2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)版）課時(shí)精講第10章　§10.4　事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式（原卷版）

第第頁(yè)§10.4事件的相互獨(dú)立性與條件概率、全概率公式課標(biāo)要求1.了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條件概率的關(guān)系，會(huì)利用全概率公式計(jì)算概率．知識(shí)梳理1．相互獨(dú)立事件(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱(chēng)為獨(dú)立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．2．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱(chēng)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)條件概率．(2)兩個(gè)公式①利用古典概型：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．(3)條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì)．設(shè)P(A)>0，則①P(Ω|A)＝1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．③設(shè)eq\x\to(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq\x\to(B)|A)＝1－P(B|A)．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai)．常用結(jié)論1．如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．*貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq\f(PAiPB|Ai,PB)＝eq\f(PAiPB|Ai,\i\su(k＝1,n,P)AkPB|Ak)，i＝1，2，…，n.自主診斷1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(2)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率．()(3)拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)“第一枚正面朝上”為事件A，“第二枚正面朝上”為事件B，則A，B相互獨(dú)立．()(4)若事件A1與A2是對(duì)立事件，則對(duì)任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．()2．甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個(gè)謎題，破解出謎題的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，則謎題沒(méi)被破解出的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6)D．13．在8件同一型號(hào)的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是()A.eq\f(1,28)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,9)D.eq\f(2,7)4．智能化的社區(qū)食堂悄然出現(xiàn)，某社區(qū)有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天隨機(jī)地選擇一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率為0.5，則居民甲第二天去A食堂用餐的概率為_(kāi)_______．題型一相互獨(dú)立事件的概率命題點(diǎn)1事件相互獨(dú)立性的判斷例1(多選)已知A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，則()A．P(A＋B)<1B．若A，B為互斥事件，則P(AB)＝0C．若P(AB)＝0.24，則A，B為相互獨(dú)立事件D．若A，B為相互獨(dú)立事件，則P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(AB)命題點(diǎn)2相互獨(dú)立事件的概率例2(多選)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α(0<α<1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1)．()A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率概率問(wèn)題中的遞推數(shù)列在概率與統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列綜合考查的問(wèn)題，一般以壓軸題的形式出現(xiàn)．主要有四種類(lèi)型：(1)an＝pan－1＋q型；(2)an＋1＝pan＋f(n)型；(3)an＋1＝anf(n)型；(4)an＋1＝pan＋qan－1型．典例(多選)甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍智蛉税亚騻鹘o另外兩人中的任意一人是等可能的．從一個(gè)人傳球到另一個(gè)人稱(chēng)傳球一次．若傳球開(kāi)始時(shí)甲持球，記傳球n次后球仍回到甲手里的概率為Pn，則下列結(jié)論正確的是()A．P2＝eq\f(1,2) B．P4＝eq\f(5,8)C．Pn＝eq\f(1,2)(1－Pn－1) D．Pn＝eq\f(1,3)－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)甲、乙兩個(gè)口袋中裝有除了編號(hào)不同以外其余完全相同的號(hào)簽．其中，甲袋中有編號(hào)為1,2,3的三個(gè)號(hào)簽；乙袋有編號(hào)為1,2,3,4,5,6的六個(gè)號(hào)簽．現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個(gè)號(hào)簽，從甲、乙兩袋抽取號(hào)簽的過(guò)程互不影響．記事件A：從甲袋中抽取號(hào)簽1；事件B：從乙袋中抽取號(hào)簽6；事件C：抽取的兩個(gè)號(hào)簽和為3；事件D：抽取的兩個(gè)號(hào)簽編號(hào)不同．則下列選項(xiàng)中，正確的是()A．P(AB)＝eq\f(1,18)B．P(C)＝eq\f(1,9)C．事件A與事件C相互獨(dú)立D．事件A與事件D相互獨(dú)立(2)某高中的獨(dú)孤與無(wú)極兩支排球隊(duì)在校運(yùn)會(huì)中采用五局三勝制(有球隊(duì)先勝三局則比賽結(jié)束)．第一局獨(dú)孤隊(duì)獲勝概率為0.4，獨(dú)孤隊(duì)發(fā)揮受情緒影響較大，若前一局獲勝，下一局獲勝概率增加0.1，反之降低0.1.則獨(dú)孤隊(duì)不超過(guò)四局獲勝的概率為_(kāi)_________．題型二條件概率命題點(diǎn)1條件概率例32023年8月31日貴南高鐵實(shí)現(xiàn)全線貫通運(yùn)營(yíng)，我國(guó)西南和華南地區(qū)新增一條交通大動(dòng)脈，黔桂兩地間交通出行更加便捷、西南與華南地區(qū)聯(lián)系將更加緊密．貴南高鐵線路全長(zhǎng)482公里，設(shè)計(jì)時(shí)速350公里，南寧東到貴陽(yáng)東旅行時(shí)間由原來(lái)的5個(gè)多小時(shí)縮短至最快2小時(shí)53分．貴陽(yáng)某調(diào)研機(jī)構(gòu)調(diào)查了一個(gè)來(lái)自南寧的旅行團(tuán)對(duì)貴陽(yáng)兩種特色小吃腸旺面和絲娃娃的喜愛(ài)情況，了解到其中有eq\f(4,15)的人喜歡吃腸旺面，有eq\f(2,15)的人喜歡吃絲娃娃，還有eq\f(7,10)的人既不喜歡吃腸旺面也不喜歡吃絲娃娃．在已知該旅行團(tuán)一游客喜歡吃腸旺面的條件下，他還喜歡吃絲娃娃的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)命題點(diǎn)2條件概率性質(zhì)的應(yīng)用例4(多選)設(shè)eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，已知0<P(A)<1,0<P(B)<1，則下列說(shuō)法正確的是()A．P(B|A)＋P(eq\x\to(B)|A)＝1B．P(B|A)＋P(B|eq\x\to(A))＝0C．若A，B是相互獨(dú)立事件，則P(A|B)＝P(A)D．若A，B是互斥事件，則P(B|A)＝P(B)命題點(diǎn)3乘法公式的應(yīng)用例5經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行兩次射擊時(shí)，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么該射擊運(yùn)動(dòng)員兩次均擊中9環(huán)的概率為()A．0.24B．0.36C．0.48D．0.75跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)甲盒子中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒子中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲盒子中隨機(jī)取出一球放入乙盒子，分別以A1，A2和A3表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊液凶又须S機(jī)取出一球，以B表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是()A．A1，A2，A3是兩兩互斥的事件B．P(B)＝eq\f(2,5)C．事件B與事件A1相互獨(dú)立D．P(B|A1)＝eq\f(5,11)(2)從－2，－1,1,2,3這5個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)，記“兩數(shù)之積為正數(shù)”為事件A，“兩數(shù)均為負(fù)數(shù)”為事件B.則P(B|A)＝________.題型三全概率公式的應(yīng)用例6(1)長(zhǎng)白飛瀑，高句麗遺跡，鶴舞向海，一眼望三國(guó)，偽滿皇宮，松江霧凇，凈月風(fēng)光，查干冬捕，是著名的吉林八景．某人打算到吉林旅游，冬季來(lái)的概率是eq\f(2,3)，夏季來(lái)的概率是eq\f(1,3)，如果冬季來(lái)，則看不到長(zhǎng)白飛瀑、鶴舞向海和凈月風(fēng)光，若夏季來(lái)，則看不到松江霧凇和查干冬捕．無(wú)論什么時(shí)候來(lái)，由于時(shí)間原因，只能在可去景點(diǎn)當(dāng)中選擇兩處參觀，則某人去了一眼望三國(guó)景點(diǎn)的概率為()A.eq\f(11,15)B.eq\f(16,45)C.eq\f(17,45)D.eq\f(1,3)(2)一堆蘋(píng)果中大果與小果的比例為9∶1，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%.經(jīng)過(guò)一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來(lái)的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為()A.eq\f(855,857)B.eq\f(857,1000)C.eq\f(171,200)D.eq\f(9,10)跟蹤訓(xùn)練3已知顏色分別是紅、綠、黃的三個(gè)大小相同的口袋，紅色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)綠球和一個(gè)黃球；綠色口袋內(nèi)裝有兩個(gè)紅球、一個(gè)黃球；黃色口袋內(nèi)裝有三個(gè)紅球、兩個(gè)綠球(球的大小質(zhì)地相同)．若第一次先從紅色口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，然后將取出的球放入與球同顏色的口袋內(nèi)，第二次從該口袋內(nèi)任取一個(gè)球，則第二次取到黃球的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(5,48)D.eq\f(11,48)課時(shí)精練一、單項(xiàng)選擇題1．若P(AB)＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,3)，則事件A與B的關(guān)系是()A．事件A與B互斥B．事件A與B對(duì)立C．事件A與B相互獨(dú)立D．事件A與B既互斥又相互獨(dú)立2．已知事件A，B相互獨(dú)立，P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，則P(A＋B)等于()A．0.88B．0.9C．0.7D．0.723．已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同．甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8)D.eq\f(2,9)4．某中學(xué)舉行疾病防控知識(shí)競(jìng)賽，其中某道題甲隊(duì)答對(duì)該題的概率為eq\f(3,4)，乙隊(duì)和丙隊(duì)答對(duì)該題的概率都是eq\f(2,3).若各隊(duì)答題的結(jié)果相互獨(dú)立且都進(jìn)行了答題，則甲、乙、丙三支競(jìng)賽隊(duì)伍中恰有一支隊(duì)伍答對(duì)該題的概率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(7,36)D.eq\f(1,6)5．衣柜里有灰色、白色、黑色、藍(lán)色四雙不同顏色的襪子，從中隨機(jī)選4只，已知取出的兩只是同一雙，則取出的另外兩只不是同一雙的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,9)二、多項(xiàng)選擇題6．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A＝“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，事件B＝“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件C＝“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，則()A．A與B互斥 B．B與C相互獨(dú)立C．P(A)＝eq\f(1,6) D．P(AC)＝eq\f(1,36)7．有3臺(tái)車(chē)床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為8%，第2臺(tái)加工的次品率為3%，第3臺(tái)加工的次品率為2%，加工出來(lái)的零件混放在一起．已知第1,2,3臺(tái)車(chē)床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的10%,40%,50%，從混放的零件中任取一個(gè)零件，則下列結(jié)論正確的是()A．該零件是第1臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的次品的概率為0.08B．該零件是次品的概率為0.03C．如果該零件是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的，那么它不是次品的概率為0.98D．如果該零件是次品，那么它不是第3臺(tái)車(chē)床加工出來(lái)的概率為eq\f(1,3)三、填空題8．甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為eq\f(2,3)；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為eq\f(1,2).假定每局之間相互獨(dú)立且無(wú)平局，第二局由上一局負(fù)者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲、乙執(zhí)黑子先下是等可能的，則甲勝第一局，乙勝第二局的概率為_(kāi)_______．19．從1,2,3,4,5,6,7中任取兩個(gè)不同的數(shù)，事件A為“取到的兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”，事件B為“取到的兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝____