專題20 冪函數(shù)（學(xué)生版）-2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義

專題20冪函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量x，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二：冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：(1)所有的冪函數(shù)在(0，+∞)都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)；(2)時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；(2)若冪函數(shù)的定義域?yàn)榛?，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對(duì)稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對(duì)稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定(1)借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．(2)結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．(3)如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較(1)比較函數(shù)值的大小問(wèn)題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時(shí)，可與0和1進(jìn)行比較．常稱為“搭橋”法．(2)比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小．(3)常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大小；③由單調(diào)性確定函數(shù)值的大?。绢}型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的概念題型二：冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用題型三：冪函數(shù)的單調(diào)性題型四：冪函數(shù)的奇偶性題型五：冪值大小的比較題型六：定點(diǎn)問(wèn)題題型七：定義域問(wèn)題題型八：值域問(wèn)題題型九：解不等式問(wèn)題題型十：冪函數(shù)綜合問(wèn)題【典例例題】題型一：冪函數(shù)的概念例1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)為冪函數(shù)的是(

)A． B． C． D．例2．(2023·江西吉安·高一永新中學(xué)校考期中)下列函數(shù)是冪函數(shù)的是(

)A． B． C． D．例3．(2023·江西贛州·高一?？计谥?在函數(shù)，中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1 C．2 D．3變式1．(2023·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為(

)A． B． C． D．變式2．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則等于(

)A． B．0 C． D．1變式3．(2023·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀?已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則n的值為(

)A． B．1 C．3 D．1或變式4．(2023·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？计谥?函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則(

)A． B．C．或 D．或題型二：冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用例4．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))如圖，下列3個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是(

)A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③例5．(2023·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末)若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的圖象大致是(

)A． B． C． D．例6．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)(且互質(zhì))的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示，則(

)A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且變式5．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的大致圖象是(

)A． B．C． D．變式6．(2023·湖北十堰·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是(

)A． B．C． D．題型三：冪函數(shù)的單調(diào)性例7．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是(

)A． B． C． D．例8．(2023·重慶·高一校聯(lián)考期中)下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是(

)A． B． C． D．例9．(2023·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則在定義域內(nèi)(

)A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有最大值 D．有最小值變式7．(2023·陜西咸陽(yáng)·高一咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是(

)A． B． C． D．變式8．(2023·河南鄭州·高一鄭州市第七中學(xué)?？计谀?函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(

)A． B． C． D．變式9．(2023·福建·高一廈門一中?？计谥?已知函數(shù)的增區(qū)間為(

)A． B． C． D．變式10．(2023·高一單元測(cè)試)冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在是減函數(shù)，則整數(shù)a的值是(

)A．0 B．0或2 C．2 D．0或1或2變式11．(2023·山西大同·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則對(duì)的表述正確的有(

)A．是奇函數(shù)，在上是減函數(shù) B．是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)題型四：冪函數(shù)的奇偶性例10．(2023·山西呂梁·高一統(tǒng)考期中)冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則關(guān)于該冪函數(shù)的下列說(shuō)法正確的是(

)A．經(jīng)過(guò)第一象限和第三象限 B．經(jīng)過(guò)第一象限C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)例11．(2023·廣東清遠(yuǎn)·高一校聯(lián)考期中)已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則()A．是奇函數(shù)，在上是減函數(shù)B．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，在上是增函數(shù)D．是偶函數(shù)，在上是減函數(shù)例12．(2023·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末)若冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則(

)A．或4 B． C．4 D．2變式12．(2023·廣西貴港·高一統(tǒng)考期末)若冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，解析式的冪的指數(shù)為整數(shù),在上單調(diào)遞減，則(

)A． B．或 C． D．或變式13．(2023·廣東珠?！じ咭恢楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考期中)已知常數(shù)在上有最大值，若的最小值為，則(

)A．0 B．3 C．4 D．5題型五：冪值大小的比較例13．(2023·廣東深圳·高一深圳市羅湖高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知冪函數(shù)，對(duì)任意的且，滿足，若，，，則的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無(wú)法判斷例14．(2023·吉林·高一吉林毓文中學(xué)校考階段練習(xí))已知，則下列不等關(guān)系中一定成立的是(

)A． B． C． D．例15．(2023·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中)已知，則(

)A． B． C． D．變式14．(2023·遼寧葫蘆島·高一校聯(lián)考期中)設(shè)，，，則(

)A． B． C． D．變式15．(2023·福建南平·高一統(tǒng)考期中)下列比較大小中正確的是(

)A． B．C． D．題型六：定點(diǎn)問(wèn)題例16．(2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為________．例17．(2023·上海徐匯·高一位育中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知，則函數(shù)的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為__．例18．(2023·高一課時(shí)練習(xí))冪函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)______．變式16．(2023·高一課時(shí)練習(xí))有關(guān)冪函數(shù)的下列敘述中，錯(cuò)誤的序號(hào)是______．①冪函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或者關(guān)于軸對(duì)稱；②兩個(gè)冪函數(shù)的圖像至多有兩個(gè)交點(diǎn)；③圖像不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的冪函數(shù)，一定不關(guān)于y軸對(duì)稱；④如果兩個(gè)冪函數(shù)有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)函數(shù)一定相同．變式17．(2023·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)(為不等于0的常數(shù))的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為_______.變式18．(2023·河南濮陽(yáng)·高一濮陽(yáng)一高?？计谥?不論實(shí)數(shù)取何值，函數(shù)恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是___________．題型七：定義域問(wèn)題例19．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)，則此函數(shù)的定義域?yàn)開_______．例20．(2023·高一課時(shí)練習(xí))冪函數(shù)的定義域是______．例21．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知冪函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)______．變式19．(2023·上海青浦·高一上海市青浦高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))函數(shù)的定義域是______．變式20．(2023·高一課時(shí)練習(xí))若有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________變式21．(2023·山東菏澤·高一階段練習(xí))已知，則的定義域?yàn)開___________.題型八：值域問(wèn)題例22．(2023·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學(xué)?？计谥?函數(shù)在區(qū)間[－4，－2]上的最小值是____．例23．(2023·高一課時(shí)練習(xí))函數(shù)的值域?yàn)開_______.例24．(2023·河北石家莊·高一石家莊市第九中學(xué)?？计谥?若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的值域?yàn)開___________．變式22．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知，設(shè)函數(shù)，其定義域?yàn)榛?，則函數(shù)的最小值為______.變式23．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)，該函數(shù)的值域?yàn)開________.變式24．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)的圖象過(guò)，那么在上的最大值為_____________.題型九：解不等式問(wèn)題例25．(2023·重慶·高一校聯(lián)考期末)已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．例26．(2023·甘肅張掖·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．例27．(2023·河南洛陽(yáng)·高一統(tǒng)考期中)已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則的解集為(

)A． B． C． D．變式25．(2023·江蘇蘇州·高一星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥?不等式的解為(

)A． B． C． D．變式26．(2023·浙江溫州·高一溫州中學(xué)?？计谥?若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B．C． D．變式27．(2023·福建三明·高一校聯(lián)考期中)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[，＋∞) B．(－∞，] C．(，] D．[，]變式28．(2023·高一課時(shí)練習(xí))已知冪函數(shù)，若，則的取值范圍為(

)A． B． C． D．變式29．(2023·山東泰安·高一山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式的解集為(

)A． B． C． D．題型十：冪函數(shù)綜合問(wèn)題例28．(2023·四川廣安·高一?？茧A段練習(xí))已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增．(1)求m的值及函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最大值為3，求實(shí)數(shù)a的值．例29．(2023·高一單元測(cè)試)已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例30．(2023·遼寧遼陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的解析式；(2)若正數(shù)滿足，若不等式恒成立．求的最大值．變式30．(2023·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求x的取值范圍．變式31．(2023·福建龍巖·高一統(tǒng)考期末)已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)若，求；(2)已知，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求的取值范圍．變式32．(2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減．(1)求的解析式；(2)若，，求a的取值范圍．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．(2023·高一課時(shí)練習(xí))下列命題中正確的是(

)A．當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)和點(diǎn)C．若冪函數(shù)是奇函數(shù)，則是定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限2．(2023·浙江·高一校聯(lián)考期中)記，則(

)A． B．C． D．3．(2023·遼寧本溪·高一?？茧A段練習(xí))若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則(

)A． B．3 C．或3 D．1或4．(2023·云南怒江·高一?？计谀?若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，則(

)A． B．3 C． D．5．(2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中校考開學(xué)考試)下列不等式一定成立的是(

)A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．(2023·山東棗莊·高一棗莊八中?？茧A段練習(xí))下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是(

)A． B． C． D．7．(2023·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末)函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意，且，滿足，若，且，，則的值(

)A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無(wú)法判斷8．(2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末)已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則該冪函數(shù)的大致圖象是(

)A． B．C． D．二、多選題9．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的有(

)A． B． C． D．10．(2023·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末)下圖為冪函數(shù)的大致圖象，則的解析式可能為(

)A． B．C． D．11．(2023·寧夏銀川·高一銀川二中校考期末)冪函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是(

)A． B．函數(shù)是偶函數(shù)C． D．函數(shù)的值域?yàn)?2．(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))若函數(shù)，則(

)A．的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和B．當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為奇函數(shù)C．當(dāng)?shù)膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，為偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，存在使得三、填空題13．(202