專題02手拉手模型(原卷版+解析)

專題02手拉手模型【解題方法】遇見平方等式，要用手拉手模型；構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造全等三角形，等量代換是解題三要素。等腰圖形有旋轉(zhuǎn)，辯清共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)邊，關(guān)注三邊旋轉(zhuǎn)角，全等思考邊角邊。【模型一】手拉手與正方形有關(guān)壓軸題1．如圖，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在上時(shí)，求證：；(2)將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線右側(cè)時(shí)，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明；②當(dāng)時(shí)，若，請直接寫出線段的長．【模型二】手拉手有關(guān)結(jié)論問題2．如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【模型三】手拉手與三點(diǎn)共線問題3．如圖，在中，，正方形的邊長為2，將正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接．(1)請找出圖中與相似的三角形，并說明理由；(2)求當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)的長．【模型四】四點(diǎn)共圓（隱形圓）（手拉手）求定值問題解題關(guān)鍵：定邊對定角，必有隱圓；定弦定角，必有隱圓；單動(dòng)點(diǎn)折疊，必有隱圓；同側(cè)共邊等角，異側(cè)共邊互補(bǔ)，必有隱圓；矩形、正方形，四個(gè)頂點(diǎn)是共圓，對角線的交點(diǎn)是圓心，對角線是直徑。4．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按如圖1所示的位置擺放（點(diǎn)、、在同一條直線上），小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請你幫助解答：（1）如圖2，將正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，位置關(guān)系為___________．（直接寫出答案）（2）如圖3，把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，，將矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）在（2）的條件下，小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是定值，請求出這個(gè)定值．（直接寫出答案）【模型五】構(gòu)造等腰直角三角形（手拉手模型）求證對余四邊形（對角互余）解題關(guān)鍵：手拉手模型，構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造全等三角形，等量代換得結(jié)果?！灸Ｐ土克狞c(diǎn)共圓與手拉手模型求函數(shù)解析式解題口訣：已知條件仔細(xì)看，對角互補(bǔ)是共圓；四點(diǎn)共圓助相似，比值相等得整式；設(shè)坐標(biāo)，靈活運(yùn)用手拉手；兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理要想到，正確結(jié)果在眼前5．【了解概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對余線．【理解運(yùn)用】（1）如圖①，對余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2＝CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形．證明你的結(jié)論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點(diǎn)E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°+∠ABC．設(shè)＝u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請直接寫出u關(guān)于t的函數(shù)解析式．專題02手拉手模型【解題方法】遇見平方等式，要用手拉手模型；構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造全等三角形，等量代換是解題三要素。等腰圖形有旋轉(zhuǎn)，辯清共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)邊，關(guān)注三邊旋轉(zhuǎn)角，全等思考邊角邊?！灸Ｐ鸵弧渴掷峙c正方形有關(guān)壓軸題1．如圖，正方形和正方形（其中），的延長線與直線交于點(diǎn)H．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在上時(shí)，求證：；(2)將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在直線右側(cè)時(shí)，判斷的數(shù)量關(guān)系并證明；②當(dāng)時(shí)，若，請直接寫出線段的長．答案:(1)證明見解析(2)①，證明見解析；②或分析：（1）證明，即可得到，再由角的等量代換即可證明；（2）①在線段上截取，連接，證明，得到為等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的邊角性質(zhì)即可；②分兩種情況，一是如圖3所示，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．求出BD，設(shè)，則．在中，利用勾股定理列出方程解答；二是如圖4所示，當(dāng)B，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．設(shè)，中利用勾股定理列出方程即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形和均為正方形，∴，，

∴．∴．

又∵，∴．∴．（2）解：①，證明如下：如圖所示，在線段上截取，連接．由（1）可知，，又∵，∴．∴．

∴，即．∴為等腰直角三角形．∴．∴，∴．

②第一種情況：如圖3所示，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)G、H重合，連接．由①可知，且．又∵，∴．設(shè)，則．∴在中，由勾股定理得．∴，解得（負(fù)值舍），∴；第二種情況：如圖4所示，當(dāng)B，H，G三點(diǎn)共線時(shí)，，連接．設(shè)，∵，∴．在中，由勾股定理得．∴．解得，∴∴的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識點(diǎn)，并正確作出輔助線．【模型二】手拉手有關(guān)結(jié)論問題2．如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④答案:B分析：利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，過點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的說法是正確的；無法證明△BPO≌△EDO．∴④的說法是錯(cuò)誤的；故答案為①②③，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【模型三】手拉手與三點(diǎn)共線問題3．如圖，在中，，正方形的邊長為2，將正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接．(1)請找出圖中與相似的三角形，并說明理由；(2)求當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)的長．答案:(1)，理由見解析(2)或分析：（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到，，進(jìn)而證明，，由此即可證明；（2）先利用勾股定理求出，進(jìn)而求出，再分當(dāng)在左上方時(shí)，當(dāng)在右下方時(shí)，兩種情況求出的長，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，，∴，即，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∵當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，，∴，如圖1，當(dāng)在左上方時(shí)，∴，∵，∴，∴；如圖2，當(dāng)在右下方時(shí)，∴∵，∴，∴；綜上所述，當(dāng)A、E、F三點(diǎn)在一直線上時(shí)，的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【模型四】四點(diǎn)共圓（隱形圓）（手拉手）求定值問題解題關(guān)鍵：定邊對定角，必有隱圓；定弦定角，必有隱圓；單動(dòng)點(diǎn)折疊，必有隱圓；同側(cè)共邊等角，異側(cè)共邊互補(bǔ)，必有隱圓；矩形、正方形，四個(gè)頂點(diǎn)是共圓，對角線的交點(diǎn)是圓心，對角線是直徑。4．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按如圖1所示的位置擺放（點(diǎn)、、在同一條直線上），小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請你幫助解答：（1）如圖2，將正方形繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系為___________，位置關(guān)系為___________．（直接寫出答案）（2）如圖3，把背景中的正方形分別改寫成矩形和矩形，且，，，將矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（3）在（2）的條件下，小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，的值是定值，請求出這個(gè)定值．（直接寫出答案）答案:（1），；（2），；（3）260分析：（1）延長DG交BE于M，交AB于N，證明△DAG≌△BAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到BE⊥DG；（2）設(shè)與交于，與交于點(diǎn)，由比的性質(zhì)求出、的值，由相似三角形的判定證得，由相似三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形和內(nèi)角和定理得出，即；（3）連接EG、BD，由（2）得出，，且，由勾股定理求得、的值，由即可得出結(jié)論．【詳解】（1）延長DG交BE于M，交AB于

N，如圖2，∵四邊形ABCD、四邊形EFGA為正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠BAG＝∠GAE－∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，在△DAG和△BAE中，∴△DAG≌△BAE（SAS），∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，∵∠AND＝∠BNM，∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG，故答案為：；；（2），，理由如下：設(shè)與交于，與交于點(diǎn)，如圖3，∵，，，∴，．∵四邊形和四邊形為矩形，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．（3）連接EG、BD，如圖3∵，，，∴，．∵四邊形和四邊形為矩形，∴∴，，由（2）證得，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【模型五】構(gòu)造等腰直角三角形（手拉手模型）求證對余四邊形（對角互余）解題關(guān)鍵：手拉手模型，構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)造全等三角形，等量代換得結(jié)果。【模型六】四點(diǎn)共圓與手拉手模型求函數(shù)解析式解題口訣：已知條件仔細(xì)看，對角互補(bǔ)是共圓；四點(diǎn)共圓助相似，比值相等得整式；設(shè)坐標(biāo)，靈活運(yùn)用手拉手；兩點(diǎn)之間的距離公式，勾股定理要想到，正確結(jié)果在眼前5．【了解概念】有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，連接這兩個(gè)角的頂點(diǎn)的線段稱為對余線．【理解運(yùn)用】（1）如圖①，對余四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，連接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如圖②，凸四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，當(dāng)2CD2+CB2＝CA2時(shí)，判斷四邊形ABCD是否為對余四邊形．證明你的結(jié)論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四邊形ABCD是對余四邊形，點(diǎn)E在對余線BD上，且位于△ABC內(nèi)部，∠AEC＝90°+∠ABC．設(shè)＝u，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t，請直接寫出u關(guān)于t的函數(shù)解析式．答案:（1）；（2）四邊形ABCD是對余四邊形，證明見解析；（3）u＝（0＜t＜4）．分析：（1）先構(gòu)造直角三角形，然后利用對余四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出sin∠CAD的值．（2）通過構(gòu)造手拉手模型，即構(gòu)造等腰直角三角形，通過證明三角形全等，利用勾股定理來證明四邊形ABCD為對余四邊形．（3）過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H，先證明△ABE∽△DBA，得出u與AD的關(guān)系，設(shè)D（x，t），再利用（2）中結(jié)論，求出AD與t的關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F．∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，在Rt△AEB中，AE＝，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴，∴，∴CF＝，∴sin∠CAD＝．（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形ABCD是對余四邊形．理由：過點(diǎn)D作DM⊥DC，使得DM＝DC，連接CM．∵四邊形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是對余四邊形．（3）如圖③中，過點(diǎn)D作DH⊥x軸于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四邊形ABCD是對余四邊形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四點(diǎn)共圓，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠