新冀教版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué) 26

26.4解直角三角形的應(yīng)用

一、選擇題

1.如圖，在RtZ\4BC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為。，AB=c,Za=a,則C3長(zhǎng)為（）

A.cesin2aB.c,cos2a

C.c*sina*tan?D.c?sina?cosa

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏.小穎分別畫了△ABC和尺寸如圖.如果兩個(gè)三角形的面積分別記作

S^ABC,,S&DEF,那么它們的大小關(guān)系是（

小敏畫的三角形，J雌的三角形

A.5AABC>SAD￡FB.5A4BC<SAD￡F

C.S/MC=S/\DEFD.不能確定

3

3.如圖，RdABC中,ZC=90°,若AB=5,sinA=~,則AC的長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.5D.6

4.數(shù)學(xué)課外興趣小組的同學(xué)們要測(cè)量被池塘相隔的兩棵樹A.B的距離，他們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的測(cè)量

方案：從樹A沿著垂直于AB的方向走到E,再從E沿著垂直于AE的方向走到F,C為AE上一

點(diǎn)，其中3位同學(xué)分別測(cè)得三組數(shù)據(jù)：①AC,ZACB；②EF.DE.AD；③C。，

ZACB,/AOB.其中能根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)求得A.2兩樹距離的有（）

A.0組B.一組C.二組D.三組

5.如圖，學(xué)校大門出口處有一自動(dòng)感應(yīng)欄桿，點(diǎn)A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿4E會(huì)自

動(dòng)升起，某天早上，欄桿發(fā)生故障，在某個(gè)位置突然卡住，這時(shí)測(cè)得欄桿升起的角度/BAE=127。，

已知支架48高1.2米，大門8c打開的寬度為2米，以下哪輛車可以通過？（）

（欄桿寬度，汽車反光鏡忽略不計(jì)）

（參考數(shù)據(jù)：37M）.60,cw37°=0.80,337M）.75.車輛尺寸:長(zhǎng)x寬x高）

A.寶馬Z4（4200mmx1800mmx1360mm）

B.奇瑞QQ（4000mmx1600mmx1520mm）

C.大眾朗逸（4600mmxl700mmx1400mm）

D.奧迪A4（4700mmx1800mmx1400mm）

6.在課題學(xué)習(xí)后，同學(xué)們?yōu)榻淌掖皯粼O(shè)計(jì)一個(gè)遮陽蓬，小明同學(xué)繪制的設(shè)計(jì)圖如圖所示，其中，AB

表示窗戶，且A2=2.82米，△BCD表示直角遮陽蓬，已知當(dāng)?shù)匾荒曛性谖鐣r(shí)的太陽光與水平線CD

的最小夾角a為18。，最大夾角”為66。，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算出遮陽蓬中CO的長(zhǎng)是（結(jié)果精確到

0.1）（參考數(shù)據(jù):sinl8°~0.31,tanl8°M.32,sin66cM）.91,tan66°~2.2）（）

A.1.2米B.1.5米C.1.9米D.2.5米

7.如圖，斜面AC的坡度（CD與AO的比）為1：2,AC=3石米，坡頂有旗桿BC,旗桿頂端2點(diǎn)

與A點(diǎn)有一條彩帶相連.若A8=10米，則旗桿8c的高度為（）

A.5米B.6米C.8米D.

（3+75）米

8.如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，已知其斜坡A。和的坡度為1：0.6,現(xiàn)測(cè)得放水前的水面

寬EF為1.2米，當(dāng)水閘放水后，水渠內(nèi)水面寬GH為2.1米.求放水后水面上升的高度是（）

A.0.55B.0.8C.0.6D.0.75

9.四個(gè)規(guī)模不同的滑梯A,B,C,D,它們的滑板長(zhǎng)（平直的）分別為300m,250m,200m,200

m；滑板與地面所成的角度分別為30°,45°,45°,60°,則關(guān)于四個(gè)滑梯的高度正確說法（）

A.A的最高B.B的最高C.C的最高D.D的最高

10.湖南路大橋于今年5月1日竣工，為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗的風(fēng)景線.某校數(shù)學(xué)興趣小組用

測(cè)量?jī)x器測(cè)量該大橋的橋塔高度，在距橋塔AB底部50米的C處，測(cè)得橋塔頂部A的仰角為41.5°

（如圖）.已知測(cè)量?jī)x器CD的高度為1米，則橋塔A8的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：

5/n4l.5°~0.663,cos41.5%0.749,541.5°儀0.885）

A.34米B.38米C.45米D.50米

11.如圖，王師傅在樓頂上4點(diǎn)處測(cè)得樓前一棵樹CD的頂端C的俯角為60。，若水平距離

BD=Wm,樓高AB=24〃i,則樹CO高約為（）

BIQmD

A.5mB.6mC.7mD.8m

12.如圖，小敏同學(xué)想測(cè)量一棵大樹的高度.她站在B處仰望樹頂，測(cè)得仰角為30。，再往大樹的方

向前進(jìn)4M測(cè)得仰角為60。，已知小敏同學(xué)身高（4B）為16%則這棵樹的高度為（）（結(jié)果

精確到0.1m,岳1.73）.

A.3.5mB.3.6mC.4.3mD.5.1m

13.如圖，一漁船由西往東航行，在A點(diǎn)測(cè)得海島C位于北偏東60。的方向，前進(jìn)40海里到達(dá)8點(diǎn),

此時(shí)，測(cè)得海島C位于北偏東30。的方向，則海里C到航線A8的距離C。是（）

A.20海里B.40海里C.20G海里

D.406海里

14.如圖，某漁船在海面上朝正東方向勻速航行，在A處觀測(cè)到燈塔M在北偏東60。方向上，航行半

小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)觀測(cè)到燈塔M在北偏東30。方向上，那么該船繼續(xù)航行到達(dá)離燈塔距離最近

的位置所需時(shí)間是（）

A.10分鐘B.15分鐘C.20分鐘D.25

分鐘

15.在一次夏令營活動(dòng)中，小霞同學(xué)從營地A點(diǎn)出發(fā)，要到距離A點(diǎn)10千米的C地去，先沿北偏東

70。方向走了8千米到達(dá)B地，然后再從B地走了6千米到達(dá)目的地C,此時(shí)小霞在B地的（）

A.北偏東20。方向上B.北偏西20。方向上

C.北偏西30。方向上D.北偏西40。方向上

二、填空題

16.如圖，在RQA8C中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,CD±AB,垂足為￡>,貝iJtan/BC。的值

是:

17.如圖，身高1.6m的小麗用一個(gè)兩銳角分別為30。和60。的三角尺測(cè)量一棵樹的高度，已知她與樹

之間的距離為6m,那么這棵樹高為（其中小麗眼睛距離地面高度近似為身高）

______m.

18.如圖，某登山運(yùn)動(dòng)員從營地A沿坡角為30。的斜坡AB到達(dá)山頂8,如果AB=2000米，則他實(shí)際

上升了米.

19.觀光塔是濰坊市區(qū)的標(biāo)志性建筑，為測(cè)量其高度，如圖，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)

觀光塔頂端C處的仰角是60。，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)觀光塔底部D處的俯角是30°.已

知樓房高AB約是45m,根據(jù)以上觀測(cè)數(shù)據(jù)可求觀光塔的高CC是_m.

20.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4k〃，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15。方向航行一

段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站。處測(cè)得該船位于北偏東60。的方向，則該船航行的距離（即AB

的長(zhǎng)）為___km.

北

三、解答題

21.如圖，矩形A8C。的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作OEL4c交AO于E,若A8=6,

AO=8,求sin/OEA的值.

22.如圖①所示，將直尺擺放在三角板上，使直尺與三角板的邊分別交于點(diǎn)。，E,F,G,已知/

CGO=42°

（1）求/CEF的度數(shù);

（2）將直尺向下平移，使直尺的邊緣通過三角板的頂點(diǎn)8,交AC邊于點(diǎn)H,如圖②所示，點(diǎn)H,

8在直尺上的度數(shù)分別為4,13.4,求BC的長(zhǎng)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin42°七0.67,cos420-0.74,tan42"弋0.90）

23.如圖是一座人行天橋的示意圖，天橋的高度是10米，CB_LDB,坡面AC的傾斜角為45。.為了

方便行人推車過天橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面。C的坡度為，三6：3.若新坡角下需留

3米寬的人行道，問離原坡角（A點(diǎn)處）10米的建筑物是否需要拆除？（參考數(shù)據(jù)：虛引.414,

73-1.732）

B

24.小麗為了測(cè)旗桿A8的高度，小麗眼睛距地圖1.5米，小麗站在C點(diǎn)，測(cè)出旗桿A的仰角為

30。，小麗向前走了10米到達(dá)點(diǎn)E,此時(shí)的仰角為60。，求旗桿的高度.

25.如圖，在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上

的8處沿南偏西60。方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定

調(diào)整方向，再朝南偏西45。方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在。處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)。處到公

路的距離（結(jié)果不取近似值）.

答案

一、1.D解析：在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=c,Z,A=a,sina=----,BC=c,sin?,

AB

/A+/B=90°,/￡>C8+/B=90°,/A=a.在中，ZCDB=90°,

cosNDCB=----，CD=BC9cosa=c9sina*cosa,故選D.

BC

2.C解析：如圖，過點(diǎn)4,。分別作AG_LBC,DHA.EF,垂足分別為G,H,

在RtZXABG中，AG二ABsinB=5xsin500=5sin50°.在RtZ;sDHE中，ZDEH=180°-

130°=50°,DH=DEsinZDEH=5sin50°,.\AG=DH.VBC=4,EF=4,ASAABC=SADEF.故

選C.

3.B解析：VZC=90°,sinA=3，AB=5,ABC=ABxsinA=5x3=3,由勾股定理得：

55

AC=^AB2-BC2=4-故選B-

4.D解析：此題比較綜合，要多方面考慮，第①組中，因?yàn)橹繬AC8和AC的長(zhǎng)，所以可

利用/4C8的正切來求4B的長(zhǎng)；第②組中可利用/ACB和/AO8的正切求出A8；第③組

xx+CD

中設(shè)AC=x,AD=CD+x,AB=------------,AB=-------------

tanZ4cBtanZADB

因?yàn)橐阎狢O,ZACB,NADB,可求出x,然后得出AB.故選D.

5.C解析：如圖，過點(diǎn)A作BC的平行線AG,過點(diǎn)N作NQ,8c于Q,交AG于點(diǎn)R,則N

BAG=9Q°."：ZBAE=\21°,ZBAG=90°,:.NEAH=NEAB-NBAG=37°.

在ANAR中，ZARN=90°,NEAG=37。，當(dāng)車寬為1.8"，則GR=1.8w,故AR=2-1.8=

0.2(m),AAr/?=A7?mn37°=O.2x0.75=0.15(m),NQ=1.2+0.15=1.35<1.36,

二寶馬Z4(4200/nmx1800/nmx1360mm)無法通過，奧迪A4

(4700/MOTX1800/n/nx1400/?//J)無法通過，故此選項(xiàng)A,。不合題意；

當(dāng)車寬為1.6加,則GR=1.6〃?，故AR=2-1.6=0.4(m),/.NR=ARtan370=0AxQ.75=

0.3(m),：,NQ=1.2+0.3=1.5<1.52,二奇瑞QQ(4000mmx1600mmx1520mm)無法通

過，故此選項(xiàng)不合題意；當(dāng)車寬為1.7加，則GR=1.7m故AR=2-1.7=

0.3(m),ANR=ARtan310=Q.3x0.15=0.225(相)，NQ=1.2+0.225=1.425>1.4,

大眾朗逸(4600,","X1700，”》?xl400/"，")可以通過，故此選項(xiàng)符合題意；

故選C.

6.B解析：設(shè)CO為x.在RfABCZ)中，NBDC=a=18°,?:tcm/BDC=——,

CD

.,.BC=CO”(mNBDC=0.32x.在R/AACO中，/ADC=p=66°,VtanZADC=—,

：.AC=CD-tanZADC=2.2x.,：AB=AC-BC,/.2.82=2.2x-0.32x,解得:x=\.5.

CD長(zhǎng)約為1.5米.故選B.

7.A解析：設(shè)CD=x,則AO=2x.由勾股定理可得，AC-^x2+（2x）2=45x-

?；AC=3石米，.?.石x=3石，；.x=3米，."3=3米，.?.40=2x3=6米.

在R3AB。中，BD=>/102-62=8X,二8C=8-3=5米.故選A.

8.D解析：如圖，過點(diǎn)E作EMLG/7于點(diǎn)?水渠的橫斷面是等腰梯形，

GM^-X(GH-EF)=-x(2.1-1.2)=0.45...?斜坡AO的坡度為1：0.6,

22

.".EM：GM=1：0.6,AEM：0.45=1：0.6,；.EM=0.75,故選D.

9.B解析：A.的高度為：300X5/M30°=150（米）.B.的高度為：250乂$〃?45。=125&=176.75

（米）.C.的高度為：200'5歷45。=100夜h141.4（米）.

D.的高度為：200*5加60。=1008旬73.2（米）.所以B的最高.故選B.

10.C解析：過D作。于E,OE=8C=50米.在RfAAOE中，

4￡=￡>￡>必”41.5叮50*0.88=44（米）.,.?C￡>=1米，，BE=1米，：.AB=AE+BE=44+\=

45（米），...橋塔A3的高度為45米.

11.C解析：過C作CE_LAB,交AB于點(diǎn)E.在R3ACE中，ZEAC=30°,CE=10m,

，AC=2CE=20m,^AC2-CE2=10>/3m,則CO=EB=A8-AE=24-106=7m.故選C.

12.D解析：設(shè)CO=x.在kAACO中，CD=x,ZCAD=30°,貝ij必”30。=0AD=x：AD故

AD=-j3x,在R/^CEO中，CD=x,ZCED=60°,貝Ufa“60°=C。：ED=x：ED.^LED=旦.由

3

題意得，AD-ED=>/3x--x=4,解得x=26,則這棵樹的高度為26+1.6=5.1（m）.故選

3

D.

13.C解析：根據(jù)題意可知/CA￡>=30。，ZCBD=60°,VZCBD=ZCAD+ZACB,

NCAO=30°=NACB,A8=8C=40海里.在RfZiCB。中，NBDC=9G°,

ZDBC=60°,sinZDBC=—,：.sin60°=—,C￡>=40xs，〃60°=40x正=20后(海

BC22

里).故選C.

14.B解析：作MN_LA8于點(diǎn)N.1?在直角中，ZMB^=90°-30°=60°,

/8MN=30°,又NMAN=90°-60°=30°,；./AMN=30°,/.ZMAB=ZM,：.AB=BM,

.?.BN=LBM,又：由A到B航行半小時(shí)，即30分鐘，.?.由8到N是15分鐘.故選B.

2

15.B解析：如圖，：AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，：.AC2=AB2+BC2,

.1△ABC為直角三角形，即/ABC=90。.又點(diǎn)在A的北偏東70。方向，

二/1=90。-70。=20。，Z2=Z1=2O°,即C點(diǎn)在8的北偏西20。的方向上.

故選B.

3

二、16.-解析：在RaABC與RfABC。中，NA+N8=90。，ZBCD+ZB=90°.

4

/A=/BCD.tan^BCD-tanXA=^^-=—=—.

AC84

17.(273+1.6)解析：由題意得：AO=6m.在中，％"4=烏=走,

AD3

ACD=25/3.XAB=1.6m,ACE=CD+DE=CD+AB=2>/3+1.6,所以樹的高度為(273+1.6)

m.

18.1000解析：過點(diǎn)8作8C_L水平面于點(diǎn)C,在R3A8C中，???A8=2000米，

N4=30。,BC=ABsin300=2000x1=1000,

2

旦

AC

19.135解析：；爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測(cè)觀光塔底部。處的俯角是30。，

/A￡>2=30。，在中，tan300=—,解得至=且，：.AD=45y/3.

ADAD3

???在一樓房的底端A點(diǎn)處觀測(cè)觀光塔頂端C處的仰角是60。，...在R3ACO中，

CO=AO"a〃60°=45豆x石=135米.

20.2夜解析：如圖，過點(diǎn)A作AOJ_OB于D.在mAAO。中，VZADO=90°,

NAO￡）=30°,OA^km,：.AD=-OA^2km.在RfAABD中，VZADB=90°,NB=

2

ZCAB-ZAOB=15°-30°^45°,：.BD=AD^2km,:.AB=近AD=2近km.即該船航行的距離

（即AB的長(zhǎng)）為2近km.

北

I

S南

三、21.解：連接EC.

?.,四邊形ABCO為矩形，，OA=OC,ZABC=90°,

利用勾股定理得：AC=〃再萬3=1