專題15 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（教師版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題15等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則(為正數(shù))、或(為負(fù)數(shù))三種情況有且只有一種成立.兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語言：；②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語言：； ③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語言：，.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③.對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立.知識(shí)點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系.它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù).知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：(1)對(duì)稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識(shí)點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù).知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則(實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性).一般選擇0或1為中間量.【題型歸納目錄】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)(式)的大小題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典例例題】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系例1．(2023·甘肅酒泉·高一統(tǒng)考期末)鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過，設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c(單位：cm)，這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為(

)A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【解析】由長、寬、高之和不超過130cm得，由體積不超過得.故選：C.例2．(2023·四川眉山·高一?？茧A段練習(xí))將一根長為的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為m，若兩段繩子長度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為(

)A． B．或C． D．【答案】D【解析】由題意,可知另一段繩子的長度為.因?yàn)閮啥卫K子長度之差不小于，所以，化簡得：.故選：D例3．(2023·西藏林芝·高一校考期中)下列說法正確的是(

)A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”【答案】B【解析】對(duì)于A，某人收入x不高于2000元可表示為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，變量y不超過a可表示為，B正確；對(duì)于C，變量x至少為a可表示為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，小明身高，小華身高，小明比小華矮表示為，D錯(cuò)誤.故選：B.變式1．(2023·黑龍江雙鴨山·高一?？计谥?完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工人，瓦工人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是，即.故選：D變式2．(2023·全國·高一專題練習(xí))在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)100米以外(含100米)為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x(單位：厘米)應(yīng)滿足的不等式為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知導(dǎo)火索的長度x(單位：厘米)，故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為秒，人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得．故選：B．變式3．(2023·安徽蚌埠·高一蚌埠二中?？奸_學(xué)考試)在數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是，點(diǎn)在表示和的兩點(diǎn)之間(包括這兩點(diǎn))移動(dòng)，點(diǎn)在表示和0的兩點(diǎn)(包括這兩點(diǎn))之間移動(dòng)，則以下四個(gè)代數(shù)式的值，可能比2021大的是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意.可知：而是負(fù)數(shù)，只有的值可以超過2021，如，故選：D.題型二：作差法、作商法比較兩數(shù)(式)的大小例4．(2023·高一課時(shí)練習(xí))比大?。篲____．【答案】>【解析】因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.例5．(2023·湖南郴州·高一?？茧A段練習(xí))已知，，則的大小關(guān)系是_______．【答案】【解析】由于，所以.故答案為：例6．(2023·四川成都·高一校考階段練習(xí))已知，，則與的大小關(guān)系為__________．【答案】/【解析】因?yàn)?，，所以，所?故答案為：變式4．(2023·吉林長春·高一?？茧A段練習(xí))設(shè)、為實(shí)數(shù)，比較兩式的值的大?。篲______(用符號(hào)或=填入劃線部分)．【答案】【解析】因?yàn)?，時(shí)等號(hào)成立，所以．故答案為：變式5．(2023·全國·高一專題練習(xí))，則的大小關(guān)系為_______．【答案】≥【解析】因?yàn)椋瑒t由所以故答案為：變式6．(2023·上海寶山·高一?？计谥?如果，，那么，，從小到大的順序是___________【答案】【解析】因?yàn)槿齻€(gè)式子很明顯都是負(fù)數(shù)，所以，所以；同理，所以。綜上：故答案為：題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例7．(多選題)(2023·高一單元測試)如果滿足，且，那么下列不等式中一定成立的是()A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由實(shí)數(shù)滿足，且，可得，對(duì)于A中，由，可得，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得，因?yàn)?，所以，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)，則，可得，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得，因?yàn)椋?，所以D正確.故選：ABD.例8．(多選題)(2023·全國·高一專題練習(xí))下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故A是假命題；對(duì)于B，若，則，，所以，故B是真命題；對(duì)于C，若，則，所以，故C是假命題；對(duì)于D，若，則成立，故D是真命題.故選：BD.例9．(多選題)(2023·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知∈R，則下列結(jié)論正確的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：因?yàn)椋?，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，兩邊同乘以得，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋?，所以，又，兩式相乘得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：,因?yàn)?，所?所以，所以，故D正確.故選：ABD變式7．(多選題)(2023·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí))下列不等式成立的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，則，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，則，所以，故D正確．故選：BD．變式8．(多選題)(2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中)若是不為0的實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是(

)A． B． C． D．【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，即，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；對(duì)于D，由可得或或，當(dāng)時(shí)，則，故，即，當(dāng)時(shí)，則，故，當(dāng)時(shí)，則，所以由可得，故D正確.故選：BD．變式9．(多選題)(2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末)若，，則下列不等式成立的是(

)A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，由，則，故A正確；對(duì)于B，，由，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，可得，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由，則，即，故D正確.故選：AD.題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例10．(2023·高一課時(shí)練習(xí))證明下列不等式：(1)已知，求證(2)已知，求證：．【解析】(1)證明：，，，，又因?yàn)?，即，所?(2)證明：，，；又，，；.例11．(2023·河北石家莊·高一校考期中)(1)比較與的大?。?2)已知，求證：；【解析】(1)，所以.(2)因?yàn)椋裕?，所以，?例12．(2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中)證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【解析】(1)證明：，因?yàn)椋?，所以，，又bd＞0，所以，，即.(2)證明：因?yàn)閍＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，成立；因?yàn)椋?，所以，，又，所以，成?所以，有.變式10．(2023·高一課時(shí)練習(xí))閱讀材料：(1)若，且，則有(2)若，則有．請(qǐng)依據(jù)以上材料解答問題：已知a，b，c是三角形的三邊，求證：．【解析】因?yàn)閍，b，c是三角形的三邊，則，由材料(1)知，，同理，，由材料(2)得：，所以原不等式成立.變式11．(2023·河北衡水·高一?？茧A段練習(xí))已知，，求，的取值范圍．【解析】因?yàn)?，所以?/p>

又，所以，即．

因?yàn)?，所以，因?yàn)椋裕?/p>

所以，即．

所以的取值范圍是，的取值范圍是．題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小例13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知，則下列結(jié)論不正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】∵a＞b，c＞d，∴a＋c＞b＋d，故A正確；∵a＞b＞0，c＞d＞0，∴ac＞bd，故B正確；取，則，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；∵c＞d＞0，則，又a＞b＞0，則，故D正確．故選：C．例14．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，C，令，滿足，而，，AC錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：D例15．(2023·廣東深圳·高一深圳外國語學(xué)校?？计谥?設(shè)、、為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?、、為?shí)數(shù)，且，所以，，，，故A錯(cuò)誤，D正確；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；故選：D變式12．(2023·福建泉州·高一?？计谥?若，一定成立的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】若，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故BC錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.故選：A.變式13．(2023·全國·高一專題練習(xí))已知，且，則下列結(jié)論中正確的是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由，且，可得，A正確；取，滿足條件，但，B錯(cuò)誤；取，滿足條件，但，，C，D錯(cuò)誤；故選：A變式14．(2023·安徽合肥·高一校考期末)下列命題為真命題的是()A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于A，若，則，當(dāng)時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，所以，則，故B正確；對(duì)于C，若，則，取，計(jì)算知不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，取，計(jì)算知不成立，故D錯(cuò)誤.故選：B.題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例16．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由題意，在中，∵，∴，解得：，故答案為：.例17．(2023·江西贛州·高一上猶中學(xué)?？贾軠y)若α，β滿足，則的取值范圍是______________【答案】【解析】因?yàn)?，所以，，∴，又，∴．故答案為：?8．(2023·貴州貴陽·高一校聯(lián)考期中)已知，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】∵，∴，∵，∴.故答案為：.變式15．(2023·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí))已知，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)，所以，解得，因?yàn)?，，則，，因此，.故答案為：.變式16．(2023·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí))若，，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】令，則，解得，因?yàn)?，，?故答案為：變式17．(2023·湖南衡陽·高一衡陽市一中?？茧A段練習(xí))已知，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】由題意可得，因?yàn)?，所以，故，即的取值范圍是，故答案為：變?8．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若、滿足，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)?，則，，且，所以，，所以，.故的取值范圍是.故答案為：.變式19．(2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)?？茧A段練習(xí))若實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為__．【答案】【解析】由不等式的性質(zhì)求解即可．，因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以，即的取值范圍為．故答案為：．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？计谀?已知，，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】,，又，故選：C2．(2023·山東濟(jì)寧·高一曲阜一中?？计谀?已知，，則的范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，得，解得：，所以，因?yàn)椋?，所以，，所有的范圍?故選：C3．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列各式中，不能判斷其符號(hào)的是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】，故A正確；，故B正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則的值可正，可負(fù)，也可能為0，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若，則(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則，則，即，即，故選：D.5．(2023·高一單元測試)設(shè)，，則有(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】，∴.故選：A.6．(2023·廣西·高一校聯(lián)考期中)下列命題為真命題的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】D【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：取滿足，，而，此時(shí)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，則，所以，即，又，所以，D正確.故選：D.7．(2023·高一?？颊n時(shí)練習(xí))下列說法中，錯(cuò)誤的是(

)A．若，則一定有 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，由，可知，所以，所以.故B正確.對(duì)于C，，因?yàn)?，所以，所?故C正確.對(duì)于D，因?yàn)椋?又，所以.故D正確.故選：A.8．(2023·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中)設(shè)，，，則P，Q，R的大小順序是(

)A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，而，，而，，即，綜上，.故選：B.二、多選題9．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)已知實(shí)數(shù)，則下列不等式正確的是(

)A． B． C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，取，，，，則，，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得，，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，所?又，所以，，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.10．(2023·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，則下列結(jié)論正確的為(

)A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【解析】對(duì)于A：當(dāng)，，則，若，，，，顯然滿足，，但是、，此時(shí)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)槿?，所以，又，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，即，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：若，則，又因?yàn)?，所以根?jù)不等式的同向可加性，得，故選項(xiàng)D正確；故選：CD11．(2023·云南昆明·高一昆明一中統(tǒng)考期末)已知為實(shí)數(shù)，則(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；，則，即，B正確；，則，，∴，∴，C正確；，則，，，∴，即，D正確．故選：BCD．12．(2023·吉林長春·高一?？茧A段練習(xí))已知，，則下列不等式不正確的是(

)A． B．C． D．【答案】BD【解析】，，，，故A正確；，，，，故B不正確；設(shè)，則，，，，，，，，，，故C正確、D錯(cuò)誤；故選：BD.三、填空題13．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知均為實(shí)數(shù)，有下列說法:①若，則;②若，則;③若，則;④若，則.其中，正確的結(jié)論是________.(填序號(hào))【答案】③【解析】①用特殊值法檢驗(yàn)．令，有，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，有，故②錯(cuò)誤；③當(dāng)時(shí)，有，從而，故③正確；④當(dāng)時(shí)，顯然有，故④錯(cuò)誤．綜上，只有③正確.故答案為：③14．(2023·北京·高一北京市十一學(xué)校?？计谀?已知對(duì)于實(shí)數(shù)，，滿足，，則的最大值為______.【答案】7【解析】由，可得，，因?yàn)?，，所以，故，則的最大值為7，故答案為：715．(2023·上海黃浦·高一上海外國語大學(xué)附屬大境中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，有四個(gè)推理：①；②；③；④，其中正確的序號(hào)是_____．【答案】③【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，顯然不等式不成立，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，滿足，不滿足，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，則，即，故③正確；對(duì)于④，由得同號(hào)，故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，故，故④錯(cuò)誤.故答案為：③16．(2023·青海玉樹·高一校聯(lián)考期末)已知，則__________．(填“＞”“＜”或“＝”)【答案】【解析】，因?yàn)?/p>