《28.2 解直角三角形,仰角、俯角,坡度》課件

已知兩邊兩直角邊一斜邊，一直角邊一邊一角一銳角，一直角邊一銳角，一斜邊歸納已知斜邊求直邊，正弦余弦很方便；已知直邊求直邊，正切余切理當(dāng)然；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要選好；已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知銳角求銳角，互余關(guān)系要記好；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦；計(jì)算方法要選擇，能用乘法不用除．優(yōu)選關(guān)系式仰角和俯角鉛直線(xiàn)水平線(xiàn)視線(xiàn)視線(xiàn)仰角俯角在進(jìn)行測(cè)量時(shí)：從下向上看，視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角叫做仰角；從上往下看，視線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角叫做俯角．方向角如圖：點(diǎn)A在O的北偏東30°點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA東西北南【例3】如圖，在上海黃埔江東岸，矗立著亞洲第一的電視塔“東方明珠”，某校學(xué)生在黃埔江西岸B處，測(cè)得塔尖D的仰角為45°，后退400m到A點(diǎn)測(cè)得塔尖D的仰角為30°，設(shè)塔底C與A、B在同一直線(xiàn)上，試求該塔的高度．ACBD30°45°解:設(shè)塔高CD=x

m在Rt△BCD中，∵∠DNC=45°∴BC=x∴CA=400+x在Rt△ACD中，∵∠DAC=30°∴AC=xtan60°=400+x∴塔高CD為m．

（1）如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC=1500米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角a=25°，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離（精確到1米）．ABC┓α小練習(xí)解：在Rt△ABC中ABC┓α答：飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離為3000.0米．∴

（2）如圖，某海島上的觀(guān)察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測(cè)得其俯角α=82°．已知觀(guān)察所A的標(biāo)高（當(dāng)水位為0m時(shí)的高度）為45m，當(dāng)時(shí)水位為+2m，求觀(guān)察所A到船只B的水平距離BC（精確到0.01m）．小練習(xí)解：所以觀(guān)察所A到船只B的水平距離BC為307.14m．【例4】如圖，海島A四周45海里周?chē)鷥?nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見(jiàn)島A在北偏西60?，航行18海里到C，見(jiàn)島A在北偏西45?，貨輪繼續(xù)向西航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？ABDCPP145?60?答：貨輪有觸礁危險(xiǎn)．∵∠PBA=60?，∠P1CA=30?，∴

∠ABC=30?，∠ACD=30?，在Rt△ADC中，CD=AD?cot∠ACD=x?cot60?，在Rt△ADB中，BD=AD?cot45?=x?cot45?，∵BD－CD＝BC，BC＝18∴

x?cot45?-x?cot60?=18∴x＝≈9×(3＋1.732)=42.588<45解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)AD=x

（1）如圖，一艘漁船正以40海里/小時(shí)的速度由西向東趕魚(yú)群，在A(yíng)處看某小島C在船的北偏東60°，半個(gè)小時(shí)后，漁船行止B處，此時(shí)看見(jiàn)小島C在船的北偏東30°．已知以小島C為中心，周?chē)?5海里以?xún)?nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，問(wèn)這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)的可能?小練習(xí)解：設(shè)BD=x

海里由題意得AB=20，∴AD=20+x在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD=ADtan30°=BDtan60°∴x=10所以這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群，不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)．>15

（2）正午8點(diǎn)整，一漁輪在小島O的北偏東30°方向，距離等于20海里的A處，正以每小時(shí)10海里的速度向南偏東60°方向航行．那么漁輪到達(dá)小島O的正東方向是什么時(shí)間？（精確到1分）．10時(shí)44分小練習(xí)30°60°AOBC

（3）如圖，海島A的周?chē)?5海里內(nèi)有暗礁，魚(yú)船跟蹤魚(yú)群由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得海島A位于北偏東60°，航行16海里到達(dá)點(diǎn)C處，又測(cè)得海島A位于北偏東30°，如果魚(yú)船不改變航向繼續(xù)向東航行．有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？有觸礁的危險(xiǎn)小練習(xí)

【例5】燕尾槽的橫斷面是等腰梯形，下圖是一燕尾槽的橫斷面，其中燕尾角B是45°，外口寬AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它的里口寬BC（精確到1mm）．解：等腰梯形中，AD=180mm，AE=70mm，∠B=45°AE⊥BC∵∴又∵BE=EC∴答：它的里口寬BC長(zhǎng)為320mm．

遇到有關(guān)等腰梯形的問(wèn)題，應(yīng)考慮如何添加輔助線(xiàn)，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形的組合圖形，從而把求等腰梯形的下底的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問(wèn)題．

如圖，在離地面高度5米處引拉線(xiàn)固定電線(xiàn)桿，拉線(xiàn)和地面成60°角，求拉線(xiàn)AC的長(zhǎng)以及拉線(xiàn)下端點(diǎn)A與桿底D的距離AD（精確到0.01米）．AC約為5.77米AD約為2.89米小練習(xí)

（2）如圖，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于E，AB=10，DE=6，cosA=，求CD的長(zhǎng)．CD的長(zhǎng)為1小練習(xí)

坡面的鉛直高度h和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示．把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．坡度、坡角h【例6】（1）如圖，溫州某公園入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為30cm，深為30cm．為方便殘廢人士，現(xiàn)擬將臺(tái)階改為斜坡，設(shè)臺(tái)階的起始點(diǎn)為A，斜坡的起始點(diǎn)為C，現(xiàn)將斜坡的坡角∠BCA設(shè)計(jì)為12°，求AC的長(zhǎng)度．（sin12°≈0.2079）解：在Rt△BDC中，∠C=12°∴AC=282－60=222（cm）由題意得，BD=60

（2）如圖，在山坡上種樹(shù)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）是5.5m，測(cè)得斜坡的傾斜角是24°，求斜坡上相鄰兩樹(shù)的坡面距離是多少（精確到0.1m）．上述問(wèn)題可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．解：在Rt△ABC中，∴答：斜坡上相鄰兩樹(shù)的坡面距離是6米．

（1）如圖，沿AC方向開(kāi)山修渠，為了加快施工速度，要從小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=140°，BD=500m，∠D=50°，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)（精確到0.1m），正好能使A、C、E成一條直線(xiàn)？小練習(xí)解：要使A、C、E在同一直線(xiàn)上，則∠ABD是△BDE的一個(gè)外角．∴∠BED=∠ABD－∠D=90°∴DE=BD·cosD=500×0.6428=321.400≈321.4（m）答：開(kāi)挖點(diǎn)E離D為321.4米，正好能使A、C、E成一直線(xiàn)．

（2）如圖，水庫(kù)大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1:2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(zhǎng)（精確到0.1m）．

壩底AD的寬為132.5m，斜坡AB的長(zhǎng)為72.7m．小練習(xí)

（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．

利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：歸納（1）三邊之間的關(guān)系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90o（3）邊角之間的關(guān)系1．解直角三角形的依據(jù)ABCabc┓課堂小結(jié)

（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫(huà)出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．

2．利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：1．在△ABC中，∠C=90°，解這個(gè)直角三角形．⑴∠A=60°，斜邊上的高CD=

；⑵∠A=60°，a+b=3+．解：（1）∠B=90°-∠A=30°AC=隨堂練習(xí)60°ABCD┓┓2．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD=2AC=2BD，且DE⊥AB．（1）求tanB；（2）若DE=1，求CE的長(zhǎng)．ACBEDCE＝53．如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求：sinB，cosB，tanB的值．ABCD解:過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，垂足為D∵AB=AC=13，AD⊥BC，BC=10∴BD=CD=5∴AD=12┓4．為測(cè)量松樹(shù)AB的高度，一個(gè)人站在距松樹(shù)20米的E處，測(cè)得仰角∠ACD=56o，已知人的高度是1．76米，求樹(shù)高（精確到0.01米）．解：在Rt△ACD中，tgC=AD/CD，∴AD=CDtanC=BEtanC=20×tan56o=20×1.4826≈29.65(米)．∴AB=AD+BD=29.65+1.76=31.41(米)．答：樹(shù)高31.41米．56°ADBCE┓D75°450ABC

5．如圖，在△ABC中，已知AC=8，∠C=75°，∠B=45°，求△ABC的面積．8解:過(guò)C作CD⊥AB于D，∵∠B=45°，∠ACB=75°

∴∠A=60°

∵sinA=cosA=

∵∠BDC=90°∴S△ABC=∴∠BCD=45°

∴BD=CD=

∴CD=AC·sin60°=AD=AC·cos60°=4AC1000米570米B

6．我軍某部在一次野外訓(xùn)練中，有一輛坦克準(zhǔn)備通過(guò)一座小山，已知山腳和山頂?shù)乃骄嚯x為1000米，山高為580米，如果這輛坦克能夠爬