微分方程模型市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第五章微分方程模型5.1傳染病模型5.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5.3

正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4藥物在體內(nèi)分布與排除5.5香煙過(guò)濾嘴作用5.6人口預(yù)測(cè)和控制5.7煙霧擴(kuò)散與消失5.8萬(wàn)有引力定律發(fā)覺(jué)第1頁(yè)第1頁(yè)動(dòng)態(tài)模型描述對(duì)象特性隨時(shí)間(空間)演變過(guò)程分析對(duì)象特性改變規(guī)律預(yù)報(bào)對(duì)象特性未來(lái)性態(tài)研究控制對(duì)象特性手段依據(jù)函數(shù)及其改變率之間關(guān)系擬定函數(shù)微分方程建模根據(jù)建模目和問(wèn)題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè)按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程第2頁(yè)第2頁(yè)5.1傳染病模型問(wèn)題描述傳染病傳播過(guò)程分析受感染人數(shù)改變規(guī)律預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻預(yù)防傳染病蔓延手段按照傳播過(guò)程普通規(guī)律,用機(jī)理分析辦法建立模型第3頁(yè)第3頁(yè)已感染人數(shù)(病人)i(t)每個(gè)病人天天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為

模型1假設(shè)若有效接觸是病人,則不能使病人數(shù)增長(zhǎng)必須區(qū)別已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第4頁(yè)第4頁(yè)模型2區(qū)別已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人百分比分別為2）每個(gè)病人天天有效接觸人數(shù)為

,且使接觸健康人致病建模

~日接觸率SI模型第5頁(yè)第5頁(yè)模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻

(日接觸率)tm

Logistic模型病人能夠治愈！?t=tm,di/dt最大第6頁(yè)第6頁(yè)模型3傳染病無(wú)免疫性——病人治愈成為健康人,健康人可再次被感染增長(zhǎng)假設(shè)SIS模型3）病人天天治愈百分比為

~日治愈率建模

~日接觸率1/

~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸人數(shù),稱為接觸數(shù)。第7頁(yè)第7頁(yè)模型3i0i0接觸數(shù)

=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染健康者人數(shù)不超出病人數(shù)1-1/

i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)特例idi/dt01>10ti>11-1/

i0t

1di/dt<0第8頁(yè)第8頁(yè)模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng),稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者百分比分別為2）病人日接觸率

,日治愈率

,

接觸數(shù)=/建模需建立兩個(gè)方程第9頁(yè)第9頁(yè)模型4SIR模型無(wú)法求出解析解在相平面上研究解性質(zhì)第10頁(yè)第10頁(yè)模型4消去dtSIR模型相軌線定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線圖形，進(jìn)行分析第11頁(yè)第11頁(yè)si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減

相軌線方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0第12頁(yè)第12頁(yè)模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延手段

(日接觸率)衛(wèi)生水平

(日治愈率)

醫(yī)療水平傳染病不蔓延條件——s0<1/

預(yù)計(jì)減少s0提升r0提升閾值1/

減少

(=

/

)

,

群體免疫第13頁(yè)第13頁(yè)模型4SIR模型被傳染人數(shù)預(yù)計(jì)記被傳染人數(shù)百分比x<<s0i0P1

i0

0,s0

1

小,s0

1提升閾值1/

減少被傳染人數(shù)百分比xs0-1/

=

第14頁(yè)第14頁(yè)5.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型增長(zhǎng)生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)投資增長(zhǎng)勞動(dòng)力提升技術(shù)建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間關(guān)系研究資金與勞動(dòng)力最佳分派,使投資效益最大調(diào)整資金與勞動(dòng)力增長(zhǎng)率,使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng)1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動(dòng)力L(t)技術(shù)f(t)=f0第15頁(yè)第15頁(yè)模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力投資z伴隨y增長(zhǎng)而增長(zhǎng),但增長(zhǎng)速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)第16頁(yè)第16頁(yè)QK~單位資金創(chuàng)造產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造產(chǎn)值

~資金在產(chǎn)值中份額1-

~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中份額更普通道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)第17頁(yè)第17頁(yè)w,r,

K/L

求資金與勞動(dòng)力分派百分比K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有資金),使效益S最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造效益資金來(lái)自貸款,利率r勞動(dòng)力付工資w2）資金與勞動(dòng)力最佳分派（靜態(tài)模型）第18頁(yè)第18頁(yè)3)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長(zhǎng)條件(動(dòng)態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng),K(t),L(t)應(yīng)滿足條件模型假設(shè)投資增長(zhǎng)率與產(chǎn)值成正比(用一定百分比擴(kuò)大再生產(chǎn))勞動(dòng)力相對(duì)增長(zhǎng)率為常數(shù)第19頁(yè)第19頁(yè)Bernoulli方程第20頁(yè)第20頁(yè)產(chǎn)值Q(t)增長(zhǎng)dQ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)條件第21頁(yè)第21頁(yè)勞動(dòng)力增長(zhǎng)率小于初始投資增長(zhǎng)率每個(gè)勞動(dòng)力產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長(zhǎng)dZ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)條件第22頁(yè)第22頁(yè)5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類:正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少,因支援而增長(zhǎng)戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率相關(guān)建模思緒和辦法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域?qū)嶋H問(wèn)題提供了可借鑒示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局模型第23頁(yè)第23頁(yè)普通模型每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方兵力和戰(zhàn)斗力每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比甲乙雙方支援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t)~甲方兵力,y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型第24頁(yè)第24頁(yè)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒(méi)有支援f(x,y)=

ay,a~乙方每個(gè)士兵殺傷率a=rypy,ry~射擊率,py~命中率第25頁(yè)第25頁(yè)0正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)局,不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y關(guān)系平方律模型乙方勝第26頁(yè)第26頁(yè)游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)甲方戰(zhàn)斗減員率還伴隨甲方兵力增長(zhǎng)而增長(zhǎng)忽略非戰(zhàn)斗減員假設(shè)沒(méi)有支援f(x,y)=

cxy,c~乙方每個(gè)士兵殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動(dòng)面積sry~乙方射擊有效面積第27頁(yè)第27頁(yè)0游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型線性律模型第28頁(yè)第28頁(yè)0混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方為游擊部隊(duì),乙方為正規(guī)部隊(duì)乙方必須10倍于甲方兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第29頁(yè)第29頁(yè)5.4藥物在體內(nèi)分布與排除藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì)

藥物在體內(nèi)吸取、分布和排除過(guò)程——藥物動(dòng)力學(xué)

建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)基本環(huán)節(jié)房室——機(jī)體一部分,藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù)),在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周圍室(四肢、肌肉等)第30頁(yè)第30頁(yè)中心室周圍室給藥排除模型假設(shè)中心室(1)和周圍室(2),容積不變藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率,與該室血藥濃度成正比藥物從體外進(jìn)入中心室,在二室間互相轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立第31頁(yè)第31頁(yè)線性常系數(shù)非齊次方程相應(yīng)齊次方程通解模型建立第32頁(yè)第32頁(yè)幾種常見(jiàn)給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時(shí)注射劑量D0藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度馬上為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件第33頁(yè)第33頁(yè)2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt￡￡第34頁(yè)第34頁(yè)吸取室中心室3.口服或肌肉注射相稱于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸取室,吸取后進(jìn)入中心室吸取室藥量x0(t)第35頁(yè)第35頁(yè)參數(shù)預(yù)計(jì)各種給藥方式下c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,

n)測(cè)得c1(ti)由較大用最小二乘法定A,

由較小用最小二乘法定B,

第36頁(yè)第36頁(yè)參數(shù)預(yù)計(jì)進(jìn)入中心室藥物所有排除第37頁(yè)第37頁(yè)過(guò)濾嘴作用與它材料和長(zhǎng)度有什么關(guān)系人體吸入毒物量與哪些原因相關(guān),其中哪些原因影響大,哪些原因影響小。模型分析分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體過(guò)程,建立吸煙過(guò)程數(shù)學(xué)模型。設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙,吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變。問(wèn)題5.5香煙過(guò)濾嘴作用第38頁(yè)第38頁(yè)模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長(zhǎng),l2~過(guò)濾嘴長(zhǎng),l=l1+l2,毒物量M均勻分布,密度w0=M/l12）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點(diǎn)燃煙草和過(guò)濾嘴對(duì)隨煙霧穿行毒物(單位時(shí)間)吸取率分別是b和

4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v,香煙燃燒速度是常數(shù)u,v>>uQ~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量第39頁(yè)第39頁(yè)模型建立0t=0,x=0,點(diǎn)燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)第40頁(yè)第40頁(yè)t時(shí)刻,香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)第41頁(yè)第41頁(yè)3)求w(ut,t)第42頁(yè)第42頁(yè)4)計(jì)算Q第43頁(yè)第43頁(yè)結(jié)果分析煙草為何有作用?1）Q與a,M成正比,aM是毒物集中在x=l處吸入量2)~過(guò)濾嘴原因，

,l2~負(fù)指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處吸入量3）

(r)~煙草吸取作用b,l1~線性作用第44頁(yè)第44頁(yè)帶過(guò)濾嘴不帶過(guò)濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過(guò)濾嘴香煙比較,w0,b,a,v,l均相同,吸至x=l1扔掉提升-b與加長(zhǎng)l2,效果相同第45頁(yè)第45頁(yè)5.6人口預(yù)測(cè)和控制年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)主要性只考慮自然出生與死亡,不計(jì)遷移人口發(fā)展方程第46頁(yè)第46頁(yè)人口發(fā)展方程一階偏微分方程第47頁(yè)第47頁(yè)人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr第48頁(yè)第48頁(yè)生育率分解

~總和生育率h~生育模式0第49頁(yè)第49頁(yè)人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育多少~生育模式——控制生育早晚和疏密正反饋系統(tǒng)滯后作用很大第50頁(yè)第50頁(yè)人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時(shí)刻出生人,死亡率按(r,t)計(jì)算平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)但是大控制

(t)但是高第51頁(yè)第51頁(yè)5.7煙霧擴(kuò)散與消失現(xiàn)象和問(wèn)題炮彈在空中爆炸,煙霧向四周擴(kuò)散,形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大,然后區(qū)域邊界逐步明亮,區(qū)域縮小,最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過(guò)程,分析消失時(shí)間與各原因關(guān)系。問(wèn)題分析無(wú)窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源造成擴(kuò)散過(guò)程,用二階偏微分方程描述煙霧濃度改變。觀測(cè)煙霧消失與煙霧對(duì)光線吸取,以及儀器對(duì)明暗靈敏程度相關(guān)。第52頁(yè)第52頁(yè)模型假設(shè)1）煙霧在無(wú)窮空間擴(kuò)散,不受大地和風(fēng)影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線穿過(guò)煙霧時(shí)光強(qiáng)減少與煙霧濃度成正比；無(wú)煙霧大氣不影響光強(qiáng)。3）穿過(guò)煙霧進(jìn)入儀器光線只有明暗之分,明暗界線由儀器靈敏度決定。模型建立1）煙霧濃度改變規(guī)律熱傳導(dǎo)定律:單位時(shí)間通過(guò)單位法向面積流量與濃度梯度成正比第53頁(yè)第53頁(yè)曲面積分奧氏公式1）煙霧濃度改變規(guī)律第54頁(yè)第54頁(yè)初始條件Q~炮彈釋放煙霧總量

~單位強(qiáng)度點(diǎn)源函數(shù)對(duì)任意t,C等值面是球面x2+y2+z2=R2;R

C

僅當(dāng)t

,對(duì)任意點(diǎn)(x,y,z),C01）煙霧濃度改變規(guī)律第55頁(yè)第55頁(yè)2）穿過(guò)煙霧光強(qiáng)改變規(guī)律光強(qiáng)減少與煙霧濃度成正比第56頁(yè)第56頁(yè)3）儀器靈敏度與煙霧明暗界線煙霧濃度連續(xù)改變煙霧中光強(qiáng)連續(xù)改變儀器z-

設(shè)光源在z=-,儀器在z=,則觀測(cè)到明暗界線為