2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)4.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)【課件】

第四章一次函數(shù)2一次函數(shù)與正比例函數(shù)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)

1.

一次函數(shù).若兩個(gè)變量

x

，

y

之間的關(guān)系式可以表示成

y

＝

kx

＋

b

（

k

，

b

為

常數(shù)，

k

≠0）的形式，則稱

y

是

x

的

函數(shù)（其中

x

為自

變量，

y

是因變量）.2.

正比例函數(shù).特別地，當(dāng)

b

＝0時(shí)，稱

y

是

x

的

?.一次

正比例函數(shù)

數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版02課前導(dǎo)入

如果設(shè)蛤蟆的數(shù)量為

x，y分別表示蛤蟆嘴的數(shù)量，眼睛的數(shù)量，腿的數(shù)量，撲通聲，你能列出相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式嗎？y=xy=2xy=4xy=x

在現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中有許多問題都可以歸結(jié)為函數(shù)問題，大家能不能舉一些例子?一次函數(shù)與正比例函數(shù)(2)你能寫出

y與

x之間的關(guān)系式嗎？y=3+0.5x

情景一：某彈簧的自然長(zhǎng)度為3cm，在彈性限度內(nèi)，所掛物體的質(zhì)量

x每增加1千克，彈簧長(zhǎng)度

y增加0.5cm.(1)計(jì)算所掛物體的質(zhì)量分別為1kg，2kg，3kg，4kg，5kg時(shí)的長(zhǎng)度，并填入下表：x/kg012345y/cm33.544.555.5情景二：某輛汽車油箱中原有油60L，汽車每行駛50km耗油6L.(1)完成下表：汽車行駛路程

x/km050100150200300油箱剩余油量

y/L605448423630(2)你能寫出上表中

y與

x的關(guān)系式嗎?y=60－0.12x上面的兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式：

(1)y=3+0.5x；(2)y=60－0.12x.

若兩個(gè)變量

x，y間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示為y=kx+b(k，b為常數(shù)，k不等于0)的形式.

則稱

y是

x的一次函數(shù).特別地，當(dāng)b=0時(shí)，稱

y是

x

的正比例函數(shù)，大家討論一下，這兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式有什么特征?下列關(guān)系式中，哪些是一次函數(shù)，哪些是正比例函數(shù)？(1)

y＝－x－4；(2)

y＝5x2－6；

(3)

y＝2πx；

(6)

y＝8x2＋x(1－8x).解：(1)是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)；(2)不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；(3)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；(4)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)；(5)不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；(6)是一次函數(shù)，也是正比例函數(shù)．方法總結(jié)1.判定一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)的條件：

自變量是一次整式，一次項(xiàng)系數(shù)不為零；2.判定一個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)的條件：

自變量是一次整式，一次項(xiàng)系數(shù)不為零，常數(shù)項(xiàng)為零．?dāng)?shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練

①②③⑤

②⑤

【點(diǎn)撥】判斷一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)的方法：（1）等號(hào)兩邊是整式；（2）將整式恒等變形，能表示成y＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式.判斷一個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)的方法：（1）等號(hào)兩邊是整式；（2）將整式恒等變形，能表示成y＝kx（k為常數(shù)，k≠0）的形式.正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).

－1

－5

【點(diǎn)撥】根據(jù)一次函數(shù)求待定字母的值時(shí)，要注意：（1）函數(shù)關(guān)系式是自變量的一次式，若含有一次以上的項(xiàng)，此項(xiàng)的系數(shù)必為0；（2）一次項(xiàng)的系數(shù)不為0.

1.

下列說法錯(cuò)誤的是（

D

）A.

正比例函數(shù)也是一次函數(shù)B.

一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)C.

不是一次函數(shù)就一定不是正比例函數(shù)D.

不是正比例函數(shù)就一定是一次函數(shù)D2.

已知函數(shù)y＝（k＋1）x＋k2－1.（1）當(dāng)k

時(shí)，它是一次函數(shù)；（2）當(dāng)k

時(shí)，它是正比例函數(shù).≠－1

＝1

某通信公司的手機(jī)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)有兩類.A類：月租費(fèi)12元，通話費(fèi)

0.2元/min；B類：沒有月租費(fèi)，通話費(fèi)0.25元/min.（1）分別寫出A類、B類每月應(yīng)繳費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x（min）之間的關(guān)系式；（2）若每月平均通話時(shí)間為200

min，則選擇哪類收費(fèi)方式更劃算？（3）每月通話多長(zhǎng)時(shí)間，按A，B兩類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi)所繳話費(fèi)相等？【思路導(dǎo)航】（1）根據(jù)題意列出A類、B類每月應(yīng)繳費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x（min）之間的關(guān)系式即可；（2）結(jié)合（1）的答案，分別求出按A類和按B類收費(fèi)方式所繳的話費(fèi)，即可得到答案；（3）根據(jù)“按A，B兩類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)所繳話費(fèi)相等”，列出關(guān)于x的一元一次方程解答即可.解：（1）A類每月應(yīng)繳費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x（min）之間的關(guān)系式為y＝0.2x＋12.B類每月應(yīng)繳費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x（min）之間的關(guān)系式為

y＝0.25x.（2）若選擇A類收費(fèi)方式，則y＝0.2×200＋12＝52.若選擇B類收費(fèi)方式，則y＝0.25×200＝50.因?yàn)?2＞50，所以選擇B類收費(fèi)方式更劃算.（3）由題意，得12＋0.2x＝0.25x，解得x＝240.故每月通話240

min，按A，B兩類收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)繳費(fèi)所繳話費(fèi)相等.【點(diǎn)撥】求解一次函數(shù)實(shí)際問題時(shí)，需要讀懂題意，分析清楚各變量之間的關(guān)系，找到與之對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系，列出函數(shù)表達(dá)式.注意自變量的取值范圍.

某批發(fā)商家批發(fā)蘋果采取分段計(jì)價(jià)的方式，其價(jià)格如下表：購買蘋果的質(zhì)量x/kg不超過50

kg的部分超過50

kg的部分價(jià)格/（元/kg）108（1）若小剛購買蘋果40

kg，應(yīng)付多少元？（2）若小剛購買蘋果x

kg，用去了y元.分別寫出當(dāng)0≤x≤50和

x＞50時(shí)，y與x之間的關(guān)系式；（3）求小剛一次性購買80

kg所付的費(fèi)用比分兩次共購買80

kg（每次都購買40

kg）所付的費(fèi)用少多少元.解：（1）由表格，得40×10＝400（元）.故小剛購買蘋果40

kg，應(yīng)付400元.（2）由題意，得當(dāng)0≤x≤50時(shí)，則y與x之間的關(guān)系式為y＝10x；當(dāng)x＞50時(shí)，y與x之間的關(guān)系式為y＝10×50＋8（x－50）＝8

x＋100，即當(dāng)x＞50時(shí)，則y與x的關(guān)系式為y＝8x＋100.（3）若一次性購買80

kg，所付的費(fèi)用為8×80＋100＝740（元），若分兩次共購買80

kg（每次都購買40

kg），所付的費(fèi)用為40×10×2＝800（元），800－740＝60（元）.故小剛一次性購買80

kg所付的費(fèi)用比分兩次共購買80

kg（每次都購買40

kg）所付的費(fèi)用少60元.

已知y1與x＋1成正比例，y2與x－1成正比例，y＝y(tǒng)1＋y2.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝4；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝14.求y與x之間的關(guān)系式.【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，設(shè)出y1和y2的函數(shù)關(guān)系式.將已知的x和y的值分別代入y1和y2，列出方程，求出參數(shù)的值即可得到所求的函數(shù)關(guān)系式.解：因?yàn)閥1與x＋1成正比例，所以設(shè)y1＝k1（x＋1）（k1≠0）.因?yàn)閥2與x－1成正比例，所以設(shè)y2＝k2（x－1）（k2≠0）.因?yàn)閥＝y(tǒng)1＋y2，所以y＝k1（x＋1）＋k2（x－1）.因?yàn)楫?dāng)x＝1時(shí)，y＝4，所以2k1＝4.

①因?yàn)楫?dāng)x＝3時(shí)，y＝14，所以4k1＋2k2＝14.

②由①，得k1＝2.把k1＝2代入②中，得8＋2k2＝14.解得k2＝3.所以y＝2（x＋1）＋3（x－1）＝5x－1.【點(diǎn)撥】本例有兩個(gè)不同的一次（正比例）函數(shù)y1和y2，要特

別注意不能用同一個(gè)k設(shè)出它們的函數(shù)關(guān)系式，而要用k1和k2進(jìn)

行區(qū)分，也可以用m和n等表示它們的一次項(xiàng)系數(shù).

1.

已知y＝y(tǒng)1＋y2，y1與x成正比例，y2與x－2成正比例.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝－3時(shí)，y＝4.（1）求y與x之間的關(guān)系式，并指出y是x的什么函數(shù)；（2）當(dāng)x＝－2時(shí)，求y的值；（3）當(dāng)y＝－3時(shí)，求x的值.解：（1）設(shè)y＝k1x＋k2（x－2）.由題意，得k1＋k2（1－2）＝0

①，－3k1－5k2＝4

②.

（2）當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－（－2）＋1＝3.（3）當(dāng)y＝－3時(shí)，－x＋1＝－3.解得x＝4.2.

生態(tài)公園計(jì)劃在園內(nèi)的坡地上造一片有A，B兩種樹的混合

林，需要購買這兩種樹苗2

000棵.種植A，B兩種樹苗的相關(guān)信

息如下表：品種價(jià)格/（元/棵）成活率勞務(wù)費(fèi)/（元/棵）A1595％3B2099％4設(shè)購買A種樹苗x棵，造這片混合林的總費(fèi)用為y元.根據(jù)相關(guān)信息解答下列問題：（1）寫出y（元）與x