、AC的中點，可得出DE為1ABC的中位線，進而可得出

DEBC及LADELILABC,再利用相似三角形的性質即可求出LADE與LABC的面積之比.

答案：c.

8.如圖，ABOCD,貝ljEIDEC=100。，ZlC=40。，則E1B的大小是（）

B.40°

C.50°

D.60°

解析：□□DEC=100°,nc=400,

□□D=40°,

XOABDCD,

□□B=DD=40°.

答案：B.

9.關于x的一元二次方程x2-3x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是（）

9

A.m<—

4

9

B.m<—

4

9

C.m>—

4

9

D.m>—

4

解析：根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍即可.

答案：A.

10.如圖，點P是菱形ABCD邊上的一動點，它從點A出發(fā)沿在A—B-C—D路徑勻速運

動到點D,設PAD的面積為y,P點的運動時間為x,則y關于x的函數(shù)圖象大致為（）

解析：設菱形的高為h,即是一個定值，再分點P在AB上，在BC上和在CD上三種情況,

利用三角形的面積公式列式求出相應的函數(shù)關系式，然后選擇答案即可.

答案：B.

二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.同圓中，已知弧AB所對的圓心角是100。，則弧AB所對的圓周角是.

解析：直接利用圓周角定理求解.

答案：50。.

12.分解因式：x2-2x+l=.

解析：直接利用完全平方公式分解因式即可.

答案：x2-2x+l=（x-l）2.

13.一個正數(shù)的平方根分別是x+1和x-5,則x=.

解析：根據(jù)題意知x+l+x-5=0,

解得：x=2.

答案：2.

14.已知y/a—b+|b-l|=0,則a+1=.

解析：ci—h+|b-11=0,

□b-l=0,a-b=0,

解得：b=l,a=l,

故a+l=2.

答案：2.

15.如圖，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E,連接

BD,則陰影部分的面積為.（結果保留時

o

D

解析：連接OE,如圖，利用切線的性質得OD=2,OEUBC,易得四邊形OECD為正方形,

先利用扇形面積公式，利用S正方形OECD-S扇形EOD計算由弧DE、線段EC、CD所圍

成的面積，然后利用三角形的面積減去剛才計算的面積即可得到陰影部分的面積.

16.如圖，已知等邊LOA1B1,頂點A1在雙曲線尸、一（x>0）上，點B1的坐標為（2,（））.過

x

B1作B1A2匚OA1交雙曲線于點A2,過A2作A2B2UA1B1交x軸于點B2,得到第二個等

邊UB1A2B2；過B2作B2A3UB1A2交雙曲線于點A3,過A3作A3B3A2B2交x軸于點

B3,得到第三個等邊IB2A3B3；以此類推，…，則點B6的坐標為.

解析：根據(jù)等邊三角形的性質以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征分別求出B2、B3、B4

的坐標，得出規(guī)律，進而求出點B6的坐標.

答案：（2"，0）.

三、解答題（一）

17.計算：卜2卜20180+（；）-1.

解析：直接利用負指數(shù)事的性質以及零指數(shù)塞的性質、絕對值的性質進而化簡得出答案.

答案：原式=2-1+2=3.

18.先化簡，再求值：至.生竺.，其中a=73.

+4a"-4a2

解析：原式先因式分解，再約分即可化簡，繼而將a的值代入計算.

答案：原式=-----1_/八、，=2a,

a+4—4）

業(yè)百葉

當a=——時'，

2

原式=2x——=\/3.

2

19.如圖，BD是菱形ABCD的對角線，E1CBD=75。,

(1)請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF,垂足為E,交AD于F；(不要求寫作法，保

留作圖痕跡)

(2)在(1)條件下，連接BF,求LJDBF的度數(shù).

解析：(1)分別以A、B為圓心，大于，AB長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線即可；

2

(2)根據(jù)口DBF=1ABD-匚ABF計算即可.

答案：(1)如圖所示，直線EF即為所求；

(2)U四邊形ABCD是菱形，

1

□匚ABD=UDBC=-UABC=75°,DCUAB,OA=UC.

2

□□ABC=150°,EABC+DC=180°,

□□C=UA=30°,

口EF垂直平分線線段AB,

□AF=FB,

□□A=nFBA=30°,

□□DBF=UABD-UFBE=45°.

20.某公司購買了一批A、B型芯片，其中A型芯片的單價比B型芯片的單價少9元，已知

該公司用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等.

(1)求該公司購買的A、B型芯片的單價各是多少元？

(2)若兩種芯片共購買了200條，且購買的總費用為6280元，求購買了多少條A型芯片？

解析：(1)設B型芯片的單價為x元/條，則A型芯片的單價為(x-9)元/條，根據(jù)數(shù)量=總價+

單價結合用3120元購買A型芯片的條數(shù)與用4200元購買B型芯片的條數(shù)相等，即可得出

關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結論；

(2)設購買a條A型芯片，則購買(200-a)條B型芯片，根據(jù)總價=單價x數(shù)量，即可得出關于

a的一元一次方程，解之即可得出結論.

答案：(1)設B型芯片的單價為x元/條，則A型芯片的單價為(x-9)元/條,

3120_4200

根據(jù)題意得:

x-9x

解得：x=35>

經(jīng)檢驗，x=35是原方程的解,

□x-9=26.

答：A型芯片的單價為26元/條，B型芯片的單價為35元/條.

(2)設購買a條A型芯片，則購買(200-a)條B型芯片，

根據(jù)題意得：26a+35(200-a)=6280,

解得：a=80.

答：購買了80條A型芯片.

21.某企業(yè)工會開展“一周工作量完成情況”調查活動，隨機調查了部分員工一周的工作量剩

余情況，并將調查結果統(tǒng)計后繪制成如圖1和圖2所示的不完整統(tǒng)計圖.

(1)被調查員工人數(shù)為人.

(2)把條形統(tǒng)計圖補充完整.

(3)若該企業(yè)有員工10000人，請估計該企業(yè)某周的工作量完成情況為“剩少量”的員工有多

少人？

解析：⑴由“不?！钡娜藬?shù)及其所占百分比可得答案；

(2)用總人數(shù)減去其它類型人數(shù)求得“剩少量”的人數(shù)，據(jù)此補全圖形即可；

(3)用總人數(shù)乘以樣本中“剩少量”人數(shù)所占百分比可得.

答案：(1)被調查員工人數(shù)為400+50%=800人；

(2)“剩少量”的人數(shù)為800-(400+80+20)=300人,

補全條形圖如下：

(3)估計該企業(yè)某周的工作量完成情況為“剩少量”的員工有10000X1^=3500人.

22.如圖，矩形ABCD中，AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E

處，AE交CD于點F,連接DE.

(1)求證：ADECED；

(2)求證：1DEF是等腰三角形.

解析:⑴根據(jù)矩形的性質可得出AD=BC、AB=CD,結合折疊的性質可得出AD=CE、AE=CD,

進而即可證出Z1ADELIC]CED(SSS)；

(2)根據(jù)全等三角形的性質可得出LDEF=UEDF,利用等邊對等角可得出EF=DF,由此即可

證出DDEF是等腰三角形.

答案：(1)口四邊形ABCD是矩形，

□AD=BC,AB=CD.

由折疊的性質可得：BC=CE,AB=AE,

□AD=CE,AE=CD.

AD=CE

在匚ADE和DCED中，AE=CD,

DE=ED

□CADEUDCED(SSS).

(2)由(1)得1ADE匚匚CED,

JUDEA=EDC,EPUDEF=UEDF,

□EF=DF,

□□DEF是等腰三角形.

23.如圖,已知頂點為C(0,-3)的拋物線y=ax2+b(a和)與x軸交于A,B兩點，直線y=x+m

過頂點C和點B.

(2)求函數(shù)y=ax2+b(a#0)的解析式；

(3)拋物線上是否存在點M,使得MCB=150?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說

明理由.

解析：(1)把C(0,-3)代入直線廠x+m中解答即可；

(2)把y=0代入直線解析式得出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式即可;

(3)分M在BC上方和下方兩種情況進行解答即可.

答案：⑴將(0,-3)代入y=x+m,

可得：m=-3；

⑵將y=0代入y=x-3得：x=3,

所以點B的坐標為(3,0),

將(0,-3)、(3,0)代入y=ax2+b中，

可得：《b=—3，

9a+b-0

解得：-3>

b=-3

所以二次函數(shù)的解析式為：y=-x2-3；

3

(3)存在，分以下兩種情況：

\k

□若M在B上方，設MC交x軸于點D,則口(^=45°+15°=60°,

UOD=OCtan30°=^,

設DC為尸kx-3,代入(3,0),可得：k=5

y=gx-3

聯(lián)立兩個方程可得：\1,，

2

1y=-3x-3

解得:Hg

出=-3[%=6

所以6)；

口若M在B下方，設MC交x軸于點E,則□OEC=45O-15<)=30。,

□OE=OCtan60°=3>/3,

設￡(3為丫=10;-3,代入(36，0)可得：k=?g,

聯(lián)立兩個方程可得:

玉=0x2=G

解得:M=-3,[%=-2

所以M2(、6，-2),

綜上所述M的坐標為(36，6)或(6,-2).

24.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD,以AB為直徑的UO經(jīng)過點C,連接AC,OD交

于點E.

(1)證明：ODLBC；

⑵若tanDABC=2,證明：DA與口。相切；

(3)在(2)條件下，連接BD交于」O于點F,連接EF,若BC=1,求EF的長.

解析：(1)連接OC,iiEDOADEDOCD得匚ADOL1CDO,由AD=CD知DEEJAC,再由AB

為直徑知BCAC,從而得ODUBC；

(2)根據(jù)tanDABC=2可設BC=a、則AC=2a、AD=AB=VAC2+BC2=y[5a,證OE為中位

線知OE='a、AE=CE=-AC=a,進一步求得DE=J^B^7^=2a,再L1AOD中利用勾

22

股定理逆定理證10AD=90。即可得；

(3)先證一AFDJDBAD得DFBD=AD2口，再證UAEDOAD得ODDE=AD2LI,由「「得

DPDEEFDE

DFBD=ODDE,即——=——，結合UEDF=UBDO知LJEDF；BDO,據(jù)此可得一=——，

ODBDOBBD

結合(2)可得相關線段的長，代入計算可得.

答案：⑴連接OC,

在匚OAD和匚OCD中，

OA=OC

□"AD=CD,

OD=OD

□□OAD]UOCD(SSS),

□□ADO=LZCDO,

又AD=CD,

□DEOAC,

□AB為UO的直徑，

□□ACB=90°,

□□ACB=90°,E|1BCUAC,

□ODCBC；

AC

(2)□tan□ABC==2,

BC

□設BC=a、則AC=2a,

□AD=AB=>/AC2*44-BC2=亞61,

□OE^BC,且AO=BO,

111

□OE=—BC=—a,AE=CE=—AC=a,

222

在EIAED中，DE=7^5^^=2a,

2252125

在DAOD中，AO2+AD2==一a-,OD2=(OF+DF)2=(一a+2a)2=—a2,

424

□AO2+AD2=OD2,

□□OAD=90°,

則DA與口0相切;

(3)連接AF,

□AB是匚O的直徑，

□□AFD=IJBAD=90°,

□□ADF=DBDA,

□□AFDDDBAD,

DFAD

□——=——,nn即DFBD=AD2□,

ADBD

又□□AED=ZlOAD=90。，DADETODA,

□□AED1iDOAD,

ADDE

U——=——，nHnPODDE=AD2U,

ODAD

由□□可得DF-BD=OD-DE,嚼嚼

XQnEDF=OBDO,

□□EDFUBDO,

□BC=1,

5

□AB=AD=x/5、OD=—、ED=2、BD=Vio,OB=—,

22

EFDE即千余

’---=----

OBBD

2

解得：EF=—.

2

25.已知RtLJOAB,UOAB=90°,ABO=30°,斜邊0B=4,將RtUOAB繞點0順時針旋轉

60°,如題圖1,連接BC.

(1)填空：UOBC=；

(2)如圖1,連接AC,作OPDAC,垂足為P,求OP的長度；

(3)如圖2,點M,N同時從點O出發(fā)，在UOCB邊上運動，M沿O-C->B路徑勻速運動，

N沿O-B-C路徑勻速運動，當兩點相遇時運動停止，已知點M的運動速度為1.5單位/

秒，點N的運動速度為1單位/秒，設運動時間為x秒，」OMN的面積為y,求當x為何值

時y取得最大值？最大值為多少？

解析：(1)只要證明UOBC是等邊三角形即可；

(2)求出1AOC的面積，利用三角形的面積公式計算即可；

Q

(3)分三種情形討論求解即可解決問題：□當0<xW彳時，M在OC上運動，N在OB上運動，

Q

此時過點N作NEQOC且交OC于點E.□當一<x"時，M在BC上運動，N在OB上運動.

3

□當4<xW4.8時，M、N都在BC上運動，作OGE1BC于G.

答案：⑴由旋轉性質可知：OB=OC,JBOC=60°,

□□OBC是等邊三角形，

□□OBC=60°.

圖1

□0B=4,匚ABO=30°,

□OA=goB=2,AB=G0A=2&,

□SQAOC=-OA-AB=-x2x2=273,

22

□□BOC是等邊三角形，

□□OBC=60°,DABC=CABO+DOBC=90o,

□AC=^AB2+BC2=277，

4>/3_2>/21

□OP=2AOB

AC訪.7

8

(3)U當0<xW］時，M在OC上運動，N在OB上運動，此時過點N作NEUOC且交OC于

點E.

圖2

11

SOMN=-OMNE=-xl.5xx-----x,

222

3出，

□y=-^x2.

8

口x=3寸，y有最大值，最大值=述.

33

O

□當一Vxa時，M在BC上運動，N在0B上運動.

3

BC

作MHOB于H.則BM=8-1.5x,MH=BMsin60°=-21(8-1.5x),

□y=—xQNxMH=-x2+2\[3x.

28

當x=g時，y取最大值，y＜色?,

N都在BC上運動，作OGEIBC于G.

圖4

MN=12-2.5x,OG=AB=2>J3,

□y=yMNOG=12^-^y^x,

當x=4時，y有最大值，最大值=2百，

綜上所述，y有最大值，最大值為竽.

廣東中考數(shù)學第23題集

1.(2018廣東)如圖，已知頂點為C(0,-3)的拋物線丫=a*2+6(a#0)與x軸

交于A,B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B.

(1)求m的值；

(2)求函數(shù)y=ax2+b(aWO)的解析式；

(3)拋物線上是否存在點M,使得NMCB=15。？若存在，求出點M的坐標；

若不存在，請說明理由.

2.(2017廣東)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x?+ax+b交x軸于A(1,

0),B(3,0)兩點，點P是拋物線上在第一象限內的一點，直線BP與y軸

相交于點C.

(1)求拋物線y=-x2+ax+b的解析式；

(2)當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標；

(3)在(2)的條件下，求sinNOCB的值.

3.(2016廣東)如圖，在直角坐標系中，直線y=kx+l(kWO)與雙曲線y=2(x

X

>0)相交于點P(1,m).

(1)求k的值;

(2)若點Q與點P關于直線y=x成軸對稱，則點Q的坐標是Q()；

(3)若過P、Q二點的拋物線與y軸的交點為N(0,5),

3

解析式，并求出拋物線的對稱軸方程.

4.(2015廣東)如圖，反比例函數(shù)y=k(k#0,x>0)的圖象與直線y=3x相交

X

于點C,過直線上點A(1,3)作AB_Lx軸于點B,交反比例函數(shù)圖象于點

D,月.AB=3BD.

(1)求k的值；

(2)求點C的坐標；

(3)在y軸上確定一點M,使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD最小，

求點M的坐標.

5.(2015廣州)如圖1,關于x的二次函數(shù)y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),點

C(0,3),點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，E在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P,

若不存在請說明理由；

6(2016深圳).已知O為坐標原點，拋物線yi=ax?+bx+c(aWO)與x軸相交于點

A(xi,0),B(X2,0),與y軸交于點C,且O,C兩點間的距離為3,xi?X2

<0,|XI|+|X21=4,點A,C在直線y2=-3x+t上.

(1)求點C的坐標；

(2)當yi隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

(3)將拋物線yi向左平移n(n>0)個單位，記平移后y隨著x的增大而增大

的部分為P,直線yz向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，

求2n2-5n的最小值.

7.（2018廣州）如圖，拋物線y=ax?+2x-3與x軸交于A、B兩點，且B（1,0）

（1）求拋物線的解析式和點A的坐標；

（2）如圖1,點P是直線y=x上的動點,當直線y=x平分NAPB時，求點P的坐

標；

（3）如圖2,已知直線y=2x-a分別與x軸、y軸交于C、F兩點，點Q是直

39

線CF下方的拋物線上的一個動點，過點Q作y軸的平行線，交直線CF于點

D,點E在線段CD的延長線上，連接QE.問：以QD為腰的等腰aaDE的

面積是否存在最大值？若存在，

請求出這個最大值；若不存在,

請說明理由.

8.（2017深圳）已知拋物線y=mx2+（1-2m）x+1-3m與x軸相交于不同的兩點

A、B

（1）求m的取值范圍；

（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P,并求出點P的坐標；

（3）當工VmW8時，由（2）求出的點P和點A,B構成的AABP的面積是否

4

有最值？若有，求出該最值及相對應的m值.

9.（2017廣州）如圖，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A（-1,0）,B（4,0）,交y

軸于點C；

（1）求拋物線的解析式（用一般式表示）；

（2）點D為y軸右側拋物線上一點，是否存在點D使SAABC=2SMBD?若存在

3

請直接給出點D坐標；若不存在請說明理由；

（3）將直線BC繞點B順時針旋轉45。，與拋物線交于另一點E,求BE的長.

10.（2018深圳）已知拋物線yi=-x2+mx+n,直線y2=kx+b,yi的對稱軸與y2交于

點A（-l,5）,點A與yi的頂點B的距離是4.

（1）求yi的解析式；

（2）若y2隨著x的增大而增大，且yi與y2都經(jīng)過x軸上的同一點，求y2的解

析式.

11.(2018廣州)已知頂點為A拋物線尸a(x-^)2-2經(jīng)過點僅得，2)，點

C(y.2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線AB與x軸相交于點M,y軸相交于點E,拋物線與y軸相交

于點F,在直線AB上有一點P,若NOPM=NMAF,求aPOE的面積；

(3)如圖2,點Q是折線A-B-C上一點，過點Q作QN〃y軸，過點E作

EN〃x軸，直線QN與直線EN

相交于點N,連接QE,將4QEN

沿QE翻折得到△QENi,若點

Ni落在x軸上，請直接寫出Q

點的坐標.

12.已知拋物線y=x2+mx-2m-4(m>0).

(1)證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

(2)設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側)，與y

軸交于點C,A,B,C三點都在(DP上.

①試判斷：不論m取任何正數(shù)，OP是否經(jīng)過y軸上某個定點？若是，求出該定

點的坐標；若不是，說明理由；

②若點C關于直線*=-皿的對稱點為點E,點D(0,1),連接BE,BD,DE,

2

△BDE的周長記為1,OP的半徑記為r,求工的值.

廣東中考數(shù)學第23題集

參考答案與試題解析

一.解答題(共12小題)

1.如圖，已知頂點為C(0,-3)的拋物線丫=a*2+1)(aWO)與x軸交于A,B

兩點，直線y=x+m過頂點C和點B.

(1)求m的值；

(2)求函數(shù)y=ax2+b(a#0)的解析式；

(3)拋物線上是否存在點M,使得NMCB=15。？若存在，求出點M的坐標；

若不存在，請說明理由.

【分析】(1)把C(0,-3)代入直線y=x+m中解答即可；

(2)把y=0代入直線解析式得出點B的坐標，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關系

式即可；

(3)分M在BC上方和下方兩種情況進行解答即可.

【解答】解：(1)將(0,-3)代入y=x+m,

可得：m=-3；

(2)將y=0代入y=x-3得:x=3,

所以點B的坐標為(3,0),

將(0,-3)、(3,0)代入y=ax2+b中，

可得：產-3,

I9a+b=0

，_1_

解得：a-3,

b=-3

所以二次函數(shù)的解析式為：y=lx2-3；

3

（3）存在，分以下兩種情況:

①若M在B上方，設MC交x軸于點D,則NODC=45o+15o=60。,

.,.OD=OC?tan30°=V3?

設口（2為丫=1?-3,代入（蟲，0）,可得：k=正，

，yzV3x-3

聯(lián)立兩個方程可得：

|干12-3

X1=0x2二

解得：，

丫尸3丫2=6

所以Mi(3如,6)；

②若M在B下方，設MC交x軸于點E,則NOEC=45o+15o=60。,

.?.OE=OC?tan600=3?,

設EC^y=kx-3,代入（3遮，0）可得：k=返,

3

f^X-3

聯(lián)立兩個方程可得：

y=4-x2-3

o

X[=0^2=73

解得：，

y尸3y2=-2

所以M2(?,-2),

綜上所述M的坐標為（3遂，6）或（?，-2）.

【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，需要掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識是解題關鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x?+ax+b交x軸于A（1,0）,B（3,

0）兩點，點P是拋物線上在第一象限內的一點，直線BP與y軸相交于點C.

(1)求拋物線y=-x2+ax+b的解析式；

(2)當點P是線段BC的中點時，求點P的坐標;

(3)在(2)的條件下，求sinNOCB的值.

【分析】(1)將點A、B代入拋物線y=-x2+ax+b,解得a,b可得解析式；

(2)由C點橫坐標為0可得P點橫坐標，將P點橫坐標代入(1)中拋物線解

析式，易得P點坐標；

(3)由P點的坐標可得C點坐標，由B、C的坐標，利用勾股定理可得BC長，

利用sinNOCB=95_可得結果.

BC

【解答】解:(1)將點A、B代入拋物線y=-x2+ax+b可得,

0=-l2+a+b

,0=-32+3a+b

解得，a=4,b=-3,

，拋物線的解析式為:y=-x2+4x-3；

(2)?.?點C在y軸上，

所以C點橫坐標x=0,

?.?點P是線段BC的中點，

點P橫坐標xp=-^-=—,

22

???點P在拋物線y=-X2+4X-3上,

,',yp=-(y)+4*微-3=卷，

...點P的坐標為(圓,且)；

24

(3)?.?點P的坐標為(?，之)，點P是線段BC的中點，

24

二點C的縱坐標為2x3-O=w,

42

.?.點C的坐標為(0,W),

2

?e,BC=^(y)+32=^Y''

/.sinZOCB=—=.

BC因55

2

【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和解直角三角形，利用中

點求得點P的坐標是解答此題的關鍵.

3.如圖，在直角坐標系中，直線y=kx+l(k#0)與雙曲線y=Z(x>0)相交于

X

點P(Lm).

(1)求k的值；

(2)若點Q與點P關于直線y=x成軸對稱，則點Q的坐標是Q(2,1)；

(3)若過P、Q二點的拋物線與y軸的交點為N(0,")，求該拋物線的函數(shù)

3

解析式，并求出拋物線的對稱軸方程.

【分析】(1)直接利用圖象上點的坐標性質進而代入求出即可；

(2)連接PO,QO,PQ,作PA，y軸于A,QB_Lx軸于B,于是得到PA=1,

OA=2,根據(jù)點Q與點P關于直線y=x成軸對稱，得到直線y=x垂直平分PQ,

根據(jù)線段垂直平分線的性質得到OP=OQ,根據(jù)全等三角形的性質得到

QB=PA=1,0B=0A=2,于是得到結論；

(3)設拋物線的函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c,把P、Q、N(0,反)代入y=ax2+bx+c,

3

解方程組即可得到結論.

【解答】解：(1)?.?直線產kx+1與雙曲線y=2(x>0)交于點A(1,m),

X

m=2,

把A(1,2)代入y=kx+l得：k+l=2,

解得：k=l；

(2)連接PO,QO,PQ,作PA_Ly軸于A,QB，x軸于B,則PA=1,0A=2,

,點Q與點P關于直線y=x成軸對稱，

二直線y=x垂直平分PQ,

；.OP=OQ,

，NPOA=NQOB,

在AOPA與aCQB中，

，ZPA0=Z0BQ

<ZP0A=ZQ0B,

OP=OQ

/.△POA^AQOB,

.*.QB=PA=1,OB=OA=2,

AQ(2,1)；

故答案為：2,1；

(3)設拋物線的函數(shù)解析式為產ax2+bx+c,

?.?過P、Q二點的拋物線與y軸的交點為N(0,9)，

2=a+b+c

.l=4a+2b+c

5

c=^7

2

解得：b=l,

5

...拋物線的函數(shù)解析式為產-Zx2+x+”,

33

【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，全等三角形的判定和性

質，解題需把點的坐標代入函數(shù)解析式，靈活利用方程組求出所需字母的值，

從而求出函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關鍵.

4.如圖，反比例函數(shù)y=K（kWO,x>0）的圖象與直線y=3x相交于點C,過

x

直線上點A（l,3）作AB_Lx軸于點B,交反比例函數(shù)圖象于點D,且AB=3BD.

（1）求k的值；

（2）求點C的坐標；

（3）在y軸上確定一點M,使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD最小，

求點M的坐標.

【分析】（1）根據(jù)A坐標，以及AB=3BD求出D坐標，代入反比例解析式求出

k的值；

（2）直線y=3x與反比例解析式聯(lián)立方程組即可求出點C坐標；

（3）作C關于y軸的對稱點C,連接CD交y軸于M,則d=MC+MD最小，

得到CY-退，如）,求得直線CD的解析式為y=-遂x+1+?，直線與y

3

軸的交點即為所求.

【解答】解：(1)VA(1,3),

，AB=3,OB=1,

VAB=3BD,

.*.BD=1,

AD(1,1)

將D坐標代入反比例解析式得：k=l；

(2)由(1)知，k=l,

反比例函數(shù)的解析式為;

'y=3x

解：,1，

kv

r^/3rj/3

解得：X/-或x--y,

y=V3y=W3

Vx>0,

??.C(返，V3)；

3

(3)如圖，作C關于y軸的對稱點C，，連接CD交y軸于M,則d=MC+MD

最小，

：.C(-返，收，

3

設直線CD的解析式為：y=kx+b,

?(.fk=3-2V3

l=k+b]b=-2+2V3

/.y=(3-2^3)x+2V3-2,

當x=0時,y=2?-2,

AM(0,273一2).

【點評】此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：坐標與

圖形性質，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟

練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵.

5.如圖1,關于x的二次函數(shù)y=-x2+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),點C(0,3),

點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，E在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P,

若不存在請說明理由；

(3)如圖2,DE的左側拋物線上是否存在點F,使2SAFBC=3SAEBC?若存在求

(2)當點P在NDAB的平分線上時，過P作PM_LAD,設出P點坐標，可表

示出PM、PE,由角平分線的性質可得到PM=PE,可求得P點坐標；當點P

在NDAB外角平分線上時，同理可求得P點坐標；

(3)可先求得△FBC的面積，過F作FQJ_x軸，交BC的延長線于Q,可求得

FQ的長，可設出F點坐標，表示出B點坐標，從而可表示出FQ的長，可求

得F點坐標.

【解答】解：

(1),二次函數(shù)y=-x?+bx+c經(jīng)過點A(-3,0),點C(0,3),

,解得產-2,

l-9-3b+c=01c=3

.?.拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3,

(2)存在，

當P在NDAB的平分線上時，如圖1,作PMLAD,

設P(-1,m),則PM=PD?sinNADE=逅(4-m),PE=m,

5

VPM=PE,

:這(4-m)=m,m=V5-1,

5

.\P點坐標為(-LV5-1);

當P在NDAB的外角平分線上時，如圖2,作PNLAD,

設P(-1,n),則PN=PD?sinNADE=^(4-n),PE=-n,

5

VPN=PE,

(4-n)=-n,n=-泥-1,

5

二?P點坐標為(-1,-Vs-1);

綜上可知存在滿足條件的p點，其坐標為(-1,Vs-1)或(-1,-Vs-1)；

(3)???拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3,

，B(1,0),

ASAEBC=1EB>OC=3,

2

V2SAFBC=3SAEBC,

??SAFBC="--，

2

過F作FQ，x軸于點H,交BC的延長線于Q,過F作FM，y軸于點M,如圖

3,

,/SAFBC=SABQH-SABFH-SACFQ=^HB?HQ-1BH?HF-1QF?FM=1BH(HQ-HF)

2222

-1QF*FM=1BH?QF-1QF?FM=1QF*(BH-FM)=LFQ?OB」FQ=2,

2222222

???FQ=9,

VBC的解析式為y=-3x+3,

設F(xo,-xo2-2xo+3),

-3XO+3+XO2+2XO-3=9,

解得：xo=上返或上百(舍去)，

22_

...點F的坐標是(土亙，3面T5),

22

SABC=6>—,

A2

???點F不可能在A點下方，

綜上可知F點的坐標為(上巨，3折一%.

22

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、角平分線的性質、

三角函數(shù)、三角形面積等知識點.在(1)中注意待定系數(shù)法的應用步驟，在

(2)中注意分點P在NDAB的角平分線上和在外角的平分線上兩種情況，

在(3)中求得FQ的長是解題的關鍵.本題所考查知識點較多，綜合性很強，

難度適中.

6.已知0為坐標原點，拋物線yi=ax2+bx+c(aWO)與x軸相交于點A(xi,0),

B(X2,O),與y軸交于點C,且O,C兩點間的距離為3,XI?X2<0,|xi|+1x21=4,

點A,C在直線y2=-3x+t上.

(1)求點C的坐標；

(2)當yi隨著x的增大而增大時，求自變量x的取值范圍；

(3)將拋物線yi向左平移n(n>0)個單位，記平移后y隨著x的增大而增大

的部分為P，直線y2向下平移n個單位，當平移后的直線與P有公共點時，

求2n2-5n的最小值.

【分析】(1)利用y軸上點的坐標性質表示出C點坐標，再利用O,C兩點間的

距離為3求出即可；

(2)分別利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,-3),即c=-3,得出

A,B點坐標，進而求出函數(shù)解析式，進而得出答案；

(3)利用①若c=3,貝ijyi=-X?-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,得出yi向左

平移n個單位后，則解析式為：y3=-(x+l+n)2+4,進而求出平移后的直線

與P有公共點時得出n的取值范圍，②若c=-3,則yi=x2-2x-3=(x-1)

2-4,y2=-3x-3,yi向左平移n個單位后，則解析式為：y3=(x-1+n)2-

4,進而求出平移后的直線與P有公共點時得出n的取值范圍，進而利用配方

法求出函數(shù)最值.

【解答】解：(1)令x=0,貝!Jy=c,

故C(0,c),

VOC的距離為3,

IcI=3?即c=±3,

AC(0,3)或(0,-3)；

(2)Vxix2<0,

.'.Xi,X2異號,

①若C(0,3),即c=3,

把C(0,3)代入y2=-3x+t,則0+t=3,即t=3,

/.y2=-3x+3,

把A(xi,0)代入y2=-3x+3,貝卜3xi+3=0,

即xi=l,

AA(1,0),

Vxi,X2異號，Xl=l>0,X2<0,

V|xi|+|X21=4,

/.1-X2=4,

解得：X2=-3,則B(-3,0),

代入y『x2+bx+3得，Ia+b+3=0，

l9a-3b+3=0

解得：卜二T,

lb=-2

/.yi=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

則當xW-1時，y隨x增大而增大.

②若C(0,-3),即c=-3,

把C(0,-3)代入y2=-3x+t,則0+t=-3,即t=-3,

/.y2=-3x-3,

把A(xi,0),代入y2=-3x-3,

則-3xi-3=0,

即xi=-1,

/.A(-1,0),

Vxi,X2異號，X|=-l<0,/.X2>0

VIxi|+氏|=4,

1+X2=4,

解得：X2=3,則B(3,0),

代入yi=ax2+bx-3得，卜廿3二0,

l9a+3b-3=0

解得：產1,

lb=-2

.*.yi=x2-2x-3=(x-1)2-4,

則當x》l時，y隨x增大而增大，

綜上所述，若c=3,當y隨x增大而增大時，xW-1；

若c=-3,當y隨x增大而增大時，x》l；

(3)①若c=3,則yi=-x?-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,

yi向左平移n個單位后，則解析式為：y3=-(x+1+n)2+4,

貝U當xW-1-n時，y隨x增大而增大，

y2向下平移n個單位后，則解析式為：y4=-3x+3-n,

要使平移后直線與P有公共點，則當x=-1-n,y32y4,

即-(-1-n+l+n)2+42-3(-1-n)+3-n,

解得：nW-1,

Vn>0,-1不符合條件，應舍去；

②若c=-3,則yi=x2-2x-3=(x-1)2-4,y2=-3x-3,

yi向左平移n個單位后，則解析式