初中數(shù)學(xué)“最值問題”集錦

“最值問題”集錦

?平面幾何中的最值問題..............01

?幾何的定值與最值..................07

?最短路線問題.......................14

?對稱問題...........................18

?巧作“對稱點(diǎn)”妙解最值題........22

?數(shù)學(xué)最值題的常用解法..............26

?求最值問題........................29

?平面幾何中的最值問題

在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時它和不等式聯(lián)系在

一起，統(tǒng)稱最值問題.如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟(jì)問題聯(lián)系起來，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、

最節(jié)約和最高效率.下面介紹幾個簡例.

在平面幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量(如線段的長度、

圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問題，稱為最值問題。

最值問題的解決方法通常有兩種：

(1)應(yīng)用幾何性質(zhì)：

①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

②兩點(diǎn)間線段最短；

③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；

④定圓中的所有弦中，直徑最長。

⑵運(yùn)用代數(shù)證法：

①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；

②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。

例1、A、B兩點(diǎn)在直線1的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P,使PA+PB最小。

變式"：茬:3兩京'分別在直鞋兒的兩惻，在直缸上取百點(diǎn)由^虎■最大…

?A

___________________L

B*I

分析：在直線L上任取一點(diǎn)P，,連結(jié)AP，,BP,,

在AABP'中AT+BP'>AB,如果AT+BP'=AB,則P，必在線段AB上，而線段AB

與直線L無交點(diǎn)，所以這種思路錯誤。

取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A',則AP'=AP,

在AA'BP中A'P'+B'P'>A'B,當(dāng)P'移到A'B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時

A'P'+B'P'=A'B,所以這時PA+PB最小。

1已知AB是半圓的直徑，如果這個半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問

怎樣剪這個梯形，才能使梯形ABDC的周長最大(圖3-91)?

圖3-91

分析本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長，可設(shè)半圓半徑為R.由于AB〃CD,必

有AC=BD.若設(shè)CD=2y,AC=x,那么只須求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可.

解作DE±AB于E,貝(jX2=BD2=AB?BE=2R?(R-y)=2R-2Ry,

2R2-x2

所以

2R2-x2

u=x+y+R=x+———+R

所以2R

x2+2Rx+2R2

+R.

2R

所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可.

-X2+2RX+2R2=3R-(X-R)?W3R2,

上式只有當(dāng)x=R時取等號，這時有

2R2-x22R2-R2R

所以2y=R=x.

所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個頂點(diǎn)C,D,

這時，梯形的底角恰為60°和120°.

2.如圖3—92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8米(m),怎樣才能得出

最大面積，使得窗戶透光最好？

圖3-92

分析與解設(shè)X表示半圓半徑，y表示矩形邊長AD,則必有2x+2y+“x=8,

8-%x-2x小

y=-；—-B

乙

若窗戶的最大面積為s,則

S=2xy+-^%x2.②

把①代入②有

=8x-Ttx2-2x2+—%x2

2

=8x-(2+^)x2

=_Wx_^r+2L

2I4+TCJ4+7f

〈尹.

4+7f

上式中，只有x=J-時，等號成立.這時，由①有

4+兀

8

=------=X,

4+冗

即當(dāng)窗戶周長一定時，窗戶下部矩形寬恰為半徑時，窗戶面積最大.

3.已知P點(diǎn)是半圓上一個動點(diǎn)，試問P在什么位置時，PA+PB最大（圖3—93）?

分析與解因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動點(diǎn)，當(dāng)P近于A或B時，顯然PA+PB漸小，在極限

狀況（P與A重合時）等于AB.因此，猜想P在半圓弧中點(diǎn)時，PA+PB取最大值.

設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連PB,PA,延長AP到C,使PC=PA,連CB,則CB是切線.

為了證PA+PB最大，我們在半圓弧上另取一點(diǎn)P',連P'A,P'B,延長AP'至!JC',

使P'C=BP'，連C'B,CC,則NP'CB=ZP/BC=ZPCB=45°,

所以A,B,C',C四點(diǎn)共圓，所以NCC'A=ZCBA=90°,

所以在AACC'中，AC>AC',即PA+PB>P'A+P'B.

4如圖3—94,在直角△ABC中，AD是斜邊上的高，M,N分別是AABD,Z\ACD的內(nèi)心，直

線MN交AB,AC于K,L.求證：SAABC^2SAAKL.

證連結(jié)AM,BM,DM,AN,DN,CN.

因?yàn)樵赼ABC中，ZA=90°,ADJ_BC于D,

所以ZABD=ZDAC,ZADB=ZADC=90°.

因?yàn)镸,N分別是4ABD和AACD的內(nèi)心，所以

Z1=Z2=45°,N3=N4,

所以△ADNS/\BDM,

又因?yàn)镹MDN=90°=ZADB,所以△MDNs^BDA,

所以ZBAD=ZMND.

由于NBAD=NLCD,所以ZMND=ZLCD,

所以D,C,L,N四點(diǎn)共圓，所以NALK=NNDC=45°.

同理，ZAKL=Z1=45°,所以AK=AL.因?yàn)椤鰽KM烏AADM,

所以AK=AD=AL.而

2

S&甌［必.AC，SAAKL=|AD-AL=1AD,

而一

2AC2AB2AC2.AB2

222

口BCAB+AC'

從而

cI——AC*AC

S.=-AC*AJB.5-----y

A題VT2AB2+AC2

.111

AB

45?AC*-=-sAABC,

所以SAABC^SAAKL-

5.如圖3—95.已知在正三角形ABC內(nèi)（包括邊上）有兩點(diǎn)P,Q.求證：PQWAB.

證設(shè)過P,Q的直線與AB,AC分別交于P“Q?連結(jié)PC顯然，PQWPQ.

因?yàn)镹AQ島+NPQC=180°,

所以NAQR和NPQC中至少有一個直角或鈍角.

若NAQE290。，貝（jPQWPQWAPWAB；

若NPQCN90。,貝ijPQWPQWPiC.

同理，NAPC和NBPC中也至少有一個直角或鈍角，不妨設(shè)NBP￡N90°,

貝1JP￡<BC=AB.

對于P,Q兩點(diǎn)的其他位置也可作類似的討論，因此，PQWAB.

A

BC

圖3-95

6.設(shè)aABC是邊長為6的正三角形，過頂點(diǎn)A引直線1,頂點(diǎn)B,C到1的距離設(shè)為d“

d2,求&+dz的最大值(1992年上海初中賽題).

解如圖3—96,延長BA到B',使AB'=AB,連B'C,則過頂點(diǎn)A的直線1或者與

BC相交，或者與B，C相交.以下分兩種情況討論.

(1)若1與BC相交于D,則

1

5(d]+da)*AD—S4觸口+S乙期。

c43”

=S&ABC?36，

所以

18a,1873

d.+d2=-^<^-=6.

12AD3出

只有當(dāng)1_LBC時，取等號.

(2)若1'與夕C相交于D，,則

1

5(d]+da)?AD=+SAACD,

=“sABDA+s^AACD'=s^AABC,

所以

dI+d<=6、區(qū)

2I,F

上式只有1'_LB'C時，等號成立.

綜合⑴,(2),di+d2的最大值為6、%

7.如圖3—97.已知直角^AOB中，直角頂點(diǎn)0在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延長

AO,B0分別與單位圓交于C,D.試求四邊形ABCD面積的最小值.

解設(shè)。。與AB相切于E,有OE=1,從而

AB=OE*AB=AO*OB

AO2+BO2(AO-BO)2

=22

/AO2+BO2AB2

-====.---------------=-------

22

即ABN2.

當(dāng)AO=BO時，AB有最小值2.從而

11

SABCD=萬AC?BD=go+OA)(1+BO)

1

=-(1+AO+BO+AO*BO)

>j(l+2JAO?BO+AO?BO)

=|(i+TAO?BO)2=|(i+JOE?AB.

=1(I+7AB)2>|(I+72)2

=[(3+2?

所以，當(dāng)AO=OB時，四邊形ABCD面積的最小值為

g(3+2?

?幾何的定值與最值

幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素

間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題，解幾何定值問題的基本方法是：分清問題

的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明.

幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長

度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：

1.特殊位置與極端位置法；

2.幾何定理（公理）法；

3.數(shù)形結(jié)合法等.

注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn).這是由于這

類問題具有很強(qiáng)的探索性（目標(biāo)不明確），解題時需要運(yùn)用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一

般相結(jié)合、

邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法.

【例題就解】

【例1】如圖，已知AB=10,P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP和PB

為邊作等邊aAPC和等邊4BPD,則CD長度的最小值為.G.

思路點(diǎn)撥如圖，作CC'_LAB于C,D>_LAB于6，

DQJLCC',CD2=DQ2+CQ2,DQ’AB一常數(shù)，當(dāng)CQ越小，CD越小，/

本例也可設(shè)AP=x,則PB=iO-x,從代數(shù)角度探求CD的最小值.A―C'PD'B

注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與

極端位置是指：

（1）中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等；

（2）端點(diǎn)處、臨界位置等.

【例2】如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的高，此圓在沿底邊AB滾動，切點(diǎn)為T,

圓交AC、BC于M、N,則對于所有可能的圓的位置而管，MTN為的度數(shù)（）

A.從30°到60°變動B.從60°到90°變動

C.保持30°不變D.保持60°不變

思路點(diǎn)撥先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn)C時，

其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷.

注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，

動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，考慮當(dāng)變

化的元素運(yùn)動到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時，

研究的量取得定值與最值.

【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD,AB=“，BC=b3>/力，P為AB邊上的一動點(diǎn),

直線DP交CB的延長線于Q,求AP+BQ的最小值.

思路點(diǎn)撥設(shè)AP=x,把AP、BQ分別用x的代數(shù)式表示，運(yùn)用不等式/+從之2成（當(dāng)

且僅當(dāng)〃時取等號）來求最小值.

Q

【例4】如圖，已知等邊aABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A、B的點(diǎn)M,設(shè)直線

AC與BM相交于K,直線CB與AM相交于點(diǎn)N,證明：線段AK和BN的乘積與M點(diǎn)的選擇無

思路點(diǎn)撥即要證AK-BN是一個定值，在圖形中aABC

的邊長是一個定值，說明AK-BN與AB有關(guān)，從圖知AB為A/\）B

△ABM與aANB的公共邊，作一個大膽的猜想，AK?BN=AB2,

從而我們的證明目標(biāo)更加明確./X

注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問題就轉(zhuǎn)化泰?般的幾何證明問題.

[例5]已知AXYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形（NZ=90°）,它的三個頂點(diǎn)

分別在等腰Rt^ABC（NC=90°）的三邊上，求4ABC直角邊長的最大可能值.

思路點(diǎn)撥頂點(diǎn)Z在斜邊上或直角邊CA（或CB）上，當(dāng)頂點(diǎn)Z在斜邊AB上時，取xy的

中點(diǎn),通過幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值,當(dāng)頂點(diǎn)Z在（AC或CB）上時,設(shè)CX=x,CZ=），,

建立x,y的關(guān)系式，運(yùn)用代數(shù)的方法求直角邊的最大值.

注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、

不等式等關(guān)系，再運(yùn)用相應(yīng)的代數(shù)知識方法求解.常見的解題途徑是：

（1）利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運(yùn)用判別式求幾何最值；

（2）構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值.

學(xué)力訓(xùn)練

1.如圖，正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合）,

分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B，、C'、W,則BB，+CC'+DD，的最

大值為,最小值為?

2.如圖，ZA0B=45°,角內(nèi)有一點(diǎn)P,P0=10,在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q,R（均不同于

點(diǎn)0）,則△PQR的周長的最小值為.

3.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8,B到MN的距離BD=5,

CD=4,P在直線MN上運(yùn)動，貝“PA-尸卻的最大值等于.

（第1題）（第2題）（第3題）

4.如圖，A點(diǎn)是半圓上一個三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是直徑MN上一動點(diǎn),

。。的半徑為1,則AP+BP的最小值為（）

A.1B.—C.V2D.V3-1

2

5.如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿看圓柱的

側(cè)面移動到BC的中點(diǎn)S的最短距離是（）

A.251+乃2B.2J1+4MC.4）1+乃2D.24+，

6.如圖、已知矩形ABCD,R,P戶分別是DC、BC上的點(diǎn)，E,F分別是AP、RP的中點(diǎn),

當(dāng)P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是（）

A.線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸減小

C.線段EF的長不改變D.線段EF的長不能確定

（第4題〉（第5題〉（第6題）

7.如圖，點(diǎn)C是線段AB上的任意一點(diǎn)（C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），分別以AC、BC為邊

在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,AE與CD相交于點(diǎn)M,BD與CE相

交于點(diǎn)N.

（1）求證:MN/7AB；

（2）若AB的長為10cm,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點(diǎn)C,使線段

MN的長度最長?若存在，請確定C點(diǎn)的位置并求出MN的長；若不存在，請說明理由.

（2002年云南省中考題）

8.如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點(diǎn)，P是S對

AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，NSPM是一定角.

9.已知aABC是。。的內(nèi)接三角形，BT為。。的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn),

過點(diǎn)P作BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F.

⑴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時（如圖），求證：PA?PB=PE?PF；

（2）當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延長線上一點(diǎn)時，第⑴題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明,

第（2）向圖

10.如圖，已知；邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE,其中AF=2,BF=1,

在AB上的一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是（）

A.8B.12C.—D.14

2

（第10題）（第11題）

11.如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于點(diǎn)A,線段DB上AB于點(diǎn)B,AB=2；AC=1,

BD=3,P是半圓上的一個動點(diǎn)，則封閉圖形ACPDB的最大面積是（）

A.2+V2B.1+72C.3+及D.V3+V2

12.如圖，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB、AC上分別取點(diǎn)D、E,使線

段DE將4ABC分成面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長度.

13.如圖，ABCD是一個邊長為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點(diǎn)，AV與DU相

交于點(diǎn)P,BV與CU相交于點(diǎn)Q.求四邊形PUQV面積的最大值.

14.利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇，使花壇全部都能噴到水.已知每個

噴水器的噴水區(qū)域是半徑為10米的圓，問如何設(shè)計（求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、

寬），才能使矩形花壇的面積最大？

15.某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個八邊形居民廣場（平面

圖如圖所示）.其中，正方形MNPQ與四個相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800平方

米

（1）設(shè)矩形的邊AB=x（米），AM=y（米），用含x的代數(shù)式表示），為.

（2）現(xiàn)計劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2100元；在四個相同

的矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元；在四個三角形區(qū)域上鋪設(shè)草

坪，平均每平方米造價為40元.

①設(shè)該工程的總造價為5（元），求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式.

②若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若

能，請列出設(shè)計方案；若不能，請說明理由.

③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金73000元，問能否完成該工程的建設(shè)

任務(wù)?若能，請列出所有可能的設(shè)計方案；若不能，請說明理由.

16.某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形"荒地ABCDE,邊長和方向如圖，欲在這塊地

上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積（精確到

1m2）.

參考答案

im]

陽5葉①，當(dāng)CQ=OB和”AB的中稅@睡財施

MP當(dāng)毗,椀三觸的熊c斯瓢加『

M…AAnn,ADDA，押ADMD八AD，BP

豺蚣APDwABPQ，粉前MBQ=-^-二7

:,AP+BQ=H—=IT-4V什覬耳2出

iiiVi

:,當(dāng)口除=—"周，上端悔,魁AP=疝W，AP+BQ財期檄2通i

1

陽7ZAMK=ZC=ZCAB=ZKTZABK（ZAMK=ZMABZABK,.'ZK=ZBAM=ZBAN,^1ZABK=

AR4K

ZN岫ABKsABNA磕唱MK?BN=AB綿f）和AK與BN的魏麟M的解無關(guān).

DINAD

黠⑴嫄!，喊Z棚恥諫燈髀融，乳M掰CZ,并戰(zhàn)AM腦CN肌KCM+MzJ/%》

uL

F也式KCZ做CN慈，CA$CN@

（2）姍2，H獻(xiàn)技觸CA（貪CB）上，蛹觸，堿世ZJECA上讀CX=MZ沙瓶昨YH1CA于H,

易私2YH納XZCH昨CX=i,昨CZ=y，MAHY）鞭靛中樂MgmAC動制力

=斕尸6力,似也1那,懺（卜2城=12抑5『-物+八1=。闈仙力翅別白懦-帆片

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W

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II.B頻般

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11姻肺&加蝴州F1A用皿宗牟息瑕疵』EW；AE=2EF

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I3I5IJ

13.如圖準(zhǔn)W…AU〃DV,,'?S=S△ADP*SAUQV=S/?；,S歐v=S△aD+Sw,作PE_L

AD于E,QFJ_BC于F,設(shè)PE=z,QF=y&必修w=4(i+y),設(shè)AU=a,DV=6,則三+,

Lab

=DE+AE“M去同理產(chǎn)制品^=4騎“37斗

(1-。)(1-S=(a+6)-(d+1)_2(a+b)-<2(°+6)-“2-1-2ab_

2-。-6-2(“+6)(2—0-6)4(a+6)(2—0-6)、4(a+6)(2-。-6)

ZnXA^fO--------n11

端后岸礦了，等號當(dāng)且僅當(dāng)。4時成立曲四娜PUQV面積的最大值是京

14.⑴如圖，OiQ是兩個相同的噴水器所在位置,ABCD是設(shè)計的矩形花壇，設(shè)花形邊長AD=

］米冽PQ=AD=r米，在RtAOEQ中,Of=/O^-QE2=J102-(1)2=1

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從而，符合要求的設(shè)計是兩個赫器的陋為00=7400-(10期=1。必米)質(zhì)形兩邊長AD=1。例MB=

20麻，翩林有最大酬.

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15.⑴產(chǎn)竺滬(0<《2。弱力

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聯(lián)郵面，

?最短路線問題

通常最短路線問題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，直線段最短”為原則引申出來的.人

們在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題.

在本講所舉的例中，如果研究問題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么所

求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面

體表面，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短

路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個共同點(diǎn)：當(dāng)研究曲面僅限于可展開為

平面的曲面時，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開在一個平面上，兩點(diǎn)間的最

短路線則是連結(jié)兩點(diǎn)的直線段.

這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個平面的.例如，在地球（近似

看成圓球）上A、B二點(diǎn)之間的最短路線如何求呢？我們用過A、B兩點(diǎn)及地球球心0的平

面截地球，在地球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），在這個大圓周上A、B兩點(diǎn)之間不

超過半個圓周的弧線就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線，航海上叫短程線.關(guān)于這個問

題本講不做研究，以后中學(xué)會詳講.

在求最短路線時，一般我們先用“對稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問題，而兩

點(diǎn)之間直線段最短，從而找到所需的最短路線.像這樣將一個問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€和它等價的

問題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法.

例1如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報.在去B地之前需要先飲一次馬,

如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時間，請你在圖中標(biāo)出來.

B

解：要選擇最節(jié)省時間的路線就是要選擇最短路線.

作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)A',即作AA'垂直于河岸，與河岸交于點(diǎn)C,且使AC=A'

C,連接A，B交河岸于一點(diǎn)P,這時P點(diǎn)就是飲馬的最好位置，連接PA,此時PA+PB

就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線.

證明：設(shè)河岸上還有異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)P',連接P'A,P'B,PzAz.

'：?'A+P'B=P'A'+P'B>A'B=PA'+PB=PA+PB,

而這里不等式P'A，+P，B>A，B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線段，

所以PA+PB是最短路線.

此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A，B,所以這種方

法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等.看下面例題.

例2如圖一只壁虎要從一面墻壁a上A點(diǎn)，爬到鄰近的另一面墻壁B上的B點(diǎn)捕蛾，

它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的路線呢？

解：我們假想把含B點(diǎn)的墻B順時針旋轉(zhuǎn)90°（如下頁右圖），使它和含A點(diǎn)的墻a

處在同一平面上，此時B轉(zhuǎn)過來的位置記為B',B點(diǎn)的位置記為B，,則A、B'之間最

短路線應(yīng)該是線段AB',設(shè)這條線段與墻棱線交于一點(diǎn)P,那么，折線4PB就是從A點(diǎn)沿

著兩扇墻面走到B點(diǎn)的最短路線.

證明：在墻棱上任取異于P點(diǎn)的P'點(diǎn)，若沿折線AP'B走，也就是沿在墻轉(zhuǎn)90°后

的路線AP'B，走都比直線段APB,長，所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線.

由此例可以推廣到一般性的結(jié)論：想求相鄰兩個平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線時，可

以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時，把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來，所得到的線段還原

到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線.

例3長方體ABCD—AZBzCD'中，AB=4,h'A=2，,AD=1,有一只小蟲從頂點(diǎn)W

出發(fā)，沿長方體表面爬到B點(diǎn)，問這只小蟲怎樣爬距離最短？（見圖（1））

（1）（2）⑶

解：因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含D'、B兩點(diǎn)的兩個相鄰的

面“展開”在同一平面上，在這個“展開”后的平面上＞B間的最短路線就是連結(jié)這兩

點(diǎn)的直線段，這樣，從山點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)共有六條路線供選擇.

①從D'點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個面攤開在一個平面

上（上頁圖（2））,這時在這個平面上D,、B間的最短路線距離就是連接）、B兩點(diǎn)

的直線段，它是直角三角形ABD，的斜邊，根據(jù)勾股定理，

D'B2=DZA2+AB2=（1+2）2+42=25,B=5.

②容易知道，從山出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離也是5.

③從D'點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn).將這兩個面攤開在同一平

面上，同理求得在這個平面上山、B兩點(diǎn)間的最短路線（上頁圖（3））,有：

D'B2=22+（1+4）2=29.

④容易知道,從山出發(fā)經(jīng)過后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是29.

⑤從D'點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個平面攤開在同一

平面上，同理可求得在這個平面上＞、B兩點(diǎn)間的最短路線（見圖），

D'B2=（2+4）2+l2=37.

⑥容易知道，從丁出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是37.

比較六條路線，顯然情形①、②中的路線最短，所以小蟲從D，點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上底面

然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)（上頁圖（2））,或者經(jīng)過后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的

路線是最短路線，它的長度是5個單位長度.

利用例2、例3中求相鄰兩個平面上兩點(diǎn)間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，可以解決

一些類似的問題，例如求六棱柱兩個不相鄰的側(cè)面上A和B兩點(diǎn)之間的最短路線問題（下

左圖），同樣可以把A、B兩點(diǎn)所在平面及與這兩個平面都相鄰的平面展開成同一個平面

（下右圖），連接A、B成線段AP1P2B,Pl、P2是線段AB與兩條側(cè)棱線的交點(diǎn)，則折線

AP1P2B就是AB間的最短路線.

圓柱表面的最短路線是一條曲線，“展開”后也是直線，這條曲線稱為螺旋線.因?yàn)?/p>

它具有最短的性質(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用.如：螺釘上的螺紋，螺旋輸

粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題.

例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果將金線的起

點(diǎn)固定在A點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？

解：將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開，展開成平面圖形如上頁右圖（把圖中的長方

形卷成上頁左圖中的圓柱面時，A'、B'分別與A、B重合），連接AB',再將上頁右圖

還原成上頁左圖的形狀,則AB'在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路.

圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線.請看下面例題.

例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為A0的中點(diǎn)，試求以A為起點(diǎn)，以B

為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線.

解：將圓錐面沿母線AO剪開，展開如上右圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面

時，A'、B'分別與A、B重合），在扇形中連AB',則將扇形還原成圓錐之后，AB'所

成的曲線為所求.

例6如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找

食物，已知A點(diǎn)沿母線到桶口（3點(diǎn)的距離是12厘米，B點(diǎn)沿母線到桶口D點(diǎn)的距離是8

厘米，而C、D兩點(diǎn)之間的（桶口）弧長是15厘米.如果螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該怎

么走？路程總長是多少？

分析我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點(diǎn)在里面，不

便于作圖，設(shè)想將BD延長到F,使DF=BD,即以直線CD為對稱軸，作出點(diǎn)B的對稱點(diǎn)F,

用F代替B,即可找出最短路線了.

解：將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長BD到F,使DF=BD,即作點(diǎn)B關(guān)于直線CD

的對稱點(diǎn)F,連結(jié)AF,交桶口沿線CD于0.

因?yàn)橥翱谘鼐€CD是B、F的對稱軸，所以O(shè)B=OF,而A、F之間的最短線路是直線段

AF,又AF=AO+OF,那么A、B之間的最短距離就是AO+OB,故螞蟻應(yīng)該在桶外爬到0點(diǎn)

后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點(diǎn)爬去.

延長AC到E,使CE=DF,易知aAEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD,根據(jù)勾股定

理，AF2=（AC+CE）^EF2=（12+8）2+152=625=252,解得AF=25.

即螞蟻爬行的最短路程是25厘米.

例7A、B兩個村子，中間隔了一條小河（如下圖），現(xiàn)在要在小河上架一座小木

橋，使它垂直于河岸.請你在河的兩岸選擇合適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩個村子之間路程

最短.

分析因?yàn)闃虼怪庇诤影叮宰疃搪肪€必然是條折線，直接找出這條折線很困難，

于是想到要把折線化為直線.由于橋的長度相當(dāng)于河寬，而河寬是定值，所以橋長是定

值.因此，從A點(diǎn)作河岸的垂線，并在垂線上取AC等于河寬，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除,

找出B、C兩點(diǎn)之間的最短路線，問題就可以解決.

解：如上圖，過A點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長為河寬，連結(jié)BC交河岸于

D點(diǎn)，作DE垂直于河岸，交對岸于E點(diǎn)，D、E兩點(diǎn)就是使兩村行程最短的架橋地點(diǎn).即

兩村的最短路程是AE+ED+DB.

例8在河中有A、B兩島（如下圖），六年級一班組織一次劃船比賽，規(guī)則要求船從

A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試問應(yīng)選擇怎樣的路

線才能使路程最短？

解：如上圖，分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對稱點(diǎn)A，和T，連結(jié)A'、B，

分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點(diǎn)，則A-E-F-B-A是最短路線，即最短路程為：AE

+EF+FB+BA.

證明：由對稱性可知路線A-E-FfB的長度恰等于線段A，B，的長度.而從A島到

甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線，利用對稱方法都可以化成一條連接A，、

B'之間的折線，它們的長度都大于線段A'B，,例如上圖中用“--------”表示的路

線A-E，一B的長度等于折線AE，F(xiàn)，B的長度，它大于A，B，的長度，所以A-E

-F-BfA是最短路線.

?對稱問題

教學(xué)目的：進(jìn)一步理解從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的方法，對于軸對稱問題、中心對

稱問題有一個比較深入的認(rèn)識，可以通過對稱的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找

到證明的方法。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：猜想驗(yàn)證的過程，及幾何問題的說理性。

一、點(diǎn)關(guān)于一條直線的對稱問題

問題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓

小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？

問題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A處，家在B處，小河為L,匕

小明要在直線L上找一個點(diǎn)C（小狗在C處飲水），使得AC+BC

最短。（如圖所示）A?

?B

知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，

把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短，可以得出結(jié)果。

中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的對稱有兩類，一類是軸對稱，一類是中心對稱。

軸對稱有兩個基本特征：垂直與相等。構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的軸對稱點(diǎn)N的方法是:

過M作M0垂直于PQ于點(diǎn)0,并延長M0到點(diǎn)N,使N0=M0,則點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于直線PQ

的對稱點(diǎn)。

問題分析：過A作A0垂直于直

線L于點(diǎn)0,延長A0到點(diǎn)A',使

A，0=A0,連接A'B,交直線L于點(diǎn)

C,則小明沿著ACB的路徑就可以滿

足小狗喝上水，同時又使回家的路

程最短。

問題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對稱的性質(zhì)。

問題的延伸1：已知直線L外有一個定點(diǎn)P,在直線L上找兩'

點(diǎn)A、B,使AB=〃，且PA+PB最短。（其中〃為定值）/\

提示：作PC平行于AB,且PC==AB,則問題變?yōu)椋涸谥本€L-----、——L

上找一個點(diǎn)B,使它到P、C兩點(diǎn)的距離之和最短。八B

問題的延伸2：在兩條相交線

之外有一個定點(diǎn)P，分別在兩條直

線上找點(diǎn)B、C使得PB+BC+CP最短,

如何確定B、C的位置？

提示：分別作點(diǎn)P關(guān)于直線L

和直線L2的對稱點(diǎn)R和P2,連接

PR分別與兩直線交于B、C點(diǎn)，則

PB+BC+PC最短。證明方法同上。

二、橋該建在哪里：

問題超市：農(nóng)場里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚。在河的兩岸有兩個加工廠，農(nóng)場主

經(jīng)常要在這兩個工廠之間來回奔波。農(nóng)場新買了一輛汽車，想在農(nóng)場內(nèi)建造一條馬路，同

時在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，可是橋應(yīng)該建在何處，才能使兩個加工廠之間

的路程最短？

問題數(shù)學(xué)化：在直線L和直線L?之間作一條垂線段八

CD,使得BC+CD+DA最短。

---------------------------L1

知識介紹：---------------------L2

關(guān)于最短距離，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：B?

(1)在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短(兩點(diǎn)之間，

線段最短)；

(2)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

(3)在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。

一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段

最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證明。

另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。(判定：如果一個

四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對邊

相等。)

問題分析：由于CD的長度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我們想

辦法把線段AD平移到和線段BC

共線的位置，于是變化為下面兩

圖。

問題的總結(jié)與結(jié)論：一般來

說，我們利用圖形的對稱性尋找

到最近的位置，然后利用三角形

和對稱的性質(zhì)去證明你所選取的

位置是題目中所要求的位置即可。

問題的延伸：如果有兩條河，需要建造兩座橋，又

該如何呢？如圖，把A向下平移到A，的位置，使線段

AA'等于河L-L2的寬度;把B向上平移到B'的位置,

使線段BB'等于河L3—L,的寬度。連接線段B'A',

交Lz于點(diǎn)C,交L3于點(diǎn)F。過C、F分別作垂線段CD、

FE,就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河

流建更多的橋又如何呢？

三、對稱問題的進(jìn)一步延伸。

我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對稱的特點(diǎn)找到一些特殊位置使得線段和最小，那么對于線段差

最小的問題，是否可以得出一些相關(guān)的結(jié)論呢？

1、直線L的異側(cè)有兩個點(diǎn)A、B,在直線L上求一個點(diǎn)C,使得：A、B到C的距離的

?A

差的絕對值最小。

2、你認(rèn)識一些什么樣的軸對稱圖形，它們各自有什么樣的幾何性質(zhì)?

等腰三角形、矩形、正多邊形等。

四、如何平分土地：

問題超市：水渠旁有一大塊耕地，要畫一條直線為分F

界線，把耕地平均分成兩塊，分別承包給兩個人，BC邊是

灌溉用的水渠的一岸。兩個人不知道怎么平分土地最能滿A.___IE

足個人的需要，你看這個土地的形狀（比較規(guī)則的L形）（如

右圖所示），應(yīng)該怎樣平分呢？n

問題數(shù)學(xué)化：如何在由兩個矩形所組成（割、補(bǔ)）的圖形中尋找一條直線，使得圖形

被分成兩部分，且兩部分的面積相等，而且，均含有BC邊的一部分。

問題分析：

1、如何才能把一個矩形的面積等分。如圖，可以應(yīng)用

矩形的兩條對角線所在的直線AC、BD,每組對邊的中點(diǎn)所在

直線MP、NQ,且這四條直線都交于同一點(diǎn)0,對矩形的對稱

中心。即經(jīng)過對稱中心0的任意一條直線都可以平分矩形的

面積。

2、利用這個結(jié)論，土地可以看成是兩個矩形進(jìn)行割、補(bǔ)得到的，分別在每個圖中作

兩個矩形的對稱中心，經(jīng)過這兩個點(diǎn)作一條直線，這條直線就可以把這兩個矩形的面積進(jìn)

行平分，分別如上面三個圖形所示：

問題的延伸：三個方案確定之后，兩個農(nóng)民并不滿意，他們認(rèn)為：“這三種方法只是

把土地平分了，但是靠近水源的BC邊并沒有被平分?！眱扇藶榱斯喔确绞梗枷氚芽拷?/p>

源的BC邊也平分了，誰會愿意要水源少的那塊地呢？這三種分地的方法并不公平。那為

了既平分土地，也平分水源，有什么辦法呢？

問題的分析：（如右圖所示）

直線QR就是原來的分界線取線段QR的中點(diǎn)為S,

取線段BC的中點(diǎn)為P,則直線PS就是滿足兩個農(nóng)民要求的

分界線。

問題的證明：ATRS與APQS中，三組內(nèi)角對應(yīng)相等，

且RS=PS,則兩個三角形全等,所以兩個三角形的面積相等,

于是經(jīng)過直線TP的分界仍保證了土地的平分，且過點(diǎn)P也

使得水源得到了平分。

思考：如果用后兩種方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案?

五、臺球桌上的數(shù)學(xué)問題

問題超市：臺球被打到臺球桌邊上，反彈回來，就是我們常用的對稱問題。臺球從球

桌的一個角出發(fā)，若沿著45。角將球打到對邊，然后，球經(jīng)過幾次碰撞，最后到另外的三

個角落之一。如果臺球桌的長和寬之比為2:1,需要碰撞幾次？如果臺球桌的長和寬之比

為3:2、4:3、5:2、5:3……情況又會怎樣？

知識介紹：此題類似于物理中光線的反射，當(dāng)光線入射到平面鏡上的時候，光線會被

鏡子反射。把反射光線和入射光線看成兩條直線的話，那么入射角等于反射角。這在數(shù)學(xué)

上就是軸對稱。在臺球桌(長方形)，由于入射角是45。，所以反射角也是45。，這樣入射

線和反射線形成一個直角，相應(yīng)的，在臺球桌上就構(gòu)成了一個等腰直角三角形，利用這一

性質(zhì)我們可以得到一些有趣的結(jié)論。

問題分析：我們分下面幾種情況進(jìn)行分析：

(1)如果長寬比為2:1,如圖，則1