新教材2025版高中數(shù)學(xué)第二章平面向量及其應(yīng)用3從速度的倍數(shù)到向量的數(shù)乘3.2向量的數(shù)乘與向量共線的關(guān)系學(xué)案北師大版必修第二冊

3．2向量的數(shù)乘與向量共線的關(guān)系[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一共線(平行)向量基本定理給定一個(gè)非零向量b，則對于隨意向量a，a∥b的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使________．eq\x(狀元隨筆)向量共線定理的理解留意點(diǎn)及主要應(yīng)用(1)定理中eq\o(b,\s\up14(→))≠eq\o(0,\s\up14(→))不能漏掉.若eq\o(a,\s\up14(→))＝eq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，則實(shí)數(shù)λ可以是隨意實(shí)數(shù)；若eq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，eq\o(a,\s\up14(→))≠eq\o(0,\s\up14(→))，則不存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(a,\s\up14(→))＝λeq\o(b,\s\up14(→)).(2)這個(gè)定理可以用一般形式給出：若存在不全為0的一對實(shí)數(shù)t，s，使teq\o(a,\s\up14(→))＋seq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，則eq\o(a,\s\up14(→))與eq\o(b,\s\up14(→))共線；若兩個(gè)非零向量eq\o(a,\s\up14(→))與eq\o(b,\s\up14(→))不共線，且teq\o(a,\s\up14(→))＋seq\o(b,\s\up14(→))＝eq\o(0,\s\up14(→))，則必有t＝s＝0.要點(diǎn)二直線的向量表示通常可以用eq\o(AP,\s\up14(→))＝teq\o(AB,\s\up14(→))表示過點(diǎn)A，B的直線l，其中eq\o(AB,\s\up14(→))稱為直線l的________向量．[基礎(chǔ)自測]1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)若a∥b，則存在λ∈R，使得b＝λa.()(2)若eq\o(AD,\s\up14(→))＝3eq\o(AB,\s\up14(→))，則eq\o(AD,\s\up14(→))與eq\o(AB,\s\up14(→))共線．()(3)一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)非零向量eq\o(AB,\s\up14(→))可以唯一確定過點(diǎn)A與向量eq\o(AB,\s\up14(→))平行的直線l.()(4)若點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為直線AB外一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up14(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→)))．()2．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up14(→))，則此四邊形是()A．平行四邊形B．菱形C．梯形D．矩形3．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D4．下列向量中，a，b肯定共線的有________．(填序號)①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2；b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.題型一向量共線的判定——自主完成推斷下列各小題中的向量a，b是否共線(其中e1，e2是兩個(gè)不共線向量)．(1)a＝5e1，b＝－10e1；(2)a＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝3e1－2e2；(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.eq\x(狀元隨筆)向量共線的判定一般是用其判定定理，即eq\o(a,\s\up14(→))是一個(gè)非零向量，若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(b,\s\up14(→))＝λeq\o(a,\s\up14(→))，則向量eq\o(b,\s\up14(→))與非零向量eq\o(a,\s\up14(→))共線．解題過程中，須要把兩向量用共同的已知向量來表示，進(jìn)而相互表示，由此推斷共線．題型二證明三點(diǎn)共線——師生共研例1已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up14(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up14(→))＝2e1－e2，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．變式探究1將本例中條件改為“a，b是不共線的兩非零向量，eq\o(OA,\s\up14(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up14(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝a－3b”，證明A、B、C三點(diǎn)共線．方法歸納三點(diǎn)共線的證明問題及求解思路1．證明三點(diǎn)共線，通常轉(zhuǎn)化為證明由這三點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量共線，向量共線定理是解決向量共線問題的依據(jù)．2．若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))在同始終線上，因此必定存在實(shí)數(shù)，使得其中兩個(gè)向量之間存在線性關(guān)系，而向量共線定理是實(shí)現(xiàn)線性關(guān)系的依據(jù)．跟蹤訓(xùn)練1已知向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up14(→))＝－3a＋3b，則()A．A，B，C三點(diǎn)共線B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線D．B，C，D三點(diǎn)共線題型三由三點(diǎn)共線求參數(shù)的值——師生共研例2(1)在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up14(→))＝2eq\o(DB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up14(→))＋λeq\o(CB,\s\up14(→))，則λ＝()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)(2)已知非零向量e1，e2不共線，欲使ke1＋e2與e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．變式探究2將本例(2)中的條件改為“若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同”，問當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)a，tb，eq\f(1,3)(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同始終線上？方法歸納利用向量共線求參數(shù)，一種類型是利用向量加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算表示出相關(guān)向量，從而求得參數(shù)，另一種類型是利用三點(diǎn)共線建立方程求解參數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up14(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up14(→))，P是BN上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up14(→))＝meq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up14(→))，則實(shí)數(shù)m的值為()A.eq\f(9,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(3,11)D.eq\f(1,11)易錯(cuò)辨析忽視向量共線的方向出錯(cuò)例3設(shè)兩向量e1，e2不共線，若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，求實(shí)數(shù)t的值．解析：∵向量2te1＋7e2與向量e1＋te2共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±eq\f(\r(14),2).故所求實(shí)數(shù)t的值為±eq\f(\r(14),2).易錯(cuò)警示易錯(cuò)緣由糾錯(cuò)心得忽視兩非零向量反向共線的狀況而漏掉一解.向量共線應(yīng)分同向與反向兩種狀況.3．2向量的數(shù)乘與向量共線的關(guān)系新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一a＝λb要點(diǎn)二方向[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up13(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up13(→))，所以AB∥CD，且AB＝eq\f(1,2)CD，所以四邊形ABCD為梯形．故選C.答案：C3．解析：eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝eq\o(AD,\s\up13(→))＝3eq\o(AB,\s\up13(→)).所以A，B，D三點(diǎn)共線．答案：A4．解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝4(e1－eq\f(1,10)e2)＝4b；④中，當(dāng)e1，e2不共線時(shí)，a≠λb，故①②③中a與b共線．答案：①②③題型探究·課堂解透題型一解析：(1)∵b＝－2a，∴a與b共線．(2)∵a＝eq\f(1,6)b，∴a與b共線．(3)設(shè)a＝λb，則e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.∵e1與e2是兩個(gè)不共線向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3λ＝0，,1＋3λ＝0.))這樣的λ不存在，因此a與b不共線．題型二例1解析：∵eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up13(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→))＝e1－4e2.又eq\o(AB,\s\up13(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq\o(AB,\s\up13(→))＝2eq\o(BD,\s\up13(→))，∴eq\o(AB,\s\up13(→))∥eq\o(BD,\s\up13(→)).∵AB與BD有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．變式探究1證明：∵eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(OB,\s\up13(→))－eq\o(OA,\s\up13(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而eq\o(BC,\s\up13(→))＝eq\o(OC,\s\up13(→))－eq\o(OB,\s\up13(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2eq\o(AB,\s\up13(→))∴eq\o(AB,\s\up13(→))與eq\o(BC,\s\up13(→))共線，且有公共點(diǎn)，∴A，B，C三點(diǎn)共線．跟蹤訓(xùn)練1解析：∵eq\o(BD,\s\up13(→))＝eq\o(BC,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up13(→))，且eq\o(BD,\s\up13(→))與eq\o(AB,\s\up13(→))有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選B.答案：B題型三例2解析：(1)方法一由eq\o(AD,\s\up13(→))＝2eq\o(DB,\s\up13(→))得eq\o(CD,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→))＝2(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CD,\s\up13(→)))，即eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up13(→))，所以λ＝eq\f(2,3).方法二因?yàn)閑q\o(CD,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up13(→))＝eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up13(→))－eq\o(CA,\s\up13(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up13(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up13(→))，所以λ＝eq\f(2,3).(2)∵ke1＋e2與e1＋ke2共線，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，則(k－λ)e1＝(λk－1)e2.由于e1與e2不共線∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0))∴k＝±1.答案：(1)A(2)見解析變式探究2解析：由題意知，存在唯一實(shí)數(shù)λ，使a－tb＝λeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a－\f(1,3)a＋b))，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,3)－t))b，∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)λ－1＝0，,\f(λ,3)－t＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co