心理與教育統(tǒng)計學(xué)06-抽樣分布及總體平均數(shù)推斷

第六章抽樣分布及總體平均數(shù)推斷第一節(jié)抽樣分布第二節(jié)總體平均數(shù)的估計第三節(jié)總體比率的區(qū)間估計第四節(jié)總體方差的區(qū)間估計第一節(jié)抽樣分布一、抽樣分布的概念要區(qū)分以下三種不同性質(zhì)的分布:總體分布:總體內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布。樣本分布:樣本內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布。抽樣分布:某一統(tǒng)計量的概率分布。實驗性的抽樣分布是為了容易了解，實際上抽樣分布是一個理論的概率分布。它是統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。二、平均數(shù)抽樣分布的幾個定理1.從總體中隨機抽出容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)。2.容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標準差,等于總體標準差除以n的平方根。3.從正態(tài)總體中,隨機抽取的容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。4.雖然總體不呈正態(tài)分布,如果樣本容量較大,反映總體平均數(shù)和標準差的樣本平均數(shù)的抽樣分布,也接近于正態(tài)分布。小貼士1.抽樣分布是統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。2.抽樣誤差用抽樣分布上的標準差來表示。3.某種統(tǒng)計量在抽樣分布上的標準差稱為該種統(tǒng)計量的標準誤。三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計量的形態(tài)1.總體分布為正態(tài),總體方差已知時,無論樣本大小,樣本平均數(shù)的抽樣分布為正態(tài)分布。2.總體分布為正態(tài),總體方差未知時,只要樣本容量n>30,樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布。3.總體分布為非正態(tài)分布,但總體方差已知,若樣本容量n>30.樣本平均數(shù)的抽樣分布為漸進正態(tài)分布。當(dāng)抽樣分布為正態(tài)分布或漸進正態(tài)分布時,樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差的統(tǒng)計量用Z值來表示。

若總體呈正態(tài)分布，總體方差未知而且n<30，或總體方差未知，總體未呈正態(tài)分布，n>30，樣本平均數(shù)的抽樣分布為t分布。樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的離差的統(tǒng)計量用t值來表示。t分布的特點:T分布是一種左右對稱的分布，且分布的形狀隨樣本容量的變化而變化。t分布t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布,它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大,分布也逐漸趨于正態(tài)分布xt

分布與標準正態(tài)分布的比較t分布標準正態(tài)分布t不同自由度的t分布標準正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)z正態(tài)分布與t分布的比較相同點:1.取值范圍相同2.平均數(shù)為0，且以平均數(shù)處為最高峰向倆側(cè)逐漸下降3.尾部無限延伸，以橫軸為漸進線4.單峰對稱形不同點:1.t分布的形態(tài)隨自由度的變化呈一簇分布形態(tài)，2.t分布的峰狹窄尖峭，尾長而翹的高，在基線上分布的范圍廣。自由度越小，分布范圍越廣3.當(dāng)自由度增大時，t分布逐漸接近正態(tài)分布。當(dāng)自由度無限大時，t分布與正態(tài)分布重合。t分布表(教材328頁）t分布表是由T分布函數(shù)計算得到的,給出了不同自由度時某些概率下的t值。因為t分布曲線以縱軸為對稱軸,表中只有t的正值。表的左列為不同的自由度,最上面一行是指t分布曲線兩尾部的概率（面積）之和,而表第二行標明的是t分布曲線一側(cè)的尾部概率。當(dāng)t分布曲線兩側(cè)尾部概率相同時,不同的自由度下其相應(yīng)t值是不同的。自由度:指總體參數(shù)估計量中變量值獨立自由變化的個數(shù)。用df表示自由度與統(tǒng)計運算和統(tǒng)計推斷中樣本容量及限制因素的個數(shù)有關(guān)。自由度的個數(shù)等于樣本容量n減去限制因子的個數(shù)。第二節(jié)總體平均數(shù)的估計

參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位參數(shù)估計假設(shè)檢驗統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計統(tǒng)計推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計量如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等一、總體參數(shù)估計的基本原理1.點估計用某一樣本統(tǒng)計量的值來估計相應(yīng)總體參數(shù)的值叫總體參數(shù)的點估計。點估計的評價標準如下：（1）無偏性:估計量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏（2）有效性:對同一總體參數(shù)的兩個無偏點估計量，有更小標準差的估計量更有效AB的抽樣分布

的抽樣分布P(

)（3）一致性:隨著樣本容量的增大，估計量的值越來越接近被估計的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(

)小貼士1.用樣本的估計量直接作為總體參數(shù)的估計值例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計例如：用兩個樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計2. 沒有給出估計值接近總體參數(shù)程度的信息

2.區(qū)間估計以樣本統(tǒng)計量的抽樣分布（概率分布）為理論依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍，稱為總體參數(shù)的區(qū)間估計。在一定的可靠程度上求出總體參數(shù)的置信區(qū)間的上下限。在點估計的基礎(chǔ)上,給出總體參數(shù)估計的一個區(qū)間范圍,該區(qū)間由樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差而得到的根據(jù)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計量與總體參數(shù)的接近程度給出一個概率度量比如,某班級平均分數(shù)在75～85之間,置信水平是95%樣本統(tǒng)計量

(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限區(qū)間估計的圖示

x95%的樣本

-1.96

x

+1.96

x99%的樣本

-2.58

x

+2.58x90%的樣本

-1.65

x

+1.65

x將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次,置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01,0.05,0.10置信水平

由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計學(xué)家在某種程度上確信這個區(qū)間會包含真正的總體參數(shù),所以給它取名為置信區(qū)間置信區(qū)間

置信區(qū)間與置信水平

均值的抽樣分布(1-

)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含

1–aa/2a/2影響區(qū)間寬度的因素1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度，用來測度2、樣本容量，3. 置信水平(1-)，影響z的大小二、

２已知條件下總體平均數(shù)區(qū)間估計 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)未知如果不是正態(tài)分布,可由正態(tài)分布來近似(n30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主,為對產(chǎn)量質(zhì)量進行監(jiān)測,企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進行抽檢,以分析每袋重量是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋,測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布,且總體標準差為10g。試估計該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間,置信水平為95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解:已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得:總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44g~109.28g總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家保險公司收集到由36投保個人組成的隨機樣本,得到每個投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解:已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得:，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲三、

２未知條件下總體平均數(shù)區(qū)間估計假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計量總體均值

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布,現(xiàn)從一批燈泡中隨機抽取16只,測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計

(例題分析)解:已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得:，總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時～1503.2小時總體比例的區(qū)間估計第三節(jié)總體比例的區(qū)間估計一、假定條件總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量z

總體比例

在1-

置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計

(例題分析)【例】某城市想要估計下崗職工中女性所占的比例,隨機地抽取了100名下崗職工,其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解:已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

總體方差的區(qū)間估計第四節(jié)總體方差的區(qū)間估計一、假定條件 估計一個總體的方差或標準差,假設(shè)總體服從正態(tài)分布?？傮w方差2的點估計量為S2,且

總體方差在1-

置信水平下的置信區(qū)間為總體方差的區(qū)間估計

(圖示)

2

21-

2

總體方差1-

的置信區(qū)間自由度為n-1的

2總體方差的區(qū)間估計

(例題分析)【例】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主,現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋,測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區(qū)間25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8