初中數(shù)學(xué)：函數(shù)考點精講

初中數(shù)學(xué)：函數(shù)考點精講

函數(shù)是中考的重點，也是難點，對于函數(shù)圖象和性質(zhì)的考查也尤為重要。

一次函數(shù)與反比例函數(shù)

考點一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱

軸，取向上為正方向；兩軸的交點O(即公共的原點)叫做直角坐標(biāo)系的原點；

建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個部

分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限。

2、點的坐標(biāo)的概念

點的坐標(biāo)用(a,b)表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，

橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)aw方時，(a,b)

和(b,a)是兩個不同點的坐標(biāo)。

考點二、不同位置的點的坐標(biāo)的特征

1、各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一象限。x>0j>0

點P(x,y)在第二象限ox<0)>0

點P(x,y)在第三象限ox<0,y<0

點P(x,y)在第四象限。x>0,y<0

2、坐標(biāo)軸上的點的特征

點P(x,y)在x軸上u>y=0,x為任意實數(shù)

點P(x,y)在y軸上ox=0,y為任意實數(shù)

點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上u>x,y同時為零，即點P坐標(biāo)為(0,0)

3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點的坐標(biāo)的特征

點P(x,y)在第一'三象限夾角平分線上ox與y相等

點P(x,y)在第二'四象限夾角平分線上ox與y互為相反數(shù)

4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐標(biāo)相同。

位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標(biāo)相同。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點對稱的點的坐標(biāo)的特征

點P與點P'關(guān)于x軸對稱o橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)

點P與點P'關(guān)于y軸對稱o縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)

點P與點P'關(guān)于原點對稱。橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)

6、點到坐標(biāo)軸及原點的距離

點P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點的距離：

(1)點P(x,y)至x軸的距離等于卜|

⑵點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于

(3)點P(x,y)到原點的距離等于"x?+F

考點三、函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量X與y,如果對于x的每一個值，y都有

唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

2、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

⑴解析法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式

表示，這種表示法叫做解析法。

⑵列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示

法叫做列表法。

⑶圖像法

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

(1)列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

(2)描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

(3)連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

考點四、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果》=履+方（k,b是常數(shù)，k/0）,那么y叫做X的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=+8中的b為。時，y=kx（k為常數(shù)，k/0）o這時,

y叫做x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線

3、一次函數(shù)'正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)歹=依+力的圖像是經(jīng)過點（0,b）的直線；正比例函數(shù)j，=后的圖像

是經(jīng)過原點（0,0）的直線。

k的b的符

號函數(shù)E同像圖像特征

符號

J圖像經(jīng)過一'二、三象限，

b>0L

,y隨x的增大而增大。

k>0

I圖像經(jīng)過一、三'四象限，

b<0y隨x的增大而增大。

/

y

圖像經(jīng)過一、二'四象限，

b>0

Jy隨x的增大而減小

K<0

圖像經(jīng)過二、三'四象限，

b<0JLy隨x的增大而減小。

1

注：當(dāng)b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。

4、正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)歹=區(qū)有下列性質(zhì)：

⑴當(dāng)k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；

⑵當(dāng)k<0時，圖像經(jīng)過第二'四象限，y隨x的增大而減小。

5、一次函數(shù)的性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)y=Ax+b有下列性質(zhì)：

(1)當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大

⑵當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小

6、正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定

確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)=去(k/0)中的常數(shù)k。

確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=+b(k/0)中的常數(shù)k和b。

解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。

考點五、反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)的概念

一般地，函數(shù)歹=&(k是常數(shù)，kwO)叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式

X

也可以寫成了=公一1的形式。自變量x的取值范圍是XH0的一切實數(shù)，函數(shù)的取

值范圍也是一切非零實數(shù)。

2、反比例函數(shù)的圖像

反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限,

或第二、四象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量XH0,函數(shù)yNO,

所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸,

但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。

3、反比例函數(shù)的性質(zhì)

反比例函

y二—(攵W0)

數(shù)X

k的符號k>0k<0

Jk

y

圖像L()》

*J?X

r

①X的取值范圍是XH0,①X的取值范圍是xwO,

y的取值范圍是y40;y的取值范圍是y*0；

②當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像的兩個分②當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像的兩個分

性質(zhì)支分別支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，在第二'四象限。在每個象限內(nèi)，

yy

隨X的增大而減小。隨X的增大而增大。

4、反比例函數(shù)解析式的確定

確定及謨是的方法仍是待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=?中，只有一個待定

X

系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖像上的一個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而

確定其解析式。

5、反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

如下圖，過反比例函數(shù)v=（左/0）圖像上任一點P作x軸'y軸的垂線PM,

X

PN,則所得的矩形PMON的面積S=PM?PN=|M?卜|=網(wǎng)o

,/y=xy=k,S=附。

二次函數(shù)

考點一、二次函數(shù)的概念和圖像（3?8分）

1、二次函數(shù)的概念

一般地，如果丁=G2+及+。（。也。是常數(shù)，1H0）,那么y叫做x的二次函數(shù)。

y=ax2+/>x+c（a,b,c是常數(shù)，a。0）叫做二次函數(shù)的一般式。

2、二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)的圖像是一條關(guān)于x=-2對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

2a

拋物線的主要特征：

①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。

3、二次函數(shù)圖像的畫法

五點法：

（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點M,并

用虛線畫出對稱軸

（2）求拋物線y=ax?+云+。與坐標(biāo)軸的交點：

當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C,

再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來，并向上或向

下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。

當(dāng)拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱

點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確

的圖像，可再描出一對對稱點A、B,然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。

考點二、二次函數(shù)的解析式（10?16分）

二次函數(shù)的解析式有三種形式：

⑴一般式：/=+歷f+c（a也c是常數(shù)，。H0）

（2）頂點式:j=-力了+%（d/?,上是常數(shù)，iwO）

（3）當(dāng)拋物線y=of+云+c與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程ax2+bx+c=O

有實根片和看存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式

ax2+抗+c=a（x-xj（x-x2）,二次函數(shù)y+&+c可轉(zhuǎn)化為兩根式

iy=a（x-x1）（x-x2）o如果沒有交點，則不能這樣表示。

考點三,二次函數(shù)的最值（10分）

如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值）,

即當(dāng)”一（時，丁最值二號4-。

2a4。

如果自變量的取值范圍是那么，首先要看-2是否在自變量取值范

2a

A—h~

（

1X,<X<X2A,若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)x=-時，加值=絲冷；若不在此范

圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在苞:工4超范圍內(nèi)的增臧性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x

的增大而增大，則當(dāng)"々時，加大=?；+奶+C,當(dāng)"再時，

加小=4X；+&1+c；如果在此范圍內(nèi)，y隨X的增大而臧小，則當(dāng)x=*時，

加大=qx；+M+c,當(dāng)X=￡時，/小二以；+及2+八

考點四、二次函數(shù)的性質(zhì)(6?14分)

1、二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)

函

數(shù)y=ax?+&+儀<7],0是常數(shù)，a工0)

a>0a<0

Jky

1

圖

像I

rx

(1)拋物線開口向上，并向上無限延(1)拋物線開口向下，并向下無限延

伸；伸；

⑵對稱軸是x=-2,頂點坐標(biāo)是(2)對稱軸是x=-2,頂點坐標(biāo)是

2a2a

(-A,/b4ac-b2、

2a4。2a4a

(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-2時，(3)在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<-2時，

性

2a2a

質(zhì)

y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右y隨x的增大而增大；在對稱軸的右

側(cè)，即當(dāng)x>-2時，y隨x的增大側(cè)，即當(dāng)x>-2時，y隨X的增大

2a2a

而增大，簡記左減右增；而減小，簡記左增右減；

(4)拋物線有最低點，當(dāng)x=-2時，(4)拋物線有最圖點，當(dāng)x=----時，

2a2a

y有最大值，V最大值=絲/

y有最小值，p