2023-2024學年人教A版數學選擇性必修第二冊綜合測試題(二)

人教A版數學選擇性必修第二冊綜合測試題（二）

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.數列｛“〃｝滿足。1=—3,an+1=3an—1（nN*）,那么。4的值為（）

A.-10B.-31

C.-94D.94

2.已知函數出0=祀九一In%在區(qū)間（1,2）上單調遞增，則〃的最小值為（）

A.e2B.e

C.eiD.e2

3.在等比數列｛麗｝中，若。3,05是方程6x+2=o的根，則等的值為

（）

B.-A/2

C.^2D.f或色

4.某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本

增加100元，已知總收入R與年產量%的關系是R（x）=

400x-pr,0W尤W400,

則總利潤最大時，每年生產的產品量為（）

、80000,x>400,

A.100B.200

C.250D.300

5.若直線/與曲線產,和一+〉2=點都相切，則/的方程為（）

A.y=2x+lB.y=2x+g

C.y=^x+lD.y=%+3

6.已知各項均為正數的等比數列｛或｝的前4項和為15,且窿=3曲+40,

則43=（）

A.16B.8

C.4D.2

7.設等差數列｛外｝的前〃項和為S”，若S6>S7>S5,則滿足&S計1<0的正整

數n的值為（）

A.10B.11

C.12D.13

8.已知函數/（x）=sinx+cosx—2x,。=火一兀），b=f（2e）,c=/（ln2）,則a,

b,c的大小關系是（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.b>a>cD.c>b>a

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的

四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的

得2分，有選錯的得0分）

9.已知等比數列｛劣｝的前〃項和為S,則下列不一定成立的是（）

A.若。3>0,貝!J42022>0B.若44>0,則02023>0

C.若。3>0,貝1JS2023>0D.若。4>0,貝1JS2022>0

10.對于函數/（x）=ex（x—l）2（x—2）,以下選項正確的是（）

A.1是極大值點B.有2個極小值

C.1是極小值點D.有2個極大值

11.已知函數4r）的定義域為R,H孫）=丁漢功+加），則（）

A.1Ao）=0B./1）=0

C.汽x）是偶函數D.x=0為外）的極小值點

12.以下四個命題，其中滿足“假設當〃=左時命題成立，則

當n=k+l時命題也成立"，但不滿足“當”=〃0（處是題中給定的n的初始值）

時命題成立”的是（）

A.2”>2〃+1（"三3）

B.2+4+6H-----P2n=n2+n+2（n^l）

C.凸〃邊形的內角和為（九）=（7?—1）兀（〃三3）

D.凸〃邊形的對角線條數g（〃）="（\2）（〃巳4）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知等比數列｛麗｝的公比q>l,—+—=4，B=2班，則儂=_.

14.已知函數/(x)=ax+lnx在x=2處取得極值，則實數a=_.

15.設數列｛z｝的前〃項和S〃=—2/+3,那么此數列的通項公式—

心2xi—己2Y?

16.已知xi>x2>0,若不等式>mexi+x2恒成立，則機的取值范圍

XI—XI

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)設數列｛加｝滿足:ai=l,an+i=3an,〃?N*.

(1)求｛久｝的通項公式及前n項和拓；

(2)已知｛瓦｝是等差數列，Ta為其前n項和，且bi=a2,。3=m+。2+。3,求

720.

18.(本小題滿分12分)已知五x)=tanx.

⑴求/'(x)；

(2)若g(x)=eAtanx,試分析g(x)在(-1,1)上的單調性.

19.(本小題滿分12分)已知正項數列｛z｝的前n項和為Sn,且滿足Sn=

晶+3a〃-4

6'

(1)求數列｛?！保耐椆?；

(2)求數列;一■/的前n項和Tn.

\UnUn+\.\

20.(本小題滿分12分)已知人〃)=(l+3]l+；|(l+T)"[l+5+5)("dN*)，

3_____

g(n)=<3〃+1(〃?N*).

⑴當〃=1,2,3時,分別比較的)與g(〃)的大??；

(2)由⑴猜想加)與g(〃)的大小關系，并證明你的結論.

21.(本小題滿分12分)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋

的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用15年的隔熱層，每厘

米厚的隔熱層建造成本為8萬元.該建筑物每年的能源消耗費用。(單位：萬元)

與隔熱層厚度式單位cm)滿足關系C(x)=^*(0W尤W10),若不建隔熱層，每年

能源消耗費用為8萬元.設火處為隔熱層建造費用與15年的能源耗費用之和.

(1)求k的值及?r)的表達式；

(2)隔熱層修建多厚時，總費用人x)達到最小，并求最小值.

22.(本小題滿分12分)(2023?新課標全國II卷)(1)證明：當0<%<1時,x—f<sin

x<x；

(2)已知函數次x)=cos以一InQ—x2),若x=0是火光)的極大值點，求〃的取

值范圍.

人教A版數學選擇性必修第二冊綜合測試題(二)

考試時間120分鐘，滿分150分.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1.數列｛斯｝滿足QI=—3,〃用=3?！ㄒ?(〃WN*),那么〃4的值為(C)

A.—10B.131

C.-94D.94

［解析］6Z2=3X(-3)-l=-10,a3=3X(-10)-l=-31,〃4=3X(—31)

—1=-94,故選C.

2.已知函數加)=ae%—In%在區(qū)間(1,2)上單調遞增，則〃的最小值為(C)

A.e2B.e

C.e-1D.e-2

［解析］依題可知，f'(x)=aex-T^0在(1,2)上恒成立，顯然a>Q,所以

xe*三一a，

設gQ)=xeS%e(l,2),所以g'(%)=,+1戶＞0,所以g(x)在(1,2)上單調遞

增,

g(x)>g(l)=e,故e》；，即aN；=eT,即a的最小值為e?故選C.

Clc

3.在等比數列｛服｝中，若。3,05是方程一一6x+2=o的根，則黑^的值為

(C)

B.

C.^2D.f或巾

［解析］顯然方程x2—6冗+2=0有兩個正實根，依題意，有〃3。15=2,a3>0,

設等比數列｛斯｝公比為q,。9=。3獷>0,所以甯=恭丁而蔡=@.

故選C.

4.某公司生產某種產品，固定成本為20000元，每生產一單位產品，成本

增加100元，已知總收入R與年產量%的關系是R(x)=

400x—TX2,0WxW400,

<2則總利潤最大時，每年生產的產品量為(D)

、80000,x>400,

A.100B.200

C.250D.300

［解析］由題意知，總成本為C=20000+100x,所以總利潤為

(1

300x—5爐—20ooo,0WxW400,

P=7?(x)-C=12

、60000—100%,x>400,

’300—x,0W尤W400,

p/——<

、一100,x>400,

令P=0,當0Wx〈400時，得x=300；當x>400時，P'<0恒成立，易

知當x=300時，總利潤最大.

5.若直線/與曲線y=也和》2+丁2=上都相切，貝心的方程為(口)

y=2x+^

A.y=2x+1B.

C.y=/+l

［解析］設直線/在曲線y=5上的切點為(xo,仿)，則xo>O,

由已知得y',則直線/的斜率左=J=,

設直線I的方程為y—y[xo=~^(x—xo),即x—2\[xoy+xo=Q,

由于直線I與圓f+y2=/相切，則xo1

,即一4xo—1=0,

解得%o=l,xo=—/舍),

則直線/的方程為X—2y+l=0,即y=5+3?故選D-

6.已知各項均為正數的等比數列｛所｝的前4項和為15,且a5=3a3+4m,

則03=(C)

A.16B.8

C.4D.2

<7i>0,q>0,,

a\+a\q+a\q2+a\qi=\5,解得，

｛<71^4=3<71^2+4<71,

?■<73=t?iq-=4.

故選C.

7.設等差數列｛為｝的前“項和為S”若S6>S7>S5,則滿足SS+1<O的正整

數n的值為(C)

A.10B.11

C.12D.13

[解析]由S6>S1>S5,得S7=S6+a7Vs6,57=55+<76+07>55,所以。7<0,<76

、，?上也，i_13(<71+tZ13)12(tZl+tZ12)

+<77>0,所以｛aQ為遞減數列，又S13=2=13<77<0,512=2=

6(。6+。7)>0,所以Si2s13<0,即滿足S〃S〃+1<O的正整數〃的值為12,故選C.

8.已知函數y(x)=sinx+cosx—2x,。=五一兀)，b=f(2e),c=fi\n2),則a,

。，c的大小關系是(A)

A.d>c>bB.a>b>c

C.b>d>cD.c>b>a

［解析］函數兀v)=sin%+cos%—2%的定義域為R,求導得了'(%)=cos］—

sinx—2=*\/2cos(x+^j—2^^/2—2<0,

因此函數八元)在R上單調遞減，而一兀<0<ln2<K2e,則有八一兀)/In2)>/(2e),

所以Q,b,c的大小關系是Q>C>6,A正確.故選A.

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的

四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的

得2分，有選錯的得。分)

9.已知等比數列{斯}的前〃項和為5,則下列不一定成立的是(ABD)

A?若。3>0,則ai022>0B.若。4>0,則O1023>0

C.若〃3>0,貝！JS2023>0D.若。4>0,貝！JS2022>0

［解析］當43=0/>0時，Q1為正數，q無法確定，故當4=1時，52023=2

41(1—/°23)

023ai>0,當qWl時，Si023=匚^，分析可得4>1與4<1時，都有S2023>0,

C選項正確；而42022=aiq2021無法確定正負，A選項錯誤；當(24=。國3>0時，

不妨設數列為一1,1,一1』，…則02023=—1<0,52022=0,故B,D選項錯誤.綜

上所述，故選ABD.

10.對于函數y(x)=ex(x—l)2(x—2),以下選項正確的是(AB)

A.1是極大值點B.有2個極小值

C.1是極小值點D.有2個極大值

［解析］f(x)=e"(x-l)(x2-3),

當f'(x)>0時一審<》<1或x>小,

當f(x)<0時，l<x<小或x<—小，故1是極大值點，且函數有兩個極小值.故

選AB.

11.已知函數人為的定義域為R,火盯)=逐>)+加)，貝U(ABC)

A.汽0)=0B.^1)=0

C.汽x)是偶函數D.x=0為Xx)的極小值點

［解析］因為j{xy)=y-j{x}+2&),

對于A,令x=y=O,_/（O）=QAO）+QAO）=O,故A正確；

對于B,令x=y=l,火1）=取1）+取1）,則汽1）=0,故B正確；

對于C,令x=y=-1,火1）=汽-1）+八-1）=肌-1）,則火-1）=0,

令y=一1，

又函數兀。的定義域為R,所以人x）為偶函數，故C正確；

對于D,不妨令人x）=0,顯然符合題設條件，此時汽x）無極值，故D錯誤.

12.以下四個命題，其中滿足“假設當〃=3t?N*,左三?。r命題成立，則

當”=k+1時命題也成立"，但不滿足“當〃=〃0（〃0是題中給定的n的初始值）

時命題成立”的是（BC）

A.2”>2〃+1（九三3）

B.2+4+6H-----F2n=n2+n+2（n^l）

C.凸〃邊形的內角和為五〃）=（〃一1）兀（〃三3）

D.凸九邊形的對角線條數g（〃）J，、2%巳4）

［解析］對于A選項，2〃>2"+1（〃，3）,顯然〃=3時有8>7,故當〃為給定

的初始值時命題成立，故不滿足要求；對于B選項，假設當〃=左時命題成立，

即2+4+64——卜2左=耳+左+2,當n=k+\時有2+4+64——卜2左+2（左+1）=/

+左+2+2（左+1）=產+2左+1+左+3=（左+1>+（k+1）+2,故當n=k~\-1時,命

題也成立，當“=1時等號左邊=2,右邊=1+1+2=4,2W4,所以當”=1時，

命題不成立，滿足要求；對于C選項，假設當n=k時命題成立，即人左）=（左一1）兀，

當〃=左+1時有加t+l）=/（左）+兀=也=［（左+1）—1］兀，故當n=k+l時命題也成

立，當”=3時內角和為兀，命題不成立，滿足要求；對于D選項，假設當〃=左

時命題成立，即g（A）=*與一",當〃=左+1時，有8（左+1）=8（4）+左一1=*與一~

1,1J2（4+1）（左+1）站.7曲星至弋砧深

+左一1=2W2，故不）兩足要求.故選BC.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

11Q

13.已知等比數列｛斯｝的公比43=2啦，則。2〃=2"?

113

［解析］由得4。2+4〃4=3。2。4,

由等比數列得。2。4=泊=8,所以4〃2+4〃4=24,即（22+（24=6,

。2，924,774八1_

解得《”或《。c則/=/=2或7=/=5，由q>i,可得q-=2,

［<24=4［<74=2,02ai2.

即q—yj2,

所以ain=ai-q2n~*1=a2-q2n~2=2X(y［2)2n~2=(y/2)2n=2n.

14.已知函數y(x)=ax+lnx在x=2處取得極值，則實數a=一g.

［解析］由題，有/'(x)=a+：,則/1'(2)=o+g=0=a=—；.

又。=一±時，f^=x-2=^

當0<x<2時，/'(x)>0,而0單調遞增；當x>2時，/(x)<0,五x)單調遞減;

則cx)在x=2處取得極值.

故答案為一；.

15.設數列｛麗｝的前n項和Sn=-2^+3,那么此數列的通項公式an=

〃

<1,=1,

.-4〃+2,q22.

［解析］由題意知，當〃=1時，tzi=5i=-2Xl2+3=l,

當時，S〃=—2/+3,①

Sn-l——2(〃-1)2+3,②

①一②，得an——4n+2,

?「Qi不適合an——4n+2,

1,n=l,

—4n+2,〃22.

—e2x?

16.已知xi>X2>0,若不等式〉z/zexi+x2恒成立，則m的取值范圍

Xl-X2

為_(—8,2］.

e2xi—e212

［解析］二>mexi+x2^exi—12—e%2—一加(xi—%2)>0恒成立，

%2

令r=xi—%2>0,則不等式轉化為er—e-z—m^>0,

設函數次/)=e'—ei—機*。0),f'(0=ez+e-/—m,

當加W2時，/'⑺>0,則火。在(0,+8)上單調遞增，故式。次o)=o,符合

題意；當加＞2時，由于/'〃⑺=e，一「，＞0,故/'⑺在(0,+8)上單調遞增，存

在m?(o,+8)滿足/(m)=o,即汽/)在(0,用)單調遞減，(to,+8)單調遞增，

因此當/?(0,死)時，五。勺(0)=0,與題意矛盾.綜上所述，機W2.故答案為：(一

°°,2］.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟)

17.(本小題滿分10分)設數列｛板｝滿足:ai=l,an+i=3an,—N*.

(1)求｛劣｝的通項公式及前〃項和S”；

(2)已知｛)｝是等差數列,T”為其前〃項和,且。1=622,加=。1+。2+。3,求

720.

［解析］(1)由題設知｛斯｝是首項為1,公比為3的等比數列，所以斯=3『1,

1—3”1

S〃=［？=］(3"-1).

(2)0i=a2=3,。3=。1+。2+。3=1+3+9=13,bi—01=10,所以數列｛瓦｝的

公差d=5,

人,20X19

故720=20X3+—2—X5=l010.

18.(本小題滿分12分)已知火x)=tanx.

⑴求尸(x)；

(2)若g(x)=eAtanx,試分析g(x)在(一1,1)上的單調性.

［解析］(1)因為火x)=tanx=^5，

LU〉人

””,cosx-cos%—sinx(—sinx)

所以Q);-------------------------------，

cosZ^+sin2%i

cos2xcos2x

(2)因為g(x)=e%tanx,所以/(x)=(e%)/tanx+e%tanjv)’

(?1、ex(sinxcosx+1)

x+~~~2~=-------2-----

=e*<tancos乙x)cos氣

e/^sin2x+1)

=CCS2丫，當無￡(—1,1)時，g'(X)>0,

???g(x)在(一1,1)上單調遞增.

19.(本小題滿分12分)已知正項數列｛為｝的前n項和為Sn,且滿足Sn=

忌+3a〃-4

6,

(1)求數列｛劣｝的通項公式；

⑵求數列;的前n項和Tn.

\UnUn+\\

［解析］(1)因為即63=忌+3加一4,①

當n=l時6sl=/+3〃1-4,解得m=4或〃1=一1(舍去)，

當時6s〃一1=后_1+3?！╛1一4,②

①一②時6Sn—6Sn-i=a^-\~3an—4—(晶—I+3Q〃—i—4),即6〃九=晶一屆—1+3癡

—3斯_1,

即屆一扇—1—3cin—3—=0,

即(即+癡―1)(?！?an-i—3)=0,

因為an>0,所以cin—an-i—3=0,即an—癡一1=3,

所以｛z｝是以4為首項，3為公差的等差數列，

所以(2n=4+3(n—l)=3n+l.

(2)由(1)可得

ClnUn+1

所以7^=1i

+~^~y\3n~\-13〃+4

晶-;+此+…+宙-七3卜肅)

20.(本小題滿分12分)已知人=

Q_____

g(n)=-\j3n+l(neN*).

⑴當『=1,2,3時,分別比較火力與g⑺的大小;

(2)由⑴猜想加)與g(〃)的大小關系，并證明你的結論.

［解析］(1)當n=l時，/1)=2,g(l)=赤,-l)>g(l),

當〃=2時，12)=|,M2)=折，汽2)>g⑵，

當"=3時，/3)=y,g(3)=洞，火3)>g(3).

(2)猜想:9)>g(")(〃CN*),

即后加+熱+0…[1+—]>軻在

下面用數學歸納法證明：①當”=1時，上面已證.

②假設當〃=時，猜想成立，即

[1+￡)[1+熱+").?[1+%3k+l,則當〃=左+1時，

激+1)=(1++*1+M…J+—I】+帚+一

3左+4

gx-3_______

N（3左+1）2

Q_______3_______

因為1(3左+1)2<叱3左+4)2,

北)3k~\~43k~\~43/---：—

所以-------->--------=、3k+4=g(k+1),

國(3左+1)21(3左+4)2

所以，當n=k+\時猜想也成立.

綜上可知：對任意“?N*,猜想均成立.

21.(本小題滿分12分)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋

的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用15年的隔熱層，每厘

米厚的隔熱層建造成本為8萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)

與隔熱層厚度式單位cm)滿足關系。(%)=^^(0★彳忘10),若不建隔熱層，每年

能源消耗費用為8萬元.設次x)為隔熱層建造費用與15年的能源耗費用之和.

(1)求k的值及火工)的表達式；

(2)隔熱層修建多厚時，總費用人x)達到最小，并求最小值.

[解析](1)設隔熱層厚度為xcm,由題設，每年能源消耗費用為C(x)=

3%+5，再由C(°)=8,得左=40,

40

因此C(x)=3X+5,而建造費用為Ci(x)=8x,

因此得隔熱層建造費用與15年的能源消耗費用之和為人x)=15C(x)+Ci(x)

40.600,一

=15XT+T+8X(0WXW10).

3元十53九十5

,1800人，曰「1800

(2)/。)=8-(3%+5)2,立于。)二°，即(3X+5>=8,

解得x=竽，x=一當(舍去)，

由0<x(與時，f(%)<0；當￥<x<10時,f(x)>0,

故當尸與時，於)取得小值，且為娉卜■^*+8乂與=竿

Dx.z1UIDDD

答：當隔熱層修建與cm厚時，總費用達到最小值為竽萬元.

22.(本小題滿分12分)(2023?新課標全國II卷)(1)證明：當0<%<1時,x——〈sin

x<x；

(2)已知函數次1)=cosox—ln(l—f),若％=0是火工)的極大值點，求〃的取

值范圍.

［解析］⑴證明：構建"x)=x—sinX,%e(o,l),則尸(x)=l—cosx>0對

Vx?(0,l)恒成立，

則Hx)在(0,1)上單調遞增，可得F(x)>F(0)=0,

所以x>sinx,%G(0,l)；

構建G(x)=sinx~(x-^2)=%2—%+sinx,xG(0,l),

貝1G'(x)=2尤——1+cosx,xG(0,l),

構建g(x)=G'(x),無￡(0,1),則g，(x)=2—sinx>0對Vx?(0,l)恒成立，

則g(x)在(0,1)上單調遞增，可得g(x)>g(0)=0,

即G'(九)>0對V尤e(0,l)恒成立,

則G(x)在(0,1)上單調遞增，可得G(x)>G(0)=0,

所以sinx>x—f,%e(0,l)；