初中數(shù)學(xué)九大幾何模型

/初中數(shù)學(xué)九大幾何模型手拉手模型旋轉(zhuǎn)型全等等邊三角形【條件】：△和△均為等邊三角形；【結(jié)論】：①△≌△；②∠60°；③平分∠等腰直角三角形【條件】：△和△均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：①△≌△；②∠90°；③平分∠頂角相等的兩任意等腰三角形【條件】：△和△均為等腰三角形；且∠∠【結(jié)論】：①△≌△；②∠∠；③平分∠模型二：手拉手模型旋轉(zhuǎn)型相似一般情況【條件】：∥，將△旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△∽△→→→△∽△；②延長交于點(diǎn)E，必有∠∠特殊情況【條件】：∥，∠90°將△旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：①右圖中△∽△→→→△∽△；②延長交于點(diǎn)E，必有∠∠；③∠；④⊥；⑤連接、，必有；⑥模型三、對角互補(bǔ)模型全等型-90°【條件】：①∠∠90°；②平分∠【結(jié)論】：①；②；③證明提示：①作垂直，如圖2，證明△≌△②過點(diǎn)C作⊥，如圖3，證明△≌△※當(dāng)∠的一邊交的延長線于D時(shí)（如圖4）：以上三個(gè)結(jié)論：①；②；③全等型-120°【條件】：①∠2∠120°；②平分∠【結(jié)論】：①；②；③證明提示：①可參考“全等型-90°”證法一；②如右下圖：在上取一點(diǎn)F，使，證明△為等邊三角形。全等型-任意角ɑ【條件】：①∠2ɑ，∠180-2ɑ；②；【結(jié)論】：①平分∠；②2·ɑ；③※當(dāng)∠的一邊交的延長線于D時(shí)（如右下圖）：原結(jié)論變成：①；②；③?？蓞⒖忌鲜龅冖诜N方法進(jìn)行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。對角互補(bǔ)模型總結(jié)：①常見初始條件：四邊形對角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線；②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；③注意平分∠時(shí)，∠∠∠∠如何引導(dǎo)？模型四：角含半角模型90°角含半角模型90°1【條件】：①正方形；②∠45°；【結(jié)論】：①；②△的周長為正方形周長的一半；也可以這樣：【條件】：①正方形；②；【結(jié)論】：①∠45°；角含半角模型90°2【條件】：①正方形；②∠45°；【結(jié)論】：①；角含半角模型90°3【條件】：①△；②∠45°；【結(jié)論】：（如圖1）若∠旋轉(zhuǎn)到△外部時(shí)，結(jié)論仍然成立（如圖2）角含半角模型90°變形【條件】：①正方形；②∠45°；【結(jié)論】：△為等腰直角三角形；證明：連接（方法不唯一）∵∠∠45°，∴∠∠，又∵∠∠45°；∴△∽△，∴∴△∽△，∴△為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型倍長中線類模型1【條件】：①矩形；②；③；【結(jié)論】：⊥模型提?。孩儆衅叫芯€∥；②平行線間線段有中點(diǎn)；可以構(gòu)造“8”字全等△≌△。倍長中線類模型2【條件】：①平行四邊形；②2；③；④⊥；【結(jié)論】：∠3∠輔助線：有平行∥，有中點(diǎn)，延長，構(gòu)造△≌△，連接構(gòu)造等腰△，等腰△。（通過構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化）模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型（1）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型倍長中線法【條件】：①△、△均為等腰直角三角形；②；【結(jié)論】：①；②⊥輔助線：延長到點(diǎn)G，使，連接、、，證明△為等腰直角三角形；突破點(diǎn)：△≌△；難點(diǎn)：證明∠∠（2）相似三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型補(bǔ)全法【條件】：①△、△均為等腰直角三角形；②；【結(jié)論】：①；②⊥輔助線：構(gòu)造等腰直角△、△；輔助線思路：將與轉(zhuǎn)化到與。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型補(bǔ)全法【條件】：①△∽△；②∠∠90°；③；【結(jié)論】：①；②∠2∠輔助線：延長到G，使，延長到點(diǎn)H使，補(bǔ)全△、△構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化與到與，難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化∠。任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型倍長法【條件】：①△∽△；②∠∠90°；③；【結(jié)論】：①；②∠2∠輔助線：延長至M，使，將結(jié)論的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為證明△∽△，此為難點(diǎn)，將△∽△繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明△∽△，使用兩邊成比例且夾角相等，此處難點(diǎn)在證明∠∠模型七：最短路程模型最短路程模型一（將軍飲馬類）總結(jié)：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間，線段最短：解決；特點(diǎn)：①動(dòng)點(diǎn)在直線上；②起點(diǎn)，終點(diǎn)固定最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：①平分∠；②M為上一定點(diǎn)；③P為上一動(dòng)點(diǎn)；④Q為上一動(dòng)點(diǎn)；【問題】：求最小時(shí)，P、Q的位置？輔助線：將作Q關(guān)于對稱點(diǎn)Q’，轉(zhuǎn)化’，過點(diǎn)M作⊥，則’(垂線段最短）最短路程模型二（點(diǎn)到直線類2）【條件】：A(0,4)(-2,0)(0）【問題】：n為何值時(shí)，最??？求解方法：①x軸上取C(2,0),使∠；②過B作⊥，交y軸于點(diǎn)E，即為所求；③∠∠，即E（0，1）最短路程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：①線段4，2；②繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；【問題】：的最大值，最小值分別為多少？【結(jié)論】：以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”。最大值：；最小值：【條件】：①線段4，2；②以點(diǎn)O為圓心，，為半徑作圓；③點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn)；【結(jié)論】：若的最大值為10，則6；若的最小值為1，則3；若的最小值為2，則的取值范圍是0<<2【條件】：①△，∠30°；②2；③1；④點(diǎn)P為上動(dòng)點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）；⑤△繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：最大值為；的最小值為如下圖，圓的最小半徑為O到垂線段長。模型八：二倍角模型【條件】：在△中，∠2∠C；輔助線：以的垂直平分線為對稱軸，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A’，連接’、’、’、則’’(注意這個(gè)結(jié)論）此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型相似三角形模型基本型平行類：∥；A字型8字型A字型結(jié)論：(注意對應(yīng)邊要對應(yīng)）相似三角形模型斜交型【條件】：如右圖，∠∠90°；【結(jié)論】：××【條件】：如右圖，∠∠；【結(jié)論】：2×第四個(gè)圖還存在射影定理：××；2×；2×；相似三角形模型一線三等角型【條件】：（1）圖：∠∠∠90°；（2）圖：∠∠∠60°；