福建省泉州第十六中學2025屆九年級數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

福建省泉州第十六中學2025屆九年級數(shù)學第一學期期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，點O是△ABC的外心，則∠BOC的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．70° D．80°2．若△ABC與△DEF相似，相似比為2：3，則這兩個三角形的面積比為（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：43．下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的為（）A． B． C． D．4．已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，給出以下結論：；當時，函數(shù)有最大值；方程的解是，；，其中結論錯誤的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．45．有甲、乙、丙、丁四架機床生產(chǎn)一種直徑為20mm圓柱形零件，從各自生產(chǎn)的零件中任意抽取10件進行檢測，得出各自的平均直徑均為20mm，每架機床生產(chǎn)的零件的方差如表：機床型號甲乙丙丁方差mm20.0120.0200.0150.102則在這四臺機床中生產(chǎn)的零件最穩(wěn)定的是（）．A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A． B．C． D．7．數(shù)據(jù)3、4、6、7、x的平均數(shù)是5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A．4 B．4.5 C．5 D．68．在中，，，若，則的長為（）A． B． C． D．9．已知二次函數(shù)(是常數(shù))，下列結論正確的是（）A．當時，函數(shù)圖象經(jīng)過點B．當時，函數(shù)圖象與軸沒有交點C．當時，函數(shù)圖象的頂點始終在軸下方D．當時，則時，隨的增大而增大．10．若關于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍（）A． B． C．且 D．且二、填空題(每小題3分,共24分)11．若關于的方程的解為非負數(shù)，且關于的不等式組有且僅有5個整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)的和是__________．12．如圖，中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉至，連接，則的面積為_______．13．如圖，把小圓形場地的半徑增加5米得到大圓形場地，場地面積擴大了一倍.則小圓形場地的半徑是______米.14．如圖，為等邊三角形，點在外，連接、．若，，，則__________．15．在中，，則的面積為_________16．如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，這時點恰好在同一直線上，則的度數(shù)為______．17．一塊含有角的直角三角板按如圖所示的方式放置，若頂點的坐標為，直角頂點的坐標為，則點的坐標為______.18．如圖，已知△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠B=30°，點A在反比例函數(shù)y=的圖象上，若點B在反比例函數(shù)y=的圖象上，則的k值為_______．三、解答題(共66分)19．（10分）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB=xm.（1）若花園的面積為192m2,求x的值；（2）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值.20．（6分）如圖示，是的直徑，點是半圓上的一動點（不與，重合），弦平分，過點作交射線于點.（1）求證：與相切：（2）若，，求長；（3）若，長記為，長記為，求與之間的函數(shù)關系式，并求出的最大值.21．（6分）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且AD//BC，BD的垂直平分線經(jīng)過點O，分別與AD、BC交于點E、F（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；（2）求證：四邊形BFDE為菱形．22．（8分）如圖為某海域示意圖，其中燈塔D的正東方向有一島嶼C．一艘快艇以每小時20nmile的速度向正東方向航行，到達A處時得燈塔D在東北方向上，繼續(xù)航行0.3h，到達B處時測得燈塔D在北偏東30°方向上，同時測得島嶼C恰好在B處的東北方向上，此時快艇與島嶼C的距離是多少？（結果精確到1nmile．參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）23．（8分）我校數(shù)學社團成員想利用所學的知識測量某廣告牌的寬度(圖中線段MN的長)．直線MN垂直于地面，垂足為點P，在地面A處測得點M的仰角為60°，點N的仰角為45°，在B處測得點M的仰角為30°，AB＝5米．且A、B、P三點在一直線上，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬MN的長．(結果保留根號)24．（8分）在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點，把△PBC沿直線PC折疊，頂點B的對應點是點G，過點B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點F（1）如圖1，若點E是AD的中點，求證：△AEB≌△DEC；（2）如圖2，①求證：BP=BF；②當AD=25，且AE＜DE時，求cos∠PCB的值；③當BP=9時，求BE?EF的值．25．（10分）如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AD⊥BC垂足為D，弧AE＝弧AB，BE分別交AD、AC于點F、G．（1）判斷△FAG的形狀，并說明理由；（2）如圖②若點E與點A在直徑BC的兩側，BE、AC的延長線交于點G，AD的延長線交BE于點F，其余條件不變（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．（3）在（2）的條件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直徑BC．26．（10分）如圖，雙曲線經(jīng)過點，且與直線有兩個不同的交點．（1）求的值；（2）求的取值范圍．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質可得∠A的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理可得∠O＝2∠A，進而可得答案．【詳解】解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠A＝180°?70°×2＝40°，

∵點O是△ABC的外心，

∴∠BOC＝40°×2＝80°，

故選：D．【點睛】此題主要考查了三角形的外接圓和外心，關鍵是掌握圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半．2、C【分析】由△ABC與△DEF相似，相似比為2：3，根據(jù)相似三角形的性質，即可求得答案．【詳解】∵△ABC與△DEF相似，相似比為2：3，∴這兩個三角形的面積比為4：1．故選C．【點睛】此題考查了相似三角形的性質．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方．3、B【分析】根據(jù)中心對稱的定義，結合所給圖形即可作出判斷．【詳解】A、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

B、是中心對稱圖形，故本選項正確；

C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

故選：B．【點睛】此題考查中心對稱圖形的特點，解題關鍵在于判斷中心對稱圖形的關鍵是旋轉180°后能夠重合．4、A【解析】由拋物線開口方向得到a＜1，根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x==-1得b＜1，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞1，則abc＞1；觀察函數(shù)圖象得到x=-1時，函數(shù)有最大值；利用拋物線的對稱性可確定拋物線與x軸的另一個交點坐標為(-3，1)，則當x=1或x=-3時，函數(shù)y的值等于1；觀察函數(shù)圖象得到x=2時，y＜1，即4a+2b+c＜1．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a<1，∵拋物線的對稱軸為直線x==-1，∴b=2a<1，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c>1，∴abc>1，所以①正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=-1，∴當x=-1時，函數(shù)有最大值，所以②正確；∵拋物線與x軸的一個交點坐標為(1，1)，而對稱軸為直線x=-1，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為(?3，1)，∴當x=1或x=-3時，函數(shù)y的值都等于1，∴方程ax2+bx+c=1的解是：x1=1，x2=-3，所以③正確；∵x=2時，y<1，∴4a+2b+c<1，所以④錯誤.故選A.【點睛】解此題的關鍵是能正確觀察圖形和靈活運用二次函數(shù)的性質，能根據(jù)圖象確定a、b、c的符號，并能根據(jù)圖象看出當x取特殊值時y的符號．5、A【分析】根據(jù)方差的意義，找出方差最小的即可．【詳解】∵這四臺機床的平均數(shù)相同，甲機床的方差是0.012，方差最小∴在這四臺機床中生產(chǎn)的零件最穩(wěn)定的是甲；故選：A．【點睛】本題考查了方差和平均數(shù)的知識；解題的關鍵是熟練掌握方差的性質，從而完成求解．6、D【分析】分兩種情況討論，當k＞0時，分析出一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限；再分析出k＜0時，一次函數(shù)和反比例函數(shù)所過象限，符合題意者即為正確答案．【詳解】當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限；當時，一次函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限，反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限．觀察圖形可知，只有A選項符合題意．

故選：D．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，熟悉兩函數(shù)中k和b的符號對函數(shù)圖象的影響是解題的關鍵．7、C【分析】首先根據(jù)3、4、6、7、x這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)求得x值，再根據(jù)中位數(shù)的定義找到中位數(shù)即可．【詳解】由3、4、6、7、x的平均數(shù)是1，即得這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列為3、4、1、6、7，則中位數(shù)為1．故選C【點睛】此題考查了平均數(shù)計算及中位數(shù)的定義，熟練運算平均數(shù)及掌握中位數(shù)的定義是解題關鍵．8、A【解析】根據(jù)解直角三角形的三角函數(shù)解答即可【詳解】如圖，∵cos53°=,∴AB=故選A【點睛】此題考查解直角三角形的三角函數(shù)解，難度不大9、D【分析】將和點代入函數(shù)解析式即可判斷A選項；利用可以判斷B選項；根據(jù)頂點公式可判斷C選項；根據(jù)拋物線的增減性質可判斷D選項．【詳解】A.將和代入，故A選項錯誤；B.當時，二次函數(shù)為，，函數(shù)圖象與軸有一個交點，故B選項錯誤；C.函數(shù)圖象的頂點坐標為，即，當時，不一定小于0，則頂點不一定在軸下方，故C選項錯誤；D.當時，拋物線開口向上，由C選項得，函數(shù)圖象的對稱軸為，所以時，隨的增大而增大，故D選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、根的判別式以及拋物線與x軸的交點，掌握拋物線的對稱軸、開口方向與系數(shù)之間的關系是解題的關鍵．10、D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式得出且，求出即可．【詳解】∵關于的一元二次方程有實數(shù)根，

∴且，

解得：1且，

故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，能得出關于的不等式是解此題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】解方程得x=，即a≠1，可得a≤5，a≠1；解不等式組得0<a≤1，綜合可得0<a<1，故滿足條件的整數(shù)a的值為1，2.【詳解】解不等式組，可得，∵不等式組有且僅有5個整數(shù)解，∴，∴0<a≤1，解分式方程，可得x=，即a≠1又∵分式方程有非負數(shù)解，∴x≥0，即≥0，解得a≤5，a≠1∴0<a<1，∴滿足條件的整數(shù)a的值為1，2，∴滿足條件的整數(shù)a的值之和是1+2=1，故答案為：1．【點睛】考點：分式方程的解；一元一次不等式組的整數(shù)解；含待定字母的不等式（組）；綜合題，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．12、8【分析】過點B'作B'E⊥AC于點E，由題意可證△ABC≌△B'AE，可得AC=B'E=4，即可求△AB'C的面積．【詳解】解：如圖：過點B'作B'E⊥AC于點E∵旋轉∴AB=AB'，∠BAB'=90°∴∠BAC+∠B'AC=90°，且∠B'AC+∠AB'E=90°∴∠BAC=∠AB'E，且∠AEB'=∠ACB=90°，AB=AB'∴△ABC≌△B'AE（AAS）∴AC=B'E=4∴S△AB'C=故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，利用旋轉的性質解決問題是本題的關鍵．13、【分析】根據(jù)等量關系“大圓的面積=2×小圓的面積”可以列出方程．【詳解】設小圓的半徑為xm，則大圓的半徑為（x+5）m，根據(jù)題意得：π（x+5）2=2πx2，解得，x=5+5或x=5-5（不合題意，舍去）．故答案為5+5．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，本題等量關系比較明顯，容易列出．14、1【分析】作∠ABD的角平分線交DC于E，連接AE，作于F，延長BE交AD于R，先證明，可得，再通過等腰三角形的中線定理得，利用三角函數(shù)求出DF，F(xiàn)C的值，即可求出CD的值．【詳解】作∠ABD的角平分線交DC于E，連接AE，作于F，延長BE交AD于R∵∴∴A，E，C，D四點共圓∴∴∴∵，∴∴∵，∴∴，∴，∵,∴∴∴∴∴故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的綜合問題，掌握角平分線的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質以及判定定理、銳角三角函數(shù)是解題的關鍵．15、【分析】過點點B作BD⊥AC于D，根據(jù)鄰補角的定義求出∠BAD=60°，再根據(jù)∠BAD的正弦求出AD，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】如圖，過點B作BD⊥AC交AC延長線于點D，

∵∠BAC=120°，

∴∠BAD=180°-120°=60°，∵，∴，∴△ABC的面積．

故答案為：．【點睛】本題主要考查了運用勾股定理和銳角三角函數(shù)的概念解直角三角形問題，作出圖形更形象直觀．16、20°【解析】先判斷出∠BAD=140°，AD=AB，再判斷出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的內(nèi)角和定理即可得出結論．【詳解】∵將△ABC繞點A逆時針旋轉140°，得到△ADE，∴∠BAD=140°，AD=AB，∵點B，C，D恰好在同一直線上，∴△BAD是頂角為140°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=(180°?∠BAD)=20°，故答案為：20°【點睛】此題考查旋轉的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形內(nèi)角和定理，解題關鍵在于判斷出△BAD是等腰三角形17、【分析】過點B作BD⊥OD于點D，根據(jù)△ABC為直角三角形可證明△BCD∽△CAO，設點B坐標為（x，y），根據(jù)相似三角形的性質即可求解．【詳解】過點B作BD⊥OD于點D，∵△ABC為直角三角形，∴，∴△BCD∽△CAO，∴，設點B坐標為(x,y)，則，，∴=AC=2，∵有圖知，，∴，解得：，則y=3.即點B的坐標為.故答案為【點睛】本題考查了坐標與圖形性質、相似三角形的判定及性質、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是要求出BC和AC的值和30度角的三角函數(shù)聯(lián)系起來，作輔助線構造直角三角形為三角函數(shù)作鋪墊．18、-3【分析】根據(jù)已知條件證得OB=OA，設點A（a，），過點A作AC⊥x軸，過點B作BD⊥x軸，證明△AOC∽△OBD得到，=，得到點B的坐標，由此求出答案.【詳解】∵△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠B=30°，∴OB=OA，設點A（a，），過點A作AC⊥x軸，過點B作BD⊥x軸，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴∠BOD+∠OBD=90°，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∴∠AOC=∠OBD，∴△AOC∽△OBD，∴，∴，=，∴B(-，)，∴k=-=-3，故答案為：-3.【點睛】此題考查相似三角形的判定及性質，反比例函數(shù)的性質，求函數(shù)的解析式需確定的圖象上點的坐標，由此作輔助線求點B的坐標解決問題.三、解答題(共66分)19、（1）12m或16m；（2）195.【分析】(1)、根據(jù)AB=x可得BC=28－x，然后根據(jù)面積列出一元二次方程求出x的值；(2)、根據(jù)題意列出S和x的函數(shù)關系熟，然后根據(jù)題意求出x的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)的性質求出最大值.【詳解】(1)、∵AB=xm，則BC=（28﹣x）m，∴x（28﹣x）=192，解得：x1=12，x2=16，答：x的值為12m或16m(2)、∵AB=xm，∴BC=28﹣x，∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，∵在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是16m和6m，∵28-x≥15,x≥6∴6≤x≤13，∴當x=13時，S取到最大值為：S=﹣（13﹣14）2+196=195，答：花園面積S的最大值為195平方米．【點睛】題主要考查了二次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)最值求法，得出S與x的函數(shù)關系式是解題關鍵．20、（1）詳見解析；（2）4；（3）【分析】（1）首先連接，通過半徑和角平分線的性質進行等角轉換，得出，進而得出，即可得證；（2）首先連接，得出，進而得出，再根據(jù)勾股定理得出DE；（3）首先連接，過點作，得出，再得，進而得出，然后構建二次函數(shù)，即可得出其最大值.【詳解】（1）證明：連接∵∴∵平分∴∴∴∵∴又∵是的半徑∴與相切（2）解：連接∵AB為直徑∴∠ADB=90°∵∴∴∴∴中（3）連接，過點作于∵，DE⊥AE，AD=AD∴∴，DE=DG∴∴∴即：∴∴根據(jù)二次函數(shù)知識可知：當時，【點睛】此題主要考查直線與圓的位置關系、相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質與二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握，即可解題.21、（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）由平行線的性質可得，根據(jù)EF經(jīng)過點O且垂直平分BD可得，利用ASA可證明△DOA≌△BOC，可得OA=OC，即可證明四邊形ABCD為平行四邊形；（2）利用ASA可證明≌，可得OE=OF，根據(jù)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形即可得結論．【詳解】（1）∵AD//BC，經(jīng)過點O，且垂直平分，∴，，在和中，∴≌，∴OA=OC，∴四邊形為平行四邊形．（2）由（1）知，，∴在和中，∴≌，∴，∵垂直平分，∴，，∴四邊形為菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定及菱形的判定，有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；熟練掌握判定定理是解題關鍵．22、此時快艇與島嶼C的距離是20nmile．【分析】過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，由DE∥CF，DC∥EF，∠CFE=90°可得出四邊形CDEF為矩形，設DE=xnmile，則AE=x（nmile），BE=x（nmile），由AB=6nmile，可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再在Rt△CBF中，通過解直角三角形可求出BC的長．【詳解】解：過點D作DE⊥AB于點E，過點C作CF⊥AB于點F，如圖所示．則DE∥CF，∠DEA＝∠CFA＝90°．∵DC∥EF，∴四邊形CDEF為平行四邊形．又∵∠CFE＝90°，∴?CDEF為矩形，∴CF＝DE．根據(jù)題意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．設DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝≈20（nmile）．答：此時快艇與島嶼C的距離是20nmile．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用——方向角問題，通過解直角三角形求出BC的長是解題的關鍵．23、米【分析】設AP=NP=x，在Rt△APM中可以求出MP=x，在Rt△BPM中，∠MBP=30°，求得x，利用MN＝MP－NP即可求得答案．【詳解】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴PA＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，設PA＝PN＝x，∵∠MAP＝60°，∴MP＝AP·tan∠MAP＝x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝30°，AB＝5，∴=，∴x＝，∴MN＝MP－NP＝x－x＝．答：廣告牌的寬MN的長為米．【點睛】本題考查解直角三角形在實際問題中的應用，將實際問題抽象為數(shù)學問題，選用適當?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關鍵，屬于中考的必考點．24、（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②；③1.【解析】（1）先判斷出∠A=∠D=90°，AB=DC再判斷出AE=DE，即可得出結論；（2）①利用折疊的性質，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，進而判斷出∠GPF=∠PFB即可得出結論；②判斷出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判斷出△ECF∽△GCP，進而求出PC，即可得出結論；③判斷出△GEF∽△EAB，即可得出結論．【詳解】（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中點，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折疊得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②當AD=25時，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，設AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折疊得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，設BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如圖，連接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG=BP，∴?BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE?EF=AB?GF=12×9=1．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，折疊的性質，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．25、（1）△FAG是等腰三角形，理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）BC＝．【分析】（1）首先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，從而得到∠BAD＝∠C，然后利用等弧對等角等知識得到AF＝BF，從而證得FA＝FG，判定等腰三角形；（2）成立，同（1）的證明方法即可得答案；（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，推出∠BAD＝∠ABG，得到F為BG的中點根據(jù)直角三角形的性