數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵的美學(xué)思想省公開課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第六章數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵美學(xué)思想第一節(jié)

數(shù)學(xué)美涵義第二節(jié)數(shù)學(xué)美特征退出一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美二、數(shù)學(xué)美涵義

一、

簡(jiǎn)單美

二、

對(duì)稱美三、友好美四、奇異美第1頁(yè)第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

第四節(jié)

數(shù)學(xué)美在中國(guó)源頭

一、美觀---外在美二、美好---內(nèi)在美三、美妙---高興美四、完美---

至善至美一、太極八卦---中國(guó)象數(shù)學(xué)美二、河圖洛書—數(shù)學(xué)形式美雛形第2頁(yè)第一節(jié)

數(shù)學(xué)美涵義一、數(shù)學(xué)家論數(shù)學(xué)美古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯(Proelus)斷言:“哪里有數(shù)，哪里就有美?！?/p>

古希臘著名學(xué)者畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)對(duì)數(shù)學(xué)有很深造詣,其中畢氏定理(勾股定理)就是他杰作,他認(rèn)為“萬(wàn)物最基本元素是數(shù),數(shù)友好---這就是美?！狈祷氐?頁(yè)龐加萊：“數(shù)學(xué)家們十分重視他們方法和理論是否十分優(yōu)美，這并非華而不實(shí)作風(fēng)，那么到底是什么使我們感到一個(gè)解答、一個(gè)證實(shí)優(yōu)美呢？那就是各個(gè)部分之間友好、對(duì)稱、恰到好處平穩(wěn)?！笨巳R因:“數(shù)學(xué)是人類最高超智力成就，也是人類靈魂最獨(dú)特創(chuàng)造。音樂(lè)能激發(fā)或撓慰情懷，繪畫能使人賞心悅目，詩(shī)歌能感人心弦，哲學(xué)使人取得智慧，科學(xué)可改進(jìn)物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給給予上一切?！备咚?“去尋求一個(gè)最美和最簡(jiǎn)練證實(shí)，乃是吸引我研究主要?jiǎng)恿??！狈祷氐?頁(yè)數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)本質(zhì)力量感性和理性顯現(xiàn),是一個(gè)人本質(zhì)力量經(jīng)過(guò)宜人數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)展現(xiàn)。它是自然美客觀反應(yīng),是科學(xué)美關(guān)鍵。二、數(shù)學(xué)美涵義返回第5頁(yè)第二節(jié)數(shù)學(xué)美特征

一、

簡(jiǎn)單美

簡(jiǎn)單是指數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)、方法、邏輯結(jié)構(gòu)和理論體系簡(jiǎn)單。

1.符號(hào)簡(jiǎn)單符號(hào)是書寫數(shù)學(xué)語(yǔ)言文字，大數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō):“符號(hào)經(jīng)常比創(chuàng)造它們數(shù)學(xué)家更能推理”,人們總是探索用簡(jiǎn)單符號(hào)去表現(xiàn)復(fù)雜數(shù)學(xué)內(nèi)容。比如，微積分學(xué)中慣用符號(hào):返回第6頁(yè)又如,哈密頓微分算子符號(hào)向量場(chǎng)函數(shù)v=v1i+v2j+v3k,

(vi是x,y,z函數(shù))▽v=()(v1i+v2j+v3k)

返回?cái)?shù)量場(chǎng)函數(shù)u(x,y,z)時(shí),產(chǎn)生梯度第7頁(yè)拉普拉斯方程:若用哈密頓算子表示,也十分漂亮、利落:

▽u·▽u=0返回第8頁(yè)在線性方程組表示為AX=B返回第9頁(yè)在埃及出土三千六百年前萊因特紙草上有下面一串符號(hào)用今天符號(hào)表示即：宋、元時(shí)期我國(guó)也開始了相當(dāng)于現(xiàn)在“方程論”研究,當(dāng)初記數(shù)使用是“算籌”,記號(hào)來(lái)表示二次三項(xiàng)式412x2－x+136其中x系數(shù)旁邊注以“元”字,常數(shù)項(xiàng)注以“太”字,籌上畫斜線表示“負(fù)數(shù)”。返回第10頁(yè)16世紀(jì),數(shù)學(xué)家卡當(dāng)、韋達(dá)等人對(duì)方程符號(hào)有了改進(jìn),直到笛卡爾才第一個(gè)倡用x,y,z表示未知數(shù)。他曾用xxx－9xx+26－24∝0表示方程x3－9x2+26－24=0

這個(gè)演變過(guò)程就是對(duì)簡(jiǎn)單美追求過(guò)程。返回第11頁(yè)假如要詳細(xì)寫出圓周率或歐拉常數(shù)根本不可能,然而用數(shù)學(xué)符號(hào)卻能準(zhǔn)確地表示它們。有些數(shù)及其運(yùn)算只有用符號(hào)表示,才能更準(zhǔn)確、更完美。比如,圓周率是一個(gè)常數(shù),1737年歐拉首先提倡用希臘字母π來(lái)表示它,且通用全世界；也是歐拉用e表示特殊無(wú)理常數(shù)─歐拉常數(shù)返回第12頁(yè)2.形式簡(jiǎn)單藝術(shù)家們追求美中,形式美是其中尤其主要內(nèi)容,他們?cè)阡秩久罆r(shí),經(jīng)常利用不一樣形式,如泰山雄偉,華山險(xiǎn)峻,黃山奇特,峨眉秀麗,青海幽深,滇池開闊等。數(shù)學(xué)家們也十分重視數(shù)學(xué)形式美,美國(guó)數(shù)學(xué)家柏克提出了一個(gè)公式

審美度=即人們對(duì)數(shù)學(xué)審美感受程度,與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出秩序成正比,與數(shù)學(xué)表現(xiàn)出復(fù)雜性成反比。所以,按審美度要求,數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式越簡(jiǎn)單就越美。返回第13頁(yè)格林公式斯托克斯公式返回第14頁(yè)空間解析幾何中

橢球

橢圓拋物面

它們不但便于記憶,而且含有形式美。返回第15頁(yè)3.語(yǔ)言簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單美表現(xiàn)在語(yǔ)言上使人回味無(wú)窮。

如“負(fù)負(fù)得正”；“對(duì)頂角相等”；“實(shí)數(shù)集不可數(shù)”；

“角、邊、角”；“邊、角、邊”等。數(shù)列極限

函數(shù)極限

導(dǎo)數(shù)概念

返回第16頁(yè)4.方法簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)中許多簡(jiǎn)單有效判定定理,形式優(yōu)美表示方式,并不是原本固有,而是經(jīng)過(guò)人們長(zhǎng)久比較、篩選結(jié)果。比如,對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別,達(dá)朗貝爾判別法(比值法)與柯西判別法(根式法)都是十分簡(jiǎn)單有效判別法,然而它們都有一個(gè)共同不足,就是不能判別當(dāng)極限值時(shí)級(jí)數(shù)斂散性,于是人們不停地給出了許多其它形式判別法。比達(dá)朗貝爾判別法更精細(xì)是拉貝(Laber)判別法

設(shè)則當(dāng)r>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；

當(dāng)r<1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。返回第17頁(yè)實(shí)際上，由達(dá)朗貝爾判別法：設(shè)級(jí)數(shù)滿足級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散不確定收斂；返回第18頁(yè)收斂；發(fā)散；斂散性不確定。凡是用達(dá)氏法能判別級(jí)數(shù)斂散性,用拉貝法也能判別,所以,拉貝法比達(dá)氏法更精細(xì)。返回第19頁(yè)比拉貝判別法更精細(xì)是庫(kù)麥爾(Kummer)判別法,其中{Cn}適合條件:級(jí)數(shù)發(fā)散。

設(shè)則當(dāng)k>0時(shí),級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)k<0時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。返回實(shí)際上，當(dāng)時(shí)，庫(kù)麥爾判別法即為拉貝判別法。第20頁(yè)拉格朗日型余項(xiàng)簡(jiǎn)單整齊,易于記憶,使用方便。從審美度而言拉格朗日型余項(xiàng)是最美,所以受到人們青睞。然而,人們?cè)趹?yīng)用泰勒公式時(shí),最習(xí)慣使用還是拉格朗日型余項(xiàng)其中在x與x0之間。返回又如,泰勒公式余項(xiàng),局部性有皮亞諾(Peano)余項(xiàng),整體性有施諾米爾奇(Schlomilch)─羅赫(Roche)余項(xiàng),柯西余項(xiàng)和拉格朗日余項(xiàng)等。在整體性余項(xiàng)中,后兩種余項(xiàng)僅是前一個(gè)余項(xiàng)特例。因而,從整體性考慮,前一個(gè)余項(xiàng)更完美。第21頁(yè)二、

對(duì)稱美

對(duì)稱是指圖形或數(shù)式對(duì)稱,概念、命題、法則或結(jié)構(gòu)對(duì)偶、對(duì)應(yīng)、對(duì)逆等。1.形式對(duì)稱解析幾何中標(biāo)準(zhǔn)圖形

返回第22頁(yè)代數(shù)中二項(xiàng)式定理:對(duì)稱行列式:

對(duì)稱矩陣：返回第23頁(yè)微積分中空間曲線L:x=x(t),y=y(t),z=z(t)切線方程空間曲面S:F(x,y,z)=0法線方程==導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則

返回第24頁(yè)2.關(guān)系對(duì)稱運(yùn)算對(duì)稱:加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對(duì)數(shù)、微分與積分、矩陣與逆矩陣等；概念對(duì)稱:函數(shù)與反函數(shù)、奇與偶、單增與單減、連續(xù)與間斷、收級(jí)與發(fā)散等；命題對(duì)稱:嚴(yán)格單減。

返回第25頁(yè)“共軛”關(guān)系對(duì)稱性:共軛無(wú)理數(shù)

共軛矩陣

共軛積分返回第26頁(yè)“對(duì)偶”關(guān)系對(duì)稱性:集合中對(duì)偶關(guān)系

線性規(guī)劃中對(duì)偶關(guān)系

線性規(guī)劃問(wèn)題：

(*)返回第27頁(yè)對(duì)偶規(guī)劃問(wèn)題：

(**)由對(duì)偶定理知,若線性規(guī)劃問(wèn)題(*)有最優(yōu)解,則其對(duì)偶規(guī)劃問(wèn)題(**)也有最優(yōu)解,且兩問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值相等。反之也成立。返回返回第28頁(yè)3.對(duì)稱美方法利用對(duì)稱美方法是數(shù)學(xué)中銳利武器,數(shù)學(xué)家們利用它揭示和發(fā)覺(jué)了很多數(shù)學(xué)中奧秘,其中最經(jīng)典有麥克斯韋方程、笛沙格定理和伽羅瓦群等,它被著名數(shù)學(xué)家狄拉克(Dirac)稱為“自然科課時(shí)代新方法精華”。下面僅以求積分為例,來(lái)說(shuō)明它妙用。(1)利用積分區(qū)間對(duì)稱性

利用積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱性和被積函數(shù)奇偶性,簡(jiǎn)化定積分計(jì)算,是積分運(yùn)算中最慣用一個(gè)方法。若積分區(qū)間不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,或積分區(qū)間即使關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但被積函數(shù)是非奇非偶函數(shù),有時(shí)經(jīng)過(guò)適當(dāng)換元或拆項(xiàng)等方法也可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱區(qū)間上積分問(wèn)題。返回第29頁(yè)例1求(n為自然數(shù))。令,則可將積分化為對(duì)稱區(qū)間。

返回第30頁(yè)(2)利用函數(shù)圖象對(duì)稱性

借助積分中函數(shù)圖象對(duì)稱性,取得簡(jiǎn)捷解題路徑,這是對(duì)稱美方法又一妙用。例2設(shè)C為對(duì)稱于坐標(biāo)軸平面光滑閉曲線,證實(shí)易知積分與路徑無(wú)關(guān)。設(shè)D為曲線C圍成平面閉區(qū)域,則由格林公式返回第31頁(yè)因?yàn)榉e分域D關(guān)于x軸對(duì)稱,又y3是奇函數(shù),同理，所以(3)利用輪換對(duì)稱性

依據(jù)研究問(wèn)題中解析式結(jié)構(gòu)對(duì)稱性,由一個(gè)結(jié)論快速地得出相同結(jié)論,這不但能縮減冗長(zhǎng)繁瑣計(jì)算或證實(shí)過(guò)程,而且給人以對(duì)稱美享受。例3計(jì)算

橢球外表面。

返回第32頁(yè)作廣義極坐標(biāo)變換,則

返回第33頁(yè)用輪換對(duì)稱法,即得于是

返回第34頁(yè)(4)挖掘潛在對(duì)稱關(guān)系

有問(wèn)題從表面上看,似乎與對(duì)稱無(wú)關(guān)。但假如仔細(xì)分析,尋找潛在對(duì)稱關(guān)系,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題,就能很快找到突破口,使問(wèn)題迎刃而解。例4計(jì)算

若直接令,則會(huì)造成錯(cuò)誤結(jié)論。

因?yàn)閒(x)=在[0,]上原函數(shù)不是初等函數(shù),所以不能用普通定積分方法來(lái)計(jì)算。

返回第35頁(yè)于是尋找有沒(méi)有對(duì)稱點(diǎn),輕易發(fā)覺(jué)

即在區(qū)間[0,]上橫坐標(biāo)關(guān)于任意兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)x與對(duì)應(yīng)函數(shù)值關(guān)于也對(duì)稱,故

返回第36頁(yè)(5)結(jié)構(gòu)對(duì)稱關(guān)系

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題,原來(lái)并不含有對(duì)稱性,在解題過(guò)程中,假如善于依據(jù)問(wèn)題特點(diǎn),結(jié)構(gòu)出某種對(duì)稱關(guān)系,便能使問(wèn)題很快得到處理。例5計(jì)算其中D為y=1,x=－1所圍成區(qū)域,f是一連續(xù)函數(shù)。

積分區(qū)域不具有對(duì)稱性，作曲線,

將D分成D1,D2兩部分,返回第37頁(yè)于是D1與D2

分別關(guān)于y軸和x軸對(duì)稱。

又因?yàn)槭莤或y奇函數(shù),所以=0從上述解題過(guò)程中都放射出對(duì)稱美思想光芒，正如德國(guó)數(shù)學(xué)家外爾(Weyl)所說(shuō):“美和對(duì)稱緊密相關(guān)”。返回第38頁(yè)三、友好美

數(shù)學(xué)中友好美是指數(shù)學(xué)內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、部分與整體之間存在著內(nèi)在聯(lián)絡(luò)或共同規(guī)律,從而形成本質(zhì)上嚴(yán)謹(jǐn)與統(tǒng)一。友好指事物之間含有勻稱、有序、明確改變規(guī)律。1.嚴(yán)謹(jǐn)是友好基礎(chǔ)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)自然顯現(xiàn)出它友好。為了追求嚴(yán)謹(jǐn),消除數(shù)學(xué)中不友好原因,數(shù)學(xué)家們一直在努力。數(shù)學(xué)史上所謂“數(shù)學(xué)危機(jī)”正是一些數(shù)學(xué)理論不友好所致。

返回第39頁(yè)第一次危機(jī)---無(wú)理數(shù)誕生。

第二次危機(jī)------實(shí)數(shù)理論得以建立,造成集合論誕生。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)------“羅素悖論”和其它悖論產(chǎn)生,為了防止悖論,策梅洛(Zermelo)在19提出了一個(gè)公理系統(tǒng),后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel)在19加以改進(jìn),形成了當(dāng)前公認(rèn)彼此無(wú)矛盾公理系統(tǒng),簡(jiǎn)稱ZF公理系統(tǒng)。函數(shù)連續(xù)性,是當(dāng)今數(shù)學(xué)中一個(gè)主要基本概念,然而它當(dāng)代定義形成,也經(jīng)歷了一個(gè)從不友好到友好漫長(zhǎng)過(guò)程。18世紀(jì),數(shù)學(xué)家歐拉認(rèn)為,由一個(gè)單獨(dú)表示式給出函數(shù)是連續(xù),而由幾個(gè)表示式給出函數(shù)是不連續(xù)。比如,歐拉函數(shù)返回第40頁(yè)是不連續(xù),而由兩個(gè)分支組成雙曲線(反百分比函數(shù)),因?yàn)樗怯梢粋€(gè)表示式給出,就認(rèn)為它是連續(xù)。19世紀(jì)，傅立葉證實(shí):定義在某個(gè)區(qū)間上任意函數(shù)可表示成該區(qū)間上正弦與余弦無(wú)窮級(jí)數(shù)。比如，返回第41頁(yè)可表示為這么一來(lái),上述函數(shù)依照歐拉看法既不是連續(xù),同時(shí)又是連續(xù)。18,柯西對(duì)“連續(xù)”概念重新敘述,直至1850年魏爾斯特拉斯給出“”形式定義,才使得“連續(xù)”這一概念有了新解釋。2.統(tǒng)一是友好標(biāo)志統(tǒng)一是指數(shù)學(xué)中內(nèi)容與內(nèi)容之間、內(nèi)容與形式之間、章節(jié)與章節(jié)之間客觀存在相互聯(lián)絡(luò)。

返回第42頁(yè)解析幾何中,引入極坐標(biāo)之后,橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一于公式平面上二次曲線方程因?yàn)橄禂?shù)A,B,C,…,F不一樣,其形態(tài)萬(wàn)千,不過(guò)歐拉經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換,將它們化為下面九種標(biāo)準(zhǔn)形狀:返回第43頁(yè)(雙曲線)(兩虛直線相交)(虛橢圓)(橢圓)返回第44頁(yè)(兩重合直線)(兩平行虛直線)(兩平行直線)(拋物線)(兩相交直線)返回第45頁(yè)在積分學(xué)中,不定積分與定積分是兩個(gè)切然不一樣概念,但在微積分基本公式之中得到友好統(tǒng)一,從而極大地推進(jìn)了微積分應(yīng)用與發(fā)展。

定積分、重積分、曲線積分和曲面積分,它們表述實(shí)際意義各不相同,但卻都統(tǒng)一于黎曼積分之中。各類積分之間都有著內(nèi)在聯(lián)絡(luò):返回第46頁(yè)二重積分三重積分Ⅰ型曲線積分Ⅰ型曲面積分Ⅱ型曲線積分Ⅱ型曲面積分定積分返回第47頁(yè)

四、奇異美

奇異指數(shù)學(xué)中方法、結(jié)論或相關(guān)發(fā)展出乎意料,使人既驚奇又贊賞與折服。徐利治先生說(shuō):“奇異是一個(gè)美，奇異到極度更是一個(gè)美?！痹跀?shù)學(xué)史上曾吸引人們廣泛關(guān)注有“蝴蝶定理”。

1815年,數(shù)學(xué)家奧納首先處理了這個(gè)問(wèn)題證實(shí)。但因?yàn)樗鼉?yōu)美外形及包含深刻內(nèi)涵,引發(fā)了人們廣泛興趣,100多年來(lái)研究者眾多,給出了不少初等與高等證實(shí),其中被公認(rèn)為最奇妙證實(shí)是1973年由斯特溫等人給出。返回第48頁(yè)證實(shí):由圖所表示，圓內(nèi)共有四對(duì)相等角。設(shè)PM=x,MQ=y,AM=MB=a,則有

化簡(jiǎn)得

返回第49頁(yè)由相交弦定理知

故有

因x,y都大于0,上式僅在x=y,即PM=MQ時(shí)成立。

上述證實(shí)中沒(méi)有添加任何輔助線，證實(shí)過(guò)程簡(jiǎn)明、勻稱，好優(yōu)美漂亮！返回第50頁(yè)高等數(shù)學(xué)中這種“離經(jīng)叛道”奇異現(xiàn)象,隨地可見。比如,人們長(zhǎng)久認(rèn)為,周期函數(shù)一定存在最小正周期,然而狄利克雷函數(shù)是周期函數(shù),但不存在最小正周期。實(shí)數(shù)軸上有理點(diǎn)與無(wú)理點(diǎn)都是處處稠密,然而無(wú)理點(diǎn)卻比有理點(diǎn)多得多。洛比達(dá)(L’Hospital)法則是求未定式極限銳利武器,但它對(duì)極限返回第51頁(yè)卻無(wú)能為力。

在不定積分中，有些看上去非常簡(jiǎn)單函數(shù)，卻“積”不出來(lái):在歐拉公式

代入,得

真叫人拍案叫絕,人們把這5個(gè)常數(shù)戲稱為數(shù)學(xué)中“五朵金花”。

返回第52頁(yè)對(duì)于n!,人們長(zhǎng)久認(rèn)為除了表示1,2,3,…,n這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積外,再?zèng)]有別意義。但在微積分中依據(jù)嘎瑪函數(shù)Г()遞推性質(zhì),能夠得到n!分析表示式這確實(shí)令人震驚而又感到數(shù)學(xué)魅力無(wú)窮。

第二型曲面積分是在雙側(cè)曲面上進(jìn)行。那么，單側(cè)曲面又是什么樣子呢？假如把一條長(zhǎng)矩形紙帶扭轉(zhuǎn)180o后,再把兩端粘起來(lái),這就成了僅有一個(gè)側(cè)面曲面,它通常叫做莫比烏斯帶,它是德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)覺(jué)。返回第53頁(yè)莫比烏斯帶有許多有趣性質(zhì)，比如用不一樣方式去剪開它，可有不一樣結(jié)果:假如沿著紙帶中線剪開,它仍是一條莫比烏斯帶,只是長(zhǎng)度增加了一倍；若沿紙帶寬處剪開,它卻成了一個(gè)扭了兩圈長(zhǎng)莫比烏斯帶套上一個(gè)小莫比烏斯帶。兩位美國(guó)學(xué)者在研究莫比烏斯帶制作時(shí)提出過(guò)一個(gè)問(wèn)題：在確保不摺折紙條前提下，能做成功莫比烏斯帶紙條最短長(zhǎng)度是多少？問(wèn)題看上去似乎很簡(jiǎn)單，然而回答起來(lái)卻是如此困難。兩位美國(guó)人預(yù)計(jì)是:若紙條寬是1,則能做成莫比烏斯帶最小長(zhǎng)度在之間。返回第54頁(yè)從圖看出,只要,做成功是沒(méi)有問(wèn)題。但它并不是最小預(yù)計(jì),這個(gè)最小預(yù)計(jì)至今依然是一個(gè)未解之“謎”。

有趣是,這個(gè)在數(shù)學(xué)史上完全由數(shù)學(xué)家構(gòu)想出來(lái)東西,竟進(jìn)入了有機(jī)化學(xué)領(lǐng)域。美國(guó)科羅拉多大學(xué)化學(xué)系沃爾巴、理查茲和霍爾提萬(wàn)格,在試驗(yàn)室第一次合成了形狀和莫比烏斯帶一樣莫比烏斯分子,他們制造莫比烏斯分子方法同制作莫比烏斯帶方法極其相同。返回第55頁(yè)數(shù)學(xué)中奇異現(xiàn)象還有另一個(gè)涵義,當(dāng)人們沒(méi)有認(rèn)清它而做犯錯(cuò)誤判斷、結(jié)論或給出不盡完美方法時(shí),將會(huì)出現(xiàn)一些“反例”。以后又有些人發(fā)覺(jué),存在著黎曼可積而又含有沒(méi)有窮多個(gè)間斷點(diǎn)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)是微積分學(xué)主要研究對(duì)象,起初,數(shù)學(xué)家們認(rèn)為“連續(xù)函數(shù)最少在某點(diǎn)處可微”,然而魏爾斯特拉斯卻找到了一個(gè)“處處連續(xù)但處處不可微”例子。返回第56頁(yè)第三節(jié)

讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美

怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中展現(xiàn)數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能夠感受和觀賞數(shù)學(xué)美，張奠宙教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中美學(xué)教育有以下4個(gè)層次:

美觀、美好、美妙、完美。

返回第57頁(yè)一、美觀---外在美

這主要是數(shù)學(xué)對(duì)象以形式上對(duì)稱、友好、簡(jiǎn)練,給人感官帶來(lái)漂亮、漂亮感受。幾何學(xué)經(jīng)常帶給人們直觀美學(xué)形象

返回第58頁(yè),在東京召開國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上,日本教師一堂公開課題目:在一塊矩形場(chǎng)地上筑一花壇,使其面積為場(chǎng)地二分之一,要求設(shè)計(jì)美觀。美國(guó)教師要求學(xué)生用二次曲線畫“米老鼠”或其它畫作,發(fā)揮學(xué)生用幾何曲線(寫出方程)進(jìn)行美術(shù)創(chuàng)作想象力。上海進(jìn)才中學(xué)教研組,他們?cè)谶M(jìn)行立體幾何教課時(shí),要求學(xué)生以“柱體”、“臺(tái)體”、“錐體”、“球體”、“圓柱”、“圓錐”等3維幾何圖形,制作一座運(yùn)動(dòng)會(huì)獎(jiǎng)杯,并要求學(xué)生寫出每個(gè)部件方程式。返回第59頁(yè)二、美好---內(nèi)在美

數(shù)學(xué)上許多東西,只有認(rèn)識(shí)到它正確性,才能感覺(jué)其“美好”?！懊烙^”數(shù)學(xué)對(duì)象,也必須進(jìn)到“美好”層次。

“圓”從結(jié)構(gòu)上看是極其美觀。從性質(zhì)上看它也十分美好。任何圓周長(zhǎng)與直徑之比總是一個(gè)常數(shù)π。π既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù),是超越數(shù)。這種內(nèi)在數(shù)學(xué)價(jià)值,展現(xiàn)了“圓”魅力,引無(wú)數(shù)英雄盡折腰。從祖沖之計(jì)算到今天用計(jì)算機(jī)算到60億位小數(shù),對(duì)它研究還未完結(jié)。返回第60頁(yè)不美觀數(shù)學(xué)對(duì)象是很多。一個(gè)突出例子是一元二次方程求根公式:這一公式不論從哪方面看都不對(duì)稱、不友好、不美觀。

不過(guò)，當(dāng)我們了解它、利用它，就會(huì)感到它價(jià)值，它“內(nèi)秀”。這一公式會(huì)告訴我們?cè)S多信息:“士”表示它有2個(gè)根；“a≠0,△=b2一4ac”會(huì)顯示根數(shù)目及方程性質(zhì)……,所以，當(dāng)你和它熟悉了，就會(huì)以為它形式上雖難看，本質(zhì)卻是美好。正如《巴黎圣母院》中卡西摩多，外表丑陋而內(nèi)心美好。返回第61頁(yè)三、美妙---高興美

教師要給學(xué)生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)覺(jué)機(jī)會(huì),體驗(yàn)發(fā)覺(jué)真理高興。美妙感覺(jué)需要培養(yǎng),比如,三角形3條高、3條中線、3條內(nèi)角平分線都交于一點(diǎn),這是很漂亮、十分美好,同時(shí)令人驚奇結(jié)論。發(fā)覺(jué)它會(huì)使人以為數(shù)學(xué)妙不可言,尤其是幾何學(xué)妙極了。那么在教課時(shí),先不告訴學(xué)生結(jié)果,讓學(xué)生自己親手作圖,讓學(xué)生自己發(fā)覺(jué)這些一下子看不出來(lái)“真理”。能夠想見,學(xué)生自己發(fā)覺(jué)一個(gè)數(shù)學(xué)真理該會(huì)是何等驚喜。一旦體會(huì)到數(shù)學(xué)“美妙”,對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生由衷興趣,也就是順理成章事了。返回第62頁(yè)每個(gè)喜歡數(shù)字人，都曾感受到那樣時(shí)刻:一條輔助線使無(wú)從著手幾何題豁然開朗,一個(gè)技巧使百思不得其解不等式證實(shí)得以經(jīng)過(guò),一個(gè)特定“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干問(wèn)題得以處理,這時(shí)高興與興奮真是難以形容,可能只有用一個(gè)“妙”字加以概括。這種美妙意境,會(huì)使人感到天地造化數(shù)學(xué)之巧妙,數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)字之深邃,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)悟之歡快。到達(dá)這一步,學(xué)生才算真正感受到數(shù)學(xué)美真諦,被數(shù)學(xué)所吸引,喜歡數(shù)學(xué),熱愛數(shù)學(xué)。返回第63頁(yè)四、完美-----至善至美

數(shù)學(xué)總是盡力做到至善至美、完美無(wú)缺,這可能是數(shù)學(xué)最高“品質(zhì)”和最高精神“境界”。

數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)300余年努力來(lái)證實(shí)費(fèi)馬定理,陳景潤(rùn)對(duì)歌德巴赫猜測(cè)苦苦追求,都是追求數(shù)學(xué)“完美”經(jīng)典事例。二次曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,現(xiàn)有圓錐曲線優(yōu)美,又有數(shù)形結(jié)合風(fēng)采;現(xiàn)有啟迪二次型數(shù)學(xué)底蘊(yùn),更有描摹天體運(yùn)動(dòng)功效,確實(shí)是一件完美科學(xué)杰作。返回第64頁(yè)數(shù)學(xué)美學(xué)格調(diào),和藝術(shù)格調(diào)是一脈相承。徐利治先生早就把數(shù)學(xué)概念和詩(shī)意境相結(jié)合,如借“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡”來(lái)描述極限,更是一個(gè)高端美學(xué)觀賞。愛舍兒數(shù)學(xué)畫,顯示出濃厚哲學(xué)意味,而奇異數(shù)學(xué)分形藝術(shù)則是20世紀(jì)計(jì)算機(jī)技術(shù)產(chǎn)物。觀賞數(shù)學(xué)藝術(shù),怎樣在課堂教學(xué)中發(fā)掘數(shù)學(xué)藝術(shù)魅力,在我國(guó)還沒(méi)有得到應(yīng)有重視,尤其是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中某種過(guò)分形式化趨向,往往掩蓋了數(shù)學(xué)漂亮色彩,遮蔽了數(shù)學(xué)文化光芒,以至喪失了數(shù)學(xué)教學(xué)美育功效。把數(shù)學(xué)美展示真正落實(shí)到課堂上,還有許多工作要做。返回第65頁(yè)第四節(jié)

數(shù)學(xué)美在中國(guó)源頭

數(shù)學(xué)作為一門有組織、獨(dú)立、理性學(xué)科來(lái)說(shuō),形成于公元前6世紀(jì)至公元前3世紀(jì)古希臘時(shí)代。早期一些古代文明國(guó)家,如中國(guó)、埃及、印度和巴比倫等,數(shù)學(xué)已經(jīng)有了開端和萌芽,我們稱公元前6世紀(jì)以前這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)為早期數(shù)學(xué),而人類在早期數(shù)學(xué)中,就已經(jīng)發(fā)覺(jué)一個(gè)朦朧而神秘?cái)?shù)學(xué)美了,這是為考古學(xué)家和數(shù)學(xué)史家大量發(fā)覺(jué)和研究結(jié)果所證實(shí)了。人類關(guān)于數(shù)學(xué)美觀念,對(duì)于數(shù)學(xué)美感受、追求、探索以及研究也早在遙遠(yuǎn)古代就開始了,這里介紹數(shù)學(xué)美在中國(guó)源頭。返回第66頁(yè)一、太極八卦---中國(guó)象數(shù)學(xué)美

中國(guó),在古代對(duì)于數(shù)學(xué)美感受與體驗(yàn),一直可追溯到公元前11世紀(jì)殷末周初時(shí)期。傳說(shuō)“天神”伏羲氏所創(chuàng)造太極八卦圖,說(shuō)明我國(guó)古代先人對(duì)于圓形所展現(xiàn)美有著自己獨(dú)特認(rèn)識(shí)。古希臘畢達(dá)哥拉斯之所以認(rèn)為“一切平面圖形中最美是圓形”,其主要原因是因?yàn)閳A有著無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸,顯示出一個(gè)絕正確對(duì)稱與友好。返回第67頁(yè)中國(guó)太極圖表示出了陰與陽(yáng)運(yùn)動(dòng)性質(zhì),黑色陰和白色陽(yáng)也展現(xiàn)出一個(gè)對(duì)稱。

但這種對(duì)稱不是以平直單調(diào)直徑作為對(duì)稱軸,而是以一條S形曲線將大圓均分成兩半。這一奇妙分割產(chǎn)生許多意想不到美效果:它使得這個(gè)陰與陽(yáng)之間對(duì)稱不是靜止，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補(bǔ)充。暗示著無(wú)休止強(qiáng)有力運(yùn)動(dòng),并可經(jīng)過(guò)這個(gè)含有動(dòng)態(tài)美幾何圖形對(duì)事物進(jìn)行抽象,給出宇宙萬(wàn)物對(duì)立統(tǒng)一運(yùn)動(dòng)形象模式,告訴我們宇宙美一個(gè)簡(jiǎn)單美妙組合方式,但又沒(méi)有詳細(xì)指出它們確實(shí)切涵義,只道出了一個(gè)“互補(bǔ)性之謎”。其內(nèi)含寓意深刻,令人贊嘆不已。返回第68頁(yè)“周易”經(jīng)史學(xué)家考證,大約出于公元前11