幾類插值方法及其應(yīng)用論文

幾類插值方法及其應(yīng)用論文幾類插值方法及其應(yīng)用王莎20089001S041摘要：在工程應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到函數(shù)的表達(dá)式是已知的，但該表達(dá)式卻比較復(fù)雜難以計算，因此，希望用一個既能反映該函數(shù)的特性又便于計算的簡單函數(shù)來描述它。本文對常見的幾種插值方法-插值，插值，插值方法的基本思想、插值函數(shù)的構(gòu)造等進行了詳細(xì)的介紹。關(guān)鍵字：插值基函數(shù)，插值多項式，插值節(jié)點。 一·引言實際問題中經(jīng)常有這樣的函數(shù),其在某個區(qū)間上有有限個離散點，且這些點對應(yīng)函數(shù)值為，若想得到其它點的值就必須找一個滿足上述條件的函數(shù)表達(dá)式。這就是下邊要討論的插值函數(shù)。二·插值函數(shù)1.插值函數(shù)的基本思想:將待求的次插值多項式寫成另一種表達(dá)方,式再利用插值條件確定出插值基函由基函數(shù)條件,確定多項式系數(shù)，進而可得插值函數(shù).2.提出問題：（1）已知，求滿足條件的插值函數(shù)。由題可知表示過兩點的直線，這個問題是我們所熟悉的，它的解可表為下列對稱式此類一次插值稱為線性插值，若令（由此可得：））則有這里的可以看作是滿足條件的插值多項式，這兩個特殊的插值多項式稱作上述問題的插值基函數(shù)。（2）求過三點的插值函數(shù)。為了得到插值多項式先解決一個特殊的二次插值問題。求作二次式，使?jié)M足（2-1）這個問題是容易求解的，由式（2-1）的后兩個條件知是的兩個零點，因而。再用條件確定系數(shù)c.結(jié)果得：類似可以分別構(gòu)造出滿足條件的插值多項式；其表達(dá)式分別為，這樣構(gòu)造出的稱作問題（2）的插值基函數(shù)。設(shè)取已知數(shù)據(jù)作為組合系數(shù)，將插值基函數(shù)組合得驗證可知，這樣構(gòu)造的滿足已知條件，因而它就是問題（2）的解。作函數(shù)則且所以在上有個零點，反復(fù)使用羅爾中值定理:存在

，使;因是n次多項式，故而

是首項系數(shù)為1的n+1次多項式，故有

于是

得所以設(shè)則：

易知，線性插值的截斷誤差為:

二次插值的截斷誤差為:

三·插值函數(shù)的構(gòu)造1.插值法的基本思想：已知節(jié)點處的函數(shù)值或一元函數(shù)代數(shù)方程，將待求的n次插值多項式改寫為具有承襲性的形式，然后根據(jù)插值條件或選取初值以求得待定系數(shù)，進而求得所要的插值函數(shù)。插值與插值相比具有承襲性和易于變動節(jié)點的特點。2.問題的提出：實踐中的許多問題歸結(jié)為求一元代數(shù)方程的根，如果是線性函數(shù)，則它的求根較容易；對非線性方程，只有不高于4次的代數(shù)方程有求根公式，經(jīng)常需求出高于4次

的滿足一定精度要求的近似解。

3.法的簡述設(shè)是的一個近似根，把在處泰勒展開若取前兩項來近似代替，則的近似線性方程設(shè)0，設(shè)其根為，則的計算公式為=-（k=0,1,2.....）這即為牛頓法，上式為牛頓迭代公式，其迭代函數(shù)為我們知道，牛頓法是解非線性方程最著名和最有效的方法之一，在單根附近它比一般的迭代格式有較快的收速度，但也要注意它也有缺點：首先，它對迭代初值選取要求較嚴(yán)，初值選取不好，可能導(dǎo)致吧收斂；其次，它每迭代一次要計算的值，這勢必增加可計算量。為回避該問題，常用一個固定的迭代若干步后再求。這就是下面要講的簡化牛頓法的基本思想。簡化牛頓法和下山牛頓法簡化牛頓法的公式為(3-1)迭代函數(shù)若。即在根附近成立。則迭代法（3-1）局部收斂。此法顯然化簡了計算量。牛頓下山法牛頓法的收斂依賴于初值的選取，若偏離較遠(yuǎn)，則牛頓法可能發(fā)散。為防止迭代發(fā)散，我們對迭代過程在附加一項條件，即具有單調(diào)性：（3-2）保證函數(shù)值穩(wěn)定下降，然后結(jié)合牛頓法加快收斂速度，即可達(dá)目的。將牛頓法的計算結(jié)果（3-3）于前一步的近似值適當(dāng)加權(quán)平均作為新的改進值（3-4）其中稱（）為下山因子，即為（3-5）稱為牛頓下山法。選擇下山因子時，從開始逐次將減半進行試算。直到滿足條件（3-2）為止。例2求方程的根。（1）解：用newton公式法取=1.5=-=-計算得=1.34783，=1.32520，=1.32472迭代三次得到的結(jié)果有6位有效數(shù)字。（2）改用=0.6作為迭代初值，依牛頓法公式一次得=17.9該結(jié)果反比=0.6更偏離了所求根=1.32472用牛頓下山法解(2)中通過逐次取半進行試算，當(dāng)時可得=1.140625此時=-0.656643而=-1.384顯然由計算，...時均能使條件成立計算結(jié)果：，，，即為的近似值newton迭代法的收斂性定理：假設(shè)函數(shù)在包含的某個鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，時方程的單根，則當(dāng)充分接近時，牛頓法收斂，且至少為二階收斂。證明：迭代函數(shù)，由于，又是的單根，即有.,從而于是可以判定牛頓法在根鄰近至少是二階收斂。四·插值法問題的提出：已知函數(shù)在給定個互異的節(jié)點，...上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值，求一個次多項式滿足插值條件（）=，.k=0,1,2...n插值基本原理通常如上條件的Hermite型插值是通過構(gòu)造相應(yīng)的插值基函數(shù)來完成的，為方便起見以n=1為例，說明傳統(tǒng)的求解方法，設(shè)給定的，和相應(yīng)的函數(shù)值，及微商值，構(gòu)造插值函數(shù)。由構(gòu)造函數(shù)的辦法可知：對應(yīng)于和點函數(shù)值的插值函數(shù)分別為及而對應(yīng)的和點導(dǎo)數(shù)值的插值基函數(shù)分別為和，因此所要求的插值函數(shù)（2-1）例3.設(shè),球滿足條件的函數(shù)。解：由式（2-1）可得則（2-2）由上可發(fā)現(xiàn)構(gòu)造插值基函數(shù)比較復(fù)雜，尤其對具有高階導(dǎo)數(shù)插值條件的情況，以下將基于newton插值方法提出構(gòu)造上述條件的簡單格式。此時傳統(tǒng)方法可視為這里的特例。3.新的構(gòu)造格式下面將給出帶有高階導(dǎo)數(shù)插值條件及僅給出某些點上的導(dǎo)數(shù)值而缺少函數(shù)值時插值的構(gòu)造格式。條件（1）條件（2）為了利用newton插值法我們首先引入下列差商記號，。同時有下面公式(3-1)對于第1中插值條件的情況本文按如下三步構(gòu)造插值函數(shù)。第一步：將具有函數(shù)值及直到階導(dǎo)數(shù)值的點及該點處的函數(shù)值在差商表中連續(xù)的重復(fù)寫遍；第二步：充分利用（3-1）式并按照傳統(tǒng)的牛頓插值法構(gòu)造差商表中相應(yīng)的其它例；第三步：把重復(fù)寫的點按傳統(tǒng)newton插值方法中的點一樣獨立對待寫出相應(yīng)的插值表達(dá)式；下面給出一個實際例子來具體說明假設(shè)已知插值條件為(3-2)易知當(dāng)k=1時，（3-2）式即為傳統(tǒng)的Hermite型問題，下面以例3中條件來求解說明本文所提的方法。先按上述第一第二步構(gòu)造相應(yīng)的差商表如下0000011111110-1再按上述第三步則有（3-3）比較（2-2）和（3-3）知，二者結(jié)果的確是完全一樣的當(dāng)k=2時其中，，，，，按上述第三步寫出插值為對于第（2）種條件的插值問題，首先假設(shè)僅給出若干階導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)值為已知的，重復(fù)(1)的過程，再令高于由插值條件所能確定的多項式的次數(shù)的所有高階差商項為零，解出其函數(shù)值即可。下面仍以一個實際例子說明例4.已知插值條件為（3-4）解：先設(shè)在點的函數(shù)值為是已知的，則重復(fù)（1）可構(gòu)造出如下差商表其中，，，令=0，則可解得在點的函數(shù)值.進而可解得差商表中的，從而得所要求的滿足（3-4）的插值函數(shù)為為了更清楚起見，不妨設(shè)則有101012aa/2(a-2)/22a5(10-a)/26-a由于給的插值條件為3個，通