人教版高中數(shù)學全冊教案-09-直線、平面、簡單幾何體-15

三垂線定理練習課一

教學目標

1.進一步理解、記憶并應用三垂線定理及其逆定理；

2.理解公式cos。j?cos0z=cos。的證明及其初步應用；（課本第122頁

第3題）

3.理解正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直及其應用；

4.了解課本第33頁第11題.

教學重點和難點

教學的重點是進一步掌握三垂線定理及其逆定理并應用它們來解有關的

題.教學的難點是在講公式cos0,?cos02=cos0應用時比較02與0的大小.

教學設計過程

師：上一節(jié)課我們講了三垂線定理及其逆定理的證明并初步應用了這兩個定

理來解一些有關的題.今天我們要進一步應用這兩個定理來解一些有關的題，先

看例1.

圖1

例1如圖1,AB和平面a所成的角是0“AC在平面a內(nèi)，BB'，平面a

于B',AC和AB的射影AB'成角0”設NBAC=0.求證：

cos9?,cos02=cos0.

師：這是要證明三個角02和。的余弦的關系，已經(jīng)在直角^ABB'

中，我們能否先作出兩個直角三角形分別使0z和9是這兩個直角三角形中的銳

角.

生：作B'D，AC于D,連BD,則BD_LAC于D.這時02是直角^B'DA中的

一個銳角，0是直角aABD中的一個銳角.

師：剛才的表述是應用三垂線定理及其逆定理時常常使用的“套話”，我們

一定要很好理解并能熟練地應用.現(xiàn)在已經(jīng)知道。八0,和。分別在三個直角三

角形中，根據(jù)三角函數(shù)中的余弦的定義分別寫出這三個角的余弦，再來證明這公

式.

生，因為cotB廣祭?8*8：=借，=笫?

ADAD

aaAB*ADADa

所以<^6^00.9,=—.-=—=cose.

師：這個公式的證明是利用余弦的定義把它們轉化成鄰邊與斜邊的比，為此

要先作出直角三角形，為了作出直角三角形我們應用了三垂線定理.當然也可用

它的逆定理.

這個公式是在課本第121頁總復習參考題中的第3題.我們?yōu)槭裁匆崆爸v

這個公式呢？講這個公式的目的是為了用這個公式，因為在解許多有關題時都要

用到這公式.那我們要問在什么條件下可用這個公式？

生：因為％是斜線AB與平面a所成的角，所以只有當圖形中出現(xiàn)斜線與平

面所成的角時，才有可能考慮用這公式.

師：為了在使用這個公式時方便、易記，我們規(guī)定以表示斜線與平面所成

的角，02是平面內(nèi)過斜足的?條射線與斜線射影所成的角，。是這條射線與斜

線所成的角.下面我們來研究一下這個公式的應用.

應用這個公式可解決兩類問題.

第一是求值.即已知這公式中的兩個角，即可求出第三個角或其余弦值.

例如：

當8[=45*,*=45*時，co?8=00945*,co?45*=；.

0=60°,這時02V0；

當=.81=45*時，co*。=8?31r?co*4?罵

當。i=45°，。2=135°時，cos9=cos45°,cosl35°

o=i2(r,這o凡〉e.

第二是比較02與e的大小.因為我們已經(jīng)規(guī)定oI是斜線與平面所成的角，

一定有o°V以V90°,它的大小不變，為了比較口與。的大小，下面分三種

情況進行討論.

0

(1)92=90,因為0尸90°,所以cos。尸。，因此cos0=cos0??cos

九=0,故0=90°.當9=90°時，我們也可以證明。尸90°.

當由9：=第*=>e=%?時，在圖中聞］可以看出，平匍內(nèi)的

--條直線如果和斜線的射影垂直,那么它就和斜線垂直.這就是三垂線定理.

當由e=90?=8.=90*時,在圖中費們可以看出：平面內(nèi)的

一條直線如果和斜線垂直，那么它就和斜線的射影垂直.這就是三垂線定理

的逆定理.

所以，我們可以這樣說，這個公式是三垂線定理及其逆定理的一般情況，而

三垂線定理及其逆定理是這公式的特殊情況.

現(xiàn)在我們來研究在02是銳角時，02與。的大小.

(2)0°<02<90°.

師：在這個條件下，我們怎樣來比較0口與。的大?。?/p>

生：因為0°<0,<90°,所以OVcosOiVl,又因為0°<92<90°,所

以OVcos。2Vl.又因為cos。=cos0i?cos0”所以0<(：0$。1<1,而且cos

0=cos0I?cos02<cos02,在銳角條件下，余弦函數(shù)值大的它所對應的角小.所

以。2<。.

師：現(xiàn)在我們來討論當匕是鈍角時，02與。的大小.

(3)90°<92<180°.

在這個條件下，我們不再用公式COSe!?COS92=COS9做理論上的證明來

比較92與。的大小，而是一起來看模型(或圖形).

我們假設以的鄰補角為。'”。的鄰補角為0',即0,+0'k180°,

0+。'=180°.在模型(或圖形)中我們可以看出當口是鈍角時，0也是鈍

角，所以它們的兩個鄰補角0'2和0'都是銳角，由對第二種情況的討論我們

知道O'.由等量減不等量減去小的大于減去大的，所以由02=180°-

0'2,o=180°-Q',可得0.

根據(jù)以上討論現(xiàn)在小結如下：

當。2=90°時，0=。2=90°,它們都是直角.

當0。V0zV90°時,02<0,它們都是銳角;

當90°<。2<180°時，。2>0,它們都是鈍角.

關于公式cos0,?cos0產(chǎn)cos0的應用，今后還要隨著課程的進展而反復

提到.現(xiàn)在我們來看例2.

例2如圖2,在正方體ABCD-ABCD中,求證:

圖2

(1)ACJ_平面CDB于G；

(2)垂足G為正△CDB的中心；

(3)A,G=2GC.

師：我們先來證明第(1)問.要證直線與平面垂直即要證什么？

生：要證A.C與平面C,DB內(nèi)兩條相交的直線垂直.

師：我們先證AC為什么與DB垂直？

生：連AC,對平面ABCD來說，A.A是垂線，A,C是斜線，AC是A,C在平面ABCD

上的射影，因為AC_LDB(正方形的性質(zhì)),所以AlC±DB.(三垂線定理)

同理可證ACJ_BC.

因為AC，平面GDB（直線與平面垂直的判定理）

（在證ACJ_BC時，根據(jù)情況可詳、可略，如果學生對應用三垂線定理還不

太熟悉，則可讓學生把這證明過程再敘述一遍，因為這時是對平面BBCG來說，

AB是垂線，AC是斜線，BC是AC在平面BBCG上的射影，由BC_LBG,得AC

±BC,）

師：現(xiàn)在來證第（2）問，垂足G為什么是正△CDB的中心？

生：因為AB=AC=AD,所以BG=GC尸DG,故G是正△CDB的外心，正三

角形四心合一，所以G是正△GDB的中心.

師：現(xiàn)在來證第（3）問，我們注意看正方體的對角面AACC,在這對角面

內(nèi)有沒有相似三角形？

生：在正方體的對角面AACG內(nèi)，由平面幾何可知△AGCSAOGC,且AC：

OC=A,G：GC,所以A.G：GC=2：1,因此A,G=2GC.

師：例2是在正方體的體對角線與其異面的面對角線互相垂直引申而來，而

例2也是一個基本的題型，對于以后證有關綜合題型時很有用.所以對例2的證

明思路和有關結論，盡可能的理解、記住.現(xiàn)在我們來看例3.

P

例3如圖3,已知：RtZ\ABC在平面a內(nèi)，PC,平面a于C,D為斜邊AB

的中點，CA=6,CB=8,PC=12.求：

（1）P,D兩點間的距離；

（2）P點到斜邊AB的距離.

師：現(xiàn)在先來解第（1）問，求P,D兩點間的距離.

生.連PD,CD,由平面幾何可丸1AB=IO,CD=|AB=5,

又因?PCi平面a,所0lPCj_CD,故PD=6**12：=13.

師：現(xiàn)在我們來解第（2）問，求P點到AB邊的距離.

生：作PEJ_AB于E,連CE則CELAB.（三垂線定理的逆定理）PE就是P

點到AB邊的距離.

師：要求PE就要先求CE,CE是直角三角形ABC斜邊上的高，已知直角三角

形的三邊如何求它斜邊上的高呢？

生：可用等積式CE-AB=AC?CB,即斜邊上的高與斜邊的乘積等于兩直角

邊的乘積.

師：這個等積式是怎樣證明的？

生：有兩種證法.因CE?AB是Rt^ABC面積的二倍，而AC?CB也是RtA

ABC面積的二倍，所以它們相等；也可用△BCES^ABC,對應邊成比例推出這個

等積式.

師：這個等積式很有用，根據(jù)這個等積式，我們可以由直角三角形的三邊求

出斜邊上的高，這個等積式以后在求有關距離問題時會常常用到，所以要理解、

記住、會用.現(xiàn)在就利用這等積式先求CE,再求PE.

...AC,BC6x824

生.因為CE=f=§

所以PE=WCE，等=收0+息=￡亞.

師：通過這一題我們要區(qū)分兩種不同的距離概念及求法；在求點到直線距離

時，經(jīng)常要用到三垂線定理或其道定理；在求直角三角形斜邊上的高時會利用上

述的等積式來求斜邊上的高.現(xiàn)在我們來看例4.

例4如圖4,已知：NBAC在平面a內(nèi)，P05a,POJ_平面a于0.如果

NPAB=NPAC.

求證：ZBA0=ZCA0.

p

圖4

（這個例題就是課本第32頁習題四中的第11題.這個題也可以放在講完課

本第30頁例1以后講.不論在講課本第30頁例1,還是在講這個例時，都應先

用模型作演示，使學生在觀察模型后，得出相關的結論，然后再進行理論上的證

明，這樣使學生對問題理解得具體、實在，因而效果也較好）

師：當我們觀察了模型后，很容易就猜想到了結論.即斜線PA在平面a上

的射線是NBAC的角平分線所在的直線，現(xiàn)在想一想可以有兒種證法？

生：作0DLAB于D,作0ELAC于E,連PD,PE,則PD_LAB,PE±AC.

所以RtaPADgRtZ\PAE,因此PD=PE,故0D=0E,所以NBA0=NCA0.

師：今天我們講了公式cosh?cosOz=cos。.能否用這公式來證明這題.

（利用這公式來證明這個題，完全是由學生想到的，當然如果有的班學生成

績較差，思路不活，也可做些必要的提示）

生：因為NPA0是斜線與平面a所成的角，所以可以考慮用公式cos。「cos

0戶cose.ZPA0相當于el；NPAB=NPAC它們都相當于0,由公式可得。，

=0'2,即NBA0=NCA0.

師：今天我們是應用三垂線定理及其逆定理來解這四個例題