高考數(shù)一輪復習 7.2空間立體幾何體的表面積和體積講解與練習 理 新人教A版

eq\a\vs4\al(第二節(jié)空間幾何體的表面積和體積)[備考方向要明了]考什么怎么考了解球體、柱體、錐體、臺體的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式).1.多以選擇題或填空題的形式考查，有時也以解答題形式考查．2.常以三視圖為載體考查幾何體的表面積或體積，如年安徽T12，廣東T6，浙江T11等．也可以給出幾何體的棱、面滿足的條件來計算表面積或體積，如年江蘇T7，山東T13.解答題(其中的一問)一般給出相關條件來判斷幾何體形狀特征(特別是幾何體的高)并計算體積或表面積，如年湖南T18(2)，湖北T19(2)等.[歸納·知識整合]1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l2.空間幾何體的表面積和體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[探究]1.柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么聯(lián)系？提示：2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？提示：常用方法：分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法．通過計算轉(zhuǎn)化得到基本幾何體的體積來實現(xiàn)．[自測·牛刀小試]1．棱長為2的正四面體的表面積是()A.eq\r(3) B．4C．4eq\r(3) D．16解析：選C正四面體的各面為全等的正三角形，故其表面積S＝4×eq\f(\r(3),4)×22＝4eq\r(3).2．(·上海高考)一個高為2的圓柱，底面周長為2π，該圓柱的表面積為________．解析：由已知條件得圓柱的底面半徑為1，所以S表＝S側(cè)＋2S底＝cl＋2πr2＝2π×2＋2π＝6π.答案：6π3．(教材習題改編)一個球的半徑擴大為原來的3倍，則表面積擴大為原來的______倍；體積擴大為原來的______倍．解析：設原球的半徑為1，則半徑擴大后半徑為3，則S1＝4π，S2＝4π×32＝36π，即eq\f(S2,S1)＝9，所以表面積擴大為原來的9倍．由V1＝eq\f(4,3)π，V2＝eq\f(4,3)π×33＝12π，即eq\f(V2,V1)＝27，所以體積擴大為原來的27倍．答案：9274．(·遼寧高考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：由三視圖可知該組合體的上方是一個高為1，底面直徑為2的圓柱，下方是一個長、寬、高分別為4、3、1的長方體，如圖所示，它的體積V＝1×π＋4×3×1＝12＋π.答案：12＋π5．(教材習題改編)如圖，用半徑為2的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的容積是________．解析：由于半圓的圓弧長等于圓錐底面圓的周長，若設圓錐底面圓半徑為r，則得2π＝2πr，解得r＝1，又圓錐的母線長為2，所以高為eq\r(3)，所以這個圓錐筒的容積為eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.答案：eq\f(\r(3),3)π幾何體的表面積[例1](·北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)[自主解答]該三棱錐的直觀圖如圖所示．據(jù)俯視圖知，頂點P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90°，據(jù)正視圖知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，據(jù)側(cè)視圖知，BC＝4.綜上所述，BC⊥平面PAB，PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝5，PC＝eq\r(BC2＋PB2)＝eq\r(16＋25)＝eq\r(41)，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(41)，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝2eq\r(5).∵PC＝AC＝eq\r(41)，∴△PAC的邊AP上的高為h＝eq\r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AP,2)))2)＝6.∴S△PAB＝eq\f(1,2)AB·PD＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝10，S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝10，S△APC＝eq\f(1,2)AP·h＝6eq\r(5).故三棱錐的表面積為S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6eq\r(5).[答案]B———————————————————由三視圖求幾何體表面積的方法步驟eq\x(\a\al(根據(jù)三視圖,畫出直觀圖))→eq\x(\a\al(確定幾何體,的結(jié)構(gòu)特征))→eq\x(\a\al(利用有關,公式計算))1．(·馬鞍山模擬)如圖是一個幾何體的三視圖，則它的表面積為()A．4π B.eq\f(15π,4)C．5π D.eq\f(17π,4)解析：選D由三視圖可知該幾何體是半徑為1的球被挖出了eq\f(1,8)部分得到的幾何體，故表面積為eq\f(7,8)·4π·12＋3·eq\f(1,4)·π·12＝eq\f(17,4)π.幾何體的體積[例2](1)(·湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(8π,3) B．3πC.eq\f(10π,3) D．6π(2)(·安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是________．[自主解答](1)由三視圖可知，該組合體上端為一圓柱的一半，下端為圓柱．其體積V＝π×12×2＋eq\f(1,2)×π×12×2＝3π.(2)據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個直四棱柱，其底面是直角梯形(兩底邊長分別為2、5，直腰長為4，即梯形的高為4)，高為4.∴該幾何體的體積為V＝eq\f(2＋5,2)×4×4＝56.[答案](1)B(2)56———————————————————由三視圖求解幾何體體積的解題策略以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系，然后在直觀圖中求解．2．(·新課標全國卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A．6 B．9C．12 D．18解析：選B由三視圖可知該幾何體為底面是斜邊為6的等腰直角三角形高為3的三棱錐，其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×3×3＝9.3．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)解析：選A圓錐的底面半徑為1，高為2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即V＝23－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2,3)π.與球有關的切、接問題[例3](·新課標全國卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)[自主解答]△ABC的外接圓的半徑r＝eq\f(\r(3),3)，點O到平面ABC的距離d＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(6),3).SC為球O的直徑，故點S到平面ABC的距離為2d＝eq\f(2\r(6),3)，故棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC×2d＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(\r(2),6).[答案]A———————————————————與球有關的切、接問題的解題策略解決球與其他幾何體的切、接問題，關鍵在于仔細觀察、分析，弄清相關元素的關系和數(shù)量關系，選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關系)，達到空間問題平面化的目的．4．已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為3eq\r(2)，則這個四棱錐的外接球的表面積為()A．12π B．36πC．72π D．108π解析：選B依題意得，該正四棱錐的底面對角線的長為3eq\r(2)×eq\r(2)＝6，高為eq\r(3\r(2)2－\f(1,2)×62)＝3，因此底面中心到各頂點的距離均等于3，所以該四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，所以其外接球的表面積等于4π×32＝36π.3個步驟——求解與三視圖有關的幾何體的表面積、體積的解題步驟3種方法——求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關的體積公式計算．(2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等．(3)割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體．1種數(shù)學思想——求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積中的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.創(chuàng)新交匯——空間幾何體中體積的最值問題1．求空間幾何體的體積一直是高考考查的重點，幾乎每年都考查，既可以與三視圖結(jié)合考查，又可以單獨考查．而求空間幾何體體積的最值問題，又常與函數(shù)、導數(shù)、不等式等知識交匯考查．2．求解空間幾何體最值問題，可分為二步：第一步引入變量，建立關于體積的表達式；第二步以導數(shù)或基本不等式為工具求最值．[典例](·湖北高考(節(jié)選))如圖1，∠ACB＝45°，BC＝3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90°(如圖2所示)．當BD的長為多少時，三棱錐A－BCD的體積最大？[解]如圖1所示的△ABC中，設BD＝x(0<x<3)，則CD＝3－x.由AD⊥BC，∠ACB＝45°知△ADC為等腰直角三角形，所以AD＝CD＝3－x.由折起前AD⊥BC知，折起后(如圖2)，AD⊥DC，AD⊥DC，且BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，∠BDC＝90°，所以S△BCD＝eq\f(1,2)BD·CD＝eq\f(1,2)x(3－x)．于是VA－BCD＝eq\f(1,3)AD·S△BCD＝eq\f(1,3)(3－x)·eq\f(1,2)x(3－x)．法一：VA－BCD＝eq\f(1,6)(x3－6x2＋9x)．令f(x)＝eq\f(1,6)(x3－6x2＋9x)．由f′(x)＝eq\f(1,2)(x－1)(x－3)＝0，且0<x<3，解得x＝1.當x∈(0,1)時，f′(x)>0；當x∈(1,3)時，f′(x)<0，所以當x＝1時，f(x)取得最大值，即BD＝1時，三棱錐A－BCD的體積最大．法二：VA－BCD＝eq\f(1,12)·2x(3－x)(3－x)≤eq\f(1,12)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3－x＋3－x,3)))3＝eq\f(2,3)，當且僅當2x＝3－x，即x＝1時，取“＝”．故當BD＝1時，三棱錐A－BCD的體積最大．eq\a\vs4\al([名師點評])解答此題的關鍵是恰當引入變量x，即令BD＝x，結(jié)合位置關系列出體積的表達式，將求體積的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．eq\a\vs4\al([變式訓練])如圖，動點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的對角線BD1上．過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N.設BP＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()解析：選B顯然，只有當P移動到中心O時，MN有唯一的最大值，淘汏選項A、C；P點移動時，取AA1的中點E，CC1的中點Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N兩點在菱形D1EBQ的邊界上運動，故x與y的關系應該是線性的，淘汰選項D，選B.一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．3解析：選A設圓臺較小底面半徑為r，則另一底面半徑為3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.2．(·長春模擬)一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為()A.eq\f(3,2)π B．2πC．3π D．4π解析：選A依題意知，該幾何體是一個底面半徑為eq\f(1,2)、高為1的圓柱，則其全面積為2π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋2π×eq\f(1,2)×1＝eq\f(3,2)π.3．(·廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：選C此幾何體由半個球體與一個圓錐組成，其體積V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×33＋eq\f(1,3)π×32×eq\r(52－32)＝30π.4．(·廣州模擬)設一個球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的值等于()A.eq\f(2,π) B.eq\f(6,π)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,2)解析：選D設球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長為a，則易知R2＝eq\f(3,4)a2，即a＝eq\f(2\r(3),3)R，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(4πR2,6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)R))2)＝eq\f(π,2).5．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．48 B．32＋8eq\r(17)C．48＋8eq\r(17) D．80解析：選C由三視圖可知幾何體是一個放倒的直棱柱(最大的側(cè)面貼在地面上)，直觀圖如圖，底面是等腰梯形，其上底長為2，下底長為4，高為4，∴兩底面積和為2×eq\f(1,2)×(2＋4)×4＝24，四個側(cè)面的面積為4×(4＋2＋2eq\r(17))＝24＋8eq\r(17)，∴幾何體的表面積為48＋8eq\r(17).6．已知正方形ABCD的邊長為2eq\r(2)，將△ABC沿對角線AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如圖所示的三棱錐B－ACD.若O為AC邊的中點，M，N分別為線段DC，BO上的動點(不包括端點)，且BN＝CM.設BN＝x，則三棱錐N－AMC的體積y＝f(x)的函數(shù)圖象大致是()解析：選B由平面ABC⊥平面ACD，且O為AC的中點可知，BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱錐N－AMC的高為ON＝2－x，S△AMC＝eq\f(1,2)MC·AD＝eq\r(2)x，故三棱錐N－AMC的體積為y＝f(x)＝eq\f(1,3)·(2－x)·eq\r(2)x＝eq\f(1,3)(－eq\r(2)x2＋2eq\r(2)x)(0<x<2)，函數(shù)f(x)的圖象為開口向下的拋物線的一部分．二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．(·安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是________．解析：由三視圖可知此幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱，其表面積S＝(4＋2＋5＋5)×4＋2×eq\f(1,2)×(2＋5)×4＝92.答案：928．(·江蘇高考)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，則四棱錐A－BB1D1D的體積為________cm3.解析：由題意，四邊形ABCD為正方形，連接AC，交BD于O，則AC⊥BD.由面面垂直的性質(zhì)定理，可證AO⊥平面BB1D1D.四棱錐底面BB1D1D的面積為3eq\r(2)×2＝6eq\r(2)，從而VA－BB1D1D＝eq\f(1,3)×OA×S長方形BB1D1D＝6.答案：69．一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的外接球的表面積為________．解析：該棱錐的直觀圖如圖，取CD的中點E，BD的中點F，由三視圖知，AE⊥平面BCD，AF＝5，AE＝eq\r(52－32)＝4，∠CBD＝90°.設O為該棱錐外接球的球心，半徑為R，由題知BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(3eq\r(2))2＋(R－4)2，解得R＝eq\f(17,4)，故球的表面積為S＝4×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,4)))2＝eq\f(289π,4).答案：eq\f(289π,4)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．(·杭州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺側(cè)＋S圓臺下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺－V圓錐＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π·22＋π·52＋\r(22·52π2)))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.11．(·鄭州模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(cè)視圖是一個長為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3).所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側(cè)面ABB1A1，CDD1C1均為矩形，所以S＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).12．如圖1所示，在邊長為12的正方形ADD1A1中，點B、C在線段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB1∥AA1分別交A1D1、AD1于點B1、P，作CC1∥AA1分別交A1D1、AD1于點C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得DD1與AA1重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱ABC－A1B1C1.(1)求證：AB⊥平面BCC1B1；(2)求多面體A1B1C1－APQ的體積．解：(1)由題知，在圖2中，AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴AB2＋BC2＝CA2，∴AB⊥BC.又∵AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BCC1B1.(2)由題易知三棱柱