2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第8章　§8.7　拋物線（原卷版）

第第頁(yè)§8.8拋物線課標(biāo)要求1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率).3.了解拋物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．拋物線的概念把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過(guò)點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1常用結(jié)論1．通徑：過(guò)焦點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦長(zhǎng)等于2p.2．拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱(chēng)為拋物線的焦半徑．3．設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)與x軸相交于點(diǎn)P，過(guò)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的直線l與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，α為AB與對(duì)稱(chēng)軸正向所成的角，則有如下的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝eq\f(2p,sin2α).自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線．()(2)方程y＝4x2表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)．()(3)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)中的p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離．()(4)焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2＝±2py(p>0)，也可以寫(xiě)成y＝ax2，這與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)的解析式是一致的．()2．拋物線x2＝eq\f(1,4)y的準(zhǔn)線方程為()A．y＝－eq\f(1,16)B．x＝－eq\f(1,16)C．y＝eq\f(1,16)D．x＝eq\f(1,16)3．拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M(3，y)到焦點(diǎn)F的距離|MF|＝4，則拋物線的方程為()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝x4．若拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1，則p的值為()A．0B．1C．2D．3題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)設(shè)圓O：x2＋y2＝4與y軸交于A，B兩點(diǎn)(A在B的上方)，過(guò)點(diǎn)B作圓O的切線l，若動(dòng)點(diǎn)P到A的距離等于P到l的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()A．x2＝8yB．x2＝16yC．y2＝8xD．y2＝16x(2)已知點(diǎn)M(20,40)不在拋物線C：y2＝2px(p>0)上，拋物線C的焦點(diǎn)為F.若對(duì)于拋物線上的一點(diǎn)P，|PM|＋|PF|的最小值為41，則p的值等于________．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知拋物線y＝mx2(m>0)上的點(diǎn)(x0,2)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為eq\f(11,4)，則m等于()A．4B．3C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,3)(2)已知點(diǎn)P為拋物線y2＝－4x上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到l：x＝1的距離為d1，到直線x＋y－4＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值是()A.eq\f(5,2)B.eq\f(5\r(2),2)C．2D.eq\r(2)題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2(1)拋物線過(guò)點(diǎn)(3，－4)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)，點(diǎn)A，B在拋物線上，且直線AB過(guò)點(diǎn)D(－eq\f(p,2),0)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|＝6，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______．跟蹤訓(xùn)練2(1)拋物線C的焦點(diǎn)F關(guān)于其準(zhǔn)線對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(0，－9)，則拋物線C的方程為()A．x2＝6yB．x2＝12yC．x2＝18yD．x2＝36y(2)設(shè)拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，點(diǎn)P在拋物線C上，|PF|＝eq\f(5,2)，若以線段PF為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)軸上距離原點(diǎn)為1的點(diǎn)，則該拋物線C的方程為_(kāi)_______．題型三拋物線的幾何性質(zhì)例3(1)已知圓x2＋y2＝1與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于C，D兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是矩形，則p等于()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(2),5)C.eq\f(5\r(2),2)D.eq\f(2\r(5),5)跟蹤訓(xùn)練3(1)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，則C的準(zhǔn)線方程為_(kāi)_____．(2)已知F是拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)，M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N，若3eq\o(FM,\s\up6(→))＝2eq\o(MN,\s\up6(→))，則|NF|＝________.課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．在平面內(nèi)，已知定點(diǎn)A及定直線l，記動(dòng)點(diǎn)P到l的距離為d，則“|PA|＝d”是“點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線”的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件2．已知拋物線x2＝2py(p>0)上的一點(diǎn)M(x0,1)到其焦點(diǎn)的距離為2，則該拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為()A．6B．4C．3D．23．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到直線x＝1的距離比它到定點(diǎn)(－2,0)的距離小1，則P的軌跡方程為()A．y2＝2xB．y2＝4xC．y2＝－4xD．y2＝－8x4．設(shè)M是拋物線y2＝4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠OFM＝120°，則|FM|等于()A．3B．4C.eq\f(4,3)D.eq\f(7,3)5．已知拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F，P點(diǎn)在拋物線上，Q點(diǎn)在圓C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，則|PQ|＋|PF|的最小值為()A．4B．6C．8D．10二、多項(xiàng)選擇題6．已知拋物線C：x2＝8y的焦點(diǎn)為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上的兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()A．|MF|的最小值為2B．若|MF|＋|NF|＝12，則線段MN的中點(diǎn)P到x軸的距離為6C．若直線MN過(guò)點(diǎn)F，則x1x2＝4D．若eq\o(MF,\s\up6(→))＝λeq\o(NF,\s\up6(→))，則|MN|的最小值為8三、填空題7．已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線C上，若點(diǎn)A到x軸的距離是|AF|－2，則p＝________.8．A，B是拋物線x2＝2y上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面積為12eq\r(3)，則∠AOB＝