【中考真題】2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題（附答案）

2023年黑龍江省綏化市中考數(shù)學(xué)真題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

4.納米是非常小的長度單位，lnm=O.OOOOOOOOlm,把Q000000001用科學(xué)記數(shù)法表示

為（）

A.lx1。-B.1x10*C.IxlO8D.IxlO9

5.下列計(jì)算中，結(jié)果正確的是（）

A.1-pqf=pSq'B.x-x3+x2-x2=x8C.>/25=±5D.（iz2）3=a6

6.將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，4=25。，Z2=30°,則/3的度數(shù)

為（）

7.下列命題中敘述正確的是（）

A,若方差則甲組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小

B.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離

C.三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心

D.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

8.綏化市舉辦了2023年半程馬拉松比賽，賽后隨機(jī)抽取了部分參賽者的成績（單位:

分鐘），并制作了如下的參賽者成績組別表、扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖.則下列說

法正確的是（）

組別參賽者成績

A70<x<80

B80<x<90

C90<x<100

D100<^<110

E110<x<120

A.該組數(shù)據(jù)的樣本容量是50人

B.該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在90~100這一組

C.90~100這組數(shù)據(jù)的組中值是96

D.110~120這組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角度數(shù)為51°

9.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，AC平行于x軸，點(diǎn)、B,C的橫坐標(biāo)

試卷第2頁，共8頁

k

都是3,BC=2,點(diǎn)。在AC上，且其橫坐標(biāo)為1,若反比例函數(shù)y=—（x>0）的圖

10-某運(yùn)輸公司,運(yùn)送一批貨物，甲車每天運(yùn)送貨物總量咤在甲車運(yùn)送1天貨物后，

公司增派乙車運(yùn)送貨物，兩車又共同運(yùn)送貨物3天，運(yùn)完全部貨物.求乙車單獨(dú)運(yùn)送這

批貨物需多少天？設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需x天，由題意列方程，正確的是（）

11

A.—H------=1

42x

11.如圖，在菱形A3CD中，ZA=60°,AB=4,動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)M

以每秒2個(gè)單位長度沿折線3-C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長度沿線段

AD向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x

秒，AWN的面積為>個(gè)平方單位，則下列正確表示》與無函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

12.如圖，在正方形A3CD中，點(diǎn)E為邊8的中點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)8作班于

點(diǎn)、F,連接80交AE于點(diǎn)G,FH平分NBFG交BD于點(diǎn)、H.則下列結(jié)論中，正確的個(gè)

數(shù)為（）

D

①AB~=BF'AE;②SABGF-^ABAF=2.3；③當(dāng)AB=a時(shí)，BD~—BD-HD=a-

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

二、填空題

13.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

14.若式子互5有意義，則x的取值范圍是.

X

15.在4張完全相同的卡片上，分別標(biāo)出1,2,3,4,從中隨機(jī)抽取1張后，放回再

混合在一起.再隨機(jī)抽取一張，那么第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片

上的數(shù)字的概率是.

一11

16.已知一元二次方程Y+x=5x+6的兩根為玉與巧，則一+一的值為______.

x2

AA(x+2x-l、x—A-

富,化..間：171^\-4"+4卜7^=--------

18.如圖，。的半徑為2cm,as為。的弦，點(diǎn)C為人臺(tái)上的一點(diǎn)，將A?沿弦AB翻

折，使點(diǎn)C與圓心。重合，則陰影部分的面積為.(結(jié)果保留》與根號(hào))

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC與"B'C'的相似比為1：2,點(diǎn)A是位似中心,

已知點(diǎn)A(2,0),點(diǎn)C(a,%),ZC=90°.則點(diǎn)C'的坐標(biāo)為.(結(jié)果用含。，6的式

子表示)

試卷第4頁，共8頁

c

20.如圖，：ABC是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)E為高8。上的動(dòng)點(diǎn).連接CE,將CE繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到C/.連接AF,EF,DF,則&CD/周長的最小值是.

21.在求1+2+3++100的值時(shí)，發(fā)現(xiàn)：1+100=101,2+99=101,從而得到

1+2+3++100=101x50=5050.按此方法可解決下面問題.圖（1）有1個(gè)三角形，

記作4=1；分別連接這個(gè)三角形三邊中點(diǎn)得到圖（2）,有5個(gè)三角形，記作。2=5；再

分別連接圖（2）中間的小三角形三邊中點(diǎn)得到圖（3）,有9個(gè)三角形，記作由=9；

按此方法繼續(xù)下去，則弓+。2+/++?！?.（結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示）

圖⑴圖⑵圖⑶

22.已知等腰，ABC,ZA=120°,AB^2.現(xiàn)將ABC以點(diǎn)3為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)45。，得

到△A'BC',延長C'A交直線3c于點(diǎn)D則AO的長度為.

、解答題

23.已知：點(diǎn)尸是。外一點(diǎn).

（1）尺規(guī)作圖：如圖，過點(diǎn)P作出。的兩條切線PE,PF,切點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)（保

留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

⑵在（1）的條件下，若點(diǎn)。在。上（點(diǎn)。不與E,尸兩點(diǎn)重合），且/￡7步=30。.求

NEC小的度數(shù).

24.如圖，直線MN和所為河的兩岸，豆MN〃EF,為了測量河兩岸之間的距離，某

同學(xué)在河岸莊的3點(diǎn)測得NCBE=30。，從B點(diǎn)沿河岸FE的方向走40米到達(dá)。點(diǎn)，測

得NCDE=45°.

（1）求河兩岸之間的距離是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）若從。點(diǎn)繼續(xù)沿DE的方向走（12石+12）米到達(dá)尸點(diǎn).求tanZCPE的值.

25.某校組織師生參加夏令營活動(dòng)，現(xiàn)準(zhǔn)備租用A、8兩型客車（每種型號(hào)的客車至少

租用一輛）.A型車每輛租金500元，3型車每輛租金600元.若5輛A型和2輛B型車

坐滿后共載客310人；3輛A型和4輛8型車坐滿后共載客340人.

（1）每輛A型車、3型車坐滿后各載客多少人?

（2）若該校計(jì)劃租用A型和8型兩種客車共10輛，總租金不高于5500元，并將全校420人

載至目的地.該校有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？

（3）在這次活動(dòng)中，學(xué)校除租用A、B兩型客車外，又派出甲、乙兩輛器材運(yùn)輸車.已知

從學(xué)校到夏令營目的地的路程為300千米，甲車從學(xué)校出發(fā)0.5小時(shí)后，乙車才從學(xué)校

出發(fā)，卻比甲車早Q5小時(shí)到達(dá)目的地.下圖是兩車離開學(xué)校的路程,（千米）與甲車行

駛的時(shí)間r（小時(shí)）之間的函數(shù)圖象.根據(jù)圖象信息，求甲乙兩車第一次相遇后，「為何

值時(shí)兩車相距25千米.

26.已知：四邊形A3CD為矩形，AB=4,AD=3,點(diǎn)尸是8C延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)

廠不與點(diǎn)C重合）.連接AF交CD于點(diǎn)G.

試卷第6頁，共8頁

圖一圖二圖三

(1)如圖一，當(dāng)點(diǎn)6為8的中點(diǎn)時(shí)，求證：AADG=AFCG.

(2)如圖二，過點(diǎn)C作CE_LAF,垂足為E.連接BE,設(shè)赦=x,CE=y.求y關(guān)于x

的函數(shù)關(guān)系式.

(3)如圖三，在(2)的條件下，過點(diǎn)B作⑻交E4的延長線于點(diǎn)當(dāng)CV=1

時(shí)，求線段3M的長.

27.如圖，為。。的直徑，且MN=15,MC與N￡＞為圓內(nèi)的一組平行弦，弦A3交

MC于點(diǎn)”.點(diǎn)A在耽上，點(diǎn)B在"c上，^OND+ZAHM=9Q°.

(2)求證：AC=BC.

(3)在。。中，沿弦ND所在的直線作劣弧的軸對(duì)稱圖形，使其交直徑MN于點(diǎn)G.若

3

sinZCMN=~,求NG的長.

28.如圖，拋物線%=加+法+。的圖象經(jīng)過4-6,0),B(-2,0),C(0,6)三點(diǎn)，且一次

函數(shù)丫=丘+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)8.

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式.

(2)點(diǎn)E,歹為平面內(nèi)兩點(diǎn)，若以E、F、3、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且點(diǎn)E在

點(diǎn)尸的左側(cè).這樣的E,尸兩點(diǎn)是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E

的坐標(biāo)：如果不存在，請說明理由.

(3)將拋物線％的圖象向右平移8個(gè)單位長度得到拋物線內(nèi)，此拋物線的圖

象與x軸交于N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)).點(diǎn)尸是拋物線內(nèi)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在直

線NC下方.己知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為機(jī).過點(diǎn)尸作尸D_LNC于點(diǎn)。.求加為何值時(shí)，

8+1尸。有最大值，最大值是多少？

2

試卷第8頁，共8頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形

繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心

對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心，進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不合題意；

B、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不符合題意；

C、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)合題意；

D、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱

圖形和中心對(duì)稱圖形的定義.

2.D

【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，零指數(shù)幕進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：|-5|+2°=5+1=6,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，零指數(shù)暴，熟練掌握求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，零指數(shù)事

是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】根據(jù)左視圖的意義判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，該幾何體的左視圖為：

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的畫法，熟練掌握三視圖的空間意義是解題的關(guān)鍵.

4.A

答案第1頁，共26頁

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為axl(T",其中1<忖<10,n為

整數(shù).

［詳解］解：O.OOOOOOOO1=1X10”.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較小的數(shù)，一般形式為其中

1<|a|<10,〃為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的。的個(gè)數(shù)所決定，確定。與〃的

值是解題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】根據(jù)積的乘方與幕的乘方運(yùn)算，同底數(shù)幕的乘法、合并同類項(xiàng)，算術(shù)平方根，進(jìn)行

計(jì)算即可求解.

【詳解】解:A.(-pq)3=-p3q3,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.方尤3+r./=2/，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.725=5,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.(a2)3=?6,故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方與幕的乘方運(yùn)算，同底數(shù)累的乘法、合并同類項(xiàng)，算術(shù)平方根，

熟練掌握以上運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解.

【詳解】解:依題意，Zl+90°=Z3+45°,

,/Zl=25°,

N3=70。，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】根據(jù)方差的意義，點(diǎn)到直線的距離，三角形的重心的定義，角平分線的性質(zhì)，逐項(xiàng)

分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.若方差品〉s"則乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

答案第2頁，共26頁

B.直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故該選項(xiàng)不正確，不符

合題意；

C.三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了方差的意義，點(diǎn)到直線的距離，三角形的重心的定義，角平分線的性質(zhì)，

熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】根據(jù)C組的人數(shù)除以占比求得樣本的容量，結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖求得80Vx<90的人數(shù)為15,

進(jìn)而根據(jù)中位數(shù)的定義，即可判斷B選項(xiàng)，根據(jù)組中值為9°；0°=95,即可判斷C選項(xiàng),

根據(jù)110~120的占比乘以360°，即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】解：A、該組數(shù)據(jù)的樣本容量是12+24%=50,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B、80Mx<90的人數(shù)為：50-4-12-12-7=15,4+15<25,4+15+12>25,

該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在90~100這一組，故該選項(xiàng)正確，符合題意；

C、90~100這組數(shù)據(jù)的組中值是95,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

7

D、110~120這組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的扇形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角度數(shù)為弟、360。=50.4。，故該選項(xiàng)不正

確，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了樣本的容量，條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，中位數(shù)的定義，求扇

形統(tǒng)計(jì)圖的圓心角的度數(shù)，求頻數(shù)分布直方圖組中值，從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息是解題的關(guān)鍵.

9.C

【分析】設(shè)3（3,加），則?3,m+2）,。（1,機(jī)+2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，列出等式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)鞏3,加）,

:點(diǎn)2,C的橫坐標(biāo)都是3,BC=2,AC平行于x軸，點(diǎn)。在AC上，且其橫坐標(biāo)為1,

...C（3,w+2）,Z）（l,m+2）,

3m=m+2,

解得m=l,

AB（3,1）,

答案第3頁，共26頁

?,.左=3x1=3,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定，熟練掌握左的意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需尤天，由題意列出分式方程即可求解.

【詳解】解：設(shè)乙車單獨(dú)運(yùn)送這批貨物需x天，由題意列方程

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.

11.A

【分析】連接30,過點(diǎn)8作1狙，4）于點(diǎn)E,根據(jù)已知條件得出△ABD是等邊三角形，進(jìn)

而證明AMZVsABE得出ZA7VM=ZA￡B=9O。，當(dāng)0<f<4時(shí)，M在A8上，當(dāng)4Vf<8時(shí)，

加在8c上，根據(jù)三角形的面積公式得到函數(shù)關(guān)系式，

【詳解】解：如圖所示，連接BO,過點(diǎn)B作BEJLAD于點(diǎn)E,

當(dāng)0</<4時(shí)，M在A3上，

菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,

AB=AD,則△ABD是等邊二角形，

1廠L

：.AE=ED=-AD=2,BE=《3AE=2

AM—2尤,AN=x,

.AMAB?「

'.而=至=2,又ZA=ZA

AMN^ABE

：.ZANM=ZAEB=90°

MN=ylAM2-AN2=?，

答案第4頁，共26頁

y--xx-j3x=^-x2

22

當(dāng)4Wf<8時(shí)，M■在BC上,

y--ANxBE=Lx2石=#ix,

22

綜上所述，0<f<4時(shí)的函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)4vr<8時(shí)，函數(shù)圖象是

直線的一部分，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，菱

形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上

知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

12.D

【分析】①根據(jù)題意可得=—=貝UcosNABb=cosNEW,即

竺=學(xué)，又=即可判斷①；②設(shè)正方形的邊長為。，根據(jù)勾股定理求得轉(zhuǎn)，證

ABAE

明11G4BSGED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得GE,進(jìn)而求得FG,即可判斷②；過點(diǎn)H分

別作BRAE的垂線，垂足分別為根據(jù)②的結(jié)論求得勾股定理求得8。，即可

判斷③.

【詳解】：四邊形A5CD是正方形，

/.ZBAD=ZADE=90°,AB=AD

'：BFLAE

ZABF=90°-ZBAF=ZDAE

cosZABF=cosNEAD

BFAD「

n即n瓦’又回皿

AB2=BFAE^故①正確;

設(shè)正方形的邊長為。，

:點(diǎn)E為邊8的中點(diǎn)，

答案第5頁，共26頁

tanZABF=tansZEAD=—,

2

在RtAAB石中，AB=y/AF2^BF2=45AF=a^

?下

??AAFP=——a

5

在Rt^APE中，AE=ylAD2+DE2=—

2

.__75A/53A/5

??EF=AE—AF=——a-----a=-----a,

2510

■:AB//DE

：.GABsQED

.AG_-

GEDE

.??GE=-AE=—?

36

?口rA口4T-,「口下小2非

??rG=AE—Ar-CrE=a----a------a=-----a

25615

好

?AF-~5~a_3

?,白—2非F

-----a

15

S^BGF：^ABAF=2:3,故②正確；

,/AB=a,

；?BD2=AB2+AD2=2a2,

如圖所示，過點(diǎn)H分別作BEAE的垂線，垂足分別為M,N,

又

答案第6頁，共26頁

???四邊形是矩形，

,/是N圻G的角平分線，

???四邊形FMHN是正方形，

:.FN=HM=HN

??DZ7_o4Z7_2小口r_2小

?BF—2AF-----a,FG=------a

515

.MH_FG_1

"BM~BF~3

設(shè),MH=b,貝!!5/=5M+9=5Af+MH=3〃+〃=4〃

在Rt,瀏陽中，BH=《BM2+MH2=Mb，

?Fk2百

?BF=------a

5

.2君

??-----a=4b

5

解得：b=^-a

10

BH=J10x^-a=^La，

102

**?BD?—BD?HD=2a2—V2tzxci=，故④正確.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相

似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

13.(x+y)(x-z)

【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解.

【詳解】解：/+孫一%z—yz=x(x+y)—z(x+y)=(x+y)(x-z),

故答案為：(x+y)(x-z).

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

14.%2-5且犬力0/%。0且%2-5

【分析】根據(jù)分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，列出不等式計(jì)算即可.

【詳解】?.?式子互1有意義，

:?%+520且xwO,

答案第7頁，共26頁

，x3-5且x片0,

故答案為：5且XKO.

【點(diǎn)睛】本題考查了分母不為零，二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，熟練掌握二次根式和分式

有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

15.-/0.5

2

【分析】根據(jù)題意列表法求概率即可求解.

【詳解】解：列表如下，

1234

1=1?￡1￡

1

1234

2=22=i22_j_

2

1234~2

33_

3-=3f

1234

<44<1

4-=2：

123-4

共有16種等可能結(jié)果，符合題意的有8種，

第二次抽取卡片上的數(shù)字能夠整除第一次抽取卡片上的數(shù)字的概率是之=:，

162

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法求概率，整除，熟練掌握列表法求概率是解題的關(guān)鍵.

16.--

3

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出玉+%=4,占々=-6,將分式通分，代入即

可求解.

【詳解】解：:?一元二次方程x°+x=5x+6,即/-4尤-6=0,的兩根為天與演，

藥+%=4,x1x2=-6,

X+X

.^+^_12_4_2

,,玉x2x{x2-63'

故答案為：-;2.

答案第8頁，共26頁

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方

程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

x—2—2+x

【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡

即可求解.

【詳解】解：

Ix-2%x-4x+4j%-2x

(x+2)(x-2)-x(x-l)x(x-2)

x(x-2)2x-4

—4—+x-2)

M%-2)2x-4

1

~x-2；

故答案為：.

x-2

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出一AOC是等邊三角形，則NAOC=6。。，OD=CD=1,根據(jù)陰

影部分面積=5扇形Ag-SAOC即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接。4,0。，設(shè)AB,CO交于點(diǎn)。

;將A3沿弦A5翻折，使點(diǎn)。與圓心。重合,

AC=AO,OC.LAB

XOA=OC

：.OA=OC=AC,

???_AOC是等邊三角形，

AZAOC=60°,OD=CD=\,

答案第9頁，共26頁

ADNAO^-CD2=6,

???陰影部分面積=s扇/。c-SAX=2兀x2?-1x2xg=|兀-6(cm2)

故答案為：序-可cm。

19.(6-2a,-2b)

(分析］過點(diǎn)C,C分別作x軸的垂線CD,CD'垂足分別為D,D',根據(jù)題意得出47=2AD,

則AD=a_2,C￡>=b,得出D(2-2a+4,0),即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C,C'分別作無軸的垂線CD,CD垂足分別為

?/ABC與△AB'C'的相似比為1：2,點(diǎn)A是位似中心，4(2,0)

，AD'=2AD

'：C(a,b),

AD=a—2,CD=b,

A'D^2a-4,C'D'=2b,

：.D(2-2a+4,0)

:.C(6—24z,—2Z>)

故答案為：(6-2a-2b).

【點(diǎn)睛】本題考查了求位似圖形的坐標(biāo)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.3+3右/3右+3

【分析】根據(jù)題意，證明OE會(huì)-C4F,進(jìn)而得出尸點(diǎn)在射線轉(zhuǎn)上運(yùn)動(dòng)，作點(diǎn)C關(guān)于”的

對(duì)稱點(diǎn)CL連接DC,設(shè)CC'交AF于點(diǎn)0,則/AOC=90。，則當(dāng)。,QC'三點(diǎn)共線時(shí)，

FC+FD取得最小值，即叱+網(wǎng)>=產(chǎn)'。'+尸介=00',進(jìn)而求得C'￡>,即可求解.

【詳解】解：為高上的動(dòng)點(diǎn).

ZCBE=-ZABC=30°

2

答案第10頁，共26頁

將CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF.ABC是邊長為6的等邊三角形,

CE=CF/ECF=ZBCA=60°,BC=AC

.CBE=CAF

：.ZCAF=ZCBE=30°,

???歹點(diǎn)在射線"上運(yùn)動(dòng),

如圖所示，

作點(diǎn)C關(guān)于釬的對(duì)稱點(diǎn)CL連接DC,設(shè)CC'交AF于點(diǎn)0,則40090。

在RtAOC中，ZCAO=30°,則CO=^AC=3,

2

則當(dāng)￡>,￡C'三點(diǎn)共線時(shí)，PC+ED取得最小值，即產(chǎn)C+ED=AC+FD=CE>'

VCC'=AC=6,ZACO=ZC'CD,CO=CD

：.ACO^,CCD

：.ZC'DC=ZAOC=90°

在，C7)C中，C'D=qCC。-CU"=36，

.CDF周長的最小值為CD+FC+CD=CD+DC'=3+3y/3,

故答案為：3+3石.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的

性質(zhì)與判定,勾股定理,熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.2n2—n/—n+2n2

【分析】根據(jù)題意得出q=1+4(〃-1)=4"-3,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：依題意，%=1,%=5,%=9,…，<2?=l+4(n-l)=4n-3,

1+4九一3/\7

..ax+a2+a3++an==n=^2n-l)n=2n-n,

故答案為：2nl—n.

答案第11頁，共26頁

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

22.4+26或4-2石

【分析】根據(jù)題意，先求得2C=2g,當(dāng)-ABC以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)8

作交AO于點(diǎn)E,當(dāng)ABC以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)。作DBLBC'

交3C于點(diǎn)歹，分別畫出圖形，根據(jù)勾股定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M,

;等腰ABC,ZBAC=120°,AB=2.

：.ZABC=ZACB=30°,

?e-AM^^AB=i,BM=CM7AB2-AM?=g，

/.BC=2-j3,

如圖所示，當(dāng)4ABe以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)8作3ELA3交AD于點(diǎn)E,

*.?ZBAC=120°,

ZDA'B=60°,ZAEB=30°,

在RtA3E中，HE=2AB=4，BE=yjAE2-A'B2=273-

?等腰:ABC,ABAC=120°,AB=2.

ZABC=ZACB=30°,

ABC以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，

ZABA'=45°,

：.ZDBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZABD=180°-45°-30°=105°

答案第12頁，共26頁

在.ABO中，ZD=180°-ZDAB-ZABD=180°-60°-105°=15°,

/.ZD=ZEBD,

：.EB=ED=26,

A'D=A'E+DE=4+2s/3,

如圖所示，當(dāng)：ABC以點(diǎn)8為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，過點(diǎn)。作小交3C'于點(diǎn)歹,

在△皮刀中，NBDF=NCBC'=45。,

DF=BF

在RtOCF中，ZC=30°

DF=—FC'

3

?*.BC=BF+y/3BF=2A/3

DF=BF=3-^3

，DC'=2DF=6-2拒

/.A,D=C,￡)-A,C,=6-2A/3-2=4-2A/3,

綜上所述，A。的長度為4-2省或4+20，

故答案為：4-2相或4+26.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

23.⑴見解析

(2)/ED產(chǎn)=75°或105°

答案第13頁，共26頁

【分析】(1)①連接PO,分別以點(diǎn)P，0為圓心，大于;尸。的長為半徑畫圓，兩圓交于點(diǎn)M，N

兩點(diǎn)，作直線交OP于點(diǎn)A,②以點(diǎn)A為圓心，Q4為半徑畫圓，與。交于兩點(diǎn)，

作直線

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得出/PEO=/PR9=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出/EOF=150。，進(jìn)

而根據(jù)圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，

①連接尸O,分別以點(diǎn)尸，。為圓心，大于gp。的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)，作

直線MN交。尸于點(diǎn)A,

②以點(diǎn)A為圓心，Q4為半徑畫圓，與。交于瓦月兩點(diǎn)，作直線尸￡尸尸，

則直線尸即為所求；

(2)如圖所示，點(diǎn)。在(。上(點(diǎn)。不與E,廠兩點(diǎn)重合)，且NEPF=30。，

?；PE,PF是(O的切線，

.'.ZPEO=ZPFO=90°,

Z.EOF=360°-90°-90°-30°=150。，

當(dāng)點(diǎn)D在優(yōu)弧爐上時(shí)，/EDF=g/EOF=75。,

當(dāng)點(diǎn)。在劣弧廝上時(shí)，ZEDF=180°-75o=105°,

/EDF=75?；?05。.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定,直徑所對(duì)的圓周角是直角，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，

圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

24.(1)河兩岸之間的距離是20g+20米

(2)tanZCPE=|

答案第14頁，共26頁

【分析】（1）過點(diǎn)C作產(chǎn)于點(diǎn)M,設(shè)CM=a米，在中，MB=^3a,在

Rt9WCD中，MD=MC=a,根據(jù)BD=40,建立方程，解方程即可求解；

（2）根據(jù)題意求得的長，進(jìn)而根據(jù)正切的定義，即可求解.

【詳解】⑴解：如圖所示，

過點(diǎn)C作。于點(diǎn)設(shè)CN=a米，

?；/CBE=30。

CMJ3

tanZCBM=——=tan30°=—,

PB3

MB=\[?>a,

CM

在RtAMCD中，tanZCDM=——=tan45°=1,

MD

：.MD=MC=a

/.BD=MB-MD=島-。=40

解得：a=20y/3+20

答：河兩岸之間的距離是20』+20米;

（2）解：如圖所示,

依題意，PB=BD+DP=40+(1273+12)=52+12^,

MP=MB-PJB=(20A/3+20)V3-(52+12A/3)=8+8A/3,

CM20肉205

在RtZ\CMP中,tanNCPM=——=--一1=-,

MP8+8V32

答案第15頁，共26頁

tanZCPE=-

2

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

25.(1)每輛A型車、3型車坐滿后各載客40人、55人

(2)共有4種租車方案，租8輛A型車，2輛B型車最省錢

(3)在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)r=3小時(shí)或1小時(shí)時(shí)，兩車相距25千米

【分析】(1)設(shè)每輛A型車、8型車坐滿后各載客x人、y人，由題意列出二元一次方程組，

解方程組即可求解；

(2)設(shè)租用A型車加輛，則租用B型車(10-加)輛，由題意列出一元一次不等式組，解不等

式組，求整數(shù)解即可得出，"的值，設(shè)總租金為w元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)設(shè)s甲=6，sH，由題意可知，甲車的函數(shù)圖像經(jīng)過(4,300)；乙車的函數(shù)圖像

經(jīng)過(0.5,0),(3.5,300)兩點(diǎn).求出函數(shù)解析式，進(jìn)而即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)每輛A型車、B型車坐滿后各載客x人、y人,由題意得

j5x+2y=310

[3x+4y=340

[x=40

解得?

[y=55

答：每輛A型車、8型車坐滿后各載客40人、55人―

(2)設(shè)租用A型車，"輛，則租用3型車(10-m)輛，由題意得

[500m+600(10-m)<55002

\/解得：5<m<8-

[40m+55(10-m)>4203

-機(jī)取正整數(shù)，

m=5,6,7,8

二.共有4種租車方案

設(shè)總租金為w元，貝!Jw=500m+600(10—m)=—100m+6000

-100<0

W隨著用的增大而減小

二.機(jī)=8時(shí)，卬最小

???租8輛A型車，2輛B型車最省錢?

答案第16頁，共26頁

(3)設(shè)$甲=比，s乙=k、t+b.

由題意可知，甲車的函數(shù)圖象經(jīng)過(4,300)；乙車的函數(shù)圖象經(jīng)過(0.5,0),(3.5,300)兩點(diǎn).

s甲=75f,s乙=1007—50

S乙一S甲=25,即loot—50—75/=25

解得f=3

或300-75,=25

解得/='

所以，在甲乙兩車第一次相遇后，當(dāng)f=3小時(shí)或/小時(shí)時(shí)，兩車相距25千米.

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根

據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程組，不等式組，以及函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

26.(1)見解析

（2）0=::T2（或（41：心+16）

+16步尤2+16

小10匹

⑶丁

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出">〃防，則ZD=NDCF,根據(jù)題意得出DG=CG,即

可證明AADG^：AFCG(ASA)；

22

(2)在RtABF中，AF=VAB+BF=^+16>證明△CEFSAABF,根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)即可求解；

(3)過點(diǎn)E作硒，8尸于點(diǎn)N,得出△ABF,△CEF為等腰直角三角形，在RtBNE中,

勾股定理求得BE,證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD為矩形，

/.AD//BF,

ZD=ZDCF,

：G為CD中點(diǎn)，

:.DG=CG,

在△ADG和△尸CG中

答案第17頁，共26頁

ND=ZGCF

DG=CG

NAGD=ZFGC

：.△ADG之△/CG(ASA)；

(2),?,四邊形ABC。為矩形,

\ZABC=90°,

：CELAF,

\ZCEF=90°=ZABCf

.*ZF=ZF,

??△CEFs^ABF,

.CECF

*AF?

.*AB=4,BF=犬,

..在RtA3尸中,AF=y/AB2+BF2=7?+16>

：CE=y,

y_x-3

4y/x2+16'

_4x-12

'J/+16('或，=

(3)過點(diǎn)E作印_L5產(chǎn)于點(diǎn)N,

:四邊形ABC。為矩形，且AD=3,

AD=BC=3,

答案第18頁，共26頁

VA6=4,CF=\,

???AB=BF,

???aAB/為等腰直角三角形,

ZCFE=ZBAF=45°,

VCE1AF,

???ACEF為等腰直角三角形，

:.NECF=45。,

EN^CF,

:?EN平分CF,

：.CN=NF=NE=~,

2

在RtBNE中,

*.*BE2=BN2+EN\

ZECF=ZBAF=45°,

：.ZBAM=/BCE=135°,

?:BM工BE,

：.ZMBA-^-ZABE=90°,

ZABE+NEBC=9伊,

：.ZMBA=NEBC,

：.ABAM^ABCE,

.BMBA_4

-BC-3?

BM4

,?5,\/23,

F

.10>/2

??BM=-------.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，列

函數(shù)關(guān)系式，勾股定理，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

27.(1)見解析

(2)見解析

答案第19頁，共26頁

【分析】（1）證明,AMHs,C5H即可;

（2）連接0C,交A3于點(diǎn)尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)和已知條件證明垂直平分即可;

（3）利用對(duì)稱的性質(zhì)作輔助線，根據(jù)已知條件，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題即可.

【詳解】（1）/ABC和是AC所對(duì)的圓周角，

/.?ABC?AMC,

2AHM2cHB,

：.AMHCBH,

.AHMH

??一,

CHBH

:.MHCH=AHBH.

(2)連接OC,交A3于點(diǎn)尸,

MC與ND為一組平行弦，即：MC〃ND,

1OND?OMC,

OM=OC,

/OMC=NOCM,

NOND+ZAHM=90。,

1OCM2AHM?OCM2cHB90?,

ZHFC=90°f

OCLAB,

???OC是AB的垂直平分線,

?*-AC=BC.

答案第20頁，共26頁

⑶連接。似、。G,過點(diǎn)。作。石，MN,垂足為設(shè)點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)G',連接G/、GW,

C

DG=DG',2GM)?GND,

-DM=DG^

DG^=DM,

DG=DM,

「?0GM是等腰三角形，

DE工MN,

GE=ME,

DN//CM,

/.?CMV2DNM,

腦V為直徑，

/MDN=90。,

???/MDE+/EDN=90。,

DE±MN,

/DEN=90。,

?DNM2EDN90?,

3

sin?EDMsin?DNMsin?CMN-,

在MAMND中，MN=15,

.cz”MD3

/.sin?DNM-----=-,

MN5

?MD_3

,,一，

155

??.MD=9,

3ME

在用MED中，sin?EDM-=——，

5MD

答案第21頁，共26頁

--M---E-——3

95

27

ME=—,

2721

，NG=MN-MG=MN-2ME=15-2?———

55

，NG=—

5

、21

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合問題，同弧所對(duì)圓周角相等、構(gòu)建合適的輔助線是解題的關(guān)鍵；

熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、熟悉銳角三角函數(shù)解決直角三角形.

1

28.⑴M.I9+4x+6,y=3x+6

(2)滿足條件的瓜產(chǎn)兩點(diǎn)存在，耳(-8,2),E2(4-2),￡3(-4,4)

⑶當(dāng)機(jī)=；時(shí)，的最大值為幽I

3224

【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可求解；

(2)①當(dāng)BC為正方形的邊長時(shí)，分別過3點(diǎn)C點(diǎn)作F.F^BC,使

EXB=E2B=BC,CFX=CF2=BC,連接《片、E2F2,證明△8片區(qū)段ZXCBaAAS),得出

E"=B0=2,HtB=OC=6,則耳(-8,2)同理可得，耳(4,-2)；②以3C為正方形的對(duì)角

線時(shí)，過3c的中點(diǎn)G作與瑪，BC，使用鳥與BC互相平分且相等，則四邊形區(qū)為正

方形，過點(diǎn)E3作用NLy軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)3作&N于點(diǎn)證明

222

△CE3^AE3BM(AAS),得出區(qū)3=26，在RtZiEjNC中，E3CCN+E3N,解得

CN=2或4,進(jìn)而即可求解；

(3)得出CON是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則①>=。尸=*HP,點(diǎn)

2

P在拋物線內(nèi)上，且橫坐標(biāo)為〃2,得出“(九-九+6),進(jìn)而可得

snp⑹1102,3013垃(13?169