第7.4.2講超幾何分布（原卷版）新高二數(shù)學(xué)寶典（人教A版選修第三冊(cè)）

第七章隨機(jī)變量及其分布第7.4.2講超幾何分布班級(jí)_______姓名_______組號(hào)_______1．掌握超幾何分布及其分布列，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)．2.掌握超幾何分布的均值和方差。3.應(yīng)用超幾何分布解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。1、超幾何分布的均值超幾何分布的方差3、超幾何分布的綜合應(yīng)用一般地，若有總數(shù)為N件的甲、乙兩類物品，其中甲類有M件(M＜N)，從所有物品中隨機(jī)取出n件(n≤N)，則這n件中所含甲類物品數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，X能取不小于t且不大于s的所有自然數(shù)，其中s是M與n中的較小者，t在n不大于乙類物品件數(shù)(即n≤N－M)時(shí)取0，否則t取n減乙類物品件數(shù)之差(即t＝n－(N－M))，而且P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝t，t＋1，…，s，這里的X稱為服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，記作X～H(N，n，M)．特別地，如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，則X能取所有不大于s的自然數(shù)，此時(shí)X的分布列如下表所示.X01…k…sPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n,N－M),C\o\al(n,N))eq\f(C\o\al(1,M)C\o\al(n－1,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))…eq\f(C\o\al(s,M)C\o\al(n－s,N－M),C\o\al(n,N))超幾何分布的均值若X服從參數(shù)為N，n，M的超幾何分布，即X～H(N，n，M)，則E(X)＝eq\f(nM,N)服從超幾何分布的隨機(jī)變量的方差若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則D(X)＝eq\f(nMN－MN－n,N2N－1)＝E(X)·eq\f(N－MN－n,NN－1).題型1、超幾何分布的均值1．已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C．2 D．2．有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的均值是（）A．n B．C． D．3．學(xué)校要從5名男生和3名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值是（

）A． B． C． D．14．有件產(chǎn)品，其中有件次品，從中不放回地抽件產(chǎn)品，抽到的正品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是（

）A． B． C． D．5．某學(xué)校要從名男生和名女生中選出人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望（

）A． B． C． D．超幾何分布在求分布列均值時(shí)，先判斷是不是二項(xiàng)分布、超幾何分布．若是，則可以直接有規(guī)律地寫(xiě)出分布列，直接用公式求出均值，可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度．題型2、超幾何分布的方差6．已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測(cè)，記取到的正品數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．7．從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝(

)A．2 B．1 C．3 D．48．口袋中有相同的黑色小球n個(gè)，紅、白、藍(lán)色的小球各一個(gè)，從中任取4個(gè)小球．ξ表示當(dāng)n＝3時(shí)取出黑球的數(shù)目，η表示當(dāng)n＝4時(shí)取出黑球的數(shù)目．則下列結(jié)論成立的是（）A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η）C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η）9．有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒子里有個(gè)紅球，乙盒子里有個(gè)紅球和個(gè)黑球，現(xiàn)從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲盒子后，再?gòu)募缀凶永镫S機(jī)取一球，記取到的紅球個(gè)數(shù)為個(gè)，則隨著的增加，下列說(shuō)法正確的是（

）A．增加，增加 B．增加，減小C．減小，增加 D．減小，減小超幾何分布模型的特征：①不放回抽樣；②一個(gè)總體(共有N個(gè))內(nèi)含有兩種不同的事物A(有M個(gè))，B(有N～M個(gè))，任取n個(gè)，其中恰有X個(gè)A.符合以上特征即可斷定隨機(jī)變量服從超幾何分布題型3、超幾何分布的綜合應(yīng)用10．學(xué)校要從8名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)．已知恰有3名候選人來(lái)自甲班，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選中，則甲班恰有2名同學(xué)被選中的概率為（

）A． B． C． D．11．口袋中有2個(gè)黑球，2個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.任取兩球，用隨機(jī)變量X表示取到的黑球數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．12．在15個(gè)村莊中，有7個(gè)村莊交通不太方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用表示10個(gè)村莊中交通不太方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是（

）A． B． C． D．13．設(shè)隨機(jī)變量則（

）A． B． C． D．14．2024年“與輝同行”直播間開(kāi)播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．15．已知在件產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)從這件產(chǎn)品中任取件，用表示取得次品的件數(shù)，則（

）A． B． C． D．超幾何分布的求解步驟(1)辨模型：結(jié)合實(shí)際情景分析所求概率分布問(wèn)題是否具有明顯的兩部分組成，如“男生、女生”“正品、次品”“優(yōu)劣”等，或可轉(zhuǎn)化為明顯的兩部分．具有該特征的概率模型為超幾何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))求解，也可以利用排列組合及概率的知識(shí)求解，需注意借助公式求解時(shí)應(yīng)理解參數(shù)M，N，n，k的含義．(3)列分布表：把求得的概率值通過(guò)表格表示出來(lái)．一、單選題1．現(xiàn)從3名女生和2名男生中隨機(jī)選出2名志愿者，用表示所選2名志愿者中男生的人數(shù)，則為（

）A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.22．已知8名學(xué)生中有5名男生，從中選出4名代表，記選出的代表中男生人數(shù)為X，則（

）A． B． C． D．13．設(shè)個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)次品，任取產(chǎn)品個(gè)，取到的次品可能有個(gè)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．14．一袋中裝有大小?質(zhì)地均相同的5個(gè)白球，3個(gè)黃球和2個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則至少含有一個(gè)黑球的概率是（

）A． B． C． D．5．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)．若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至多有1個(gè)陰數(shù)的概率為（）

A． B． C． D．6．某學(xué)校有一個(gè)體育運(yùn)動(dòng)社團(tuán)，該社團(tuán)中會(huì)打籃球且不會(huì)踢足球的有3人，籃球、足球都會(huì)的有2人，從該社團(tuán)中任取2人，設(shè)為選出的人中籃球、足球都會(huì)的人數(shù)，若，則該社團(tuán)的人數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．107．已知8名學(xué)生中有5名男生，從中選出4名代表，記選出的代表中男生人數(shù)為X，則（

）A． B． C． D．8．一個(gè)盒中有10個(gè)球，其中紅球7個(gè)，黃球3個(gè)，隨機(jī)抽取兩個(gè)，則至少有一個(gè)黃球的概率為（

）A． B． C． D．9．一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號(hào)碼；②X表示取出的最小號(hào)碼；③X表示取出的白球個(gè)數(shù)；④取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分減去4的差.這四種變量中服從超幾何分布的是（）A．①② B．③④C．①②④ D．①②③④10．今有電子元件50個(gè)，其中一級(jí)品45個(gè)，二級(jí)品5個(gè)，從中任取3個(gè)，出現(xiàn)二級(jí)品的概率為（

）A． B．C． D．二、多選題11．在一個(gè)袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)小球，設(shè)取的4個(gè)小球中白球的個(gè)數(shù)為X，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．隨機(jī)變量服從超幾何分布 D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布12．一箱兒童玩具中有3件正品，2件次品，現(xiàn)從中不放回地任取2件進(jìn)行檢測(cè)．記隨機(jī)變量為檢測(cè)到的正品的件數(shù)，則（

）A．服從二項(xiàng)分布 B．C． D．最有可能取得的為1三、填空題13．某班要從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中隨機(jī)選出4人去參加某項(xiàng)比賽，設(shè)抽取的4人中女同學(xué)的人數(shù)為，則.14．某10人組成興趣小組，其中有5名團(tuán)員，從這10人中任選4人參加某種活動(dòng)，用表示4人中的團(tuán)員人數(shù)，則＝；＝．四、解答題15．袋中有大小相同，質(zhì)地均勻的3個(gè)白球，5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，設(shè)取到白球的個(gè)數(shù)為.(1)求隨機(jī)變量的分布列；(2)求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差.16．為了解某藥物在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：隨機(jī)抽取100只小鼠，給服該種藥物，每只小鼠給服的藥物濃度相同、體積相同.經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)藥物的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到如下直方圖：(1)求殘留百分比直方圖中的值；(2)估計(jì)該藥物在小鼠體內(nèi)殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(3)在體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠中任取3只，設(shè)其中體內(nèi)藥物殘留百分比位于區(qū)間的小鼠為只，求的分布列和期望.17．小張參加某公司的招聘考試，題目按照難度