天津市西青區(qū)2024-2025高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

試卷第=page1414頁，共=sectionpages1515頁天津市西青區(qū)2024-2025高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單選題1．若直線與直線垂直，則實數(shù)的值為（）A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或3【答案】A【分析】利用兩線垂直的判定有，求解即可得的值.【詳解】由題設(shè)，，即，解得或.當(dāng)時，直線分別為、，符合題設(shè)；當(dāng)時，直線分別為、，符合題設(shè).故選：A2．已知橢圓+=1（m>0）的左焦點為F1（-4,0）,則m等于A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【詳解】試題分析：由橢圓方程可知考點：橢圓方程及性質(zhì)3．如圖，空間四邊形中，，分別是，的中點，（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可得出．【詳解】解：連接，，分別是，的中點，則．故選：．【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．4．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離【答案】C【分析】由題意可得兩個圓的圓心和半徑，求出圓心距，依據(jù)圓與圓的位置關(guān)系分析即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，，圓心為，半徑為1；，圓心為，半徑為4，所以兩圓的圓心距為：，又兩圓半徑之和為5，所以兩圓相交.故選：C5．笛卡爾是世界聞名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時，還在反復(fù)思索一個問題：通過什么樣的方法，才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他望見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，單位正方體頂點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圖寫出點的坐標(biāo)，然后再利用關(guān)于軸對稱的點的性質(zhì)寫出對稱點的坐標(biāo).【詳解】由圖可知，點，所以點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為.故選：B.6．過點(-3，2)，且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍的直線方程是（）A． B．或C. D．或【答案】D【分析】依據(jù)直線是否過原點進行分類探討，結(jié)合截距式求得直線方程.【詳解】當(dāng)直線過原點時，直線方程為，即.當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，代入得，所以直線方程為.故選：D7．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個好玩的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處動身，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點處動身，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出點關(guān)于直線的對稱點為，則可得即為“將軍飲馬”的最短總路程，求出的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】如圖，點關(guān)于直線的對稱點為，則即為“將軍飲馬”的最短總路程，設(shè)，則，解得，則，故“將軍飲馬”的最短總路程為12故選：A.8．已知圓上存在四個點到直線的距離等于，則實數(shù)范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于1，即求.【詳解】由知圓心，半徑為3，若圓上存在四個點到直線的距離等于，則點C到直線的距離，∴，∴.故選：D.9.已知圓：與圓M：相交于A、B兩點，直線ｌ：，點P在直線ｌ上，點Q在圓M上，則下列說法正確的是（）①直線AB的方程為；②線段AB的長為；③的最小值是２；④從P點向圓M引切線，切線長的最小值是10.已知直線過點，且與直線平行，則的方程是（）A． B． C． D．【答案】【分析】可設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的方程.【詳解】因為直線與直線，設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，得，解得，因此，直線的方程為.11．已知空間向量，，若，則實數(shù)（）【答案】【分析】空間兩向量與平行，則滿意，，【詳解】因為，所以，即，所以，，故12．如圖，正方體的棱長為2，是底面的中心，則向量＝＿＿＿＿＿＿，點O到直線的距離為________.【答案】【分析】如圖，以為原點建系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：①②如圖，以為原點建系，則，則，則，又，所以，所以點O到直線的距離為.故答案為：.13．一個圓經(jīng)過橢圓的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【詳解】圓所過的三個點應(yīng)當(dāng)是兩個短軸端點和一個長軸端點，即經(jīng)過三點，設(shè)圓的方程是，代入后得到，解得，所以方程是．14．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子（原子、離子或分子）在空間按肯定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體.在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個個包含等同內(nèi)容的基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中原子位于晶胞的中心，原子均在頂點位置，原子位于棱的中點）.則圖中原子連線與所成角的余弦值為______________【答案】【分析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故答案為：15．直線，則直線ｌ恒過定點＿＿＿＿＿＿，與曲線僅有一個公共點，則實數(shù)的的取值范圍是________.【答案】（２，４），【分析】依據(jù)方程可知直線恒過點，畫出圖象，先求出切線時，利用圓心到直線距離為半徑可求出，再結(jié)合圖形求出當(dāng)直線經(jīng)過點，時，實數(shù)的取值，即可的的取值范圍．【詳解】解：如圖，由題知曲線即，表示以為圓心，2為半徑的半圓，該半圓位于直線上方，直線恒過點，因為直線與曲線只有一個交點，由圓心到直線的距離等于半徑得，解得，由圖，當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的斜率為，當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的斜率不存在，綜上，實數(shù)的取值范圍是，或，故答案為．【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題四、解答題16．已知直線和的交點為，求：（1）過點且與直線垂直的直線的方程；（2）以點P為圓心，且與直線相交所得弦長為的圓的方程；（３）從下面①②兩個問題中選一個作答，①若直線ｌ過點（1，2），且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線ｌ的方程．②求圓心在直線上，與軸相切，被直線截得的弦長的圓的方程．注：假如選擇兩個問題分別作答，按第一個計分．【答案】（1）；（2）30【詳解】解：（1）由，解得：，可得直線和的交點為，∵與垂直，∴的斜率，故過點P且與直線垂直的直線l的方程為，即；由（1）知，圓心P（-3，-5），∴圓心到直線的距離為∴半徑∴∴圓的方程為①設(shè)過點（1，2）且與兩坐標(biāo)軸正半軸圍成三角形面積為的直線的斜率為k，k<0，可得它的方程為，即，它與兩個坐標(biāo)軸的交點分別為（0，2-k），（），由可得,當(dāng)時，它的方程為；當(dāng)時，綜上所述，或②由已知設(shè)圓心為，與軸相切則，∴圓心到直線的距離為，∴∴∴圓心為∴圓的方程為或17．如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．（3）在（2）的條件下，求MN與所成角的余弦值．【答案】（1）＝＋＋；（2）.【分析】（1）利用空間向量的線性運算即可求解.（2）依據(jù)空間向量的數(shù)量積以及向量模的求法即可求解.【詳解】解：（1）＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋（－）＝＋＋，又＝，＝，＝，∴＝＋＋．（2）∵AB＝AC＝AA1＝1，∴||＝||＝||＝1．∵∠BAC＝90°，∴＝0．∵∠BAA1＝∠CAA1＝60°，∴＝＝，∴||2＝（＋＋）2＝（＋＋＋2＋2＋2）＝，∴||＝．∵∴∴18．在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，直線平面，，，，點P在棱上.（1）求證：；（2）若P是的中點，求異面直線與所成角的余弦值；（3）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）先推導(dǎo)出，，從而平面，即可證明（2）以A為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可【詳解】（1）平面，，，，平面，又平面，.（2），，，以A為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，.設(shè)異面直線與所成的角為，.異面直線與所成角的余弦值為.（3）平面，平面的一個法向量為.，點P為的三等分點且此時.在平面中，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，令，則..又因為二面角的大小為銳角，二面角的余弦值為.19．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺：平面上到兩定點，距離之比是常數(shù)的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．依據(jù)以上信息，解決下面的問題：在棱長為2的正方體中，點是正方體的表面（包括邊界）上的動點，若動點滿意，則點所形成的阿氏圓的半徑為___________；若是的中點，且正方體的表面（包括邊界）上的動點滿意條件，則三棱錐體積的最大值是__________．【答案】【分析】依據(jù)題意以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y），利用PA＝2PD，求出點P的軌跡方程，即可得到點P所形成的阿氏圓的半徑，利用tan∠APB＝，tan∠DPE＝，結(jié)合已知條件∠APB＝∠EPD，從而得到AP＝2DP，結(jié)合圖像利用1空中的結(jié)論求解DP3即為三棱錐P﹣ACD最大的高，然后利用三棱錐的體積公式求解即可．【詳解】以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（2，0），D（0，0），設(shè)P（x，y），因為PA＝2PD，所