甘肅省張掖市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】確定集合中元素，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】，，，故選：B.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，4）【答案】B【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)存在定理，結(jié)合選項(xiàng)，取特別值，最終求出零點(diǎn)所在的區(qū)間.【詳解】由函數(shù)f（x）＝x3+x–5可得f（1）＝1+1–5＝–3<0，f（2）＝8+2–5＝5>0，故有f（1）f（2）<0，依據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（1，2），故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了零點(diǎn)存在定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.3.已知，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用中間量比較，運(yùn)用中間量比較【詳解】則．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較，滲透了直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行中間變量法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．4.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題即得．【詳解】命題“”的否定是“”．故選：C．5.定義域?yàn)镽的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則滿(mǎn)意的x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上也是單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由可得或解得或，所以滿(mǎn)意的x的取值范圍是．故選：D6.已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)旁邊的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：x00.50.531250.56250.6250.7510.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精確度為0.05）可能是（）A.0.625 B. C.0.5625 D.0.066【答案】C【解析】【分析】依據(jù)二分法的方法流程進(jìn)行計(jì)算，依據(jù)的符號(hào)確定根所在的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于或等于0.05時(shí)，只需從該區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)即可．【詳解】由題意得在區(qū)間上單調(diào)遞增，設(shè)方程的解的近似值為，由表格得，所以,因?yàn)?，所以方程的近似解可取?.5625．故選：C.7.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)探討函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，以及由解除不正確的選項(xiàng)，從而得出答案..【詳解】詳解：為奇函數(shù)，解除A,，故解除D.，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以解除C；故選：B.8.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿(mǎn)意.若，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先依據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱(chēng)性確定函數(shù)周期，再依據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)，則下列命題正確的有（）A.函數(shù)為增函數(shù) B.函數(shù)為偶函數(shù)C若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】先代點(diǎn)求出冪函數(shù)的解析式，依據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)干脆可得單調(diào)性和奇偶性，由可推斷C，利用綻開(kāi)和0比即可推斷D.【詳解】將點(diǎn)(4,2)代入函數(shù)得：，則.所以，明顯在定義域上為增函數(shù)，所以A正確.的定義域?yàn)?，所以不具有奇偶性，所以B不正確.當(dāng)時(shí)，，即，所以C正確.當(dāng)若時(shí)，==.即成立，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，10.下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則的最小值為 D.若正數(shù)x，y滿(mǎn)意，則的最小值為3【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可推斷A，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式可推斷B，利用基本不等式可推斷CD.【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以，則，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若正數(shù)x，y滿(mǎn)意，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確．故選：BD.11.已知函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿(mǎn)意，且，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的值域?yàn)?B.k的取值范圍為C. D.【答案】BC【解析】【分析】由題可作出函數(shù)的大致圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合條件即得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，由圖象可知函數(shù)的值域?yàn)镽，故A錯(cuò)誤；函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，頂點(diǎn)為，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榛ゲ幌嗟鹊膶?shí)數(shù)滿(mǎn)意，且，故k的取值范圍為，故B正確；由題可知，所以，故C正確；因?yàn)椴豢隙P(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以不肯定成立，如時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：BC.12.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾．簡(jiǎn)潔的講就是對(duì)于滿(mǎn)意肯定條件的連續(xù)函數(shù)，存在，使得，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用方程法可推斷AC選項(xiàng)；利用作差法可推斷B選項(xiàng)；利用零點(diǎn)存在定理可推斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A(yíng)，由可得，解得或，所以A正確；對(duì)于B，，故不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)；對(duì)于C，由可得，解得，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由，因?yàn)椋?，所以，存在，使得，即，所以D正確．故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?4.設(shè)x，y，z為正數(shù)，且，則x，y，z大小關(guān)系為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由題可設(shè)，進(jìn)而可得，然后依據(jù)換底公式及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)閤，y，z為正數(shù)，可設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，即．故答案為：?5.已知函數(shù)，，若對(duì)隨意，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)對(duì)隨意的,總存在,使成立,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系,進(jìn)而依據(jù)關(guān)于的不等式組,解不等式組可得答案．【詳解】由題意，函數(shù)．．依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí),,記．由題意當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),∴,記．由對(duì)隨意,總存在,使成立，所以則，解得：故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，以及存在性問(wèn)題求解和集合包含關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中把對(duì)隨意的,總存在,使成立,轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算與求解實(shí)力，屬于中檔試題．16.酒駕是嚴(yán)峻危害交通平安的違法行為，為了保障交通平安，依據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車(chē)，及以上定義為醉酒駕車(chē)．假設(shè)某駕駛員喝了肯定量的酒后，其血液中的酒精含量上升了．假如在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)30%的速度削減，那么他至少經(jīng)過(guò)___________個(gè)小時(shí)才能駕駛．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）【答案】5【解析】【分析】由題意可得，指對(duì)數(shù)互化結(jié)合題中題意求解.【詳解】設(shè)個(gè)小時(shí)后血液中酒精含量為，則，即，當(dāng)，可得，所以該駕駛員至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛．故答案為：5.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（1）計(jì)算：；（2）計(jì)算：．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則求解即可（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即得．【詳解】（1）原式==；（2）．18.已知函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）推斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明．【答案】（1）a＝－1；（2）函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增，詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)定義域?yàn)镽的奇函數(shù)滿(mǎn)意f(0)＝0即可求得結(jié)果；（2）由定義法知，當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)<f(x2)，故可證得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(0)＝＝0，所以a＝－1，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)意題意.（2）f(x)＝＝1－，函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增．理由：設(shè)隨意的x1，x2，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝.因?yàn)閤1<x2，所以，所以<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增．【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)，要求學(xué)生會(huì)依據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)以及利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.19.已知冪函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)依據(jù)冪函數(shù)的定義求出或，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果；(2)依據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.小問(wèn)1詳解】∵為冪函數(shù)．∴，解得或．當(dāng)時(shí)，在其定義域上不為增函數(shù)，舍去．當(dāng)時(shí)，在R上為增函數(shù)，符合題意．∴；【小問(wèn)2詳解】∵在R上為增函數(shù)，且，∴，整理得，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為．20.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）推斷的奇偶性并予以證明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）．（2）見(jiàn)解析;(3)．【解析】【詳解】試題分析：(1)依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義,列出關(guān)于自變量x的不等式組,求出的定義域;

(2)由函數(shù)奇偶性的定義,判定在定義域上的奇偶性;(3)化簡(jiǎn),依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及定義域,求出不等式>1的解集.試題解析：（1）要使函數(shù)有意義．則，解得.故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）由（1）知的定義域?yàn)?，設(shè)，則．且，故為奇函數(shù)．（3）因?yàn)樵诙x域內(nèi)是增函數(shù)，因?yàn)椋?，解得．所以不等式的解集是?1.某公司為使產(chǎn)品能在市場(chǎng)有更大的份額占比，制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的嘉獎(jiǎng)方案，當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)不超過(guò)10萬(wàn)元時(shí)按銷(xiāo)售利潤(rùn)的15%進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)10萬(wàn)元時(shí)，前10萬(wàn)元按銷(xiāo)售利潤(rùn)的15%進(jìn)行嘉獎(jiǎng)，若超出部分為A萬(wàn)元，則超出部分按進(jìn)行嘉獎(jiǎng)．記獎(jiǎng)金為y（單位：萬(wàn)元），銷(xiāo)售利潤(rùn)為x（單位：萬(wàn)元）．（1）寫(xiě)出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷(xiāo)售利潤(rùn)x的關(guān)系式；（2）假如某業(yè)務(wù)員要得到7.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？【答案】（1）；（2）18萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）依據(jù)嘉獎(jiǎng)方案，可得分段函數(shù)解析式；（2）確定，利用函數(shù)解析式，解方程即可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；【小問(wèn)2詳解】由題意，則，所以，解得，所以該業(yè)務(wù)員的銷(xiāo)售利潤(rùn)為18萬(wàn)元時(shí)，才可獲得7.5萬(wàn)元獎(jiǎng)金．22.已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)．（1）求函數(shù)和的解析式；（2）設(shè)，若