專題20易錯易混專題：分式與分式方程中常見的易錯(原卷版+解析)(6大考點)

專題20易錯易混專題：分式與分式方程中常見的易錯【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯一分式值為0時求值，忽略分母不為0】 1【易錯二分式混合運算易錯】 2【易錯三自主取值再求值時，忽略分母或除式不能為0】 4【易錯四解分式方程不驗根】 5【易錯五分式方程無解與增根混淆不清】 7【易錯六已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時參數(shù)的值】 10【過關(guān)檢測】 12【典型例題】【易錯一分式值為0時求值，忽略分母不為0】例題：（2023春·陜西西安·八年級?？茧A段練習(xí)）若分式的值為0，則x的值為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若分式的值為0，則=______．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）當(dāng)__________時，代數(shù)式的值為0．3．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為零，則x的值為______．【易錯二分式混合運算易錯】例題：（2023春·江蘇南京·九年級南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）的結(jié)果是_________．2．(2023秋·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·九年級校考階段練習(xí)）化簡：=__________________【易錯三自主取值再求值時，忽略分母或除式不能為0】例題：（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）先化簡：，然后從、0、2、3中選擇一個合適的值代入求值．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）先化簡，再求值：，請在，1，3中選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作為值．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中m為滿足的整數(shù)．【易錯四解分式方程不驗根】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）解方程：(1)；(2)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）解方程：(1)(2)2．（2023春·八年級課時練習(xí)）解方程：(1)；(2)．【易錯五分式方程無解與增根混淆不清】例題：（2023秋·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的分式方程無解，則（

）A． B．0 C．1 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于的方程有增根，則的值是（

）A．4 B． C．2 D．2．（2023·山東菏澤·?？家荒＃┮阎P(guān)于的分式方程無解，則的值為_____．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．【易錯六已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時參數(shù)的值】例題：（2023春·江蘇·八年級期中）已知關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．且2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．且【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023秋·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期末）如果分式的值為0，那么的值為（）A．0 B．1 C． D．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）分式值為0，則應(yīng)滿足（）A． B． C． D．3．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（

）A． B．2 C． D．34．（2023·黑龍江雞西·?？家荒＃┮阎P(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且二、填空題5．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為0，則______________．6．（2023春·八年級課時練習(xí)）當(dāng)______時，分式的值為零．7．（2023春·海南?？凇ぐ四昙壓？谑械谑闹袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為_______．8．（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則整數(shù)______．三、解答題9．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）解方程：10．（2023秋·甘肅定西·八年級?？计谀┙夥质椒匠蹋海?1．（2023春·福建福州·九年級福建省福州第十九中學(xué)校考階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．12．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，其中13．（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）先化簡：，再從0、1、2中選擇一個適合的數(shù)代入求值．14．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知分式（1）當(dāng)x取什么值時，分式有意義？（2）當(dāng)x取什么值時，分式為零？（3）當(dāng)x取什么值時，分式的值為負(fù)數(shù)？15．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的方程(1)當(dāng)m取何值時，此方程的解為；(2)當(dāng)m取何值時，此方程會產(chǎn)生增根；(3)當(dāng)此方程的解是正數(shù)時，求m的取值范圍．專題20易錯易混專題：分式與分式方程中常見的易錯【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯一分式值為0時求值，忽略分母不為0】 1【易錯二分式混合運算易錯】 2【易錯三自主取值再求值時，忽略分母或除式不能為0】 4【易錯四解分式方程不驗根】 5【易錯五分式方程無解與增根混淆不清】 7【易錯六已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時參數(shù)的值】 10【過關(guān)檢測】 12【典型例題】【易錯一分式值為0時求值，忽略分母不為0】例題：（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習(xí)）若分式的值為0，則x的值為_____．答案:1分析：根據(jù)分式的值為0及有意義的條件，可得且，解方程即可求解．【詳解】解：分式的值為0，且，解得且，，故答案為：1．【點睛】本題考查了分式值為0及有意義的條件，熟練掌握和運用分式值為0及有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若分式的值為0，則=______．答案:1分析：分式的值為0，即是分子為0，分母不能為0，據(jù)此可以解答本題．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：1【點睛】本題考查分式的值為0的條件，關(guān)鍵在于理解值為0的條件．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）當(dāng)__________時，代數(shù)式的值為0．答案:分析：根據(jù)分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零列出算式，計算即可．【詳解】解：由題意得，，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查的是分式值為零的條件，掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為零，則x的值為______．答案:分析：根據(jù)分式的值為0的條件：分子為0，分母不為0，即可求解．【詳解】解：∵分式的值為零，∴，且，解得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式的值為0的條件，熟練掌握分式的值為0的條件是分子等于0，且分母不等于0是解題的關(guān)鍵．【易錯二分式混合運算易錯】例題：（2023春·江蘇南京·九年級南京市竹山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：．答案:分析：直接根據(jù)分式的混合運算法則計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，靈活運用分式的混合運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）的結(jié)果是_________．答案:－2分析：先把括號內(nèi)通分，再把除法運算化為乘法運算，然后進(jìn)行約分即可．【詳解】解：=?（a+1）（a-1）=a-1-a-1=-2．故答案為：-2．【點睛】本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．2．(2023秋·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·九年級?？茧A段練習(xí)）化簡：=__________________答案:分析：先運用分式的加減法法則計算括號內(nèi)的，再運用分式除法法則計算即可．【詳解】解：原式====．【點睛】本題考查分式混合運算，熟練掌握分式運算法則是解題的關(guān)鍵．【易錯三自主取值再求值時，忽略分母或除式不能為0】例題：（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）先化簡：，然后從、0、2、3中選擇一個合適的值代入求值．答案:；當(dāng)時，原式分析：根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后在、0、2、3中選擇一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式子即可得到答案．【詳解】解：原式，，，∴當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）先化簡，再求值：，請在，1，3中選擇一個適當(dāng)?shù)臄?shù)作為值．答案:，8分析：根據(jù)分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后從，1，3三個數(shù)中選擇一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式子即可解答本題．【詳解】解：當(dāng)，3時，原分式無意義，故當(dāng)時原式【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中m為滿足的整數(shù)．答案:，4分析：先把除法變成乘法，再計算括號內(nèi)的，最后約分化簡即可，根據(jù)分式有意義的條件結(jié)合m的取值范圍確定出m的值．【詳解】解：原式∵有意義，∴，．又∵m為滿足的整數(shù)，∴∴原式．【點睛】本題考查分式的化簡求值，分式的相關(guān)運算，以及分式有意義的條件，能夠熟練掌握分式有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵．【易錯四解分式方程不驗根】例題：（2023春·八年級課時練習(xí)）解方程：(1)；(2)．答案:(1)分式方程無解(2)分式方程無解分析：將分式方程去分母變?yōu)檎椒匠?，求出整式方程的解，然后將解代入最簡公分母中檢驗，最后下結(jié)論即可．【詳解】（1）解：方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當(dāng)時，，所以是增根，即分式方程無解；（2）解：方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當(dāng)時，，所以是增根，即分式方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，最后一步驗跟是題目正確的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）解方程：(1)(2)答案:(1)(2)原方程無解分析：（1）先把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解；（2）先把分式方程化為整式方程，再解出整式方程，然后檢驗，即可求解．【詳解】（1）解：去分母得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴原方程的解為；（2）解：去分母得：，解得：，檢驗：當(dāng)時，，∴原方程無解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的基本步驟，并注意檢驗是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）解方程：(1)；(2)．答案:(1)x＝0(2)無解分析：先把分式方程化為整式方程，然后解方程，最后檢驗即可．【詳解】（1）解：去分母得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴原方程的解為；（2）解：去分母得：，去括號得：移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，，∴不是原方程的解，∴原方程無解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵，注意解分式方程最后一定要檢驗．【易錯五分式方程無解與增根混淆不清】例題：（2023秋·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的分式方程無解，則（

）A． B．0 C．1 D．答案:A分析：解分式方程，可得，根據(jù)題意可知分式方程的增根為，即有，求解即可獲得答案．【詳解】解：，去分母，得，合并同類項、系數(shù)化為1，得，由題意可知，分式方程的增根為，即有，解得．故選：A．【點睛】本題主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知識，通過分析確定該分式方程的增根為是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）已知關(guān)于的方程有增根，則的值是（

）A．4 B． C．2 D．答案:D分析：首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到x?4＝0，據(jù)此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：原方程去分母，得：，∴，由分式方程有增根，得到x?4＝0，即x＝4，把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2．故選D．【點睛】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．2．（2023·山東菏澤·校考一模）已知關(guān)于的分式方程無解，則的值為_____．答案:或分析：根據(jù)分式方程的解法步驟，結(jié)合分式方程無解的情況即可得到參數(shù)的值．【詳解】解：，去分母得，，關(guān)于的分式方程無解，①當(dāng)時，即，此時無解；②當(dāng)時，即，解得，此時分式方程無解，必須有或，則或，當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，解得；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題考查解分式方程及由分式方程無解求參數(shù)問題，熟練掌握分式方程的解法步驟以及無解情況的分類討論是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．答案:（1）－2；（2）－2；（3）3或－2【詳解】試題分析：（1）原方程化為整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；（3）方程無解，可分為有增根和化成的整式方程無解兩種情況求解即可.試題解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因為原方程的增根為x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因為原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因為x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根為x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①當(dāng)3－a＝0，即a＝3時，整式方程(3－a)x＝10無解，則原分式方程也無解；②當(dāng)3－a≠0時，要使原方程無解，則由(2)知，此時a＝－2.綜上所述，a的值為3或－2.點睛：分式方程有增根時，一定存在使最簡公分母等于0的整式方程的解．分式方程無解是指整式方程的解使最簡公分母等于0或整式方程無解．【易錯六已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時參數(shù)的值】例題：（2023春·江蘇·八年級期中）已知關(guān)于x的方程的解是負(fù)數(shù)，那么m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且答案:D分析：首先去分母化分式方程為整式方程，然后求出整式方程的解，結(jié)合題目條件即可求出m的取值范圍．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∵原方程的解是負(fù)數(shù)，∴，且，∴且．故選D．【點睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，解題的關(guān)鍵在于利用分式方程的解是負(fù)數(shù)的條件，同時考慮整式方程的解不能使分式方程的分母為0．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．且答案:B分析：先求出原方程的解，可得，再由方程的解是正數(shù)，可得且，即可求解．【詳解】解：，去分母得：，解得：，∵關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，∴且，∴，且，解得：且．故選：B【點睛】本題考查了解分式方程、解一元一次不等式，解出分式方程使其解大于零且分式方程有意義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知關(guān)于的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B．且 C． D．且答案:C分析：解分式方程用k表示出x，根據(jù)解為正數(shù)及分式有意義的條件得到關(guān)于k的不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解得：去分母得：，∴，∵的解為負(fù)數(shù)，且分式有意義，∴，解得：，故選：C．【點睛】本題考查分式方程與不等式的綜合應(yīng)用，解分式方程得到關(guān)于k的不等式組是解題關(guān)鍵，注意分式有意義的條件，避免漏解．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023秋·遼寧盤錦·八年級統(tǒng)考期末）如果分式的值為0，那么的值為（）A．0 B．1 C． D．答案:B分析：直接利用分式的值為零，則分子為零，分母不為0，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：分式的值為零，且，解得：，且，∴，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義，掌握分式值為0的條件是分子為0，分母不為0，是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）分式值為0，則應(yīng)滿足（）A． B． C． D．答案:B分析：由分式的值為0的條件進(jìn)行計算，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵分式的值為0，∴，解得：∴．故選：B．【點睛】本題考查了分式的值為0的條件，以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進(jìn)行解題．3．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（

）A． B．2 C． D．3答案:D分析：將分式方程化為整式方程，根據(jù)分式方程有增根得到，得到，即可求出m的值．【詳解】解：，去分母，得，∵方程有增根，∴，即，∴，解得，故選：D．【點睛】此題考查了已知分式方程的解的情況求參數(shù)，正確掌握分式方程的解法及增根的意義是解題的關(guān)鍵．4．（2023·黑龍江雞西·校考一模）已知關(guān)于的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且答案:C分析：用a表示出該分式方程的解，再結(jié)合該分式方程的解為非負(fù)數(shù)和分式方程有意義的條件，即得出關(guān)于a的不等式，解出a的解集即可．【詳解】解：，方程兩邊同時乘以，得：，去括號，得：，移項、合并同類項，得：，系數(shù)化為1，得：．∵該分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且，∴，且，∴，且，∴，且．故選C．【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值，分式有意義的條件．能夠正確把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程是解題關(guān)鍵．二、填空題5．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為0，則______________．答案:分析：根據(jù)分式等于零的條件求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴且，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查分式值為零的條件，熟知分式為零的條件為且是解答的關(guān)鍵．6．（2023春·八年級課時練習(xí)）當(dāng)______時，分式的值為零．答案:1分析：先化簡再將分子等于0計算即可．【詳解】解：使分式的值為0，則且故答案為：1【點睛】此題考查分式化簡求值，掌握分式值為零的條件是題關(guān)鍵．7．（2023春·海南?？凇ぐ四昙壓？谑械谑闹袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為_______．答案:或##或分析：分式方程無解的情況有兩種：（1）原方程存在增根；（2）原方程約去分母后，整式方程無解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵原分式方程無解．∴，即或．解得或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．∴m的值為或．故答案為：或．【點睛】本題考查的是分式方程無解的知識，解答此類題目既要考慮分式方程有增根的情形，又要考慮整式方程無解的情形．8．（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則整數(shù)______．答案:2或##或2分析：先去分母解整式方程得，根據(jù)分式方程有正整數(shù)解，得到的值為1或2或4，且，由此求出答案．【詳解】解：去分母得，，整理得，，解得，∵分式方程有正整數(shù)解，∴的值為1或2或4，且，解得或，故答案為：2或．【點睛】此題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，正確掌握解分式方程的步驟及法則是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）解方程：答案:無解分析：兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗根即可．【詳解】兩邊都乘以，得，解得，檢驗：當(dāng)時，，∴是原方程的增根，∴原方程無解．【點睛】本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡公分母，化為整式方程求解，求出未知數(shù)的值后不要忘記檢驗．10．（2023秋·甘肅定西·八年級?？计谀┙夥质椒匠蹋海鸢?無解分析：根據(jù)解分式方程的步驟，先去分母化為整式方程，再求出方程的解，最后進(jìn)行檢驗即可．【詳解】解：方程的兩邊同乘，得，解得．檢驗：把代入．∴原方程無解．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．11．（2023春·福建福州·九年級福建省福州第十九中學(xué)校考階段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中．答案:分析：將括號里面通分進(jìn)而利用分式的混合運算法則，先算括號里，再算括號外，然后把的值代入化簡后的式子進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：原式，，；當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握通分及約分是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）先化簡，再求值：，