第07講平面向量的應(yīng)用與新定義（六種題型）-沖刺2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（新高考專用）（解析版）-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第07講平面向量的應(yīng)用與新定義（六種題

型）

1熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型】

題型一：用向量證明線段垂直

一、單選題

1.（2023春?云南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知雙曲線C：￡-g=l（a>0,b>0）的焦距為2c,

a-b-

它的兩條漸近線與直線y=2（x-c）的交點(diǎn)分別為A,B,若。是坐標(biāo)原點(diǎn)，O8-AB=0,且

0AB的面積為當(dāng)，則雙曲線C的焦距為（）

L525

A.5B.C.-D.—

24

【答案】A

【分析】直線y=2（x-c）過右焦點(diǎn)尸2，OB.AB=0,得O8_L",求出漸近線的斜率，得

到關(guān)系，利用二倍角正切公式，求出tanNAOB,進(jìn)而將IA31用|。例表示，結(jié)合

面積求出1。刈，在中，得出|。例、c關(guān)系，求出c即可.

【詳解】如圖,

設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為尸2,則直線y=2（x-c））過右焦點(diǎn)F2,

由08A8=0,得03,43,直線。8的斜率為一；,

所以2=_L,a=2A,tanN居。8=,，

a22

12

在RtaOF/中，cos/F0B=-=,

yj\+tan~ZF20B75

\OB|=|(?^|cosZF2OB=苧，

2tanZF0B4

tan/-AOB=tan2ZFOB=2

2l-tan2ZF；OB3

在RtZXAOB中,

4

\AB\=\OB\tanZAOB=-\OB\,

所以sAOB=；畫網(wǎng)=^1。3|2=,,畫=6=1nc=],

zjj7bz

所以2c=5,

故選：A.

2.(2022秋?河南洛陽?高三校聯(lián)考階段練習(xí))若。為；,ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

\OB-OC\=\OB+OC-2OA\,則ABC的形狀為()

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

【答案】B

【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，把給定的等式轉(zhuǎn)化為用含ABC的邊的向量等式，再由

模的意義即可得解.

【詳解】_A3C中，|0B-0C|=|08+0C-20A|o|CB|=|(08-0A)+(0C-0A)|

<=>|AB-AC|=|AB+AC\O(AB-AC)2=(AB+AC)2

22,22

<=>AB-2ABAC+AC=48+2ABAC+ACo4W=0

因AB與4c均為非零向量，則A8J.4C,即NBAC=90,.ABC是直角三角形.

故選：B

3.(2022?全國?高三專題練習(xí))己知點(diǎn)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且

0A1+BC2=OB2+CA1=OC'+AB2'則。一定為△48。的()

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【答案】C

【解析】利用向量的等式關(guān)系|OA『+WC『=|O8『+|CA[，=C^-BC2>

利用向量加減法運(yùn)算化簡得到CO=0,即證CO_LAB,再同理證得

OBYAC,OA1BC,即得。是..ABC的垂心.

【詳解】*|OA|2+|BC|2=\OB[+|CA|2\OAI2-|OBI2=\CAI2BCI2,

即OA-OB2=CA"-BC2.故(OA-OB)(OA+OB)=(CA-BC)(CA+BC),

ijlBA-(OA+OB)=(CA+CB)-BA,BA\OA+OB-CA-CB)=Q,

又CA=OA-OC，CB=OB-OC，

BA(OA+OB+CO-OA+CO-OB)=()BAC<?=0>COA.AB,

同理ACOB=O,8C04=O,即08_L4C,OA_LBC,所以。是.ABC的垂心.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

本題的解題關(guān)鍵在于將模的平方轉(zhuǎn)化成向量的平方，進(jìn)行向量的靈活運(yùn)算，才能證得垂直

關(guān)系，突破難點(diǎn).

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若。在ABC所在的平面內(nèi)，且滿足以下條件

ACABBCBA，CACB、

OA-=OB-=OC-0,則。是一/WC的（）

\AC\\AB\)、前一陷、畫一百,

A.垂心B.重心C.內(nèi)心D.夕卜心

【答案】C

【分析】江AR

而分別表示在邊AC和A8上的單位向量,可設(shè)為AC'和AB'

|AC|

ACAR

則AC-A*=B'C'，則當(dāng)。4T—r-r—I=0時(shí)，即0AJ.8'C'，

AC\AB

點(diǎn)。在的角平分線上，同理證明即可求解.

ACAB

【詳解】分別表示在邊AC和A3上的單位向量，可設(shè)為AC和，

\AC\'\^\、

ACAR

則AC'-AB'=B'C'，則當(dāng)。A1~~I-i?=0時(shí)，即。4_LBV，點(diǎn)。在/fiAC的角平分

ACd\AB\

線上;

BCBA

分別表示在邊3c和BA上的單位向量，可設(shè)為BC和BA'，

\BC\BA\

\

則8C—8H=AC'，則當(dāng)器-/=。時(shí)，即OB_LAC>,

BA\

7

點(diǎn)。在ZABC的角平分線上;

耳，0?分別表示在邊C4和CB上的單位向量，可設(shè)為CA和CB，,

\CA\\CB\

則CW-CB'=8'A，則當(dāng)。。與一器=0時(shí)，即OCJ.B'A，

\CcACB\

點(diǎn)。在/ACB的角平分線上，故。是工A3C的內(nèi)心.

故選：C.

二、多選題

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）點(diǎn)。在△A8C所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）

uunuir

A.若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+；l(2>0),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過

△ABC的垂心:

UUIUuuiuuuuu

uirACuunBC

B.若08?(沖防jtarp-0則點(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心;

ACSC

C.若（0A+08）48=（08+OC>8C=0,則點(diǎn)0為4ABC的外心；

/uunuuu、

uunuurAD4r

D.若動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+；l-H?------+-WHH--a>0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過

kIAB|cosB|AC|cosC,

△ABC的重心.

【答案】BC

【分析】A由正弦定理知|AB|sinB=|AC|sinC=nz,且OP-QA=AP，代入已知等式得

AB+AC=mAP，即知P的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；B、C分別假設(shè)。為△A8C的內(nèi)心、

外心，利用向量的幾何圖形中的關(guān)系，及向量的運(yùn)算律和數(shù)量積判斷條件是否成立即可；

D由OP_04=AP，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及向量數(shù)量積的幾何意義求的值，即知戶

的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；

【詳解】A：由正弦定理知|A8|sin8=|4C|sinC=〃z,VHOP-OA=AP，所以

AB+AC=mAP>即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過^ABC的重心，故錯(cuò)誤.

OA-ACOA-AR

B：若。為△ABC的內(nèi)心，如下圖示：-一-=-\AE\,同理上一~=~\AD\,

\AC\\AB\

LlllUuuuuuuuuUUuuu

UUI1

A-3\、OA，11^E，ACOA^ABuun

.-.3AK4￡|-IUlflII/_titutt央*2=|AD|-|AE|=0

kl網(wǎng)|AC||AB|

uuuUUULU1uuuuuuuu

uimBCBA、OB犀CC>f>04uunuun

TtitrT)=”utB-tar^=\BD\-\BF\=0故正確;

\BC\54\BC\IBA|

C：若。為△ABC的外心，2E分別為AB,BC的中點(diǎn)，則04+08=200,而

ODAB=0>同理OB+OC=2OE，又OEBC=0，故

(OA+OB)AB=(OB+OC)BC=0,正確；

空J(rèn)ACBC

D：由OP_O4=AP,故APBC"=/t(-|BC|+|BC|)=0,即

JAB|cosB|AC|cosC?

AP1BC＞動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過44BC的垂心，錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用已知等量關(guān)系，結(jié)合向量的運(yùn)算律、數(shù)量積的值判斷向量過三

角形的何種心，或假設(shè)。為△ABC的內(nèi)心、外心，再應(yīng)用幾何圖形中相關(guān)線段所表示的向

量，結(jié)合向量的線性關(guān)系及數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷條件是否成立.

6.（2020.全國?高三專題練習(xí)）已知AABC是邊長為2的等邊三角形，D,E分別是AC、

uuuuuu

AB上的兩點(diǎn)，且AE=EB，AD=1DC-BD與CE交于點(diǎn)0,則下列說法正確的是

()

A.ABCE=-\B.OE+OC=O

C.\OA+OB+OC\=—D.E。在BC方向上的投影為:

II26

【答案】BCD

【分析】以E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可.

【詳解】由題E為A8中點(diǎn)，則

以E為原點(diǎn)，EA,EC分別為x軸，y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

所以，E(O,O),A(1,O),B(-1,O),C(O,G),叫竽),

所以丫-手=-卜，解得：y=與,

即。是CE中點(diǎn)，OE+OC=0，所以選項(xiàng)B正確：

\pA+OB+0C\=|2O￡+0C|=|。@=#，所以選項(xiàng)C正確;

因?yàn)镃E_ZAB,ABCE=O＜所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

如《，￥），

8c=(1,揚(yáng)，

E。在BC方向上的投影為半%=匚=2,所以選項(xiàng)D正確.

\BC\26

故選：BCD

【點(diǎn)睛】此題考查平面向量基本運(yùn)算，可以選取一組基底表示出所求向量的關(guān)系，對于特

殊圖形可以考慮在適當(dāng)位置建立直角坐標(biāo)系，利于計(jì)算.

三、填空題

7.（2021秋?河南新鄉(xiāng)鬲三?？茧A段練習(xí)）已知直線y=2x+2與拋物線產(chǎn)加（〃>0）交于

P,Q兩點(diǎn)，過線段尸2的中點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)4,若|AP+AQ卜,尸-4。|,

則"=.

【答案】2

【分析】根據(jù)卜/5+4。|=,「-4。|得出4尸，4。，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)A的坐

標(biāo)，即可根據(jù)垂直得到的斜率乘積為-1,列出式子代入求解即可.

【詳解】聯(lián)立方程組>0）,消去y得：依2-2X一2=0（。>0）,

設(shè)P（±,y）,Q（x2,y2）,

n,22

則玉+W=—,XjX=----，

a2a

則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)》=七逗=：，則縱坐標(biāo)為>=即點(diǎn)A的坐標(biāo)為

2222

/.AP+AQ+2APAQ=AP+AQ—2APAQ，

/.APAQ=（）f

APYAQ,

11

乂一一必——\]2

「?y-Xf"=T，即一7（芭+》2）+乂%—'（y+%）+/=0，

yxy2=（2%+2）（2巧+2）=4%/+4（%+々）+4，

y,+y2=（2%+2）+（2&+2）=2（玉+/）+4,

5X|X9+（4—]（玉+xj+4----1——=0,

102/3、421

即__+-4-4-4—+—=0,解得〃=2或（舍）

aa\a）aa2

故答案為：2.

四、解答題

8.（2022秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOx中，已知點(diǎn)*2,0）,直線

/：x=g,點(diǎn)〃到直線/的距離為d,若點(diǎn)"滿足|M月=2",記M的軌跡為C.

（1）求C的方程；

⑵過點(diǎn)產(chǎn)且斜率不為零的直線"，與C交于P,Q兩點(diǎn)，設(shè)A（-LO）,證明：APYAQ.

2

【答案】⑴爐-匕=1

3

（2）證明見解析

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)M（x,y）,由點(diǎn)線距離、兩點(diǎn)距離建立方程|MP|=2d,化簡整理即可；

（2）設(shè)直線”的方程為》=）+2,尸（西,乂）,。（吃,必），可得AP,A。，聯(lián)立直線，〃及C的方

程，結(jié)合韋達(dá)定理通過ARAQ=O證明垂直即可

（1）

設(shè)點(diǎn)則4=尸|=J（x-21+y2,

由|用q="得：J（x—2）2+y，=2x-g,兩邊平方整理得3372=3,

則所求曲線C的方程為V-￡=1.

3

（2）

設(shè)直線用的方程為x=9+2,網(wǎng)玉,y）,%，

聯(lián)立方程j3,消去龍并整理得（3產(chǎn)-1）y?+⑵>+9=0,,

因?yàn)橹本€機(jī)與C交于兩點(diǎn)，故/二土立，此時(shí)A=（12f）2-4（3*-1）.9=36（/+1）>0,

\2t9h

所CCI1以I,+%=一記:，乂％=鏟口，而

玉+々=《乂+%）+4,%芻=（》+2）（必+2）=+%）+&

又AP=（X|+1,弘）,4。=（々+1,%），

所以AP-AQ=（N+1乂々+1）+R，2=+玉+々+xixi+1

=（廣+13%+3心+%）+9=雪攔-挈-+9=無2辿+9=0.

\八）3/2-13/一13產(chǎn)一1

所以AP_LAQ.

9.（2021?全國?高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2=4x,A（1,2）,8（"?,0）,其中〃?>0,過8

的直線/交拋物線C于M,N.

（1）當(dāng)機(jī)=5,且直線/垂直于x軸時(shí)，求證：AAMN為直角三角形；

（2）若0P=04+0B，當(dāng)點(diǎn)P在直線/上時(shí)，求實(shí)數(shù)機(jī)，使得AMLAN.

【答案】（1）證明見解析；（2）m=6.

【分析】（1）由題設(shè)可得M（5,2石），M5,—2石），利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求

AM-AN，即可證△AA/N為直角三角形；

7，

（2）由題意，設(shè)/：），=2（x—〃?），M（%,y）,N（五,力）,聯(lián)立拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理求

44

9+”、〃”，再由垂直知AMYN=O,應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于"z的方程，

即可求得使AM-LAN成立的值.

【詳解】（1）證明：由題意，/：x=5,代入V=4x中，解得尸士2石，

不妨取”（5,2石），N（5,一2際），則AM=（4,2君-2）,4N=（4,-2君-2）,

/.AM-A/V=（4,2>/5-2）-（4,-2^5-2）=16-（20-4）=0,

：.AM±AN,即AAMN為直角三角形，得證.

（2）由題意，四邊形OAP8為平行四邊形，貝A8P=kOA=2,

設(shè)直線/：y=2（x—m）,吟,%），聯(lián)立）得y2—2y—4成=0,

由題意，判別式A=4+16m>0,y/+”=2,>/”=一4"?,

'JAMLAN,則4M-AN=0，又AM=目-l,y-2）,AN=5一1,必-2）,

:.(^--l)(^--l)+(y,-2)(y2-2)=0,化簡得(y/+2)(”+2)+16=0,即.”+2。/+卜2)+

20=0,

A24-4/77=0,解得〃?=6,故〃2=6時(shí)，有AM_LAN.

10.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，正方形ABCD的邊長為a,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是

BC的中點(diǎn)，求證：DE±AF.

【答案】證明見解析

【分析】利用平面向量加法、數(shù)乘的幾何意義有OE-AF=（OA+；48）.（A8+;A。），根

據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，線段的位置、數(shù)量關(guān)系可得QE-AF=O,即可證結(jié)論.

【詳解】vDEAF^（DA+-AB）.（AB+-AD）^^AB2--^AD2+-ADAB+DAAB,

22//4

而AO_LAB,AO=AB,

DEAF=0，

DE-i-AF<BPDE±AF.

11.（2022.湖北黃岡.黃岡中學(xué)校考二模）動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)RO,1）的距離比它到直線y=-2的

距離小1,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C,過點(diǎn)F的直線交曲線C于A、8兩個(gè)不同的點(diǎn)，過

點(diǎn)A、8分別作曲線C的切線，且二者相交于點(diǎn)M.

⑴求曲線C的方程；

（2）求證：ABMF=O;

（3）求4的面積的最小值.

【答案】⑴d=4y；

（2）見解析；

（3）4.

【分析】（1）利用定義判斷出曲線C為拋物線；

（2）設(shè)出點(diǎn)AB的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)分別求出過點(diǎn)A,B的切線方程，求出交點(diǎn)M的坐標(biāo)為

（土產(chǎn)，牛〕，聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理算出從而得到

[24）（XAXB=-4

M（2Z,—1）,利用向量可以計(jì)算48g=2%（4一4）—2%（/—5）=0,所以

（3）利用焦半徑公式和點(diǎn)到直線的距離可以求得5=4（1+二）；，從而求得面積的最小值為

4.

【詳解】（1）解：由已知，動(dòng)點(diǎn)尸在直線產(chǎn)-2上方，

條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)/（0,1）的距離等于它到直線y=-1距離，

...動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以尸(0,1)為焦點(diǎn)，直線y=T為準(zhǔn)線的拋物線,

故其方程為V=4y.

(2)證：設(shè)直線A8的方程為：y^kx+\,

X2=4y

由＜得:

y=fcr+l

x2-4fcc-4=0，

設(shè)4(/，%)，8(/，%)，

則4+/=44,XAXB=-4.

由/=4y得：

12

y=-x,

4

,1

???y=2Xf

直線AM的方程為：=(X“(X-XA)①，

直線BM的方程為：尸%/=白8(?-4)②，

①一②消y得：

；(xj-X；)=g(4-/)》+；卜j-X；卜

即X=XA+%=2k,

2

將%=%|&代入①得：

121-XA112

y~4XA=2XA^^=4XAXB~4XA,

1,

故M(2匕-1),

MF=(-2/,2),A8=(xp_XA,Z(Xg-x.))

AB-MF=2A:(XB-XA)-2Z:(XB-XA)=0,

AB1.MF-

(3)解：由(2)知，點(diǎn)M到A8的距離d=|MF|=2yli+公,

2

\AB\=\AF\+\BF\=yA+yB+2=k(xA+xB)+4=4k+4,

11/J

.1.S=-|AB|^=-X4（A:2+1）X2V1+F=4（1+A:2）2>4,

...當(dāng)々=0時(shí)，的面積有最小值4.

【點(diǎn)睛】形如x2=2py（p>0）的拋物線，考慮其切線時(shí)可以利用導(dǎo)數(shù)去討論.

題型二：用向量解決夾角問題

一、單選題

1.（2020?全國?高三專題練習(xí)）在A5C中，角ABC的對邊分別為a,b,c,已知

c=2后，J.2dfsinCcosB=?sinA-/?sinB+—Z?sinC,點(diǎn)。滿足OA+O8+OC=0，

2

3

cosZC4O=-,則-A3c的面積為

8

A.半B.3石C.5&D.V55

【答案】D

【分析】運(yùn)用正弦定理和余弦定理將角統(tǒng)一成邊，再利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角形的面

積公式結(jié)合求解.

【詳解】由2asinCcosB=asinA—bsinB+^-bsinC.

2

可得2“cx"―+'———=a2-b2+^-bc>即c=又c=2石，所以b=4.

2ac22

因?yàn)椤?+OB+OC=0，所以點(diǎn)。為-ABC的重心，

所以AB+AC=3AO，所以A8=3AO—AC，

兩邊平方得|AB『=9|4O『-61AO|IAC|cosZCAO+1ACI2.

因?yàn)閏osNC4O=|,所以|AB『=9|AOF-6|AC>||Ac|x|+|AC|2,

于是91Aoi2-9,0卜4=0,所以|AO|=g,

oAOC的面積為gx|AO|x|AC卜sinNG4O=〈xgx4x=~^~'

因?yàn)锳fiC的面積是:AOC面積的3倍.故./IBC的面積為屈

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于運(yùn)用向量的平方可以轉(zhuǎn)化到向量的夾角的關(guān)系，再與三角形的面積

公式相結(jié)合求解，屬于難度題.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在AABC中，"ABBC<0”是“AABC為鈍角三角形”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】利用充分、必要性的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及鈍角三角形的性質(zhì)判斷題設(shè)

條件間的推出關(guān)系，即可知答案.

【詳解】由48BC=-8ABC=-|BA||BC|cosB<0,即cos8>0,又0<8<乃，

TT

所以0<8<],不能推出△ABC為鈍角三角形，充分性不成立；

△A8C為鈍角三角形時(shí)，若則A8BC=-B48C=-|BA||BC|cosB>0,不能

推出A"8C<0，必要性不成立.

所以“ABBC<0”是"△ABC為鈍角三角形”的既不充分也不必要條件.

故選：D

二、填空題

3.(2021秋?山東泰安?高三?？茧A段練習(xí))己知向量。=(4,2),6=(41),若。+勸與

人的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)2的取值范圍為.

【答案】(1一日,2)(2,1+而)

【分析】先求出”+2〃與a-匕的坐標(biāo)，再根據(jù)〃+2b與4-方夾角是銳角，則它們的數(shù)量積

為正值，且它們不共線，求出實(shí)數(shù)2的取值范圍，.

【詳解】向量。=(4,2),*=(2,1),，“+26=(4+22,4),?-/>=(4-2,1),

若4+2。與4-的夾角是銳角，則4+2/?與d不共線，且它們乘積為正值，

即^￥工3,K(?+26).(?-/7)=(4+2/l,4).(4-/l,l)=20+42-222>0,

4-21''')

求得1-?</1<1+而，且4*2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用向量的數(shù)量積解決向量夾角有關(guān)的問題，以及數(shù)量積的坐標(biāo)表

示，向量平行的條件等.條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

4.(2022春?安徽滁州?高三?？茧A段練習(xí))已知“，b，c均為單位向量，且

3a+26-3c=0，則a與匕夾角的余弦值為.

【答案】-；

【分析】利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量夾角的余弦值.

【詳解】解：由題意得：

3〃+2〃-3c=0

3。+2b=3c

（3a+=（3c）2,即（3“『+Q”+2.（3a）.（26）=（3c）?

.212-...2

9a+46+12。。=9。

Qa，b，c均為單位向量

22.2

/.a=b=c=1

\2ab-12p/|-|z>|cos<a,b>=-4,即cos<a,b>=_^

故答案為：-§

三、解答題

5.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在AA8C中，已知AB=2,AC=6近,

ZBAC=45°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P.

B

(1)求Zft4M的正弦值；

(2)求/MPN的余弦值.

【答案】(嗎3

13M

⑷---------

50

【分析】(1)解法1、由余弦定理求得8c=2萬，得到BM=CM=g8C=>AI,分別在

和△ACM,求得cos/BMA和cos/CMA,結(jié)合NBMA和NCM4互補(bǔ)，求得

A"=5,再在中，求得cosNBAW,即可求解；

uuur1zUiuion、

解法2、由題意，求得AbAC=12，根據(jù)AM=5(48+ACj,結(jié)合,ABM的面積為"IBC

面積的列出方程，即可求解；

(2)解法I、由余弦定理求得用V=而，得到8尸=率，4尸=￥，在中，由余

弦定理求得cosNAP8="叵，即可求解；

50

又由4MPN=ZAPB,所以cosZ.MPN=cosZ.APB=1

50

解法2、由BN=-AB+gAC,求得心M=而，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（1）解：解法1、由余弦定理得BC?=AB2+AC2-AB-AC-COSNBAC,

BPBC2=22+（6V2）2-2X2X6>/2X^=52,所以BC=2后,

所以BM=CM」BC=V^,

2

.4皿-BM2+AM2-AB2AM2+9

在二謝中，由余弦定理，得cos血A=2BMSM=而獷

在“皿中，由余弦定理，得cosNCMA=CM；；優(yōu)丁C?=*一59,

ZBMA與NCM4互補(bǔ)，則cosNBA14+cosNCM4=0,解得AM=5,

在2ABA/中，由余弦定理，得cosNBAM='*4"二叫：=）,

2ABAM5

因?yàn)?84Mw（0弓），所以sinN84A/=Jl-cos?NBAM=1.

解法2、由題意可得，AB.AC=|AB|x|AC|xcos45o=12,

由AM為邊8c上的中線，則AM=/（A8+AC）,

兩邊同時(shí)平方得，AM2=-AB2+-AC2+-AB-AC=25,故碗|=5,

44211

因?yàn)镸為BC邊中點(diǎn)，則.4加的面積為—A8C面積的

所以河xsin/BAM=」xLABxACxsin/BAC,

222

g|Jx2x5xsinZ.BAM=；x；x2x6拒xsin45°,

3

化簡得，sinZBAM=-.

(2)解：方法1、在.A8V中，由余弦定理，得BN?=AB2+AN2-2A9AN2.COS45。,

所以用V=廂,

由AM,BN分別為邊BC,AC上的中線可知P為重心，

可得BP=2BN=^^,AP=-AM=—,

3333

在4ABp中，由余弦定理，得cosNAPB=0A-+PB-AB：=

2PAPB50

又由NMPN=ZAPB,所以cos/MPN=cos/APB=

50

解法2：

因?yàn)?N為邊AC上的中線，所以5N=R4+AN=—A3+LAC,

2

AMBN=-(AB^AC\\-AB^-AC\=--AB"--ABAC+-AC1=\?>.

2、/I2J244

-22

BN-AB+,AC]=AB-ABAC+-AC=\O,即網(wǎng)=M.

2)4

AMBN1313V10

所以cosZ.MPN=

5x71050-

題型三：用向量解決線段的長度問題

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知_"C的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為mb,c,且

C=60°,a=3,S~BC=今亙，則45邊上的中線長為（）

497

A.49B.7C.—D.-

42

【答案】D

【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得b,根據(jù)余弦定理即可求得J結(jié)合中線

的向量表達(dá)即可求得中線長度.

【詳解】因?yàn)镾ABc=L^sinC=Lx3xbx3=A叵，故可得6=5,

2224

根據(jù)余弦定理可得/=合+〃一2McosC=19,故c=M,

不妨取A3中點(diǎn)為M,故CM=；（CA+C8）,

i^|CA7|=1^CA|2+|c?|2+2|CA||CB|cosC=^25+9+2x5x3x1=1.

7

即A8邊上的中線長為

故選：D.

2.（2021?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛xn｝的各項(xiàng)都為正數(shù)且xl=l.4ABC內(nèi)的點(diǎn)Pn

（n￡N*）均滿足△PnAB與△PnAC的面積比為2：1,若5A+Jxn+1月8+（2xn+l）

PnC=0,則x4的值為

A.15B.17C.29D.31

【答案】A

【分析】將條件變形為e,A+（2x“+l）eC=-gx“+/,B,設(shè)匕。=（2x“+l）QC，畫出圖形后

利用三角形面積的關(guān)系得到數(shù)列遞推式，然后構(gòu)造等比數(shù)列得答案.

【詳解】由4A+1",B+（2x“+l皤C=0,得KA+（2x“+l）BC=-1".B,

設(shè)勺。=（2/+1）匕。，延長8勺至⑻，使BPn=PnBl,貝ij..日兇3與,.Q出陰的面積相等，

以線段24巴。為鄰邊作出平行四邊形AE￡）E,,如圖，

則匕A+4Q=《E=—；x,"/,8,

.歐=4

.例2"+，

?SpnAE-X〃+l

,.二F

又生有1_

2^71

PnDAE

qqi

.-PMC=°=PnAC_工

SPnADSPtlAE1+2xn

則_1

人匕,2（l+2x?）=2'

即x“+尸2x“+1,

?*,Xn+i+1=2（X?+1）,

???數(shù)列｛x.+l｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,

3

x4+1=2x2=16,

??乙=15.

故選A.

【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件構(gòu)造平行四邊形，從形的角度考慮向量問題，然后根

據(jù)三角形的面積得到數(shù)列的遞推公式，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.題目有一定的難度，考查分析

問題、解決問題和轉(zhuǎn)化能力，較好地考查學(xué)生的綜合素質(zhì).

3.（2021?云南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知共面向量滿足同=3,"c=2a,且忖=%一目.若對

每一個(gè)確定的向量6,記卜-回（/€氏）的最小值為4“加，則當(dāng)b變化時(shí)，411kl的最大值為

4

A.-B.2C.4D.6

3

【答案】B

【分析】作出平面向量的兒何表示，用|切表示出4”,“即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)OA=n，OB=b，OC=c，以。8,OC為鄰邊作平行四邊形O80C,

由題意可知00=204，04=3,

\h\=\h-c\,:.OB=BC,:.AB=-0B,

2

過8作BE，OO,則Ib-sI。eR）的最小值為%“=BE,

20加jQ

設(shè)08=〃?，ZAOB^a,則-'"十丁_丁十，

vUoCc?——;

2x/wx36m

Q2a

J36m2-（—+9）2J-<-m2-15）2+144

BE=OBsina=加J-----------------------=--------------------?2'

6m6

故選：B.

D

0B

二、填空題

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是二ABC的重心.過點(diǎn)G的

UUUUUU

直線/與線段A8交于點(diǎn)。，與線段AC交于點(diǎn)￡設(shè)AO=/M8，AE=〃AC,貝ij

I+;VADE與一ABC周長之比的取值范圍為__________.

X〃

?2、r~21V3-

【答案】3T?-+—

32o

【分析】連接AG并延長，交BC于F,可得A/=；（AB+4C）,變形可得

AG=J7AO+J-AE,根據(jù)。、G、E三點(diǎn)共線，即可得答案；設(shè)一"C的邊長為1,設(shè)

C.c,2+z/I。4DE

V3與周長之比U，可得?=—+根據(jù)余弦定理，可求得——表達(dá)

c2C233\AB\AB

式，代入可得今="，+J力〃2-華，根據(jù)人〃的范圍，可得的范圍，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合

的范圍，即可得答案.

【詳解】連接AG并延長，交8c于F,如圖所示

由題意得，尸為BC中點(diǎn)，

所以AF=g（A3+AC）,

又G為重心，所以AF=|AG,

所以。AG=〈（AB+AC）=±AO+；AE,即4G=JAD+JAE,

22,7222//323〃

因?yàn)椤?、G、E三點(diǎn)共線，

所以導(dǎo)》即J+，=3

X〃

設(shè)_ABC的邊長為1,設(shè)VADE與_ABC周長之比g,

J2

GJ阿卜”AC|+怛目/+〃

則

c2_3\AB\_33\AB\

A2|A5|2+//2|AC|2-|D￡|2

在VAOE中，由余弦定理得cosA=

22|AB|-//|/1C|2

DE

所以|。目2=（42+〃2_4"）,耳2,即=J[?+〃2一沏,

AB

。23

由(1)可得:+)=3，即4+〃=3"代入上式，可得a=2v

由題意得0＜，41，0＜〃41,

所以1

Xu.

\巾=-----

又〃=士，所以32-11_3

J1

A—1~2

141

因?yàn)樗匀?2〃4—，

_*則/⑺=1+廿=>(),

41

所以/⑺在上為增函數(shù)，

72.

所以/Q)e14+2T，

j2o

所以VAOE與工ABC周長之比的取值范圍為坐

【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的線性運(yùn)算法則，三點(diǎn)共線定理等知識(shí)，并靈活應(yīng)

用，難點(diǎn)在于將周長比轉(zhuǎn)化為4〃的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可得答

案，屬中檔題.

5.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖，等腰三角形ABC,AB=AC=2,

ZBAC=nO0.E,尸分別為邊A8,AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=〃MB，AF=nAC＞其

中m,?€(0,1),m+n=l,M,N分別是EF,8c的中點(diǎn)，貝力的|的最小值為.

【答案】|

【解析】根據(jù)條件便可得到MV=g(l-M/W+；(l-“)AC,然后兩邊平方即可得出

MN1=(l-m)2+(l-n)2-(1-m)(l-n)，而由條件〃=1一加，代入上式即可得出

W=3m2-3m+l，從而配方即可求出MN?的最小值，進(jìn)而得出I"N|的最小值.

【詳解】解：MN=AN-AM

=-(AB+AC)--(mAB+nAC)

22<

=-(l-/M)^B+-(l-n)AC

22

21,21,21

:.MN+-(1-/?)2AC+—(1一m)(1一〃)A&AC

442

=(1-m)2+(1-n)2-(1-附(1-ri)；

m+n=\,:.n=\-m,代入上式得：

.2

MN=(1-m)2+AM2+(1-tn)m

=3機(jī)2—+1

=3(機(jī)一；

加￡(0,1)；

1)1

二.時(shí)，MAT取最小值1；

的最小值為

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，

以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，配方求二次函數(shù)最值的方法.

三、解答題

6.(2023秋?吉林長春?高三長春市第二中學(xué)?？计谀?在“MC中，內(nèi)角4B,C的對邊分

別為a,b,c,c=2b,2sirb4=3sin2C.

(1)求5后。；

(2)若的面積為次2,求AB邊上的中線CO的長.

2

【答案】⑴丑

4

⑵萬

【分析】(1)利用二倍角公式，結(jié)合正弦定理、余弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式即可求出

結(jié)果；

(2)利用三角形面積公式，及(1)的相關(guān)結(jié)論，再結(jié)合平面向量的四邊形法則，利用向

量的線性表示出C。，最后利用求模公式即可求A8邊上的中線的長.

【詳解】(1)因?yàn)?sinA=3sin2C,

所以2sia4=6sinCcosC,

所以2a=6ccosC,

即。=3ccosC,

所以cosC=9,

3c