第03講 多邊形及其內(nèi)角和（2大知識(shí)點(diǎn)+14大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）人教版2024年暑假七升八《數(shù)學(xué)》銜接講義（解析版）

第第頁第03講多邊形及其內(nèi)角和（2大知識(shí)點(diǎn)+14大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）題型一多邊形的概念與分類題型二多邊形的周長題型三網(wǎng)格中多邊形面積比較題型四多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題題型五對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問題題型六多邊形內(nèi)角和問題題型七正多邊形的內(nèi)角問題題型八多（少）算一個(gè)角問題題型九多邊形截角后的內(nèi)角和問題題型十復(fù)雜圖形的內(nèi)角和題型十一正多邊形的外角問題題型十二多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用題型十三多邊形內(nèi)角和與外角和綜合題型十四平面鑲嵌知識(shí)點(diǎn)01：多邊形（1）多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．（3）正多邊形的概念：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個(gè)多邊形都在此直線的同一側(cè)．②每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．知識(shí)點(diǎn)02：多邊形內(nèi)角與外角（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（n﹣2）個(gè)三角形，這（n﹣2）個(gè)三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，則n邊形取n個(gè)外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．②借助內(nèi)角和和鄰補(bǔ)角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．【典型例題一多邊形的概念與分類】1．（2023八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）下列圖形中，屬于多邊形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的定義，即可求解．【詳解】解：A、不屬于多邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不屬于多邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、屬于多邊形，故本選項(xiàng)符合題意；D、不屬于多邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形，熟練掌握由條線段首尾順次連接而成的封閉圖形是多邊形是解題的關(guān)鍵．2．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·開學(xué)考試）用下面的圖表示圖形之間的關(guān)系，不正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的分類，四邊形的分類，進(jìn)行判定作答即可．【詳解】解：由題意知，三角形包括等腰三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形，A正確，故不符合要求；四邊形包括平行四邊形、梯形，B正確，故不符合要求；三角形按照角度分類包括銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，C正確，故不符合要求；平行四邊形包括長方形，正方形是特殊的長方形，D錯(cuò)誤，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的分類，四邊形的分類．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（22-23七年級(jí)上·江蘇無錫·期中）個(gè)六邊形、個(gè)五邊形共有條邊．【答案】【分析】由六邊形有六條邊，五邊形有五條邊，即可計(jì)算．【詳解】解：∵個(gè)六邊形有條邊，個(gè)五邊形有條邊，∴個(gè)六邊形、個(gè)五邊形共有條邊，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的概念，關(guān)鍵是掌握n邊形有n條邊．4．（2023九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）定義：在平面內(nèi)，由若干條不在同一直線上的線段相連組成的圖形叫做多邊形，各邊相等也相等的多邊形叫做正多邊形．【答案】首尾順次封閉各內(nèi)角【分析】根據(jù)多邊形及正多邊形的定義進(jìn)行解答即可．【詳解】解：在一個(gè)平面內(nèi)，由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形叫做多邊形．如果多邊形的各邊都相等，各內(nèi)角也相等，那么就稱它為正多邊形．故答案為∶首尾順次，封閉，各內(nèi)角．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形和正多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是熟知它們的定義．5．（22-23七年級(jí)下·廣東梅州·開學(xué)考試）仔細(xì)數(shù)一數(shù)圖中有幾個(gè)直角三角形，幾個(gè)正方形，幾個(gè)長方形．【答案】32個(gè)直角三角形，7個(gè)正方形，4個(gè)長方形【分析】應(yīng)按照一定規(guī)律來找：先找單個(gè)的，再找兩兩組合的，四個(gè)組合的．【詳解】解：根據(jù)圖示圖中共有：32個(gè)直角三角形，7個(gè)正方形，4個(gè)長方形．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形，需注意正方形指的是四條邊相等，四個(gè)角是直角的四邊形，長方形指長與寬不相等的長方形．6．（22-23七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）三角形有幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條邊，幾個(gè)內(nèi)角？四邊形有幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條邊，幾個(gè)內(nèi)角？……n邊形呢？【答案】見解析【分析】根據(jù)圖形的特征作答即可．【詳解】解：如圖所示，三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，3條邊，3個(gè)內(nèi)角；四邊形有4個(gè)頂點(diǎn)，4條邊，4個(gè)內(nèi)角；五邊形有5個(gè)頂點(diǎn)，5條邊，5個(gè)內(nèi)角；……可發(fā)現(xiàn)，多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和內(nèi)角個(gè)數(shù)與邊數(shù)相同；n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，n個(gè)內(nèi)角．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的有關(guān)概念，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)別多邊形，明確多邊形的頂點(diǎn)和內(nèi)角概念．【典型例題二多邊形的周長】1．（22-23七年級(jí)上·四川眉山·期末）若長方形的一邊長為，另一邊長為，則該長方形的周長為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)長方形周長的計(jì)算公式求解．【詳解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查長方形的應(yīng)用，熟練掌握長方形周長的意義和計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．2．（22-23七年級(jí)下·湖北孝感·期中）如圖是一塊電腦主板的示意圖，每一轉(zhuǎn)角處都是直角，數(shù)據(jù)如圖所示（單位：mm），則該主板的周長是（）A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm【答案】B【分析】根據(jù)題意，電腦主板是一個(gè)多邊形，由周長的定義可知，周長是求圍成圖形一周的長度之和，計(jì)算周長只需要把橫著的和豎著的所有線段加起來即可．【詳解】由圖形可得出：該主板的周長是：24+24+16+16+4×4＝96（mm），故該主板的周長是96mm，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則多邊形周長的求解方法，理解周長的定義是求解的關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）已知正六邊形的周長是，則這個(gè)多邊形的邊長等于．【答案】5【分析】由正六邊形的周長和性質(zhì)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵一個(gè)正六邊形的周長是30cm，∴正六邊形的邊長=30÷6=5（cm）；故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、正六邊形的周長；熟練掌握正六邊形的邊長相等是解題的關(guān)鍵．4．（22-23八年級(jí)下·福建泉州·期末）如圖，直線DE將△ABC分成等周長的兩部分，若AD+AE＝2，則△ABC的周長為．【答案】4【分析】根據(jù)直線DE將△ABC分成等周長的兩部分得AD+AE＝BD+CE+BC=2，進(jìn)而可求解．【詳解】解：由題意得：AD+AE＝BD+CE+BC．∵AD+AE＝2，∴BD+CE+BC＝2．∴C△ABC＝AB+AC+BC＝（AD+BD）+（AE+CE）+BC＝（AD+AE）+（BD+CD+BC）＝2+2＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的周長，解題的關(guān)鍵是正確理解題干中直線DE將△ABC分成等周長的兩部分．5．（22-23七年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，有3張卡片，用它們拼成各種形狀不同的多邊形（相同長度的邊拼靠在一起，卡片不重疊）．(1)這些拼成的多邊形的周長有哪幾種不同的結(jié)果？(2)這些結(jié)果中，最長的周長和最短的周長分別是多少？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)周長最大，最短，理由見解析【分析】（1）畫出圖形可得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論結(jié)合，再判斷即可．【詳解】（1）解：如圖，圖形有四種情形，周長為：或或.（2）周長的最大值為，最小值為.理由：由題意可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，∴，周長的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查圖形的拼剪，不等式的性質(zhì)，長方形的性質(zhì)，多邊形的周長等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．6．（22-23八年級(jí)上·湖北·課后作業(yè)）已知正n邊形的周長為60，邊長為a（1）當(dāng)n=3時(shí)，請(qǐng)直接寫出a的值；（2）把正n邊形的周長與邊數(shù)同時(shí)增加7后，假設(shè)得到的仍是正多邊形，它的邊數(shù)為n+7，周長為67，邊長為b．有人分別取n等于3，20，120，再求出相應(yīng)的a與b，然后斷言：“無論n取任何大于2的正整數(shù)，a與b一定不相等．”你認(rèn)為這種說法對(duì)嗎？若不對(duì)，請(qǐng)求出不符合這一說法的n的值．【答案】（1）20（2）不正確【詳解】試題分析：分析：（1）根據(jù)正多邊形的每條邊相等，可知邊長=周長÷邊數(shù)；（2）分別表示出a和b的代數(shù)式，讓其相等，看是否有相應(yīng)的值.試題解析：（1）a=60÷3=20；（2）此說法不正確．理由如下：盡管當(dāng)n=3、20、120時(shí)，a＞b或a＜b，但可令a=b，得，∴60n+420=67n，解得n=60，經(jīng)檢驗(yàn)n=60是方程的根．∴當(dāng)n=60時(shí)，a=b，即不符合這一說法的n的值為60．點(diǎn)睛：本題考查分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是以邊長作為等量關(guān)系列方程求解，也考查了正多邊形的知識(shí)點(diǎn).【典型例題三網(wǎng)格中多邊形面積比較】1．（22-23九年級(jí)上·重慶沙坪壩·期中）如圖為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點(diǎn)均位于某兩網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，若每一小正方形的邊長均為1，則灰色三角形的面積為（

）

A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【答案】A【分析】利用正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積即可求得．【詳解】解：灰色三角形的面積為：4×4-×3×2-×1×4-×2×4=7，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查識(shí)圖能力，關(guān)鍵看到灰色三角形的面積等于正方形方格紙的面積減去周圍三個(gè)三角形的面積得解．2．（22-23七年級(jí)下·廣西河池·期中）如圖，網(wǎng)格圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1，以為半徑的扇形經(jīng)過平移到達(dá)扇形的位置，那么圖中陰影部分的面積是（）．

A．8 B．6 C．6.5 D．7.5【答案】B【分析】如圖：連接和，可以發(fā)現(xiàn)，然后求得平行四邊形的面積即可解答．【詳解】解：連接和，則．

故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求陰影部分的面積，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)換成求平行四邊形的面積是解答本題的關(guān)鍵．3．（22-23七年級(jí)下·浙江·期中）如圖為邊長為1的網(wǎng)格，線段為兩個(gè)格點(diǎn)的連線，找一個(gè)格點(diǎn)C，使得的面積為2，則該圖中點(diǎn)C有個(gè)【答案】6【分析】A，B兩點(diǎn)的垂直距離為2，那么，只要保證水平距離為2即可使△ABC的面積為2個(gè)平方單位；A，B兩點(diǎn)的水平距離為1，那么，只要保證垂直距離為4即可使△ABC的面積為2個(gè)平方單位．【詳解】解：符合條件的點(diǎn)C如圖，可知共有6個(gè)，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的求法，注意分水平距離和垂直距離兩種情況．4．（22-23八年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖，小個(gè)方格都是邊長為1的正方形，圖中四邊形的面積為．【答案】【分析】利用大正方形的面積減去四邊形周圍的小三角形面積即可．【詳解】解：四邊形ABCD的面積為：=，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了四邊形面積求法，掌握割補(bǔ)法是解題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長為1．平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合．

(1)畫出平移后的三角形；(2)在（1）的條件下，線段掃過的區(qū)域的面積是________．【答案】(1)見解析(2)28【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)D的位置，得出平移的方式，再畫出點(diǎn)B和點(diǎn)C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，依次連接即可；（2）用割補(bǔ)法求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)D的位置可得，向右平移6個(gè)單位長度，向下平移2個(gè)單位長度，如圖所示，即為所求，

（2）解：線段掃過的區(qū)域面積為四邊形的面積，線段掃過的區(qū)域面積=四邊形的面積．故答案為：28．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的作圖方法和步驟．6．（22-23七年級(jí)上·重慶江北·期末）在正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，每個(gè)小正方形的邊長均為1，的三個(gè)頂點(diǎn)均在“格點(diǎn)”處．(1)在給定方格紙中，點(diǎn)B與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，請(qǐng)畫出平移后的；(2)線段與線段的關(guān)系是______________；(3)求平移過程中，線段掃過的面積．【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)15【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，再連接即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)回答即可；（3）根據(jù)圖形得到掃過部分的圖形，再根據(jù)面積公式計(jì)算．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）由平移可知：線段與線段的關(guān)系是平行且相等；（3）由圖可知：線段掃過的部分為平行四邊形，∴面積為．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-平移變換，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移的性質(zhì)，多結(jié)合圖形解決問題．【典型例題四多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題】1．（23-24六年級(jí)下·山東威?！て谥校氖呅蔚囊粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫出的對(duì)角線有（）A．7條 B．4條 C．6條 D．2條【答案】A【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線條數(shù)的問題，解答此類題目可以直接記憶：一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以連的對(duì)角線的條數(shù)是．據(jù)此解答即可．【詳解】解：十邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以畫出對(duì)角線的數(shù)量（條），故選：A．2．（22-23六年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）從十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（）條對(duì)角線，把十二邊形分割成（）個(gè)三角形．A．9，9 B．9，10 C．10，9 D．10，11【答案】B【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線的條數(shù)以及三角形的個(gè)數(shù)，根據(jù)n邊形的對(duì)角線條數(shù)為條，把n形分割成的三角形的個(gè)數(shù)為條，據(jù)此即可作答．【詳解】解：從十二邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出的對(duì)角線條數(shù)為（條），它們把十二邊形分割成的三角形的個(gè)數(shù)為（個(gè)），故選：B．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）過正八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線．【答案】5【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線問題，根據(jù)從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引出條對(duì)角線，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過正八邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線；故答案為：5．4．（23-24八年級(jí)上·廣東肇慶·階段練習(xí)）如圖是一個(gè)五邊形木框，要固定它的形狀，至少要釘根木條．【答案】2【分析】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，以及多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可畫對(duì)角線的條數(shù)，根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可畫條對(duì)角線，即可解答．【詳解】解：由題意得要使五邊形木框不變形，至少還要釘根木條，故答案為：2．5．（23-24八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）畫出下面各圖中多邊形的所有對(duì)角線．

【答案】見解析【分析】將與每個(gè)頂點(diǎn)不相鄰的頂點(diǎn)連起來即可.【詳解】解：分別將三個(gè)圖形中的與每個(gè)頂點(diǎn)不相鄰的頂點(diǎn)連接起來，如圖所示，即為所求：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形對(duì)角線的概念，熟記概念和嫻熟的作圖能力是解答本題的關(guān)鍵.6．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期中）真正的學(xué)習(xí)是自主學(xué)習(xí)，主動(dòng)探究，小蘭同學(xué)在自主探究多邊形的邊數(shù)n與多邊形的對(duì)角線的條數(shù)y的關(guān)系的過程中，記錄了數(shù)據(jù)如下：多邊形的邊數(shù)n3456…對(duì)角線的條數(shù)y0259…(1)直接寫出過n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)有幾條對(duì)角線（用含n的式子表示）；(2)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)y隨著多邊形的邊數(shù)n（，n為正整數(shù)）的變化而變化，請(qǐng)你用含n的式子表示y．(3)求一個(gè)十邊形的對(duì)角線的條數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了對(duì)角線的條數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系，理解題意、得出對(duì)角線的條數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“一個(gè)頂點(diǎn)可向除自己和相鄰兩頂點(diǎn)外的其它頂點(diǎn)連線，得到對(duì)角線”，得出答案即可；（2）根據(jù)“n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，所以所有對(duì)角線有條．但每條對(duì)角線重復(fù)一次”，得出答案即可；（3）把代入，計(jì)算得出答案即可．【詳解】（1）解：∵一個(gè)頂點(diǎn)可向除自己和相鄰兩頂點(diǎn)外的其它頂點(diǎn)連線，得到對(duì)角線，∴過n邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線條數(shù)為，故答案為：；（2）解：∵n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，所以所有對(duì)角線有條．但每條對(duì)角線重復(fù)一次，∴n邊形所有對(duì)角線的條數(shù)為；（3）解：把代入，得，∴一個(gè)十邊形的對(duì)角線的條數(shù)為．【典型例題五對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問題】1．（23-24六年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）過多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成3個(gè)三角形，這個(gè)多邊形是（

）A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】A【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線數(shù)量問題，根據(jù)邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，可組成個(gè)三角形，依此可求出的值，得到答案．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，由題意得：，解得：，即這個(gè)多邊形是五邊形，故選：A．2．（23-24七年級(jí)下·江蘇泰州·期中）“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，同學(xué)們?cè)谘芯慷噙呅危ㄟ厰?shù)大于3）的內(nèi)角和度數(shù)時(shí)，通常是將多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和來解決，從而化陌生的問題為熟悉的情境來解決問題．現(xiàn)從某邊形一邊上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）出發(fā)，依次連接多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，分割得到的所有三角形的內(nèi)角和是，則該邊形是（

）邊形．A．五 B．六 C．七 D．八【答案】D【分析】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，形成的三角形個(gè)數(shù)為的規(guī)律；根據(jù)從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，把n邊形分為個(gè)三角形，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式列方程即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，解得：故選：D．3．（23-24七年級(jí)下·山東泰安·期中）從十一邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)十一邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是．【答案】9【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線，從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有條對(duì)角線，把多邊形分成個(gè)三角形，這是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的對(duì)角線規(guī)律求解即可．【詳解】從十一邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)十一邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是：．故答案為：9．4．（23-24七年級(jí)上·山東濟(jì)南·期末）從七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)處引對(duì)角線，把七邊形分成了個(gè)三角形，則的值為．【答案】5【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線，多邊形有條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線有條，經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成個(gè)三角形，掌握多邊形的對(duì)角線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè)邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是，從七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè)七邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是：（個(gè)，故答案為：5．5．（23-24七年級(jí)上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知從一個(gè)七邊形的某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線將這個(gè)七邊形分成了x個(gè)三角形，且這些對(duì)角線的條數(shù)是y，求的值．【答案】【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線，若多邊形為邊形，根據(jù)從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線將多邊形分成個(gè)三角形，這些對(duì)角線有條，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，這個(gè)七邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有4條，這些對(duì)角線將這個(gè)七邊形分成了5個(gè)三角形，所以，，所以6．（23-24八年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，在五邊形的邊上，連接，可以得到幾個(gè)三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？【答案】可以得到4個(gè)三角形，三角形的個(gè)數(shù)等于邊數(shù)減1【分析】根據(jù)圖形找出三角形的個(gè)數(shù)，再分析出三角形個(gè)數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系即可．【詳解】解：根據(jù)圖形可知，圖中共有4個(gè)三角形，三角形的個(gè)數(shù)等于邊數(shù)減1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的知識(shí)，正確找出三角形的個(gè)數(shù)是解題關(guān)鍵．【典型例題六多邊形內(nèi)角和問題】1．（23-24八年級(jí)下·安徽六安·階段練習(xí)）在六邊形中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和為即可解題．【詳解】解∶∵六邊形的內(nèi)角和為，∴．故選：A．2．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）如圖，將一張六邊形紙片沿直線剪開，如果剪開后的兩個(gè)圖形的內(nèi)角和相等，下列四種剪法中，符合要求的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可知邊數(shù)相等的兩個(gè)多邊形內(nèi)角和相等，再逐個(gè)判斷得出答案．【詳解】①剪出一個(gè)三角形，一個(gè)七邊形，內(nèi)角和不相等，所以不符合題意；②剪出兩個(gè)五邊形，內(nèi)角和相等，所以符合題意；③剪出一個(gè)三角形，一個(gè)五邊形，所以不符合題意；④剪出兩個(gè)四邊形，所以符合題意．可知符合要求的有②④．故選：D．3．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）八邊形內(nèi)角和度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．故答案為：．4．（23-24八年級(jí)下·浙江溫州·期中）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為，則這個(gè)多邊形是邊形．【答案】十【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列式求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，則，解得．即：這個(gè)多邊形是十邊形，故答案為：十．5．（22-23八年級(jí)下·廣西桂林·期末）已知某n邊形內(nèi)角和是，求n的值．【答案】8【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)，解答即可．【詳解】根據(jù)題意，得，，解得．故n的值為8．6．（2024七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，分別是邊上的高，是的交點(diǎn)，試猜想和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】，見解析【分析】根據(jù)分別是邊上的高，可得，根據(jù)四邊形內(nèi)角和，即可求解，本題考查了四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握四邊形內(nèi)角和．【詳解】解：∵分別是邊上的高，∴，是的外角，，故答案為：．【典型例題七正多邊形的內(nèi)角問題】1．（23-24七年級(jí)下·吉林長春·期中）下列四組多邊形中，能密鋪地面的是(

)①正六邊形與正三角形；②正十二邊形與正三角形；③正八邊形與正方形；④正三角形與正方形．A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本題考查能鋪滿地面的圖形組合，掌握正多邊形的內(nèi)角和公式，會(huì)求正多邊形的每個(gè)內(nèi)角，抓住圍繞一點(diǎn)的各個(gè)角的和為是解題關(guān)鍵．根據(jù)圍繞一點(diǎn)的各個(gè)角的和為進(jìn)行一一判斷即可．【詳解】解∶①正六邊形與正三角形，正六邊形每個(gè)內(nèi)角，正三角形每個(gè)內(nèi)角，，能鋪滿地面；②正十二邊形與正三角形，正十二邊形每個(gè)內(nèi)角，正三角形每個(gè)內(nèi)角，，能鋪滿地面；③正八邊形與正方形，正八邊角形每個(gè)內(nèi)角，正方形每個(gè)內(nèi)角，，能鋪滿地面，④正三角形與正方形，正三角形每個(gè)內(nèi)角，正方形每個(gè)內(nèi)角，，能鋪滿地面；其中能鋪滿地面的是①②③④．故選：A．2．（2024·山東濟(jì)寧·二模）如圖，若干全等正五邊形排成形狀，圖中所示的是前3個(gè)正五邊形，則要完成這一圓環(huán)還需這樣的正五邊形（

）A．10個(gè) B．9個(gè) C．7個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】本題考查了正多邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，先求出正五邊形的內(nèi)角的多少，求出每個(gè)正五邊形被圓截的弧對(duì)的圓心角，即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵多邊形是正五邊形，∴內(nèi)角是，，，即10個(gè)正五邊形能圍城這一個(gè)圓環(huán)，所以要完成這一圓環(huán)還需7個(gè)正五邊形故選：C3．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）邊數(shù)為7邊形的正7邊形內(nèi)角和為．【答案】/900度【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，即正七邊形內(nèi)角和為，故答案為：．4．（23-24八年級(jí)上·廣西柳州·期中）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，則n的值是．【答案】6【分析】本題主要考查多邊形外角和定理，多邊形的外角和是360度，先求出每個(gè)外角的度數(shù)，根據(jù)外角和360度求解即可．【詳解】根據(jù)題意有每個(gè)外角的度數(shù)為：，，故答案為：6．5．（22-23七年級(jí)下·全國·單元測試）小明想:2015年世博會(huì)將在意大利米蘭舉行，設(shè)計(jì)一個(gè)內(nèi)角和是2015°的多邊形圖案多有意義啊!你同意小明的想法嗎?為什么?【答案】不同意，小明的想法無法實(shí)現(xiàn).理由見解析.【詳解】試題分析：n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°，即多邊形的內(nèi)角和為180°的整數(shù)倍，用2015°除以180°，看結(jié)果是否能整除．試題解析：不同意，小明的想法無法實(shí)現(xiàn).因?yàn)槎噙呅蔚膬?nèi)角和公式為,其一定是180°的整數(shù)倍，而2015°不能被180°整除，所以不可能有內(nèi)角和為2015°的多邊形.6．（22-23八年級(jí)上·陜西延安·階段練習(xí)）如圖，若一個(gè)正方形和一個(gè)正六邊形有一邊重合．求的度數(shù)．【答案】【分析】先算出正方形和正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，分別求出它們一個(gè)外角的度數(shù)，相加即可．【詳解】解：正方形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，正六邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，則：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)，以及正多邊形的一個(gè)外角的度數(shù)．熟練掌握相關(guān)計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．【典型例題八多（少）算一個(gè)角問題】1．（22-23八年級(jí)下·湖南永州·期中）小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角！則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】邊形的內(nèi)角和是，少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得．則內(nèi)角和是與的差一定小于180度，并且大于0度．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是，則有，則，因?yàn)椋?，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．解答此題的關(guān)鍵是把所求的角正確的分解為與一個(gè)正整數(shù)的積再減去一個(gè)小于的角的形式，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求解．2．（23-24七年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）一個(gè)多邊形除去一個(gè)內(nèi)角后，其余各內(nèi)角的和為，則這個(gè)內(nèi)角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式建立邊數(shù)與內(nèi)角度數(shù)的等式．設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，邊數(shù)為，根據(jù)多邊形內(nèi)角和的公式建立等式，再根據(jù)多邊形的一個(gè)內(nèi)角一定大于，并且小于計(jì)算出邊數(shù)，最后再根據(jù)邊數(shù)和內(nèi)角和計(jì)算出所求內(nèi)角的值．【詳解】解：設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，邊數(shù)為，則，，∵為正整數(shù)，，∴，∴這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為．故選：C．3．（22-23八年級(jí)上·江西贛州·階段練習(xí)）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和是2570°，則這個(gè)內(nèi)角是度．【答案】130【分析】設(shè)出相應(yīng)的邊數(shù)和未知的那個(gè)內(nèi)角度數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，則（n﹣2）×180﹣x＝2570，180?n＝2930+x，∴n＝，∵n為正整數(shù)，0°＜x＜180°，∴n＝17，∴這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°．故答案為：130．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)度數(shù)的等量關(guān)系．注意多邊形的一個(gè)內(nèi)角一定大于0°，并且小于180°．4．（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）小明同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少算一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得到的結(jié)果是，則少算的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，解不等式，設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理列出不等式，進(jìn)而求出，再計(jì)算出該多邊形內(nèi)角和即可得到答案．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n（，且n為整數(shù)），依題意得，解得．∵少算一個(gè)內(nèi)角，且該內(nèi)角小于，∴．∴多邊形的內(nèi)角和是，∴少算的這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，故答案為：．5．（23-24八年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）一個(gè)n邊形去掉一個(gè)角后，內(nèi)角和為，求這個(gè)多邊形去掉的內(nèi)角度數(shù)及n的值．【答案】，【分析】先計(jì)算得到商和余數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的特點(diǎn)可得多邊形的邊數(shù)與去掉的那個(gè)內(nèi)角的大小．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是，而，∴，解得：，∴這個(gè)多邊形去掉的內(nèi)角度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，難點(diǎn)在于理解多邊形的內(nèi)角和的特點(diǎn)．6．（22-23八年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）小紅在求一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角和時(shí)，多算了一個(gè)角，求得的內(nèi)角和為1920°(1)多算進(jìn)去的那個(gè)內(nèi)角為多少度？(2)求這個(gè)多邊形的邊數(shù)？【答案】(1)120度(2)12邊【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為180的整數(shù)倍即可求解；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：∵，∴多算進(jìn)去的內(nèi)角度數(shù)：；（2）右（1）可知，多算進(jìn)去的內(nèi)角為，∴這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：，，解得：，∴這個(gè)多邊形邊數(shù)為12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和為180的整數(shù)倍以及多邊形的內(nèi)角和公式．【典型例題九多邊形截角后的內(nèi)角和問題】1．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）一個(gè)多邊形切去一個(gè)角后共有5條對(duì)角線，原多邊形不可能是（

）A．四邊形 B．五邊形 C．六邊形 D．七邊形【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，解題時(shí)注意：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變．首先求得共有5條對(duì)角線的多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，不變，減少1，即可確定原多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)共有5條對(duì)角線的多邊形的邊數(shù)是n，則，解得：（負(fù)值已舍去）．∵截去一個(gè)角后邊數(shù)可能增加1，不變或減少1，∴原多邊形的邊數(shù)為4或5或6．原多邊形不可能是七邊形故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）將一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后，所形成的一個(gè)新的多邊形的內(nèi)角和是（

）A．14 B．23 C．或 D．或或【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，能夠得出一個(gè)四邊形截一刀后得到的圖形有三種情形，是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)一個(gè)四邊形截一刀后得到的多邊形的邊數(shù)即可得出結(jié)果．【詳解】如圖所示：多邊形截去一個(gè)角有三種情況．一種是從兩個(gè)角的頂點(diǎn)截取，這樣就少了一條邊，即原四邊形變?yōu)槿切?；另一種就是從一個(gè)邊的任意位置和一個(gè)角頂點(diǎn)截，那樣原多邊形邊數(shù)不變，還是四邊形；還有一種是從兩個(gè)邊的任意位置截，那樣就多了一條邊，即原四邊形為五邊形；新的多邊形的內(nèi)角和可能是，或，或．故選：D．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧營口·期中）如果把一個(gè)多邊形剪去一個(gè)內(nèi)角，剩余部分的內(nèi)角和為，那么原多邊形有條邊．【答案】或或9【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和度數(shù)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．【詳解】解：以五邊形為例，如圖所示：

剪去一個(gè)內(nèi)角后，多邊形的邊數(shù)可能加，可能不變，也可能減設(shè)新多邊形的邊數(shù)為，則，解得：∴原多邊形可能有或或9條邊．故答案為：或或9．4．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽·期末）在一張凸n邊形紙片上剪去一個(gè)三角形紙片，得到一個(gè)內(nèi)角和為的凸多邊形紙片，則n的值為．【答案】5或6或7【分析】本題考查多邊形內(nèi)角和定理、剪紙問題，掌握多邊形的內(nèi)角和定理及分類討論問題是解題的關(guān)鍵．設(shè)剪去一個(gè)角后的多邊形邊數(shù)為n，利用多邊形內(nèi)角和公式則有，解出方程就可以得到新多邊形的邊數(shù)；然后通過分析當(dāng)沿的是對(duì)角線和沿的不是對(duì)角線這兩種方式剪角，就可以求出原來多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為的多邊形的邊數(shù)為n，則，解得，即得到的多邊形是6邊形，當(dāng)沿的是一條對(duì)角線剪去一個(gè)角，則原來的是7邊形，當(dāng)沿的直線并不是對(duì)角線時(shí)，分為兩種情況：①過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，則原來的是6邊形；②不過多邊形的頂點(diǎn)，則原來的是5邊形，綜上所述，原多邊形的邊數(shù)為5或6或7，故答案為：5或6或7．5．（23-24八年級(jí)下·湖北武漢·開學(xué)考試）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為，求原多邊形邊數(shù)．【答案】原多邊形的邊數(shù)可能是15或16或17【分析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．設(shè)新的多邊形的邊數(shù)為n，由多邊形內(nèi)角和公式，可得方程，即可求得新的多邊形的邊數(shù)，繼而求得答案．【詳解】解：設(shè)新的多邊形的邊數(shù)為n，∵新的多邊形的內(nèi)角和是，∴，解得：，∵一個(gè)多邊形從某一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)截去一個(gè)角后所形成的新的多邊形是十六邊形，∴原多邊形的邊數(shù)可能是15或16或17．6．（23-24八年級(jí)上·陜西安康·期中）小創(chuàng)做了一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，他先剪出一個(gè)長方形紙片，記為四邊形，然后再剪去一個(gè)角，則剩下的多邊形的內(nèi)角和是多少度？

【答案】剩下的多邊形的內(nèi)角和是或或．【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，分四邊形剪去一個(gè)角，邊數(shù)減少1，不變，增加1，三種情況討論求出所得多邊形的內(nèi)角和，即可得解．【詳解】解：剪去一個(gè)角，若邊數(shù)減少1，為三角形，則內(nèi)角和為；若邊數(shù)不變，還是四邊形，則內(nèi)角和為；若邊數(shù)增加1，為五角形，則內(nèi)角和，綜上，剩下的多邊形的內(nèi)角和是或或．【典型例題十復(fù)雜圖形的內(nèi)角和】1．（22-23八年級(jí)上·遼寧撫順·階段練習(xí)）如圖，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得，再由“8”字三角形可得，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，以及“8”字三角形的特點(diǎn)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧葫蘆島·三模）如圖，多邊形ABCDEFG中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接CD，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)O，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根據(jù)各角的關(guān)系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根據(jù)對(duì)頂角的相等和三角形的內(nèi)角和定義即可求出結(jié)論．【詳解】解：連接CD，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)O∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，，∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°∴∠ODC＋∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式和對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握多邊形的內(nèi)角和公式和對(duì)頂角相等是解決此題的關(guān)鍵．3．（2023九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．【答案】900°【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案．【詳解】解：連EF，GI，如圖，∵6邊形ABCDEFK的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＝720°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，故答案為：900°．【點(diǎn)睛】本題考查了n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．4．（22-23七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝．【答案】540°【分析】連接ED，由三角形內(nèi)角和可得∠A+∠B=∠BED+∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】連接ED，∵∠A+∠B=180°-∠AOB，∠BED+∠ADE=180°-∠DOE，∠AOB=∠DOE，∴∠A+∠B=∠BED+∠ADE，∵∠CDE+∠DEF+∠C+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°，即∠CDO+∠ADE+BED+∠BEF+∠C+∠F+∠G=540°，∴∠A+∠B+∠C+∠CDO+∠BEF+∠F+∠G=540°．故答案為：540°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和公式，以及多邊形的內(nèi)角和公式，熟記多邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)×180°是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．【答案】540°【分析】如圖所示，由三角形外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多邊形的內(nèi)角和公式可求得答案．【詳解】解：如圖所示：由三角形的外角的性質(zhì)可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外角的性質(zhì)和多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，利用三角形外角和的性質(zhì)將所求各角的和轉(zhuǎn)化為五邊形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵6．（2023九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數(shù)；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求四邊形ADEF的內(nèi)角和，（2）與（1）方法相同轉(zhuǎn)化為求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，（3）使用上述方法，轉(zhuǎn)化為求五邊形ABCDE的內(nèi)角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內(nèi)角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內(nèi)角和，四邊形的內(nèi)角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度數(shù)等于六邊形ABCDEF的內(nèi)角和，∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，（3）如圖③，根據(jù)（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度數(shù)等于五邊形ABCDE的內(nèi)角和，∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、多邊形的內(nèi)角和的計(jì)算方法，適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．【典型例題十一正多邊形的外角問題】1．（2024·江蘇無錫·三模）正十二邊形的外角和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查多邊形的外角和問題，多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和都等于．【詳解】解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛蜑椋哉呅蔚耐饨呛蜑椋蔬x：C．2．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個(gè)內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個(gè)外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.【詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正邊形的一個(gè)外角為，∴的值為；故選A3．（2024·廣東東莞·一模）如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是，則這個(gè)正多邊形是邊形．【答案】八【分析】本題主要考查正多邊形的外角和問題，熟練掌握正多邊形的定義及多邊形外角和是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：正多邊形的每個(gè)外角相等，且其和為，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為．故答案為：八．4．（23-24八年級(jí)下·湖南益陽·階段練習(xí)）寧夏川民俗園為國家AAAA級(jí)旅游景區(qū)和紅色旅游經(jīng)典景區(qū)，小林去民俗園參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，“金色禮儀大殿”內(nèi)有正八邊形圖案，如圖所示，則的大小為度．【答案】45【分析】本題考查正多邊形的外角性質(zhì)．根據(jù)多邊形的外角和是以及正八邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵是正八邊形的一個(gè)外角，而正八邊形的每個(gè)外角都相等，∴，故答案為：45．5．（23-24八年級(jí)上·陜西商洛·期中）已知一個(gè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，求n的值．【答案】12【分析】本題考查正多邊形的外角問題．根據(jù)題意，得到n邊形的每一個(gè)外角都等于30°，再根據(jù)外角和為360度，求解即可．掌握正多邊形的每一個(gè)外角都相等，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一個(gè)n邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，∴n邊形的每一個(gè)外角都等于30°，∴．6．（22-23八年級(jí)上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知一個(gè)多邊形的邊數(shù)，它的每一個(gè)內(nèi)角都等于，求：（1）邊數(shù)；

（2）這個(gè)邊形的內(nèi)角和；【答案】(1)12;(2)1800o【分析】(1)先求出這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)，再用360°除以一個(gè)外角的度數(shù)即可得到邊數(shù);(2)根據(jù)內(nèi)角和公式求解.【詳解】(1)∵它的每一個(gè)內(nèi)角都等于150o,∴每個(gè)外角都等于30o,∴n=;(2)內(nèi)角和為：【點(diǎn)睛】考查了多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，求出每一個(gè)外角的度數(shù)是關(guān)鍵．【典型例題十二多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用】1．（23-24八年級(jí)下·湖南懷化·期中）若一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都相等，且一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是，則這個(gè)多邊形是（

）A．正八邊形 B．正九邊形 C．正十邊形 D．正十一邊形【答案】B【分析】本題考查了正多邊形的外角與外角和的關(guān)系，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．先根據(jù)平角的定義求出每一個(gè)外角的度數(shù)，再根據(jù)邊數(shù)外角度數(shù)計(jì)算即可．【詳解】解：，，這個(gè)多邊形是正九邊形．故選：B．2．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，小強(qiáng)站在五邊形健身步道的起點(diǎn)P處，沿著P，B，C，D，E，A，P的方向行走，最終回到了P處．在這過程中，小強(qiáng)轉(zhuǎn)過的角度說明了（）A．五邊形的內(nèi)角和是 B．五邊形的外角和是C．五邊形的內(nèi)角和是 D．五邊形的外角和是【答案】B【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角．根據(jù)題意可知小強(qiáng)轉(zhuǎn)過的角度之和正好是五邊形的外角和，再根據(jù)多邊形的外角和性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：小強(qiáng)轉(zhuǎn)過的角度之和正好是五邊形的外角和，小強(qiáng)轉(zhuǎn)過的角度之和為．故選：B．3．（2024·福建廈門·二模）五邊形的外角和為．【答案】/360度【分析】本題考查了多邊形的外角和，熟記多邊形的外角和等于是解題關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的外角和等于即可得．【詳解】解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛偷扔?，所以五邊形的外角和為，故答案為：?．（23-24九年級(jí)下·重慶·期中）如圖，已知，那么．【答案】【分析】本題考查了多邊形的外角和，熟練掌握基本知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．由多邊形的外角和等于得，代入即可求解度數(shù)．【詳解】解：由多邊形的外角和等于得：，而，∴，故答案為：80．5．（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查了多邊形外角和三角形的外角性質(zhì)，把所求的幾個(gè)角轉(zhuǎn)化為一個(gè)四邊形的外角和即可求解．【詳解】解：如下圖，6．（23-24八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)，前進(jìn)10m后向右轉(zhuǎn)30°，再前進(jìn)10m后又向右轉(zhuǎn)30°，……，如此反復(fù)下去，直到她第一次回到出發(fā)點(diǎn)A，他所走的路徑構(gòu)成了一個(gè)正多邊形．(1)求小明一共走了多少米；(2)求這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和．【答案】(1)小明一共走了120米(2)這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是．【分析】本題考查了正多邊形的外角的計(jì)算以及多邊形的內(nèi)角和．（1）第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個(gè)外角是30度的正多邊形，求得邊數(shù)，即可求解；（2）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個(gè)外角是30度的正多邊形，∴，（米）；答：小明一共走了120米；（2）解：根據(jù)題意得：，答：這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是．【典型例題十三多邊形內(nèi)角和與外角和綜合】1．（2024·湖北宜昌·模擬預(yù)測）已知一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是一個(gè)外角的兩倍，則這個(gè)正多邊形是（

）A．正六邊形 B．正七邊形 C．正八邊形 D．正九邊形【答案】A【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的問題，設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，根據(jù)一個(gè)內(nèi)角是一個(gè)外角的兩倍，可得該正多邊形內(nèi)角和是其外角和的倍，列出方程求解即可，熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式、熟記多邊形外角和為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是，∵一個(gè)內(nèi)角是一個(gè)外角的兩倍，∴該正多邊形內(nèi)角和是其外角和的倍，∴，解得：，∴這個(gè)正多邊形是正六邊形．故選：A．2．（2024八年級(jí)下·上?！ｎ}練習(xí)）一多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于它相鄰?fù)饨堑?倍，則該多邊形的邊數(shù)是（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和為是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)出外角的度數(shù)，表示出內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)一個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ)列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設(shè)外角為，則相鄰的內(nèi)角為，由題意得，，解得：，多邊形的外角和為，，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10．故選：C．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇徐州·期中）若一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是150°，則它是邊形．【答案】12【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角綜合．一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是，即每個(gè)外角是．正多邊形的外角和是，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角相等，因而用除以外角的個(gè)數(shù)，就得到外角和中外角的個(gè)數(shù)，外角的個(gè)數(shù)就是多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是，即每個(gè)外角是．，則它是12邊形．故答案為：12．4．（2024·重慶·二模）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差為，則它的邊數(shù)為．【答案】5【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和及外角和，掌握邊形的內(nèi)角和公式及外角和為是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，由題意得，解得：，故答案：5．5．（23-24七年級(jí)下·福建泉州·期中）已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的差剛好等于一個(gè)十邊形的內(nèi)角和，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【答案】這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得出方程，求出方程的解即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：，解得：．答：這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．6．（23-24八年級(jí)下·湖南永州·期中）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的倍，求這個(gè)正多邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)題意得出，求出的值即可．【詳解】解：∵該正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的倍，設(shè)此多邊形的邊數(shù)為，則有：，解得：，內(nèi)角的度數(shù)為．【典型例題十四平面鑲嵌】1．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·階段練習(xí)）只用下列一種正多邊形不能密鋪成平面圖案的是（

）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【分析】考查了平面鑲嵌(密鋪)，用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案．平面圖形?嵌的條件：判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角．若能構(gòu)成，則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌；反之則不能．【詳解】解：∵用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個(gè)平面圖案，∴只用上面正多邊形，不能進(jìn)行平面鑲嵌的是正五邊形．故選：C．2．（23-24七年級(jí)下·吉林長春·期中）如圖，有四種瓷磚圖案，用同一種瓷磚能鋪滿地面的是（

）

（1）

（2）

（3）

（4）

A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）【答案】A【分析】本題考查幾何圖形平面鑲嵌(密鋪)的基本性質(zhì)，能夠鋪滿地面的圖形是看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成周角．【詳解】解：（1）正三角形的每個(gè)內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故符合題意；（2）正方形的每個(gè)內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故符合題意；（3）正五邊形的每個(gè)內(nèi)角是，不能整除，不能密鋪，故不符合題意；（4）正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是，能整除，能密鋪，故符合題意；∴符合題意有（1）（2）（4），故選：A．3．（22-23七年級(jí)下·重慶萬州·期末）用正六邊形的瓷磚鋪滿地面，圍繞一點(diǎn)拼在一起的正六邊形瓷磚的塊數(shù)是塊．【答案】3【分析】證據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出正六邊形的內(nèi)角，即可求值．【詳解】解：∵正六邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，∴圍繞一點(diǎn)拼在一起的正六邊形瓷磚的塊數(shù)是：塊，故答案為：3．【點(diǎn)睛】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角和加在一起恰好組成一個(gè)周角．4．（22-23八年級(jí)上·天津?qū)氎妗て谥校┌堰呴L為a的正三角形和正方形組合鑲嵌，若用2個(gè)正方形，則還需個(gè)正三角形才可以鑲嵌．【答案】3【分析】由鑲嵌的條件知，在一個(gè)頂點(diǎn)處各個(gè)內(nèi)角和為360°，進(jìn)而得出正三角形的個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：∵正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，又∵3×60°+2×90°＝360°，∴用2個(gè)正方形，則還需3個(gè)正三角形才可以鑲嵌．故答案為3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面鑲嵌，幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．5．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）某裝飾材料加工廠有一批從生產(chǎn)線上下來的正六邊形原材料（如圖①），現(xiàn)從一個(gè)正六邊形中剪去一個(gè)與其邊長相等的等邊三角形，將其移到如圖②所示的位置．為了不浪費(fèi)材料，你能利用它們鋪滿地面嗎？若不能，請(qǐng)說明理由；若能，請(qǐng)你給出自己的一種設(shè)計(jì)．

【答案】能，見解析【分析】本題考查了作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)；根據(jù)正六邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌，類似的將等邊三角形填充到剪去的位置即可．【詳解】解：能．設(shè)計(jì)方案圖所示．

6．（22-23七年級(jí)下·山西晉城·期末）數(shù)學(xué)上可以說明有些正多邊形（一種或多種）組合可以鋪滿地面，有些則不行．以下精美圖案隱含著豐富的數(shù)學(xué)藝術(shù)之美，請(qǐng)你仿照這些圖案在網(wǎng)格中利用至少兩種正多邊形進(jìn)行鋪滿地面的圖案設(shè)計(jì)．【答案】見解析【分析】判斷幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角能否構(gòu)成．【詳解】∵正方形每個(gè)內(nèi)角是，正三角形的每個(gè)內(nèi)角是，，∴圍繞每個(gè)頂點(diǎn)處用2個(gè)正方形，3個(gè)正三角形形可以鋪滿底面．如圖：【點(diǎn)睛】此題考查了平面鑲嵌（密鋪），幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．【變式訓(xùn)練1多邊形的概念與分類】1．（23-24七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）在如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查多邊形定義，根據(jù)多邊形定義，逐個(gè)驗(yàn)證即可得到答案．【詳解】解：所示的圖形中，第一個(gè)是三角形、第二個(gè)是四邊形、第三個(gè)是圓、第四個(gè)是正六邊形、第五個(gè)是正方體，是多邊形的有第一個(gè)、第二個(gè)、第四個(gè)，共有3個(gè)，故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·廣東汕頭·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個(gè)多邊形的內(nèi)角或外角C．各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形D．連接多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的概念，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、在平面內(nèi)，由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、多邊形的一邊與另一邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，多邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、連接多邊形兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，分為兩種類型是連接相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段是多邊形的邊，連接不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的概念；多邊形內(nèi)角、外角的概念；對(duì)角線的概念，熟練掌握由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形是解題的關(guān)鍵．3．（22-23八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）在平面內(nèi)，由一些線段相接組成的圖形叫做多邊形．【答案】首尾順次【詳解】在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．故答案為首尾順次.4．（22-23七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖所示的圖案是由、、構(gòu)成的(填基本圖形名稱)．【答案】（1）三角形；（2）四邊形；（3）十邊形.【詳解】分析：觀察所給圖案，找出構(gòu)成圖案的基本圖形即可.詳解：觀察所給圖案可知：組成該圖案的基本圖形有：（1）三角形；（2）四邊形；（3）十邊形.故答案為：（1）三角形；（2）四邊形；（3）十邊形.點(diǎn)睛：認(rèn)真觀察所給圖案，熟悉常見的幾何圖形是解答本題的關(guān)鍵.5．（22-23八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）圖中的各個(gè)圖形，是否是多邊形？如果是，說出是幾邊形．【答案】圖①②④是多邊形，圖③不是多邊形．其中圖①是四邊形，圖②是五邊形，圖④是五邊形．【分析】根據(jù)多邊形的概念進(jìn)行判斷．【詳解】①是多邊形，是四邊形；②是多邊形，是五邊形；③不是多邊形；④是多邊形，是五邊形．【點(diǎn)睛】本題考查的是多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首位順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．6．（2023·湖南湘潭·中考真題）比較正五邊形與正六邊形，可以發(fā)現(xiàn)它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)．例如：它們的一個(gè)相同點(diǎn)：正五邊形的各邊相等，正六邊形的各邊也相等．它們的一個(gè)不同點(diǎn)：正五邊形不是中心對(duì)稱圖形，正六邊形是中心對(duì)稱圖形．請(qǐng)你再寫出它們的兩個(gè)相同點(diǎn)和不同點(diǎn)：相同點(diǎn)：①；②．不同點(diǎn)：①；②．【答案】解：相同點(diǎn)：①正五邊形的和正六邊形都是軸對(duì)稱圖形．②正五邊形的和正六邊形內(nèi)角都相等．不同點(diǎn)：①正五邊形的對(duì)角線都相等；正六邊形對(duì)角線不全等．②正五邊形的對(duì)角線不交于同一點(diǎn)；正六邊形對(duì)角線過中心的三條交于同一點(diǎn)．【詳解】相同點(diǎn)：①正五邊形的和正六邊形都是軸對(duì)稱圖形．②正五邊形的和正六邊形內(nèi)角都相等．不同點(diǎn)：①正五邊形的對(duì)角線都相等；正六邊形對(duì)角線不全等．②正五邊形的對(duì)角線不交于同一點(diǎn)；正六邊形對(duì)角線過中心的三條交于同一點(diǎn)．【變式訓(xùn)練2網(wǎng)格中多邊形面積比較】1．（2023·遼寧葫蘆島·一模）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則四邊形的面積為()A．7 B．10 C． D．8【答案】A【分析】利用分割法即可解決問題.【詳解】解：S四邊形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的面積和網(wǎng)格問題，利用圖形得出各邊長度是解題關(guān)鍵．2．（23-24八年級(jí)·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示的方格（每個(gè)小方格面積為1）中陰影部分為兩個(gè)軸對(duì)稱型的漢字，圖①中漢字面積為，圖②中漢字的面積為，則的值為（）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】利用割補(bǔ)法分別求出和的面積，再作差即可．【詳解】解：如圖，，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查不規(guī)則圖形的面積，掌握割補(bǔ)法求不規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵．3．（23-24九年級(jí)下·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在正六邊形中，的面積為3，則四邊形的面積為【答案】9【分析】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解．【詳解】解：如下圖，作，六邊形是正六邊形，，，的面積為3，，四邊形的面積為，故答案為：9．4．（2023·北京昌平·二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則的面積與的面積大小關(guān)系為：（填“＞”“＝”或“＜”），【答案】=【分析】分別求出△ABC的面積和△ABD的面積，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：=．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵．5．（22-23七年級(jí)下·安徽合肥·期末）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，按要求進(jìn)行下列作圖．(1)將先向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，請(qǐng)畫出經(jīng)兩次平移后得到的（其中點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)）；(2)連接和，則四邊形的面積為．【答案】(1)見解析(2)16【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可將△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，畫出經(jīng)兩次平移后得到的△A1B1C1；（2）根據(jù)網(wǎng)格即可求出四邊形ACC1A1的面積．【詳解】（1）解：如圖，△A1B1C1即為所求；（2）解：∵AC＝CC1＝C1A1＝A1A，∴四邊形ACC1A1是菱形，∴四邊形ACC1A1的面積＝4×8＝16．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣平移變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握平移的性質(zhì)．6．（22-23七年級(jí)下·江西贛州·期末）如圖，在7×12的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長為一個(gè)長度單位，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上．(1)將線段BC向上平移2個(gè)單位得到線段DE，在方格紙中畫出線段DE，連接AD，AE；(2)三角形ADE的面積＝．【答案】(1)見解析(2)11【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；（2）用△ADE所在長方形的面積減去周圍三個(gè)直角三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；（2）△ADE的面積＝，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—平移，割補(bǔ)法求三角形面積，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題】1．（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）從某多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)連接其余各頂點(diǎn)得7條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】本題考查了一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)，牢記公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作對(duì)角線的條數(shù)公式求出邊數(shù)即可得解．【詳解】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出7條對(duì)角線，，解得．故選：D．2．（23-24七年級(jí)上·甘肅白銀·階段練習(xí)）過七邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引出的對(duì)角線的條數(shù)為________，這些對(duì)角線將多邊形分成了________個(gè)三角形，這個(gè)多邊形共有________條對(duì)角線（

）A．4，5，21 B．4，5，14 C．5，4，28 D．5，4，21【答案】B【分析】本題主要考查了多邊形的對(duì)角線問題，熟練掌握過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，可以引出條對(duì)角線，這些對(duì)角線把該多邊形分成個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：從一個(gè)七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引出條對(duì)角線，這些對(duì)角線把這個(gè)七邊形分成個(gè)三角形，七邊形共有對(duì)角線條數(shù)為：（條）．故選：B．3．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）n邊形（）同一頂點(diǎn)處可引條對(duì)角線．【答案】/【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線，根據(jù)從n邊形（）同一個(gè)頂點(diǎn)處可引條對(duì)角線作答即可．【詳解】解：n邊形（）同一個(gè)頂點(diǎn)處可引條對(duì)角線；故答案為：．4．（23-24六年級(jí)下·山東淄博·期中）過四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可將四邊形分成個(gè)三角形．【答案】2/兩/二【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線，牢記n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出條對(duì)角線，把n邊形分成個(gè)三角形，再進(jìn)一步解答即可．【詳解】解：過四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引1條對(duì)角線，把四邊形分割成2個(gè)三角形，故答案為2．5．（22-23八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）畫出圖中多邊形的所有對(duì)角線．【答案】【分析】將與每個(gè)頂點(diǎn)不相鄰的頂點(diǎn)連起來即可.【詳解】解：分別將兩個(gè)圖形中的與每個(gè)頂點(diǎn)不相鄰的頂點(diǎn)連接起來，如圖：【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形對(duì)角線的概念，熟記概念和嫻熟的作圖能力是解答本題的關(guān)鍵.6．（22-23七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出幾條對(duì)角線？從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出幾條對(duì)角線？六邊形……n邊形呢？和同伴交流你的想法．【答案】見解析【分析】根據(jù)圖形，得出從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以畫出多少條對(duì)角線即可．【詳解】解：由圖形可知，從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出1條對(duì)角線；從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出2條對(duì)角線；從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出3條對(duì)角線；從七邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出4條對(duì)角線；可以發(fā)現(xiàn)，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出的對(duì)角線條數(shù)比邊數(shù)少3；從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出（n-3）條對(duì)角線；因?yàn)閺囊粋€(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有它本身這個(gè)頂點(diǎn)和左右相鄰的各一個(gè)頂點(diǎn)不能連出對(duì)角線，故從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出的對(duì)角線條數(shù)比邊數(shù)少3；【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形對(duì)角線的條數(shù)問題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【變式訓(xùn)練4對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)問題】1．（2024八年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把該五邊形分成n個(gè)三角形，則n是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】此題主要考查了多邊形的對(duì)角線，理解從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把邊形分成個(gè)三角形是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)從邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把邊形分成個(gè)三角形可得出答案．【詳解】解：從五邊形一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線把該五邊形分成個(gè)三角形．，故選：C2．（23-24七年級(jí)上·貴州貴陽·期末）在學(xué)習(xí)完多邊形后，小華同學(xué)將一個(gè)五邊形沿如圖所示的直線剪掉一個(gè)角后，得到一個(gè)多邊形，下列說法正確的是（

）A．這個(gè)多邊形是一個(gè)五邊形B．從這個(gè)多邊形的頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以畫4條對(duì)角線C．從頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成了4個(gè)三角形D．以上說法都不正確【答案】C【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線個(gè)數(shù)問題及被對(duì)角線分割成的三角形數(shù)目問題，解題關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律．根據(jù)選項(xiàng)一一對(duì)照判斷即可．【詳解】解：A、這個(gè)多邊形是一個(gè)六邊形，故錯(cuò)誤，不符合題意．B、從這個(gè)多邊形的頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以畫3條對(duì)角線，故錯(cuò)誤，不符合題意，C、從頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線將這個(gè)多邊形分成了4個(gè)三角形，正確，符合題意，D、以上說法C正確．故選∶C．3．（23-24七年級(jí)上·陜西漢中·期末）過五邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)五邊形分成個(gè)三角形，則的值為．【答案】3【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線，根據(jù)多邊形的對(duì)角線性質(zhì)，過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可將其分成個(gè)三角形．即可求得答案．【詳解】解：過五邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，把這個(gè)多邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是（個(gè)），故答案為：3．4．（22-23七年級(jí)下·四川成都·開學(xué)考試）過某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成2023個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為．【答案】2025【分析】根據(jù)多邊形的邊數(shù)=三角形的個(gè)數(shù)+2，即可求解．【詳解】解：∵過某個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成2023個(gè)三角形，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，故答案為：2025．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的邊數(shù)，理解多邊形和三角形之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分成個(gè)三角形．5．（23-24八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）連接多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)與其他頂點(diǎn)的線段把這個(gè)多邊形分成了6個(gè)三角形，求多邊形的邊數(shù)．【答案】8【分析】根據(jù)過邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引條對(duì)角線，將邊形分成個(gè)三角形即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，依題意得，解得．∴多邊形的邊數(shù)為8．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形對(duì)角線的相關(guān)知識(shí)，掌握過邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引條對(duì)角線，將邊形分成個(gè)三角形是本題的關(guān)鍵．6．（23-24八年級(jí)上·全國·課堂例題）（1）如圖①，O為四邊形內(nèi)一點(diǎn)，連接，可以得到幾個(gè)三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？

（2）如圖②，點(diǎn)O在五邊形的邊上（不與端點(diǎn)重合），連接，可以得到幾個(gè)三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？（3）如圖③，過點(diǎn)A作六邊形的對(duì)角線，可以得到幾個(gè)三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？（4）若是任意一個(gè)n（，且n為整數(shù)）邊形，上述三種情況分別可以將n邊形分割成多少個(gè)三角形？【答案】（1）4個(gè)，它與邊數(shù)相等．（2）4個(gè)，它等于邊數(shù)減1．（3）4個(gè)，它等于邊數(shù)減2．（4）若點(diǎn)在n邊形內(nèi)部，則可以將n邊形分割成n個(gè)三角形；若點(diǎn)在n邊形的邊上（不與端點(diǎn)重合），則可以將邊形分割成個(gè)三角形；若點(diǎn)為邊形的頂點(diǎn)，則可以將邊形分割成個(gè)三角形．【分析】（1）根據(jù)圖形，求解即可；（2）依據(jù)題中的圖形，求解即可；（3）依據(jù)題中的圖形，求解即可；（4）根據(jù)前面三種情況求解即可．【詳解】解：（1）由圖形可得，可以得到4個(gè)三角形，它與邊數(shù)相等；（2）可以得到4個(gè)三角形，它等于邊數(shù)減1；（3）可以得到4個(gè)三角形，它等于邊數(shù)減2；（4）由前面的性質(zhì)可得，若點(diǎn)在n邊形內(nèi)部，則可以將n邊形分割成n個(gè)三角形；若點(diǎn)在n邊形的邊上（不與端點(diǎn)重合），則可以將邊形分割成個(gè)三角形；若點(diǎn)為邊形的頂點(diǎn)，則可以將邊形分割成個(gè)三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握多邊形的有關(guān)性質(zhì)．【變式訓(xùn)練5多邊形內(nèi)角和問題】1．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽·階段練習(xí)）一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為．則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】B【分析】本題多邊形內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是理解并熟記多邊形內(nèi)角和公式．根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：可得方程，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)有x條，由題意得：解得：故選B2．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖，多邊形，是延長線上的一點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)鄰補(bǔ)角求出，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求出五邊形的內(nèi)角和，即可求解．【詳解】解：，，五邊形的內(nèi)角和是，，故選：C．3．（2024·四川自貢·中考真題）凸七邊形的內(nèi)角和是度．【答案】9