2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第7章　§7.4　空間直線、平面的垂直（含解析）

第第頁§7.4空間直線、平面的垂直課標(biāo)要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.(×)(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.(√)(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．(×)(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.(×)2．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β答案ABD解析若直線a垂直于平面α，則直線a垂直于平面α內(nèi)的所有直線，故C正確，其他選項(xiàng)均不正確．3．如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(diǎn)(不與A，B重合)，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．PA⊥平面ABCB．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBCD．三棱錐P－ABC的四個(gè)面都是直角三角形答案C解析因?yàn)镻A是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的任意一點(diǎn)(不與A，B重合)，則PA⊥平面ABC，故A正確；而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，則有BC⊥平面PAC，故B正確；由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正確；假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，所以AC⊥平面PBC不正確，故C錯(cuò)誤．4．過平面外一點(diǎn)P的斜線段是過這點(diǎn)的垂線段的eq\f(2\r(3),3)倍，則斜線與平面α所成的角是________．答案eq\f(π,3)解析如圖，連接AB，由PB⊥α，知∠PAB是線段PA與平面α所成的角，在Rt△PAB中，因?yàn)镻A＝eq\f(2\r(3),3)PB，所以sin∠PAB＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(\r(3),2)，∠PAB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAB＝eq\f(π,3)，即線段PA與平面α所成的角為eq\f(π,3).題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.(1)若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1；(2)已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長．(1)證明∵點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影是點(diǎn)C，∴B1C⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴B1C⊥AB.在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，∵BC∩B1C＝C，BC，B1C?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵CC1?平面BCC1B1，∴AB⊥CC1.(2)解如圖，延長BC至點(diǎn)E，使BC＝CE，連接C1E，則B1C1綉CE，四邊形B1CEC1為平行四邊形，則C1E綉B(tài)1C.由(1)知B1C⊥平面ABC，∴C1E⊥平面ABC，∵CE，BE?平面ABC，∴C1E⊥CE，C1E⊥BE，∵C1E＝B1C＝2eq\r(3)，CE＝BC＝B1C1＝2，BE＝4，∴CC1＝eq\r(CE2＋C1E2)＝4，BC1＝eq\r(BE2＋C1E2)＝2eq\r(7)，∴△BCC1的周長為2＋4＋2eq\r(7)＝6＋2eq\r(7).思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1；(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點(diǎn)，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.證明(1)如圖，連接A1C1.因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因?yàn)镃C1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1?平面A1C1C，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因?yàn)锳1C?平面A1C1C，所以A1C⊥B1D1.(2)如圖，連接B1A，AD1.因?yàn)锽1C1＝AD，B1C1∥AD，所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1，因?yàn)镸N⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因?yàn)镸N⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因?yàn)锳B1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1?平面AB1D1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以MN∥A1C.題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1－BB1C1C的高．(1)證明因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，又因?yàn)椤螦CB＝90°，即AC⊥BC，因?yàn)锳1C，AC?平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，又因?yàn)锽C?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)解如圖，過點(diǎn)A1作A1O⊥CC1于點(diǎn)O.因?yàn)槠矫鍭CC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O?平面ACC1A1，所以A1O⊥平面BB1C1C，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為A1O.因?yàn)锳1C⊥平面ABC，AC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，A1C⊥AC，在Rt△ABC與Rt△A1BC中，因?yàn)锳1B＝AB，BC＝BC，所以Rt△ABC≌Rt△A1BC，所以A1C＝AC.設(shè)A1C＝AC＝x，則A1C1＝x，所以O(shè)為CC1中點(diǎn)，OC1＝eq\f(1,2)AA1＝1，又因?yàn)锳1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝AAeq\o\al(2,1)，即x2＋x2＝22，解得x＝eq\r(2)，所以A1O＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－OC\o\al(2,1))＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以四棱錐A1－BB1C1C的高為1.思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，且PA?平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PA⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD∥BE，∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD，∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴EF∥PD，∵EF?平面PAD，PD?平面PAD，∴EF∥平面PAD，∵BE∩EF＝E，BE，EF?平面BEF，∴平面BEF∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，∴平行四邊形ABED是矩形，∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，∵E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點(diǎn)P是AD1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)試判斷不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)P為AD1的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成角的正切值的最大值．解(1)是．∵BA⊥平面AA1D1D，BA?平面BPA，∴平面BPA⊥平面AA1D1D，∴無論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AA1D1D.(2)過點(diǎn)P作PE⊥A1D1，垂足為E，連接B1E，如圖，則PE∥AA1，∴∠B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角．在Rt△AA1D1中，∵∠AD1A1＝60°，∴∠A1AD1＝30°，∴A1B1＝A1D1＝eq\f(1,2)AD1＝2，∴A1E＝eq\f(1,2)A1D1＝1，AA1＝eq\r(3)A1D1＝2eq\r(3)，∴PE＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(3)，B1E＝eq\r(A1B\o\al(2,1)＋A1E2)＝eq\r(5)，∴在Rt△B1PE中，B1P＝eq\r(B1E2＋PE2)＝2eq\r(2)，∴cos∠B1PE＝eq\f(PE,B1P)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，∴異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為eq\f(\r(6),4).(3)由(1)知，B1A1⊥平面AA1D1D，∴∠B1PA1是PB1與平面AA1D1D所成的角，∴tan∠B1PA1＝eq\f(A1B1,A1P)＝eq\f(2,A1P)，∴當(dāng)A1P最小時(shí)，tan∠B1PA1最大，這時(shí)A1P⊥AD1，A1P＝eq\f(A1D1·AA1,AD1)＝eq\r(3)，得tan∠B1PA1＝eq\f(2\r(3),3)，即PB1與平面AA1D1D所成角的正切值的最大值為eq\f(2\r(3),3).課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是假命題的為()A．過點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β答案B解析由于過點(diǎn)P垂直于平面α的直線必平行于平面β內(nèi)垂直于交線的直線，則直線平行于平面β，因此A是真命題；過點(diǎn)P垂直于直線l的直線有可能垂直于平面α，不一定在平面α內(nèi)，因此B是假命題；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理知，選項(xiàng)C，D是真命題．2．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)的射影O是△ABC的()A．內(nèi)心B．外心C．重心D．垂心答案D解析如圖所示，因?yàn)镻A⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，所以BC⊥平面PAO，則BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O(shè)是△ABC的垂心．3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上 B．直線BC上C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部答案A解析連接AC1(圖略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC內(nèi)的射影H必在平面ABC1與平面ABC的交線AB上．4．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是()A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，則m∥nB．若m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nC．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nD．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n答案C解析由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，而垂直于同一個(gè)平面的兩條直線相互平行，故A正確；由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，又因?yàn)閚∥β，則m⊥n，故B正確；若α∥β，m?α，n?β，則m與n平行或異面，故C錯(cuò)誤；如圖，設(shè)α∩β＝l，在平面β內(nèi)作直線c⊥l，又因?yàn)棣痢挺拢瑒tc⊥α，又m⊥α，所以m∥c，因?yàn)閚⊥β，c?β，所以n⊥c，從而有m⊥n，故D正確．二、多項(xiàng)選擇題5．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A．CD⊥PDB．AB⊥PCC．平面PBD⊥平面PACD．E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面答案AD解析如圖所示，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，故A正確；因?yàn)镃D∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又PC∩平面PAD＝P，所以AB與PC不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以BD與AC不一定垂直，則BD與平面PAC不一定垂直，所以平面PBD與平面PAC不一定垂直，故C錯(cuò)誤；因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，所以EF∥AB，又AB∥CD，所以EF∥CD，所以E，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面，故D正確．6.如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝eq\f(1,2)AB＝2，E為AB的中點(diǎn)，以DE為折痕把△ADE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PC＝2eq\r(3).則下列說法正確的有()A．CD⊥平面EDPB．四棱錐P－EBCD外接球的體積為4eq\r(3)πC．二面角P－CD－B的大小為eq\f(π,4)D．直線PC與平面EDP所成角的正切值為eq\r(2)答案ABC解析對(duì)于A，∵E為AB的中點(diǎn)，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形EBCD為平行四邊形，又AB⊥BC，∴四邊形EBCD為矩形，∴CD⊥DE.∵PD＝AD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，CD＝2，PC＝2eq\r(3)，∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，又PD∩DE＝D，PD，DE?平面EDP，∴CD⊥平面EDP，A正確；對(duì)于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，∴AE⊥DE，即PE⊥DE，∵CD⊥平面EDP，PE?平面EDP，∴CD⊥PE，又CD∩DE＝D，CD，DE?平面EBCD，∴PE⊥平面EBCD，∵矩形EBCD的外接圓半徑r＝eq\f(1,2)×eq\r(22＋22)＝eq\r(2)，∴四棱錐P－EBCD的外接球半徑R＝eq\r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PE))2)＝eq\r(2＋1)＝eq\r(3)，∴四棱錐P－EBCD外接球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，B正確；對(duì)于C，∵CD⊥平面EDP，PD?平面EDP，∴PD⊥CD；又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角為∠PDE，∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，∴∠PDE＝eq\f(π,4)，∴二面角P－CD－B的大小為eq\f(π,4)，C正確；對(duì)于D，∵CD⊥平面EDP，∴∠CPD即為直線PC與平面EDP所成的角，∵CD⊥PD，PD＝2eq\r(2)，CD＝2，∴tan∠CPD＝eq\f(CD,PD)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即直線PC與平面EDP所成角的正切值為eq\f(\r(2),2)，D錯(cuò)誤．三、填空題7．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與AA1垂直的平面有________個(gè)．答案2解析在正方體中，側(cè)棱都和底面垂直，故在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共兩個(gè)．8．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，其形狀可視為一個(gè)正四棱錐，已知該金字塔的塔高與底面邊長的比滿足黃金比例，即比值約為eq\f(\r(5)－1,2)，則它的側(cè)棱與底面所成角的正切值約為________．答案eq\f(\r(10)－\r(2),2)解析畫出如圖所示示意圖，設(shè)底面邊長為a，則塔高EF＝eq\f(\r(5)－1,2)a，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)a，所以側(cè)棱與底面所成的角∠EAF的正切值為eq\f(EF,AF)＝eq\f(\f(\r(5)－1,2)a,\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(10)－\r(2),2).四、解答題9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝