專題06 圓（學生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學暑期銜接講義

專題06圓【知識點梳理】知識點1：直線與圓的位置關系設有直線和圓心為且半徑為的圓，怎樣判斷直線和圓的位置關系？圖1觀察圖1，不難發(fā)現(xiàn)直線與圓的位置關系為：當圓心到直線的距離時，直線和圓相離，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相切，如圓與直線；當圓心到直線的距離時，直線和圓相交，如圓與直線.圖2在直線與圓相交時，設兩個交點分別為A、B.若直線經過圓心，則AB為直徑；若直線不經過圓心，如圖2，連結圓心和弦的中點的線段垂直于這條弦.且在中，為圓的半徑，為圓心到直線的距離，為弦長的一半，根據(jù)勾股定理，有.圖3當直線與圓相切時，如圖3，為圓的切線，可得，，且在中，.圖4如圖4，為圓的切線，為圓的割線，我們可以證得，因而.知識點2：點的軌跡在幾何中，點的軌跡就是點按照某個條件運動形成的圖形，它是符合某個條件的所有點組成的.例如，把長度為的線段的一個端點固定，另一個端點繞這個定點旋轉一周就得到一個圓，這個圓上的每一個點到定點的距離都等于；同時，到定點的距離等于的所有點都在這個圓上.這個圓就叫做到定點的距離等于定長的點的軌跡.我們把符合某一條件的所有的點組成的圖形，叫做符合這個條件的點的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都滿足條件；(2)圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上.下面，我們討論一些常見的平面內的點的軌跡.從上面對圓的討論，可以得出：到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心，定長為半徑的圓.我們學過，線段垂直平分線上的每一點，和線段兩個端點的距離相等；反過來，和線段兩個端點的距離相等的點，都在這條線段的垂直平分線上.所以有下面的軌跡：和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是這條線段的垂直平分線.由角平分線性質定理和它的逆定理，同樣可以得到另一個軌跡：到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線.【題型歸納目錄】題型一：直線與圓的位置關系題型二：點的軌跡【典例例題】題型一：直線與圓的位置關系例1．(2023·安徽宿州·?？家荒?如圖，在中，，以為直徑作，在上取一點，使，過點作，交的延長線于點，交的延長線于點．(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長．例2．(2023·浙江湖州·模擬預測)如圖，是的直徑，C，D都是上的點，平分，過點D作的垂線交的延長線于點E，交的延長線于點F．

(1)求證：是的切線；(2)若，求的值．例3．(2023·新疆喀什·統(tǒng)考三模)如圖，是的直徑，C是上一點，過點C作的切線，于點D，延長交于點E，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的半徑長．變式1．(2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測)如圖，內接于，是的直徑，過上的點作，交的延長線于點，交于點，過點作的切線交于點．

(1)求證：；(2)若的半徑為，，，求的長．變式2．(2023·河南商丘·統(tǒng)考三模)如圖，中，，點為上一點，以點為圓心，以為半徑的切于點，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的長．變式3．(2023·廣東珠海·珠海市紫荊中學?？既?如圖，在中，，點D為邊的中點，以為直徑作，分別與交于點E、F，過點E作于G．

(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為5，求的長．變式4．(2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模)如圖，要把殘缺的圓片復原，可通過找到圓心的方法進行復原，已知弧上的三點A，B，C．

(1)用尺規(guī)作圖法，找出弧所在圓的圓心O；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在中，連接交于點E，連接，當時，求圖片的半徑R；(3)若直線l到圓心的距離等于，則直線l與圓________(填“相交”“相切”或“相離”)變式5．(2023·遼寧營口·統(tǒng)考二模)如圖，內接于，是的直徑，弦交于點E，連接．過點B作的切線，交延長線于點N．過點D作于點G，交于點F．

(1)若，求證：；(2)在(1)的條件下，若，，求的半徑．變式6．(2023·浙江舟山·統(tǒng)考三模)如圖1，在中，直徑于點F，點E為上一點，點C為弧的中點，連接，交于點G．

(1)求證：；(2)如圖2，過點C作的切線交BA的延長線于點Q，若，，求的長度；(3)在(2)的基礎上，點P為上任一點，連接，的比值是否發(fā)生改變？若不變，求出比值；若變化，說明變化規(guī)律．題型二：點的軌跡例4．(2023·河南鄭州·河南省實驗中學校考三模)綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學活動．

(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中與的數(shù)量關系：______．(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點，請求出的值，并說明理由；(3)拓展應用如圖3，已知正方形紙片的邊長為，動點由點向終點做勻速運動，動點由點向終點做勻速運動，動點、同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點，連接，則線段長度的最小值為______，點的運動軌跡的長為______．(直接寫出答案不必說明理由)例5．(2023·河北邯鄲·校考三模)數(shù)學興趣小組探究平面內橫、縱坐標滿足特定關系的動點的運動軌跡問題：(1)組長提出問題：動點隨著t的變化形成的運動軌跡是什么?甲同學的思考：t取3個特殊值得到3個點坐標，發(fā)現(xiàn)3點在一條直線上，可以利用待定系數(shù)法求出該直線的表達式；乙同學的思考：令，，通過消去t得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系式．______(填甲或乙)同學的方法更嚴謹，點運動軌跡的函數(shù)表達式為______；(2)如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，Q為坐標系內一點且，點M從點A出發(fā)以每秒8個單位的速度沿x軸向左運動，同時點N從點O出發(fā)以每秒6個單位的速度沿y軸向上運動，點P是MN的中點，設運動時間為t.求點P的運動軌跡的函數(shù)表達式，并計算當時PQ的最小值；(3)老師給出坐標平面內兩個動點：，.丙學說：點T、K的運動軌跡都是直線；丁同學說：點T、K在運動過程中不可能重合；請你判斷兩人結論是否正確并說明理由．例6．(2023·河南·河南省實驗中學?？既?綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形與垂直”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷如圖1，正方形紙片，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點．根據(jù)以上操作，請直接寫出圖1中與的數(shù)量關系：______．

(2)遷移探究小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：如圖2，在矩形紙片中，，在邊上任意取一點，連接，過點作于點，與邊交于點，請求出的值，并說明理由．

(3)拓展應用如圖3，已知正方形紙片的邊長為2，動點由點向終點做勻速運動，動點由點向終點做勻速運動，動點、同時開始運動，且速度相同，連接、，交于點，連接，則線段長度的最小值為______，點的運動軌跡的長為______．(直接寫出答案不必說明理由)

變式7．(2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模)“垃圾入桶，保護環(huán)境從我做起”，如圖所示的是某款垃圾桶側面展示圖，，，桶蓋可以繞點G逆時針方向旋轉，當旋轉角為時，桶蓋落在的位置．(1)求在桶蓋旋轉過程中，點C運動軌跡的長度．(2)求點到地面的距離．(參考數(shù)據(jù)：)變式8．(2023·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末)如圖，拋物線的圖象與x軸交于點、與y軸交于點C，頂點為D．以為直徑在x軸上方畫半圓交y軸于點E，圓心為I，P是半圓上一動點，連接，點Q為的中點．(1)試用含a的代數(shù)式表示c；(2)若恒成立，求出此時該拋物線解析式；(3)在(2)的條件下，當點Р沿半圓從點B運動至點A時，點Q的運動軌跡是什么，試求出它的路徑長．變式9．(2023·全國·九年級專題練習)“筒車”是一種以水流作動力，取水灌田的工具．明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了“筒車”的工作原理．如圖，“筒車”盛水筒的運行軌跡是以軸心O為圓心的圓，已知圓心始終在水面上方，且當圓被水面截得的弦為6米時，水面下盛水筒的最大深度為1米(即水面下方部分圓上一點距離水面的最大距離)．(1)求該圓的半徑；(2)若水面上漲導致圓被水面截得的弦從原來的6米變?yōu)?米時，則水面下盛水筒的最大深度為多少米？變式10．(2023·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學校考期末)如圖：在平面直角坐標系中，點A、B、C都在格點上(1)畫出關于原點對稱的，并寫出A、B、C三點關于原點對稱的坐標、、．(2)畫出繞原點O順時針方向旋轉90°得到的．并求點A運動到的軌跡的弧長．變式11．(2023·重慶梁平·九年級校聯(lián)考期中)已知：，點B為x軸上的一動點，過點B作x軸的垂線交的垂直平分線于點P．(1)請利用圖(1)進行探討：若點，則點P的坐標為___________；若點，則點P的坐標為___________；若點時，點P的坐標為___________；(2)設，請列出y關于x函數(shù)關系式，并在圖2中畫出點P的運動軌跡l．(3)圖2中，點，有動點G，；按下列要求作圖，軌跡l與直線相交于點A，B(A點在左)，點Q為線段的中點，連接，直接寫出線段的長度范圍．【過關測試】一、單選題1．(2023·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中)已知線段的中點為，動點滿足，則點的軌跡是(

)A．以為直徑的圓 B．的延長線 C．的垂直平分線 D．平行的直線2．(2023·甘肅蘭州·九年級校考階段練習)如圖，在矩形ABCD中，BC=2，將邊BC繞點C按順時針方向旋轉一定角度，點B剛好落在邊AD的中點E上，則點B的運動軌跡長為()A． B． C．π D．無法確定3．(2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測)如圖，點、、、在上，，，則點到的距離是()

A． B． C．2 D．34．(2023·貴州黔東南·統(tǒng)考二模)如圖，點A，B，C在上，若，則等于(

)

A．100° B．110° C．120° D．140°5．(2023·新疆烏魯木齊·?？级?如圖，四邊形內接于．連接，若，則(

)

A．150° B．140° C．130° D．120°6．(2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模)如圖，點是的內心，過點作分別交于點，已知的周長為8，，的周長為，則表示與的函數(shù)圖象大致是(

)

A．

B．

C．

D．

7．(2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模)如圖，的兩條角平分線相交于O點，，，點P，Q分別為AC，BC上的點，且，甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：；乙：四邊形OPCQ的面積是定值；丙：當時，的周長和面積均取得最小值．則下列說法正確的是(

)

A．甲正確，乙、丙錯誤 B．甲、乙正確，丙錯誤 C．甲錯誤，乙、丙正確 D．甲、乙、丙都正確8．(2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯(lián)考二模)在中，，以為直徑的與邊交于點D，點E在上，且，若，，則的半徑為(

)

A． B． C． D．9．(2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學?？级?如圖，在中，，點在邊上，過的內心作于點．若，，則的長為(

)

A．6 B．7 C．8 D．910．(2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模)如圖所示，內接于，點M為的內心，若，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．二、填空題11．(2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模)如圖，直線與相切于點，過圓上一點作的垂線，垂足為，垂線段交于另一點，已知半徑為3，，則弦的長為．

12．(2023·寧夏固原·?？级?如圖，直線是的切線，C為切點，交于點D，點E在上，連接，，，則的度數(shù)為_______．

13．(2023·貴州遵義·統(tǒng)考二模)已知內接于，它的內心為點D，連接交弦于點E，交于點F，已知，，，則線段的長為______．

14．(2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模)如圖，是內接四邊形的一個外角，若，則的大小為__________．

15．(2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模)如圖，在中，，，，以邊的中點O為圓心，作半圓與相切，點P，Q分別是邊(包括端點)和半圓上的動點，連接，則長的最大值與最小值的差是______．

三、解答題16．(2023·云南昆明·統(tǒng)考二模)矩形中，，點O是邊BC上的一個動點(不與點B重合)，連接，將沿折疊，得到，再以O為圓心，長為半徑作半圓，交射線于G，連接并處長交射線于F，連接，設．

(1)求證：是半圓O的切線；(2)當點E落在上時，求x的值；(3)當半圓O與的邊有兩個交點時，求x的取值范圍．17．(2023·陜西西安·西安市曲江第一中學?？寄M預測)如圖，是的外接圓，，過點作，交于點，交于點，過作的切線，與的延長線相交于點．

(1)求證：(2)若的半徑為2，，求的長．18．(2023·廣西梧州·統(tǒng)考二模)如圖，是的外接圓，是的直徑，與關于對稱，點C的對應點為點D，交于點E，連接交于點F．在C點作，交的延長線于點G．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，求的值．19．(2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預測)如圖，已知內接于，且是的直徑，

(1)實踐與操作：請用尺規(guī)作圖法作出的內心I；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標明字母)(2)推理與計算：連接并延長，與交于另一點D．若，，求的長．20．(2023·陜西西安·?？寄M預測)(1)問題提出：如圖1，N為正方形內一點，連接，，點M在延長線上，連接，，若，則°；(2)問題解決：參觀研學觀光園是近年來興起的一種研學旅行模式．如圖2所示的五邊形為某研學觀光園的規(guī)劃設計圖．其中，，