2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市高郵市汪曾祺學(xué)校八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①若，則；②的平方根是-5；③若，則；④所有實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．如圖，圖形中x的值為（）A．60 B．75C．80 D．953．下列計(jì)算，正確的是（）A． B． C． D．4．如圖，已知為的中點(diǎn)，若，則（）A．5 B．6 C．7 D．5．說(shuō)明命題“若a2＞b2，則a＞b．”是假命題，舉反例正確的是（）A．a(chǎn)＝2，b＝3 B．a(chǎn)＝﹣2，b＝3 C．a(chǎn)＝3，b＝﹣2 D．a(chǎn)＝﹣3，b＝26．某次列車平均提速vkm/h，用相同的時(shí)間，列車提速前行駛skm，提速后比提速前多行駛50km，求提速前列車的平均速度．設(shè)列車提速前的平均速度是xkm/h，下面所列出的四個(gè)方程中，正確的是（）A． B． C． D．7．已知△ABC和△A′B′C′，下列條件中，不能保證△ABC和△A′B′C′全等的是（）A．AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′ B．∠A=∠A′，∠B=∠B′，AC=A′C′C．AB=A′B′，AC=A′C′，∠A=∠A′ D．AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′8．由下列條件不能判定為直角三角形的是（）A． B．C． D．9．不等式的解集在數(shù)軸上表示，正確的是（）A． B．C． D．10．如圖，，平分，如果射線上的點(diǎn)滿足是等腰三角形，那么的度數(shù)不可能為（）A．120° B．75° C．60° D．30°二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在中，，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____°.12．2015年10月．我國(guó)本土科學(xué)家屠呦呦榮獲諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)，她創(chuàng)制新型抗瘧藥青蒿素為人類作出了突出貢獻(xiàn)．瘧原蟲(chóng)早期期滋養(yǎng)體的直徑約為0.00000122米，這個(gè)數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____米．13．經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是______．14．如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AD為∠CAB的角平分線,若CD=3，則DB=____.15．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD的邊AD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到B、C兩點(diǎn)的距離之和最短，則點(diǎn)P的位置應(yīng)該在_____．16．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長(zhǎng)到E，使，連接AE交BC于F，，當(dāng)______時(shí)，四邊形ABEC是矩形．17．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是三角形的高，垂足為D、E，若∠CAD=20°，則∠BCE=_____．18．如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，BD＝3，則DE＝_______．三、解答題(共66分)19．（10分）為了解學(xué)生課余活動(dòng)情況．晨光中學(xué)對(duì)參加繪畫(huà)，書(shū)法，舞蹈，樂(lè)器這四個(gè)課外興趣小組的人員分布情況進(jìn)行調(diào)查．并報(bào)據(jù)收集的數(shù)據(jù)繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)閣．請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息．解答下面的問(wèn)題：（1）此次共調(diào)查了多少名同學(xué)？（2）將條形圖補(bǔ)充完整，并計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中書(shū)法部分的圓心角的度數(shù)．（3）如果該校共有300名學(xué)生參加這4個(gè)課外興趣小組，而每位教師最多只能輔導(dǎo)本組的20名學(xué)生，估計(jì)樂(lè)器興趣小組至少需要準(zhǔn)備多少名教師？20．（6分）已知：如圖，在等腰三角形ABC中，120BAC180，ABAC，ADBC于點(diǎn)D，以AC為邊作等邊三角形ACE，ACE與ABC在直線AC的異側(cè)，直線BE交直線AD于點(diǎn)F，連接FC交AE于點(diǎn)M．（1）求EFC的度數(shù)；（2）求證：FE+FA=FC．21．（6分）和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，點(diǎn)、分別在、上，則、滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？（直接寫(xiě)出答案）（2）如圖2，點(diǎn)在內(nèi)部，點(diǎn)在外部，連結(jié)、，則、滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，點(diǎn)、都在外部，連結(jié)、、、，與相交于點(diǎn)．已知，，設(shè)，，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．22．（8分）中，，，，分別是邊和上的動(dòng)點(diǎn)，在圖中畫(huà)出值最小時(shí)的圖形，并直接寫(xiě)出的最小值為.23．（8分）計(jì)算：（m+n+2）（m+n﹣2）﹣m（m+4n）．24．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB∥ED,交BC于E，交AC于F，DE=BC,.（1）求證：△FCD是等腰三角形（2）若AB=3.5cm,求CD的長(zhǎng)．25．（10分）計(jì)算（1）（2）化簡(jiǎn)，再?gòu)模?，﹣2中選擇合適的x值代入求值．26．（10分）如圖，在中，，分別在、邊上，且，，求的度數(shù)．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法可以判斷是否為真命題，從而可以解答本題．【詳解】①若，則，真命題；②的平方根是，假命題；③若，則，假命題；④所有實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，真命題．故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了真命題的定義以及判斷，根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)中的說(shuō)法可以判斷是否為真命題是解題的關(guān)鍵．2、A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：由圖可知：x＋x＋15＋x－15=180解得：x=60故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和定理是解決此題的關(guān)鍵．3、B【解析】解：A．，故A錯(cuò)誤；B．，正確；C．，故C錯(cuò)誤；D．，故D錯(cuò)誤．故選B．4、A【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)求得內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)ASA得出△ADE≌△CFE，從而得出AD=CF，已知AB，CF的長(zhǎng)，即可得出BD的長(zhǎng)．【詳解】∵AB∥FC，

∴∠ADE=∠CFE，

∵E是DF的中點(diǎn)，

∴DE=EF，

在△ADE與△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA），

∴AD=CF=7cm，

∴BD=AB-AD=12-7=5（cm）．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．5、D【分析】反例就是滿足命題的題設(shè)，但不能由它得到結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)a＝﹣3，b＝2時(shí)，滿足a2＞b2，而不滿足a＞b，所以a＝﹣3，b＝2可作為命題“若a＞b，則a2＞b2”是假命題的反例．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查命題題意定理：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．6、A【分析】先求出列車提速后的平均速度，再根據(jù)“時(shí)間路程速度”、“用相同的時(shí)間，列車提速前行駛，提速后比提速前多行駛”建立方程即可．【詳解】由題意得：設(shè)列車提速前的平均速度是，則列車提速后的平均速度是則故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，讀懂題意，正確求出列車提速后的平均速度是解題關(guān)鍵．7、D【解析】根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各項(xiàng)逐一判斷即得答案．【詳解】解：A、AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，根據(jù)SSS可判定△ABC和△A′B′C′全等，本選項(xiàng)不符合題意；B、∠A=∠A′，∠B=∠B′，AC=A′C′，根據(jù)AAS可判定△ABC和△A′B′C′全等，本選項(xiàng)不符合題意；C、AB=A′B′，AC=A′C′，∠A=∠A′，根據(jù)SAS可判定△ABC和△A′B′C′全等，本選項(xiàng)不符合題意；D、AB=A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，這是SSA，不能判定△ABC和△A′B′C′全等，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．8、C【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方或最大角是否是90°即可.【詳解】A、∵∠A+∠B=∠C，∴∠C=90°，故是直角三角形，正確；B、∵∠A：∠B：∠C=1：3：2，∴∠B=×180°=90°，故是直角三角形，正確；C、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定是直角三角形；D、∵（b+c）（b-c）=a2，∴b2-c2=a2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．9、B【分析】先解不等式，再結(jié)合數(shù)軸判斷即可．【詳解】解：，，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式的解法以及在數(shù)軸上的表示，熟練掌握解法是關(guān)鍵．10、C【分析】分別以每個(gè)點(diǎn)為頂角的頂點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的定義確定∠OEC是度數(shù)即可得到答案.【詳解】∵，平分，∠AOC=30，當(dāng)OC=CE時(shí)，∠OEC=∠AOC=30，當(dāng)OE=CE時(shí)，∠OEC=180120，當(dāng)OC=OE時(shí)，∠OEC=（180）=75，∴∠OEC的度數(shù)不能是60°，故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的定義，角平分線的定義，根據(jù)題意正確畫(huà)出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、65【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一求出∠ADB=90°，進(jìn)而求出∠B的度數(shù)，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠C的度數(shù).【詳解】∵AB=AC，BD=CD∴AD⊥BC∴∠ADB=90°∵∠BAD=25°∴∠B=90°-∠BAD=65°∴∠C=∠B=65°故答案為：65【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的兩個(gè)銳角互余，掌握等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.12、1.22×10﹣1．【詳解】解：0.00000122＝1.22×10－1．故答案為1.22×10－1．點(diǎn)睛：本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10－n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．13、線段的垂直平分線【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得答案.【詳解】∵線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，∴經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的圓的圓心的軌跡是線段的垂直平分線，故答案為線段AB的垂直平分線【點(diǎn)睛】本題考查了相等垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；熟練掌握性質(zhì)是解題關(guān)鍵.14、1【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BAC的度數(shù)=180°﹣90°﹣30°=10°，然后利用角平分線的性質(zhì)，求出∠CAD的度數(shù)∠BAC=30°．在Rt△ACD中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出BD．【詳解】在Rt△ABC中∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=180°﹣90°﹣30°=10°．∵AD是角平分線，∴∠BAD=∠CAD∠BAC=30°．在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，CD=3，∴AD=1．∵∠B=∠BAD=30°，∴BD=AD=1．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了含30°角的直角三角形，熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15、AD的中點(diǎn)【詳解】分析：過(guò)AD作C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C′，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)或線段垂直平分線的性質(zhì)得出AC=PC′，從而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出這時(shí)的P點(diǎn)使BP+PC的之最短.詳解：如圖，過(guò)AD作C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C′，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：PC=PC′，CD=C′D∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD∴△ABP≌△DC′P∴AP=PD即P為AD的中點(diǎn).故答案為P為AD的中點(diǎn).點(diǎn)睛：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，矩形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)．得出動(dòng)點(diǎn)P所在的位置是解題的關(guān)鍵．16、1【分析】首先根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得到四邊形ABEC是平行四邊形，然后證得FC=FE，利用對(duì)角線互相相等的四邊形是矩形判定四邊形ABEC是矩形．【詳解】解：當(dāng)∠AFC=1∠D時(shí)，四邊形ABEC是矩形．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∠BCE=∠D，由題意易得AB∥EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形．∵∠AFC=∠FEC+∠BCE，∴當(dāng)∠AFC=1∠D時(shí)，則有∠FEC=∠FCE，∴FC=FE，∴四邊形ABEC是矩形，故答案為1．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是了解矩形的判定定理．17、20°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAD=∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)高線的定義以及三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵AB=AC，AD是三角形的高，∴∠BAD=∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC70°．∵CE是三角形的高，∴∠CEB=90°，∴∠BCE=20°．故答案為：20°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的高線和角平分線以及三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．18、1【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠DBE=∠CBE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DEB=∠CBE，從而得出∠DBE=∠DEB，然后根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵BE平分∠ABC，∴∠DBE=∠CBE∵DE∥BC，∴∠DEB=∠CBE∴∠DBE=∠DEB∴DE=DB=1故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題考查的是等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，掌握等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)和角平分線的定義是解決此題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）200；（2）圖詳見(jiàn)解析，36°；（3）1．【分析】（1）繪畫(huà)組的人數(shù)有90人，所占比例為41%，故總數(shù)＝某項(xiàng)人數(shù)÷所占比例；（2）樂(lè)器組的人數(shù)＝總?cè)藬?shù)﹣其它組人數(shù)；書(shū)法部分的圓心角的度數(shù)＝所占比例×360°；（3）根據(jù)每組所需教師數(shù)＝300×某組的比例÷20計(jì)算．【詳解】解：（1）∵繪畫(huà)組的人數(shù)有90人，所占比例為41%，∴總?cè)藬?shù)＝90÷41%＝200（人）；（2）樂(lè)器組的人數(shù)＝200﹣90﹣20﹣30＝60人，畫(huà)圖（如下）：書(shū)法部分的圓心角為：×360°＝36°；（3）樂(lè)器需輔導(dǎo)教師：300×÷20＝4.1≈1（名），答：樂(lè)器興趣小組至少需要準(zhǔn)備1名教師．【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖的綜合，靈活的將條形與扇形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)相關(guān)聯(lián)是解題的關(guān)鍵.20、(1)；(2)詳見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠1＝∠2，由直線AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠3＝∠5，等量代換求出即可得到；（2）在FC上截取FN，使FN＝FE，連接EN，根據(jù)等邊三角形的判定得出△EFN是等邊三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根據(jù)SAS推出△EFA≌△ENC，根據(jù)全等得出FA＝NC，即可證得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖1，∵，∴，∵，∴直線垂直平分，∴，∴，∴，即，∴在等邊三角形中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵在等邊三角形中，，∴；（2）在上截取，使，連接，如圖2，∵，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．21、（1）BD=CE，BD⊥CE；（2）BD=CE，BD⊥CE；證明見(jiàn)解析；（3）y=40-x．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答；（2）延長(zhǎng)BD，分別交AC、CE于F、G，證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、垂直的定義解答；（3）先證明∠BAD=∠CAE，再證明△ABD≌△ACE，可得∠BHC=90°，最后利用勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，BD⊥CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，理由如下：延長(zhǎng)BD，分別交AC、CE于F、G，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠AFB=∠GFC，∴∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE；（3）∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠CAE=∠DAE+∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠AOB=∠HOC，∴∠BHC=∠BAC=90°，∴CD2+EB2=CH2+HB2+EH2+HD2=BC2+DE2∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE∵，∴BC2=32，DE2=8∵，∴x+y=32+8∴y=40-x．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)解析式的確定，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22、作圖見(jiàn)解析，【分析】作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，A'A與BC交于點(diǎn)H，再作A'M⊥AB于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，此時(shí)AN+MN最小，連接AN，首先用等積法求出AH的長(zhǎng)，易證△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后設(shè)NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的長(zhǎng)，A'M的長(zhǎng)即為AN+MN的最小值．【詳解】如圖，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A'，A'A與BC交于點(diǎn)H，再作A'M⊥AB于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，此時(shí)AN+MN最小，最小值為A'M的長(zhǎng)．連接AN，在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，∴BC=∵∴AH=∵CA⊥AB，A'M⊥AB，∴CA∥A'M∴∠C=∠A'NH，由對(duì)稱的性質(zhì)可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH和△A'NH中，∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，∴△ACH≌△A'NH（AAS）∴A'N=AC=4=AN，設(shè)NM=x，在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2=在Rt△AA'M中，AA'=2AH=，A'M=A'N+NM=4+x∴AM2=AA'2-A'M2=∴解得此時(shí)的最小值=A'M=A'N+NM=4+=【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問(wèn)題，正確作出輔助線，利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵．23、n2﹣2mn﹣1．【分析】根據(jù)平方差公式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行展開(kāi)運(yùn)算即可．【詳解】解：原式＝（m+n）2﹣1﹣m2﹣1mn，＝m2+2mn+n