2023-2024學(xué)年重慶市七校聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年重慶市七校聯(lián)盟高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)5i?2的共軛復(fù)數(shù)是(

)A.2+i B.?2?i C.?2+i D.2?i2.已知兩個互斥事件A，B滿足P(A+B)=0.5，P(A)=0.2，則P(B)=(

)A.0.4 B.0.3 C.0.6 D.0.13.正方體ABCD?A1B1C1D1A.12 B.32 C.±4.三棱錐P?ABC中，PA與面ABC所成角的余弦值為223,PA=3，AB=2BC=2，AC=3A.32 B.33 C.5.△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，c=acosB+ccosA，則△ABC的形狀是(

)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.甲、乙兩人獨自破譯密碼，兩個人都成功地破譯密碼的概率為0.3，甲成功且乙沒有成功破譯密碼的概率為0.2，則甲成功破譯密碼的概率為(

)A.0.5 B.0.6 C.0.06 D.27.已知向量a=(3,4)，非零向量b滿足對?λ∈R都有|a?λb|≥|aA.52 B.10 C.5 D.8.邊長為2的正三角形ABC的內(nèi)切圓上有一點P，已知AP=xAB+yAC，則2x+yA.[3?3,3+3] B.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，事件A1：“第1次硬幣正面朝上”，事件A2：“第2次硬幣正面朝上”，事件A3：“兩次硬幣朝上的面相同”則下列說法正確的是A.P(A1)=12 B.P(A10.關(guān)于x的方程x2+x+1=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根是z1，z2A.z13=1 B.z12=11.如果一個多面體由兩個及其兩個以上的正多邊形組成，我們稱這樣的多面體是半正多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖1是一個由正方形和正三角形構(gòu)成的半正多面體筆筒，其中面ABCD//面EFGH，且兩個正方形的中心的連線與這兩個正方形所在平面垂直，HF⊥AD，EG⊥AB，且所有的棱長都為2，則下列說法正確的是(

)A.該多面體有10個面

B.平面ABCD與平面EFGH的距離是234

C.該幾何體外接球的表面積是(8+22)π

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知一組數(shù)：6，8，2，4，10，這組數(shù)的第四十百分位數(shù)是______．13.已知圓錐的母線長為23，底面圓的周長為214.已知x1，x2，…，x5的平均數(shù)和方差分別是2，1，若x6=8，則x1，x2，…，x6的平均數(shù)是______，2x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在一次區(qū)域的統(tǒng)考中，為了了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科成績的情況，從所有考生的成績中隨機抽取了40位考生的成績進行統(tǒng)計分析，得到如圖2所示的頻率分布直方圖．

(1)估計這40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)與中位數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，不能整除的保留1位小數(shù))

(2)為了進一步了解70分以下的學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，調(diào)查方從成績在[50,70)分數(shù)段的同學(xué)中按組([50,60)，[60,70)各算一組)從樣本中分層抽取了6個人進行深入地學(xué)習(xí)交流，學(xué)習(xí)交流完后再從這6個人中隨機抽取2個人進行再測試，求這兩個人中至少有一個人在之前的統(tǒng)考中成績位于[50,60)的概率．16.(本小題15分)

如圖所示的直三棱柱ABC?A1B1C1的每條棱長均為2，E，F(xiàn)分別是棱AB1，BC1的中點，O，G分別是棱AB，AC上的點，平面EGO//平面BCC1．

(1)17.(本小題15分)

△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，且acosC+3asinC=b+c．

(1)求A；

(2)若a=2，求BC18.(本小題17分)

如圖，在△ABC中，BO=OC，AT=4TO，AE=2EC．

(1)用AB，AC表示BT；

(2)求證：B、T、E三點共線；

(3)若AB=1，AC=219.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，△PAB是正三角形，AB=2，AD=2，面PAD⊥面ABCD，AC=1．

(1)求證：CA⊥平面PAD；

(2)當∠PAD=135°時，

(i)若G是面PBD的重心，求直線BG與平面ABCD所成角的正弦值；

(ii)棱AD上是否存在一點Q，使得二面角A?PQ?C的余弦值為6

參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.C

8.D

9.AC

10.ABD

11.ABC

12.5

13.4π314.3

70315.解：(1)平均數(shù)為x?=10×(55×0.01+65×0.02+75×0.035+85×0.03+95×0.005)=75，

第一組頻率0.01×10=0.1，

第二組頻率0.02×10=0.2，

第三組頻率0.035×10=0.35，

因為0.1+0.2+0.35>0.5，而0.1+0.2<0.5，

所以中位數(shù)在[70,80)之間，設(shè)中位數(shù)為x，

則0.1+0.2+0.35(x?70)=0.5，

解得x≈70.6．

(2)從成績在[50,70)分數(shù)段的同學(xué)中按組([50,60)，[60,70)各算一組)從樣本中分層抽取了6個人，

則[50,60)中的人數(shù)為0.01×10×40=4人，

[60,70)中的人數(shù)為0.02×10×40=8人，共12人，

則需從[50,60)中的人數(shù)抽取6×0.1×4012=2人，

則需從[60,70)中的人數(shù)抽取6×0.2×4012=4人，

16.解：(1)證明：∵平面EGO//平面BCC1，

又平面EGO∩平面ABB1=EO，平面BCC1∩平面ABB1=B1B，

∴EO//B1B，又E是棱AB1的中點，∴O是AB的中點，

同理可證OG/?/BC，∴G是AC的中點；

(2)∵E17.解：(1)因為acosC+3asinC=b+c，

由正弦定理可得sinAcosC+3sinAsinC=sinB+sinC，

在△ABC中，可得sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAinC，

所以3sinAsinC=cosAinC+sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得3sinA?cosA=1，

即sin(A?π6)=12，

因為A∈(0,π)，可得A?π6=π6，

可得A=π3；

(2)a=2，設(shè)BC邊上高為?，

則S△ABC=12bcsinA=18.解：(1)依題意有O是BC中點，所以AO=12(AB+AC)，

又AT=4TO，所以AT=45AO=45×12(AB+AC)=25(AB+AC)，

BT=AT?AB=25(AB+AC)?AB=?35AB+25AC．

(2)證明：由(1)有BT=?35AB+25AC，又AE=2EC，所以AC=32AE，

所以BT=?35AB19.(1)證明：因為AB=2AD=2，AC=1，且四邊形ABCD是平行四邊形，

所以CD=2，AC2+AD2=CD2，所以AC⊥AD．

因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，AC?平面ABCD，

由平面與平面垂直的性質(zhì)得AC⊥平面PAD．

(2)解：(i)如圖①所示，反向延長DA至D點，過P點作PM⊥AD，

因為平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，PM?平面PAD，

所以PM⊥平面ABCD.又因為MO?平面ABCD，所以PM⊥MO．

設(shè)平行四邊形ABCD對角線交點為O，連接MO，MC，連接BG，反向延長BG交PD于E，

因為G點為△PBD的重心，即E為PD的中點，

過G點作GN⊥平面ABCD交平面ABCD于N，

又因為MO∈平面ABCD，所以GN⊥MO，

且P，G，O三點在同一條直線，所以PM////GN，且N點在MO上，

連接BN，則∠GBN為直線BG與平面ABCD的夾角．

因為G點為△PBD的重心，O點為BD的中點，

所以O(shè)GOP=13，且△OGN∽△OPM，

所以GNPM=OGOP=13，

又因為△PAB為等邊三角形，∠PAD=135°，

所以PA=AB=2，∠PAM=45°，

所以PM=1，即GN=13，

在△PAD中，由余弦定理得PD2=PA2+AD2?2PA?ADcos∠PAD=2+1?22×(?22)=5，

則PD=5．

因為四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC=BC=1，AB=CD=2，AC⊥AD，

所以∠BAD=135°，MC=2，

即PC=PM2+MC2=1+2=3，

在△BAD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2?2AB?ADcos∠BAD=2+1?22×(?22)=5，

則BD=5，

在△DBP中，由余弦定