八年級數(shù)學教案：解二元一次方程組

八年級數(shù)學教案：解二元一次方程組

解二元一次方程組

教學目標

知識與技能：會用代入消元法解二元一次方程組.

過程與方法：了解消元思想，初步體會數(shù)學研究中化未知

為已知的化歸思想.

情感態(tài)度與價值觀：讓學生經(jīng)歷自主探索過程，化未知為

已知，從中獲得成功的體驗，從而激發(fā)學生的學習興趣.

教學重點

用代入消元法解二元一次方程組.

教學難點

在解題過程中體會消元思想和化未知為已知的化歸思想.

教學準備：多媒體課件

教學過程：

第一環(huán)節(jié)：情境引入（5分鐘，學生理解題意，小組討論解決

方案）

內(nèi)容：

教師引導學生共同回憶上一節(jié)課討論的買門票問題，想一想

當時是怎么獲得二元一次方程組的解的.

設他們中有x個成人，y個兒童，我們得到了方程組成人和

兒童到底去了多少人呢?在上一節(jié)課的做一做中，我們通過檢

驗是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34的解，從而得知這個

解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據(jù)二元一次方

程組的解的定義，得出是方程組的解.所以成人和兒童分別

去了5人和3人.

提出問題：每一個二元一次方程的解都有無數(shù)多個，而方程

組的解是方程組中各個方程的公共解，前面的方法中卻好我

們找到了這個公共解，但如果數(shù)據(jù)不巧，這可沒那么容易，

那么，有什么方法可以獲得任意一個二元一次方程組的解呢?

第二環(huán)節(jié)：探索新知(10分鐘，教師引導學生分析方程中的

數(shù)量關(guān)系，找到方法)

內(nèi)容：回顧七年級第一學期學習的一元一次方程，是不是也

曾碰到過類似的問題，能否利用一元一次方程求解該問題？

(由學生獨立思考解決，教師注意指導學生規(guī)范表達)

解：設去了x個成人，則去了(8-x)個兒童，根據(jù)題意，得：

5x+3(8-x)=34.

解得：x=5.

將x=5代入8-x=8-5=3.

答：去了5個成人，3個兒童.

在學生解決的基礎(chǔ)上，引導學生進行比較：列二元一次方程

組和列一元一次方程設未知數(shù)有何不同?列出的方程和方程

組又有何聯(lián)系?對你解二元一次方程組有何啟示?

(先讓學生獨立思考，然后在學生充分思考的前提下，進行小

組討論，在此基礎(chǔ)上由學生代表回答，老師適時地引導與補

充，力求通過學生觀察、思考與討論后能得出以下的一些要

點.)

1.列二元一次方程組設有兩個未知數(shù)：X個成人，y個兒童.

列一元一次方程只設了一個未知數(shù)：x個成人，兒童去的個

數(shù)通過去的總?cè)藬?shù)與去的成人數(shù)相比較，得出(8-x)個.因此y

應該等于(8-x).而由二元一次方程組的一個方程x+y=8,根據(jù)

等式的性質(zhì)可以推出y=8-x.

2.發(fā)現(xiàn)一元一次方程中5x+3(8-x)=34與方程組中的第二個

方程5x+3y=34相類似，只需把5x+3y=34中的y用(8-x)代替

就轉(zhuǎn)化成了一元一次方程.

教師引導學生發(fā)現(xiàn)了新舊知識之間的聯(lián)系，便可尋求到解決

新問題的方法即將新知識(二元一次方程組)轉(zhuǎn)化為舊知識

(一元一次方程)便可.

(由學生來回答)上一節(jié)課我們就已知道方程組中相同的字母

表示的是同一個未知量.所以將中的①變形，得y=8-x③，

我們把y=8-x代入方程②，即將②中的y用(8-x)代替，這樣

就有5x+3(8-x)=34.二元化成一元.

教師總結(jié)：同學們很善于思考.這就是我們在數(shù)學研究中經(jīng)常

用到的化未知為已知的化歸思想，通過它使問題得到完美解

決.下面我們完整地解一下這個二元一次方程組.

（教師把解答的詳細過程板書在黑板上，并要求學生一起來完

成）

解：

由①得：.③

將③代入②得：

解得：.

把代入③得：.

所以原方程組的解為：

（提醒學生進行檢驗，即把求出的解代入原方程組，必然使

原方程組中的每個方程都同時成立，如不成立，則可知解有

問題）

下面我們試著用這種方法來解答上一節(jié)的誰的包裹多的問

題.

（放手讓學生用已經(jīng)獲取的經(jīng)驗去解決新的問題，由學生自己

完成，讓兩個學生在黑板上規(guī)范的板書，教師巡視：發(fā)現(xiàn)學

生的閃光點以及存在的問題并適時的加以輔導，以期學生在

解答的過程中領(lǐng)會代入消元法的真實含義和化歸的數(shù)學思

想.）

第三環(huán)節(jié)：鞏固新知（10分鐘，教師演示，學生理解、識記）

內(nèi)容：

1例解下列方程組：

（1）（2）

（根據(jù)學生的情況可以選擇學生自己完成或教師指導完成）

⑴解：將②代入①，得：.

解得：.

把代入②，得：.

所以原方程組的解為：

（2）由②，得：.③

將③代入①，得：.

解得：.

將y=2代入③，得：.

所以原方程組的解是

（⑵題需先進行恒等變形，教師要鼓勵學生通過自主探索與交

流獲得求解，在求解過程中學生消元的具體方法可能不同,

所以教學中不必強求解答過程的統(tǒng)一，但要提出如何選擇將

哪個方程恒等變形、消去哪個未知數(shù)能使運算較為簡單.讓學

生在解題中進行思考）

（教師在解完后要引導學生再次就解出的結(jié)果進行思考，判斷

它們是否是原方程組的解.促使學生進一步理解方程組解的

含義以及學會檢驗方程組解的方法.）

2思考總結(jié)：（教師根據(jù)學生的實際情況進行生與生、師與生

之間的相互補充與評價，并提出下面的問題）

⑴給這種解方程組的方法取個什么名字好？

⑵上面解方程組的基本思路是什么？

⑶主要步驟有哪些？

⑷我們觀察例題的解法會發(fā)現(xiàn)，我們在解方程組之前，首先

要觀察方程組中未知數(shù)的特點，盡可能地選擇變形后的方程

較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關(guān)鍵的一步.

你認為選擇未知數(shù)有何特點的方程變形好呢？

（由學生分組討論，教師深入?yún)⑴c到學生討論中，發(fā)現(xiàn)學生

在自主探索、討論過程中的獨特想法，請學生小組的代表回

答或?qū)W生舉手回答，其余學生可以補充，力求讓學生能夠回

答出以下的要點，教師要板書要點，在學生回答時注意進行

積極評價）

1.在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個

方程變形，即用含其中一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知

數(shù)，然后代入另一個未變形的方程，從而由二元轉(zhuǎn)化為一元,

達到消元的目的.我們將這種方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程組的基本思路是消元，把二元變?yōu)橐辉?

3.解上述方程組的步驟：

第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當?shù)姆匠?

將它的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.

第二步：把此代數(shù)式代入沒有變形的另一個方程中，可得一

個一元一次方程.

第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數(shù)的值.

第四步：把求得的未知數(shù)的值代回到原方程組中的任意一個

方程或變形后的方程（一般代入變形后的方程），求得另一個

未知數(shù)的值.

第五步：把方程組的解表示出來.

第六步：檢驗（口算或筆算在草稿紙上進行），即把求得的解

代入每一個方程看是否成立.

4.用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數(shù)

的系數(shù)的絕對值是1的方程進行變形;若未知數(shù)的系數(shù)的絕

對值都不是1,則選取系數(shù)的絕對值較小的方程變形.

第四環(huán)節(jié)：練習提高（10分鐘，學生獨立完成，教師個別指

導，全班交流）

內(nèi)容：

1.教材隨堂練習（在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索

與交流，各個學生消元的具體方法可能不同，可以不必強調(diào)

解答過程統(tǒng)一.可能會出現(xiàn)整體代換的思想，若有條件可以提

出，為下一課做點鋪墊也可以）

2.補充練習：用代入消元法解下列方程組：

（1）（2）⑶（注意分數(shù)線有括號功能）

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)（5分鐘，教師引導學生總結(jié)解方程的方

法）

內(nèi)容：師生相互交流總結(jié)解二元一次方程組的基本思路是消

元，即把二元變?yōu)橐辉舛淮畏匠探M的第一種解法代

入消元法，其主要步驟是：將其中的一個方程中的某個未知

數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方

程中，從而消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一

次方程.解這個一元一次方程，便可得到一個未知數(shù)的值，再

將所求未知數(shù)的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數(shù)

的值.即求得了方程組的解.

第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)習題7.2A組（優(yōu)等生）1、2

B組（中等生）1

課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是，但學生寫作

文運用到文章中的甚少，即使運用也很難做到恰如其分。為什

么?還是沒有徹底“記死”的緣故。要解決這個問題，方法很簡

單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一則名言警句即

可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄''上每日一換，可以在每天課

前的3分鐘讓學生輪流講解，也可讓學生個人搜集，每天往筆

記本上抄寫,教師定期檢查等等。這樣，一年就可記300多條

成語、300多則名言警句，日積月累，終究會成為一筆不小的財

富。這些成語典故“貯藏”在學生腦中，自然會出口成章,寫作時

便會隨心所欲地“提取”出來，使文章增色添輝。

宋以后，京師所設小學館和武學堂中的教師稱謂皆稱之為“教

諭”。至元明清之縣學一律循之不變。明朝入選翰林院的進士

之師稱“教習”。到清末，學堂興起，各科教師仍沿用“教習”

一稱。其實“教諭”在明清時還有學官一意，即主管縣一級的

教育生員。而相應府和州掌管教育生員者則謂“教授”和“學

正”?！敖淌?,“學正”和“教諭,,的副手一律稱“訓導,,。于民間，

特別是漢代以后，對于在“校”或“學”中傳授經(jīng)學者也稱為“經(jīng)

師”。在一些特定的講學場合，比如書院、皇室，也稱教師為

“院長、西席、講席”等。C組（后三分之一生）1

家庭是幼兒語言活動