材料力學(xué)(第三版) 課件 第2章 軸向拉壓與材料的力學(xué)性能

第2章軸向拉壓與材料的力學(xué)性能2.1引言2.2-拉壓桿的內(nèi)力與應(yīng)力2.3材料拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能2.4拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算2.5拉壓桿的變形計(jì)算2.6簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題2.7連接件的強(qiáng)度計(jì)算習(xí)題

2.1引言

在生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)常遇到承受拉伸或壓縮的桿件。例如，圖2-1(a)所示的連接螺栓承受拉力作用，圖2-1(b)所示的活塞桿承受壓力作用。此外，如起重鋼索在起吊重物時(shí)承受拉力作用；千斤頂?shù)穆輻U在頂起重物時(shí)承受壓力作用；而桁架中的桿件，則不是受拉就是受壓。

圖2-1

工程中受拉或受壓的桿件很多，它們的外形各不相同，加載方式也迥異，但它們的共同特點(diǎn)是：作用于桿件上的外力或其合力的作用線(xiàn)沿桿件軸線(xiàn)，而桿件的主要變形為軸向伸長(zhǎng)或縮短。作用線(xiàn)沿桿件軸線(xiàn)的載荷，稱(chēng)為軸向載荷。以軸向伸長(zhǎng)或縮短為主要特征的變形形式，稱(chēng)為軸向拉壓。以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱(chēng)為拉壓桿。圖2-2是等截面拉壓桿的力學(xué)簡(jiǎn)圖，圖中虛線(xiàn)表示變形后的形狀。

圖2-2

2.2-拉壓桿的內(nèi)力與應(yīng)力

2.2.1軸力與軸力圖對(duì)于圖2-3(a)所示兩端承受軸向載荷F作用的拉壓桿，為了顯示和確定橫截面上的內(nèi)力，應(yīng)用截面法，沿橫截面m-m假想地將桿件分成兩部分(見(jiàn)圖2-3(b)、(c))。兩段桿件在橫截面m-m上相互作用的內(nèi)力是一個(gè)分布力系，其合力為FN。根據(jù)二力平衡條件可知，F(xiàn)N必沿桿件軸線(xiàn)方向，所以稱(chēng)為軸力。軸力或?yàn)槔Γ驗(yàn)閴毫?。?xí)慣上把拉伸時(shí)的軸力規(guī)定為正，壓縮時(shí)的軸力規(guī)定為負(fù)。

軸力的代數(shù)值可以由桿件左段(或右段)的平衡方程∑Fx=0求得。由圖2-3(b)，得

圖2-3

例2-1試?yán)L制圖2-4(a)所示拉壓桿的軸力圖。

解(1)計(jì)算桿件各段的軸力。根據(jù)該拉壓桿承受的外力，將桿件分為AB、BC、CD三段，分別以11、2-2與33截面為各段代表性截面。

先計(jì)算AB段的軸力。沿11截面假想地將桿件截開(kāi)，取其受力簡(jiǎn)單的左段桿為研究對(duì)象，假定該截面上的軸力FN1為正(見(jiàn)圖2-4(b))，由平衡方程∑Fx=0，得

故

再計(jì)算BC段的軸力。沿2-2截面假想地將桿件截開(kāi)，以左段作為研究對(duì)象，假設(shè)軸力FN2為正(見(jiàn)圖2-4(c))，由平衡方程∑Fx=0，得

故

FN2為負(fù)值，表示實(shí)際軸力方向與假設(shè)方向相反，即為壓力。

同樣可算得CD段33截面(見(jiàn)圖2-4(d))上的軸力為FN3=-4kN。

(2)繪軸力圖。以平行于桿軸的坐標(biāo)x表示橫截面的位置，垂直于桿軸的另一坐標(biāo)FN表示相應(yīng)截面的軸力，繪制的這種圖線(xiàn)就是軸力圖(見(jiàn)圖2-4(e))。在工程中，有時(shí)可將x和FN坐標(biāo)軸省略，這樣的軸力圖如圖2-4(f)所示。軸力圖需要標(biāo)明軸力的單位與各段的正、負(fù)和數(shù)值，并且要與桿件的橫截面位置相對(duì)應(yīng)，以便清晰表明軸力沿桿軸的變化情形。顯然，由軸力圖2-4(e)、(f)可以看出，該拉壓桿在AB段受拉，在BCD段受壓；桿內(nèi)軸力的最大值為12kN。

圖2-4

2.2.2-橫截面上的應(yīng)力

圖2-5(a)所示為一等截面直桿，變形前，在其側(cè)面畫(huà)兩條垂直于桿軸的橫線(xiàn)ab與cd。然后，在桿兩端施加一對(duì)大小相等、方向相反的軸向載荷F。拉伸變形后，發(fā)現(xiàn)橫線(xiàn)ab與cd仍為直線(xiàn)，且仍垂直于桿件軸線(xiàn)，只是間距增大，分別平移至圖示a'b'與c'd'位置。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線(xiàn)。這就是軸向拉壓時(shí)的平面假設(shè)。由此可以設(shè)想，組成拉壓桿的所有縱向纖維的伸長(zhǎng)是相同的。又由于材料是均勻的，所有縱向纖維的力學(xué)性能相同，可以推斷各縱向纖維的受力是一樣的。因此，拉壓桿橫截面上各點(diǎn)的正應(yīng)力σ相等，即橫截面上的正應(yīng)力是均勻分布的。

圖2-5

2.2.3圣維南原理

當(dāng)作用在桿端的軸向外力，沿橫截面非均勻分布時(shí)，外力作用點(diǎn)附近各截面的應(yīng)力，也為非均勻分布。圣維南(Saint-Venant)原理指出，力作用于桿端的分布方式，只影響桿端局部范圍內(nèi)的應(yīng)力分布，影響區(qū)域的軸向范圍約為1~2個(gè)桿端的橫向尺寸。此原理已為大量試驗(yàn)與計(jì)算所證實(shí)。例如，圖2-6(a)所示承受集中力F作用的桿，其截面寬度為h，在x=h/4與x=h/2的橫截面11與2-2上，應(yīng)力明顯為非均勻分布(見(jiàn)圖2-6(b)、(c))，但在x=h的橫截面33上，應(yīng)力則趨向均勻分布(見(jiàn)圖2-6(d))。

圖2-6

2.2.4拉壓桿斜截面上的應(yīng)力

考慮圖2-7(a)所示拉壓桿，利用截面法，沿任一斜截面m-m將桿切開(kāi)，該截面的方位以其外法線(xiàn)軸n與x軸間的夾角α表示。仿照證明橫截面上正應(yīng)力均勻分布的方法，可知斜截面m-m上的應(yīng)力pα亦為均勻分布(見(jiàn)圖2-7(b))，且其方向與桿軸平行。

圖2-7

由式(2-2)可知，當(dāng)α=0°時(shí)，正應(yīng)力最大，其值為

即拉壓桿的最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上，其值為σ。

由式(2-3)可知，當(dāng)α=45°時(shí)，切應(yīng)力最大，其值為

即拉壓桿的最大切應(yīng)力發(fā)生在與桿軸成45°的斜截面上，其值為σ/2。

為便于應(yīng)用上述公式，現(xiàn)對(duì)方位角與切應(yīng)力的正負(fù)符號(hào)作如下規(guī)定：以x軸正向?yàn)槭歼?，向斜截面外法線(xiàn)方向旋轉(zhuǎn)，規(guī)定方位角α逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)；切應(yīng)力使得研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖2-7(c)所示之α與τα均為正。

例2-2-圖2-8(a)圖2-8(a)所示右端固定的階梯形圓截面桿，同時(shí)承受軸向載荷F1與F2-作用。試計(jì)算桿橫截面上的最大正應(yīng)力。已知載荷F1=20kN，F(xiàn)2=50kN，桿件AB段與BC段的直徑分別為d1=20mm與d2=30mm。圖2-8

例2-3圖2-9(a)所示的軸向受壓等截面桿，橫截面面積A=400mm2，載荷F=50kN。試計(jì)算斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力。圖2-9

2.3材料拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能也稱(chēng)為機(jī)械性能，是指材料在外力作用下所表現(xiàn)出的變形、破壞等方面的特性。材料的力學(xué)性能要通過(guò)試驗(yàn)來(lái)測(cè)定。在室溫下，以緩慢平穩(wěn)的加載方式進(jìn)行試驗(yàn)，是測(cè)定材料力學(xué)性能的基本試驗(yàn)。

2.3.1拉伸試驗(yàn)與應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)

為了便于比較不同材料的試驗(yàn)結(jié)果，需要將試驗(yàn)材料按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定加工成標(biāo)準(zhǔn)試樣。常用的標(biāo)準(zhǔn)拉伸試樣如圖2-10所示，標(biāo)記m與n之間的桿段為試驗(yàn)段，其長(zhǎng)度l稱(chēng)為標(biāo)距。對(duì)于試驗(yàn)段直徑為d的圓截面試樣(見(jiàn)圖2-10(a))，通常規(guī)定

而對(duì)于試驗(yàn)段橫截面面積為A的矩形截面試樣(見(jiàn)圖2-10(b))，則規(guī)定

圖2-10

試驗(yàn)時(shí)，首先將試樣安裝在材料試驗(yàn)機(jī)的上、下夾頭內(nèi)(見(jiàn)圖2-11)，并在標(biāo)記m和n處安裝測(cè)量變形的儀器。然后開(kāi)動(dòng)試驗(yàn)機(jī)，緩慢加載，試驗(yàn)段的拉伸變形用Δl表示。通過(guò)測(cè)量力與變形的裝置，試驗(yàn)機(jī)可以自動(dòng)記錄所加載荷以及相應(yīng)的伸長(zhǎng)量，得到拉力F與變形Δl間的關(guān)系曲線(xiàn)如圖2-11所示，稱(chēng)為試樣的拉力伸長(zhǎng)曲線(xiàn)或拉伸圖。試驗(yàn)一直進(jìn)行到試樣斷裂為止。

圖2-11

2.3.2-低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能

低碳鋼(含碳量0.25%以下)是工程中廣泛使用的金屬材料，其應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)非常典型。圖2-12所示為Q235鋼的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)?，F(xiàn)以該曲線(xiàn)為基礎(chǔ)，并根據(jù)試驗(yàn)過(guò)程中觀(guān)察到的現(xiàn)象，介紹低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能。

圖2-12

1.彈性階段(O~b)

在拉伸的初始階段，應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)為一直線(xiàn)(圖中之Oa)，說(shuō)明在此階段內(nèi)，正應(yīng)力與線(xiàn)應(yīng)變成正比，即

引入比例常數(shù)E，可得

上述關(guān)系稱(chēng)為胡克定律，比例常數(shù)E稱(chēng)為材料的彈性模量。

線(xiàn)性階段最高點(diǎn)a所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，稱(chēng)為材料的比例極限，用σp表示；直線(xiàn)Oa的斜率在數(shù)值上等于材料的彈性模量E。Q235鋼的比例極限為σp≈200MPa，彈性模量為E≈200GPa。

從a點(diǎn)到b點(diǎn)，圖線(xiàn)ab稍微偏離直線(xiàn)Oa，正應(yīng)力σ和線(xiàn)應(yīng)變?chǔ)挪辉俦３謬?yán)格的線(xiàn)性關(guān)系，但變形仍然是彈性的，即卸除載荷后變形將完全消失，試件恢復(fù)原始尺寸。b點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是材料只產(chǎn)生彈性變形的最高應(yīng)力，稱(chēng)為彈性極限，用σe表示。對(duì)于大多數(shù)材料，在應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)上，a、b兩點(diǎn)非常接近，工程上常忽略這點(diǎn)差別，也可以說(shuō)，應(yīng)力不超過(guò)彈性極限時(shí)，材料服從胡克定律。

2.屈服階段(b~c)

超過(guò)彈性極限之后，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再保持線(xiàn)性關(guān)系。當(dāng)應(yīng)力增加至某一定值時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)呈現(xiàn)水平階段(可能有微小波動(dòng))。在此階段內(nèi)，應(yīng)力幾乎不變，而應(yīng)變急劇增大，材料暫時(shí)失去抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱(chēng)為屈服。屈服時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力最小值稱(chēng)為材料的屈服應(yīng)力或屈服極限，用σs表示，低碳鋼Q235的屈服極限為σs≈235MPa。如果試件表面光滑，屈服時(shí)試件表面出現(xiàn)與軸線(xiàn)約成45°的線(xiàn)紋(見(jiàn)圖2-13)。如前所述，在桿件的45°斜截面上作用有最大切應(yīng)力，因此，上述線(xiàn)紋可認(rèn)為是由最大切應(yīng)力所引起的，稱(chēng)之為滑移線(xiàn)。

圖2-13

3.強(qiáng)化(硬化)階段(c~e)

經(jīng)過(guò)屈服階段之后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力。這時(shí)，要使材料繼續(xù)變形需要增大應(yīng)力。經(jīng)過(guò)屈服滑移之后，材料重新呈現(xiàn)抵抗繼續(xù)變形的能力，這種現(xiàn)象稱(chēng)為冷作硬化或強(qiáng)化。強(qiáng)化階段的最高點(diǎn)e所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力，稱(chēng)為材料的強(qiáng)度極限，用σb表示。低碳鋼Q235的強(qiáng)度極限為σb≈380MPa。強(qiáng)度極限是材料所能承受的最大應(yīng)力，它是衡量材料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。

4.頸縮階段(e~f)

當(dāng)應(yīng)力增至最大值σb之后，試件的某一局部顯著收縮(見(jiàn)圖2-14)，產(chǎn)生所謂頸縮現(xiàn)象。圖2-14

2.3.3卸載定律及冷作硬化現(xiàn)象

如將試件拉伸到超過(guò)彈性范圍后的任意一點(diǎn)處，如圖2-12中的d點(diǎn)，然后緩慢卸除拉力，應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系將沿圖中dd'直線(xiàn)回到d'點(diǎn)。斜直線(xiàn)dd'近似地平行于直線(xiàn)Oa。說(shuō)明材料在卸載過(guò)程中應(yīng)力與應(yīng)變呈線(xiàn)性關(guān)系，這就是卸載定律。

試件卸載后，在短期內(nèi)再次加載，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系基本上沿卸載時(shí)的斜直線(xiàn)d'd變化，直到d點(diǎn)后又沿曲線(xiàn)def變化?？梢?jiàn)，在再次加載過(guò)程中，直到d點(diǎn)以前，材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系服從胡克定律。比較曲線(xiàn)Oabcdef和d'def，可見(jiàn)第二次加載時(shí)，其比例極限有顯著提高。這種現(xiàn)象稱(chēng)為冷作硬化現(xiàn)象或加工硬化現(xiàn)象。冷作硬化現(xiàn)象經(jīng)退火后可消除。

2.3.4材料的塑性

材料能經(jīng)受較大塑性變形而不破壞的能力，稱(chēng)為材料的塑性或延性。材料的塑性用延伸率或斷面收縮率度量。

試樣拉斷后，由于保留了塑性變形，試驗(yàn)段的長(zhǎng)度由原來(lái)的l變?yōu)閘1，將殘余變形與試驗(yàn)段原長(zhǎng)l的比值，稱(chēng)為材料的延伸率，并用δ表示，即

低碳鋼的延伸率約為25%~30%。延伸率大的材料，在軋制或冷壓成型時(shí)不易斷裂，并能承受較大的沖擊載荷。在工程中，通常將延伸率較大(δ≥5%)的材料稱(chēng)為延性或塑性材料；延伸率較小(δ<5%)的材料稱(chēng)為脆性材料。結(jié)構(gòu)鋼、鋁合金、黃銅等為塑性材料；而工具鋼、灰鑄鐵、玻璃、陶瓷等屬于脆性材料。

設(shè)試樣的原始橫截面面積為A，拉斷后縮頸處的最小截面面積為A1，則斷面收縮率為

Q235鋼的斷面收縮率ψ≈60%。

2.3.5其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

圖2-15所示為30鉻錳硅鋼、50鋼、硬鋁等金屬材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)。可以看出，它們斷裂時(shí)均具有較大的殘余變形，屬于塑性材料。不同的是，有些材料不存在明顯的屈服階段。

圖2-15x

對(duì)于不存在明顯屈服階段的塑性材料，工程中通常以卸載后產(chǎn)生數(shù)值為0.2%的殘余應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力作為屈服應(yīng)力，稱(chēng)為名義屈服極限，并用σ0.2表示。如圖2-16所示圖2-16

至于脆性材料，例如鑄鐵，從開(kāi)始受力直至斷裂，變形始終很小，既不存在屈服階段，也無(wú)頸縮現(xiàn)象。圖2-17所示為鑄鐵拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)，斷裂時(shí)的應(yīng)變僅為0.4%~0.5%，斷

口垂直于試樣軸線(xiàn)，即斷裂發(fā)生在最大拉應(yīng)力作用面，斷口表面呈粗糙顆粒狀。

圖2-17

2.3.6復(fù)合材料與高分子材料的拉伸力學(xué)性能

復(fù)合材料具有強(qiáng)度高、剛度大與密度小的特點(diǎn)。碳/環(huán)

氧(即碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹(shù)脂基體)是一種常用復(fù)合材料，圖2-18所示為某種碳/環(huán)氧復(fù)合材料沿纖維方向與垂直于纖維方向的拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)。

圖2-18

高分子材料也是一種常用的工程材料，圖2-19所示為幾種典型高分子材料拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)。圖2-18

2.3.7材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能

低碳鋼壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)如圖2-20(a)所示，為了便于比較，圖中還畫(huà)出了拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)?？梢钥闯觯皦嚎s曲線(xiàn)與拉伸曲線(xiàn)基本重合，壓縮與拉伸時(shí)的屈服應(yīng)力與彈性模量基本相同。不同的是，過(guò)了屈服階段后，隨著壓力不斷增大，低碳鋼試樣愈壓愈“扁平”(見(jiàn)圖2-20(b))，因而得不到壓縮強(qiáng)度極限。因?yàn)榭梢詮睦煸囼?yàn)測(cè)定低碳鋼壓縮時(shí)的力學(xué)性能，所以一般不進(jìn)行低碳鋼壓縮試驗(yàn)。

圖2-20

鑄鐵壓縮時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)如圖2-21(a)所示。壓縮強(qiáng)度極限遠(yuǎn)高于拉伸強(qiáng)度極限(約為3~4倍)。其他脆性材料如混凝土與石料等也具有上述特點(diǎn)，所以脆性材料宜作承壓構(gòu)件。鑄鐵壓縮破壞的形式如圖2-21(b)所示，斷口的方位角約為45°~55°。由于該截面上存在著較大的切應(yīng)力，所以，鑄鐵壓縮破壞是由最大切應(yīng)力所引起的。

為便于查閱與比較，表2-1列出了幾種常用材料在常溫、靜載下σs、σb和δ的數(shù)值。

圖2-21

2.3.8應(yīng)力集中

由于結(jié)構(gòu)與使用等方面的需要，許多構(gòu)件常常帶有溝槽(如螺紋)、油孔和圓角(構(gòu)件由粗到細(xì)的過(guò)渡圓角)等。在外力作用下，構(gòu)件中鄰近溝槽、油孔或圓角的局部范圍內(nèi)，應(yīng)

力急劇增大。例如，圖2-22(a)所示含圓孔的受拉薄板，圓孔處截面A-A上的應(yīng)力分布如圖2-22(b)所示，最大局部應(yīng)力σmax顯著超過(guò)該截面的平均應(yīng)力。由于截面急劇變化所引起的應(yīng)力局部增大現(xiàn)象稱(chēng)為應(yīng)力集中。圖2-22

應(yīng)力集中的程度用應(yīng)力集中因數(shù)K表示，其定義為

式中：σn為名義應(yīng)力。名義應(yīng)力是在不考慮應(yīng)力集中條件下求得的平均應(yīng)力。最大局部應(yīng)力是由試驗(yàn)或數(shù)值計(jì)算方法確定的。圖2-23給出了含圓孔與帶圓角板件在軸向受力時(shí)的應(yīng)力集中系數(shù)。

圖2-23

對(duì)于由塑性材料制成的構(gòu)件，應(yīng)力集中對(duì)其在靜載荷作用下的強(qiáng)度影響很小。因?yàn)楫?dāng)最大局部應(yīng)力σmax達(dá)到屈服應(yīng)力σs后，該處材料的變形可以繼續(xù)增長(zhǎng)而應(yīng)力卻不再加大。如果繼續(xù)增大載荷，則所增加的載荷將由同一截面的未屈服部分承擔(dān)，以致屈服區(qū)不斷擴(kuò)大(見(jiàn)圖2-24)，應(yīng)力分布逐漸趨于均勻。所以，在研究塑性材料構(gòu)件的靜強(qiáng)度問(wèn)題時(shí)，通?？梢?/p>

不考慮應(yīng)力集中的影響。

圖2-24

2.4拉壓桿的強(qiáng)度計(jì)算

2.4.1失效與許用應(yīng)力通常將材料的強(qiáng)度極限與屈服極限統(tǒng)稱(chēng)為材料的極限應(yīng)力，用σu表示。對(duì)于脆性材料，強(qiáng)度極限為其唯一強(qiáng)度指標(biāo)，通常以強(qiáng)度極限作為極限應(yīng)力；對(duì)于塑性材料，其屈服應(yīng)力小于強(qiáng)度極限，通常以屈服應(yīng)力作為極限應(yīng)力。

根據(jù)分析計(jì)算所得構(gòu)件的應(yīng)力，稱(chēng)為工作應(yīng)力。在理想情況下，為了充分利用材料的強(qiáng)度，似乎可以使構(gòu)件的工作應(yīng)力接近于材料的極限應(yīng)力，但實(shí)際上是不可能的，原因如下：

(1)作用在構(gòu)件上的外力常常估計(jì)不準(zhǔn)確。

(2)構(gòu)件的外形與所受外力往往比較復(fù)雜，進(jìn)行分析計(jì)算常常需要進(jìn)行一些簡(jiǎn)化。因此，計(jì)算所得應(yīng)力(即工作應(yīng)力)與實(shí)際應(yīng)力有一定的差別。

(3)實(shí)際材料的組成與品質(zhì)難免存在差異，不能保證構(gòu)件所用材料與標(biāo)準(zhǔn)試樣具有完全相同的力學(xué)性能，更何況由標(biāo)準(zhǔn)試樣測(cè)得的力學(xué)性能，本身也帶有一定的分散性，這種差別在脆性材料中尤為顯著。

(4)為了確保安全，構(gòu)件還應(yīng)具有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲(chǔ)備，特別是對(duì)于因破壞將帶來(lái)嚴(yán)重后果的構(gòu)件，更應(yīng)該給予較大的強(qiáng)度儲(chǔ)備。

由此可見(jiàn)，構(gòu)件工作應(yīng)力的最大容許值，必須低于材料的極限應(yīng)力。對(duì)于由確定材料制成的具體構(gòu)件，工作應(yīng)力的最大容許值，稱(chēng)為許用應(yīng)力，并用[σ]表示。許用應(yīng)力與極限應(yīng)力的關(guān)系為

式中，n為大于1的因數(shù)，稱(chēng)為安全因數(shù)。

2.4.2-強(qiáng)度條件

根據(jù)以上分析，為了保證拉壓桿在工作時(shí)不因強(qiáng)度不夠而破壞，桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力σmax不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力[σ]，即要求

上述判據(jù)稱(chēng)為拉壓桿的強(qiáng)度條件或強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。對(duì)于等截面拉壓桿，上式可寫(xiě)為

利用上述條件，可以解決以下三類(lèi)強(qiáng)度問(wèn)題：

(1)強(qiáng)度校核。

(2)設(shè)計(jì)截面。例如對(duì)于等截面拉壓桿，其所需橫

截面的面積為

(3)確定承載能力。如果已知拉壓桿的截面尺寸和許用應(yīng)力，根據(jù)強(qiáng)度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為

例2-4圖2-25所示空心圓截面桿，外徑D=20mm，內(nèi)徑d=15mm，承受軸向載荷F=20kN，材料的屈服應(yīng)力σs=235MPa，安全系數(shù)ns=1.5。試校核桿的強(qiáng)度。圖2-25

解桿件橫截面上的正應(yīng)力為

材料的許用應(yīng)力為

可見(jiàn)，工作應(yīng)力小于許用應(yīng)力，說(shuō)明桿件能夠安全工作。

例2-5圖2-26所示起重機(jī)的起重鏈條由圓鋼制成，承受的最大拉力為F=15kN。已知圓鋼材料為Q235鋼，考慮到起重時(shí)鏈條可能承受沖擊載荷，取許用應(yīng)力[σ]=40MPa。若只考慮鏈環(huán)兩邊所受的拉力，試確定圓鋼的直徑d。圖2-26

解利用截面法，可以求得鏈環(huán)每邊截面上的軸力為

所需圓環(huán)的橫截面面積為

由此可得鏈環(huán)的圓鋼直徑為

故可選用d=16mm的標(biāo)準(zhǔn)鏈環(huán)圓鋼。

例2-6圖2-27(a)所示為簡(jiǎn)易旋臂式吊車(chē)，斜拉桿由兩根50×50×5的等邊角鋼所組成，水平桿由兩根10號(hào)槽鋼組成。材料都是Q235鋼，許用應(yīng)力[σ]=120MPa。整個(gè)三角架可繞O1O1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，電動(dòng)葫蘆可沿水平桿移動(dòng)。當(dāng)電葫蘆在圖示位置時(shí)，求最大起吊重量F(包括電葫蘆自重)。兩桿自重略去不計(jì)。

圖2-27

解(1)受力分析。AB、AC兩桿的兩端均可簡(jiǎn)化為鉸鏈連接，故吊車(chē)的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖2-27(b)所示。取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，其受力圖如圖2-27(c)所示。設(shè)AC桿受拉力FN1，AB桿受壓力FN2。由平面匯交力系的平衡條件

得

2.5拉壓桿的變形計(jì)算

當(dāng)桿件承受軸向載荷時(shí)，其軸向與橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線(xiàn)方向的變形稱(chēng)為軸向變形或縱向變形；垂直于軸線(xiàn)方向的變形稱(chēng)為橫向變形。

2.5.1拉壓桿的軸向變形與胡克定律

圖2-282.5.2-拉壓桿的橫向變形與泊松比

例2-7圖2-29所示連接螺栓，連接部分的長(zhǎng)度l=600mm，直徑d=100mm，擰緊螺母時(shí)連接部分的伸長(zhǎng)變形Δl=0.30mm，螺

栓用鋼制成，其彈性模量E=200GPa，泊松比μ=0.30。試計(jì)算螺栓橫截面上的正應(yīng)力、螺栓的預(yù)緊力及橫向變形。圖2-29

例2-8圖2-30所示桁架由桿1和2組成，并在節(jié)點(diǎn)A承受集中載荷F作用。桿1用鋼桿制成，彈性模量E1=200GPa，橫截面積A1=100mm2，桿長(zhǎng)l1=1m；桿2用硬鋁管制成，彈性模量E2=70GPa，橫截面積A2=250mm2；載荷F=10kN。求節(jié)點(diǎn)A的

位移。

圖2-30

2.5.3軸向拉壓時(shí)的應(yīng)變能

在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷在相應(yīng)位移上做功。與此同時(shí)，彈性體因變形具有做功的能力，即具有能量。當(dāng)外力逐漸減小時(shí)，變形逐漸消失，彈性體又將釋放出儲(chǔ)存的能量而做功。如機(jī)械鐘表的發(fā)條被擰緊而產(chǎn)生變形，發(fā)條內(nèi)儲(chǔ)存能量；隨后發(fā)條在放松的過(guò)程中釋放能量，帶動(dòng)齒輪系使指針轉(zhuǎn)動(dòng)。彈性體因變形而儲(chǔ)存的能量，稱(chēng)為應(yīng)變能，并用Vε表示。

圖2-31

彈性體單位體積內(nèi)存儲(chǔ)的應(yīng)變能稱(chēng)為應(yīng)變能密度，并用νε表示。因?yàn)槔瓑簵U各部分的受力與變形是均勻的，桿的每一單位體積內(nèi)存儲(chǔ)的變形能應(yīng)相同，所以其應(yīng)變能密度為

利用功能原理可以解決與構(gòu)件或結(jié)構(gòu)變形有關(guān)的問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為能量法。

2.6簡(jiǎn)單拉壓靜不定問(wèn)題2.6.1靜不定問(wèn)題分析討論的問(wèn)題中，桿件的約束力與軸力都可由靜平衡方程完全確定，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜定問(wèn)題。在有些情況下，桿件的約束力與軸力并不能全由靜平衡方程解出，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。在靜定問(wèn)題中，未知力的數(shù)目等于獨(dú)立靜平衡方程的數(shù)目，所有未知力具有確定的解；在靜不定問(wèn)題中，未知力的數(shù)目多于獨(dú)立靜平衡方程的數(shù)目，即存在所謂的多余約束，未知力的解不完全確定。未知力數(shù)目與獨(dú)立靜平衡方程數(shù)目之差稱(chēng)為靜不定次數(shù)。

圖2-32

桁架三根桿原交于一點(diǎn)A，變形后它們?nèi)越挥谝稽c(diǎn)，此外，由于桿1與桿2的受力及抗拉剛度均相同，結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)節(jié)點(diǎn)A應(yīng)沿鉛垂方向下移，由A移動(dòng)到A'，桁架的變形如圖2-32(c)所示?？梢?jiàn)，為保證三桿變形后仍交于一點(diǎn)，即保證結(jié)構(gòu)的連續(xù)性，桿1、桿2的變形Δl1、Δl2-與桿3的變形Δl3之間應(yīng)滿(mǎn)足如下關(guān)系：

保證結(jié)構(gòu)連續(xù)性所滿(mǎn)足的變形幾何關(guān)系，稱(chēng)為變形協(xié)調(diào)條件，該條件用數(shù)學(xué)方程寫(xiě)出來(lái)稱(chēng)之為變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)條件即為求解靜不定問(wèn)題的補(bǔ)充條件。

設(shè)三桿的變形均處于線(xiàn)彈性范圍，則由胡克定律可知，各桿的變形與軸力間的關(guān)系分別為

示變形與軸力的關(guān)系式稱(chēng)為物理方程。將式(d)、(e)代入式(c)，得到用軸力表示的變形協(xié)調(diào)方程即補(bǔ)充方程：

最后，聯(lián)立求解方程(a)、(b)、(f)，得

所得結(jié)果均為正，說(shuō)明各桿軸力均為拉力的假設(shè)是正確的。

綜上所述，求解靜不定問(wèn)題必須考慮以下三個(gè)方面：滿(mǎn)足靜平衡方程；滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件；符合力與變形之間的物理關(guān)系。概而言之，即應(yīng)綜合考慮靜力學(xué)、幾何與物理三方面。

例2-10圖2-33所示結(jié)構(gòu)，梁BD可視為剛體，載荷F=50kN，桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積均為A，許用拉應(yīng)力[σt]=160MPa，許用壓應(yīng)力[σc]=120MPa，試確定各桿的橫截面面積。圖2-33

解(1)問(wèn)題分析。剛性梁BD在B處受固定鉸鏈支座約束，如果再受桿1或桿2中某一個(gè)二力桿件約束，結(jié)構(gòu)就是一個(gè)平面靜定結(jié)構(gòu)；但是該結(jié)構(gòu)是在桿1與桿2共同約束下，顯然存在著多余約束，屬于靜不定結(jié)構(gòu)。

在載荷F作用下，剛性梁BD將繞B點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蜃魑⑿∞D(zhuǎn)動(dòng)(如圖2-33(a)之虛線(xiàn)所示)，桿1伸長(zhǎng)，桿2縮短。與此相應(yīng)，桿1受拉，桿2受壓，其受力如圖2-33(b)所示，未知約束力共有4個(gè)，平面任意力系的獨(dú)立平衡方程只有3個(gè)，故為一靜不定問(wèn)題。

(2)建立平衡方程。因?yàn)楸纠恍枨蟪鲚S力FN1與FN2，建立平衡方程

另外兩個(gè)包括未知力FBx、FBy的平衡方程不必一一列出。

(3)建立補(bǔ)充方程。由變形關(guān)系圖2-33(a)，可寫(xiě)出變形協(xié)調(diào)方程為

根據(jù)胡克定律，得物理方程為

將式(c)、(d)代入式(b)，得補(bǔ)充方程為

(4)軸力計(jì)算與截面設(shè)計(jì)。聯(lián)立求解平衡方程(a)與補(bǔ)充方程(e)，得

根據(jù)拉壓桿的強(qiáng)度條件，得桿1與桿2所需之橫截面面積分別為

但是，由于該結(jié)構(gòu)的軸力是在A1=A2-的條件下求得的，如果桿1與桿2取不同的面積，軸力將隨之改變。因此，應(yīng)取

(5)討論。

2.6.2-熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力

靜不定問(wèn)題的另一重要特征是，溫度的變化以及制造誤差會(huì)在靜不定結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生應(yīng)力，這些應(yīng)力分別稱(chēng)為熱應(yīng)力(溫度應(yīng)力)與預(yù)應(yīng)力(初應(yīng)力、裝配應(yīng)力)。

靜不定結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力是由于熱膨脹(或收縮)受到約束而引起的。設(shè)桿件的原長(zhǎng)為l，材料的線(xiàn)膨脹系數(shù)為α，則當(dāng)溫度改變?chǔ)時(shí)，桿長(zhǎng)的改變量為

對(duì)于圖2-34所示的兩端固定桿，由于溫度變形被固定端所限制，桿內(nèi)即引起熱應(yīng)力。

為了分析該桿的熱應(yīng)力，假想地將B端的約束解除，以支反力FR代替其作用，桿的軸向變形包括由溫度引起的變形和約束力引起的變形兩部分，即

由于桿的總長(zhǎng)不變，因而有

由此求得桿內(nèi)橫截面上的正應(yīng)力即熱應(yīng)力為

圖2-34

不難看出，當(dāng)溫升較大時(shí)，熱應(yīng)力的數(shù)值相當(dāng)可觀(guān)，不可忽視。例如，對(duì)于鋼管，E=200GPa，α=1.25×10-5/℃，ΔT=40℃時(shí)，桿內(nèi)的熱應(yīng)力σT=100MPa。為了避免出現(xiàn)過(guò)高的熱應(yīng)力，蒸汽管道中有時(shí)設(shè)置伸縮節(jié)(見(jiàn)圖2-35)，鋼軌在兩段接頭之間預(yù)留一定量的縫隙等，以削弱熱膨脹所受的限制，降低溫度應(yīng)力。圖2-35

在加工制造構(gòu)件時(shí)，尺寸上的一些微小誤差難以避免。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，加工誤差只不過(guò)是造成結(jié)構(gòu)幾何形狀的微小變化，不會(huì)引起內(nèi)力。但對(duì)靜不定結(jié)構(gòu)，加工誤差卻往往要引起內(nèi)力。例如圖2-32所示桁架，若桿3比設(shè)計(jì)長(zhǎng)度短Δ，裝配時(shí)為了將三根桿下端連接于一點(diǎn)，必須使桿3拉長(zhǎng)，使桿1、2縮短。桿系經(jīng)裝配后，桿3內(nèi)便產(chǎn)生拉應(yīng)力，而桿1、2-內(nèi)便產(chǎn)生壓應(yīng)力。這種由于加工誤差而在裝配時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力稱(chēng)為裝配應(yīng)力。

例2-11在圖2-36(a)所示結(jié)構(gòu)中，橫梁AB為剛性桿。1、2兩桿的抗拉剛度分別為E1A1、E2A2。由于加工誤差，1桿比名義長(zhǎng)度短了δ，試求1、2桿的內(nèi)力。圖2-36

解(1)靜力平衡方程。設(shè)1、2桿的軸力分別為FN1、FN2，見(jiàn)圖2-36(b)。由AB桿的平衡方程∑MA=0，得

(2)幾何方程。由于橫梁AB是剛性桿，因此結(jié)構(gòu)變形后，它仍為直桿，由圖2-36(c)可以看出，1、2兩桿的伸長(zhǎng)Δl1、Δl2-與δ應(yīng)滿(mǎn)足以下關(guān)系：

(3)物理方程。兩桿的變形如圖所示，其伸長(zhǎng)量分別為

聯(lián)立求解式(a)、式(b)、式(c)，可以得到

2.7連接件的強(qiáng)度計(jì)算

工程實(shí)際中，為了將機(jī)械零部件或結(jié)構(gòu)構(gòu)件互相連接起來(lái)，通常要用到螺栓、鉚釘、銷(xiāo)軸、鍵塊、木榫、焊接等連接方式。在這些連接中的螺栓、鉚釘、銷(xiāo)軸、鍵塊、榫頭等稱(chēng)為連接件。工程上常用的連接件以及被連接的構(gòu)件在連接處的應(yīng)力，都屬于所謂“加力點(diǎn)附近的局部應(yīng)力問(wèn)題”。

由于應(yīng)力的局部性質(zhì)，連接件的橫截面上或被連接件連接處的應(yīng)力分布是很復(fù)雜的，很難作出也沒(méi)有必要作出精確的理論分析。因此，對(duì)于連接件的強(qiáng)度問(wèn)題，工程上大都采用實(shí)用計(jì)算法。這種方法的要點(diǎn)是：一方面，對(duì)連接件的受力與應(yīng)力分布進(jìn)行簡(jiǎn)化與假定，從而計(jì)算出各部分的“名義應(yīng)力”；另一方面，根據(jù)同類(lèi)連接件的實(shí)物或模擬破壞實(shí)驗(yàn)，由前述應(yīng)力公式計(jì)算其破壞時(shí)的“極限應(yīng)力”；然后根據(jù)上述兩方面得到的計(jì)算結(jié)果，建立強(qiáng)度條件，作為連接件設(shè)計(jì)的依據(jù)。

2.7.1剪切與剪切強(qiáng)度條件

如圖2-37所示，當(dāng)作為連接件的銷(xiāo)釘兩側(cè)承受一對(duì)大小相等、方向相反、作用線(xiàn)互相平行且相距很近的力作用時(shí)，其主要失效形式之一是沿兩側(cè)外力之間并與外力作用線(xiàn)平行的橫截面發(fā)生剪切破壞。發(fā)生剪切破壞的橫截面稱(chēng)為剪切面。剪切面上的內(nèi)力既有剪力FS，又有彎矩，但彎矩很小，可以忽略。利用截面法和靜力平衡方程不難求得剪切面上的剪力。例如，由圖2-37(c)可得

圖2-37

2.7.2-擠壓與擠壓強(qiáng)度計(jì)算

擠壓接觸面上的應(yīng)力分布也是很復(fù)雜的。因此，在工程中同樣采取實(shí)用計(jì)算的方法，即假定擠壓應(yīng)力在有效擠壓面上均勻分布。有效擠壓面簡(jiǎn)稱(chēng)擠壓面，其面積用符號(hào)Abs表

示，它是指實(shí)際擠壓面面積在垂直于總擠壓力作用線(xiàn)平面上的投影。若實(shí)際擠壓面為平面，如圖2-38(a)所示的鍵，則圖示陰影部分實(shí)際擠壓面的面積就是有效擠壓面的面積Abs。對(duì)于銷(xiāo)釘、鉚釘?shù)葓A柱形連接件，其實(shí)際擠壓面為半圓柱面，擠壓面上的實(shí)際應(yīng)力分布如圖2-38(b)所示。

圖2-38

根據(jù)實(shí)驗(yàn)與分析結(jié)果，其最大擠壓應(yīng)力約等于有效擠壓面上的平均應(yīng)力。故對(duì)于圓柱形連接件，若直徑為d，連接板厚度為δ，則有效擠壓面的面積為Abs=δd，如圖2-37(c)所示。于是，擠壓應(yīng)力為

實(shí)用計(jì)算的擠壓強(qiáng)度條件為

式中：[σbs]為許用擠壓應(yīng)力，它也是根據(jù)同類(lèi)構(gòu)件的擠壓破壞實(shí)驗(yàn)確定極限擠壓力，并由式(2-26)計(jì)算名義擠壓強(qiáng)度極限，再除以擠壓安全因數(shù)得到的。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)于鋼材，有

式中：[σ]為拉伸許用應(yīng)力。

例2-12-圖2-39所示的鋼板鉚接件中，已知鋼板的許用應(yīng)力為[σ]=98MPa，許用擠壓應(yīng)力[σbs]=196MPa，鋼板厚度δ=10mm，寬度b=100mm，鉚釘直徑d=17mm，鉚釘許用切應(yīng)力[τ]=137MPa，擠壓許用應(yīng)力為[σbs]=314MPa。若載荷Fp=23.5kN。試校核鋼板與鉚釘?shù)膹?qiáng)度。

圖2-39

解(1)接頭破壞形式分析。鉚接接頭的破壞形式可能有如下四種：鉚釘被剪斷；鉚釘與孔壁相互擠壓產(chǎn)生顯著塑性變形；鋼板沿鉚釘孔中心所在的截面被拉斷；鋼板被拉豁。對(duì)于鋼板，由于自鉚釘孔邊緣線(xiàn)至端部的距離比較大，該鋼板縱向承受剪切的面積較大，因而具有較高的抗剪切強(qiáng)度，拉豁的可能性比較小。因此，本例中只需校核鋼板的拉伸強(qiáng)度和擠壓強(qiáng)度，以及鉚釘?shù)臄D壓和剪切強(qiáng)度?，F(xiàn)分別計(jì)算如下：

(2)對(duì)鋼板進(jìn)行強(qiáng)度校核。

(3)對(duì)鉚釘進(jìn)行強(qiáng)度校核。

例2-13如圖2-40所示，齒輪用平鍵與軸連接(圖中只畫(huà)出了軸與鍵，沒(méi)有畫(huà)齒輪)。已知軸的直徑d=70mm，鍵的尺寸為b×h×l=(20×12×100)mm，傳遞的扭轉(zhuǎn)力偶矩為Me=2kN·m，鍵的許用切應(yīng)力[τ]=60MPa，許用擠壓應(yīng)力為[σbs]=100MPa。試校核鍵的強(qiáng)度。

圖2-40

例2-14圖2-41所示為一沖床工作簡(jiǎn)圖，最大沖壓力Fmax=400kN，沖頭材料的許用擠壓應(yīng)力為[σbs]=400MPa，鋼板的剪切強(qiáng)度極限τb=360MPa。試設(shè)計(jì)沖頭的最小直徑值及所能沖剪鋼板的厚度最大值。圖2-41

解(1)按沖頭壓縮強(qiáng)度計(jì)算d。

故有

取沖頭的最小直徑為dmin=36mm。

(2)按鋼板剪切強(qiáng)度計(jì)算厚度t。要完成沖剪工作，剪切面上的切應(yīng)力應(yīng)大于其剪切強(qiáng)度極限，即

可得

因此取能沖剪鋼板的最大厚度值tmax=9.8mm。

習(xí)題題2-1圖

2-1試畫(huà)題2-1圖所示各桿的軸力圖,并確定軸力的最大值。

2-2-題2-2圖所示階梯形圓截面桿AC,承受軸向載荷F1=200kN,F2=100kN,AB段的直徑d1=40mm。如欲使BC與AB段的正應(yīng)力相同,試求BC段的直徑。題2-2-圖

2-3題2-3圖所示軸向受拉等截面桿,橫截面面積A=500mm

2,載荷F=50kN,試求圖示斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力,以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題2-3圖

2-4題2-4圖所示桿件,承受軸向載荷F作用。該桿由兩根木桿粘接而成,欲使粘接面上的正應(yīng)力為其切應(yīng)力的2倍,問(wèn)粘接面的方位角θ應(yīng)取何值?題2-4圖題2-4圖

2-5某材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線(xiàn)如題2-5圖所示,試根據(jù)該曲線(xiàn)確定:

(1)材料的彈性模量E、比例極限σp與名義屈服極限σ0.2。

(2)當(dāng)應(yīng)力增加到σ=350MPa時(shí),材料的正應(yīng)變?chǔ)?以及相應(yīng)的彈性應(yīng)變?chǔ)舉與塑性應(yīng)變?chǔ)舙。

題2-5圖

2-6三根桿的尺寸相同但材料不同,材料的σε曲線(xiàn)如題2-6圖所示,試問(wèn)哪一種:①?gòu)?qiáng)度高?②剛度大?③塑性好?題2-6圖

2-7題2-7圖所示含圓孔板件,承受軸向載荷F作用。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力(考慮應(yīng)力集中)。已知載荷F=32kN,板寬b=100mm,板厚δ=15mm,孔徑d=20mm。題2-7圖

2-8題2-8圖所示桁架,由圓截面桿1、2組成,并在節(jié)點(diǎn)A承受鉛垂向下的載荷F=80kN。桿1、桿2的直徑分別為d1=30mm和d2=20mm,兩桿的材料相同,屈服極限σs=320MPa,安全系數(shù)n=2.0。

(1)試校核桁架的強(qiáng)度。

(2)試確定載荷F的最大許可值[F]。題2-8圖

2-9題2-9圖所示的鏈條由兩層鋼板組成,每層板的厚度t=4.5mm,寬度H=65mm,h=40mm,鉚釘孔直徑d=20mm,鋼板材料的許用應(yīng)力[σ]=80MPa。若鏈條的拉力F=25kN,校核它的拉伸強(qiáng)度。題2-9圖

2-10題2-10圖所示桁架,承受載荷F作用。試求該載荷的許用值[F]。設(shè)各桿的橫截面面積均為A,許用應(yīng)力均為[σ]。(只考慮強(qiáng)度問(wèn)題)題2-10圖

2-11蒸汽機(jī)的汽缸如題2-11圖所示,汽缸內(nèi)徑D=560mm,內(nèi)壓強(qiáng)p