新高考數(shù)學一輪復習專題九計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計9-4二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布練習含答案

9.4二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布五年高考高考新風向(多選)(2024新課標Ⅰ,9,6分,中)隨著“一帶一路”國際合作的深入,某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1,樣本方差s2=0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(x,s2),則(若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(Z<μ+σ)≈0.8413)(BC)A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8考點1二項分布和超幾何分布1.(2021浙江,15,6分,中)袋中有4個紅球,m個黃球,n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球,記取出的紅球數(shù)為ξ,若取出的兩個球都是紅球的概率為16,一紅一黃的概率為13,則m-n=1,E(ξ)=

82.(2023全國甲理,19,12分,中)一項試驗旨在研究臭氧效應,試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.(2)試驗結(jié)果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù),完成如下列聯(lián)表:<m≥m對照組試驗組(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?附:K2=n(P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解析(1)依題意得,X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C200C202C402=1978,PP(X=2)=C202C∴X的分布列為X012P192019∴E(X)=1978×0+2039×1+19(2)(i)依題意可得m=23.2+23.62=23.4則對照組樣本中小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)為6,試驗組樣本中小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)為14,則列聯(lián)表為<m≥m對照組614試驗組146(ii)由(i)中列聯(lián)表可得K2=40×(6×6?14×14)220×20×20×20=6.4>3∴有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.考點2正態(tài)分布1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,中)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則下列結(jié)論中不正確的是(D)A.σ越小,該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D.該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=0.14.

三年模擬練速度1.(2024湖南師大附中月考六,4)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=(B)A.0.7B.0.6C.0.4D.0.32.(2024河北石家莊二模,2)某市教育局為了解高三學生的學習情況,組織了一次摸底考試,共有50000名考生參加這次考試,數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布,其正態(tài)密度函數(shù)為f(x)=1σ2πe(x?90)22σ2,x∈R且P(70≤X≤110)=0.8A.2000B.3000C.4000D.50003.(2024浙江部分學校聯(lián)考,3)下列說法正確的是(C)A.若隨機變量η~B12,14,則D(ηB.若隨機變量ξ~N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(2<ξ<4)=0.4C.一組數(shù)據(jù)11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位數(shù)為19D.若P(A∩B)=19,P(A)=23,P(B)=13,則事件A4.(2024河南開封第三次質(zhì)量檢測,6)在某項測驗中,假設(shè)測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例將測驗數(shù)據(jù)從大到小分為A,B,C,D四個等級,則等級為A的測驗數(shù)據(jù)的最小值可能是(C)(附:若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)A.94B.86C.82D.785.(2024福建泉州質(zhì)量檢測三,6)中心極限定理是概率論中的一個重要結(jié)論.根據(jù)該定理,若隨機變量ξ~B(n,p),則當np>5且n(1-p)>5時,ξ可以由服從正態(tài)分布的隨機變量η近似替代,且ξ的期望與方差分別與η的均值與方差近似相等.現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2500次,利用正態(tài)分布估算骰子向上的點數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)少于1300的概率為(D)附:若:η~N(μ,σ2),則P(μ-σ<η<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<η<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<η<μ+3σ)≈0.9973.A.0.0027B.0.5C.0.8414D.0.97736.(2024湖北黃岡二模,8)某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽,某班派出甲、乙兩名單打主力,為了提高兩位主力的能力,體育老師安排了為期一周的對抗訓練,比賽規(guī)則如下:甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局,當兩人獲勝局數(shù)不少于3局時,則認為這輪訓練過關(guān);否則不過關(guān).若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1,p2,且滿足p1+p2=43,每局之間相互獨立.記甲、乙在n輪訓練中訓練過關(guān)的輪數(shù)為X,若E(X)=16,則從期望的角度來看,甲、乙兩人訓練的輪數(shù)至少為(A)A.27B.24C.32D.287.(2024浙江溫州三模,12)設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,1),若P(ξ>a+1)=P(ξ<a),則a=

328.(2024福建質(zhì)檢,12)某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件,其質(zhì)量指標介于(49.6,50.4)的為優(yōu)品,技術(shù)改造前,該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布N(50,0.16);技術(shù)改造后,該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標服從正態(tài)分布N(50,0.04).那么,該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差為0.2718.(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|<σ)=0.6827,P(|X-μ|<2σ)=0.9545,P(|X-μ|<3σ)=0.9973)

練思維1.(2024廣東佛山質(zhì)量檢測二,17)如圖,在一條無限長的軌道上,一個質(zhì)點在隨機外力的作用下,從位置0出發(fā),每次等可能地向左或向右移動一個單位,設(shè)移動n次后質(zhì)點位于位置Xn.(1)求P(X4=-2);(2)求E(Xn);(3)指出質(zhì)點最有可能位于哪個位置,并說明理由.解析設(shè)質(zhì)點n次移動中向右移動的次數(shù)為Y,則Y~Bn,12,Xn=Y-(n-Y)=2Y-n.(3(1)P(X4=-2)=P(Y=1)=C41121123=4(2)E(Xn)=2E(Y)-n=2n·12-n=0.(9分(3)P(Y=k)=Cnk12k12n若n為偶數(shù),Cnk中間的一項Cnn2取得最大值,即Y=n2概率最大,此時Xn=0,所以質(zhì)點最有可能位于位置0若n為奇數(shù),Cnk中間的兩項Cnn+12,Cnn?12取得最大值,即Y=n+1-1,所以質(zhì)點最有可能位于位置1或-1.(15分)2.(2024湖南衡陽第二次聯(lián)考,16)某報社組織“鄉(xiāng)村振興”主題征文比賽,一共收到500篇作品,由評委會給每篇作品打分,下面是從所有作品中隨機抽取的9篇作品的得分:82,70,58,79,61,82,79,61,58.(1)計算樣本平均數(shù)x和樣本方差s2;(2)若這次征文比賽作品的得分X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ和σ2的估計值分別為樣本平均數(shù)x和樣本方差s2,該報社計劃給得分在前50名的作品作者評獎,則評獎的分數(shù)線約為多少分?參考數(shù)據(jù):P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9.解析(1)由題意可得,x=19×(82+70+58+79+61+82+79+61+58)=70,s2=19×[(82-70)2+(70-70)2+(58-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(82-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(58-70)2]所以樣本平均數(shù)為70,樣本方差為100.(2)因為得分X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且μ=x=70,σ2=s2=100,則σ=10,所以X~N(70,102),又P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,|X-70|<13?57<X<83,所以P(57<X<83)≈0.8,又P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9,|X-70|<16?54<X<86,所以P(54<X<86)≈0.9,由題知評獎作品總共50篇,獲獎率為50500=0.1因為P(57<X<83)≈0.8,則1-P(57<X<83)≈0.2,所以P(X<57)=P(X>83)≈0.1,即分數(shù)線約為83分.3.(2024山東泰安一輪檢測,16)某學校為了緩解學生緊張的復習生活,決定舉行一次游戲活動,游戲規(guī)則為:甲箱子里裝有3個紅球和2個黑球,乙箱子里裝有2個紅球和2個黑球,這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球,且每次游戲結(jié)束將球放回原箱,摸出一個紅球記2分,摸出一個黑球記-1分,得分在5分以上(含5分)則獲獎.(1)求在1次游戲中,獲獎的概率;(2)求在1次游戲中,得分X的分布列及均值.解析(1)設(shè)“在1次游戲中摸出i個紅球”為事件Ai(i=0,1,2,3,4),“在1次游戲中獲獎”為事件B,則B=A3∪A4,且A3,A4互斥,P(A3)=C32C21C21+C31C21C2所以在1次游戲中,獲獎的概率P(B)=P(A3∪A4)=P(A3)+P(A4)=310+120=(2)依題意,X的所有可能取值為-4,-1,2,5,8,由(1)知,P(X=-4)=P(A0)=C22CP(X=-1)=P(A1)=C31C21P(X=2)=P(A2)=C32C22P(X=5)=P(A3)=310,P(X=8)=P(A4)=1所以X的分布列為X-4-1258P11731數(shù)學期望E(X)=(-4)×160+(-1)×16+2×715+5×310+8×4.(2024江蘇南京、鹽城一模,17)已知某種機器的電源電壓U(單位:V)服從正態(tài)分布N(220,202).其電壓通常有3種狀態(tài):①不超過200V;②在200V~240V之間;③超過240V.在上述三種狀態(tài)下,該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15,0.05,0.2.(1)求該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率;(2)從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n(n≥2)件,記其中恰有2件不合格品的概率為pn,求pn取得最大值時n的值.附:若Z~N(μ,σ2),取P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.68,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.95.解析(1)記電壓“不超過200V”“在200V~240V之間”“超過240V”分別為事件A,B,C,“該機器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D.因為U~N(220,202),所以P(A)=P(U≤200)=1?P(μ?σ<P(B)=P(200<U<240)=P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.68,P(C)=P(U>240)=1?P(μ?σ<Z<μ+σ所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.16×0.15+0.68×0.05+0.16×0.2=0.09,即該機器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09.(7分)(2)從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取n件,設(shè)不合格品件數(shù)為X,則X~B(n,0.09),所以pn=P(X=2)=Cn2·0.91n-2·0.092.(11分由pn+1pn=Cn+12·0.91n?1·0.092所以當n≤21時,pn<pn+1;當n≥22時,pn>pn+1,所以p22最大.因此當n=22時,pn最大.(15分)5.(2024遼寧省三所重點中學第三次模擬,19)某自然保護區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展,某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度增加.已知這種動物P擁有兩個亞種(分別記為A種和B種).為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目,某動物研究小組計劃在該區(qū)域中捕捉100只動物P,統(tǒng)計其中A種的數(shù)目后,將捕獲的動物全部放回,作為一次試驗結(jié)果.重復進行這個試驗共20次,記第i次試驗中A種的數(shù)目為隨機變量Xi(i=1,2,…,20).設(shè)該區(qū)域中A種的數(shù)目為M,B種的數(shù)目為N(M,N均大于100),每一次試驗均相互獨立.(1)求X1的分布列.(2)記隨機變量X=120i=120Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D((i)證明:E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1(ii)該小組完成所有試驗后,得到Xi的實際取值分別為xi(i=1,2,…,20).數(shù)據(jù)xi(i=1,2,…,20)的平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分別代替E(X)和D(X),給出M,N的估計值.已知隨機變量X服從超幾何分布記為X~H(P,n,Q)(其中P為總數(shù),Q為某類元素的個數(shù),n為抽取的個數(shù)),則D(X)=nQP1?解析(1)依題意,X1服從超幾何分布,故X1的分布列為P(X1=k)=CMkCN100?kCMX101…99100PCC…CC(2)(i)證明:由題可知Xi(i=1,2,…,20)均服從完全相同的超幾何分布,所以E(X1)=E(X2)=…=E(X20),E(X)=E120i=120Xi=120Ei=120Xi=120i=120E(XiD(X)=D120i=120Xi=1202Di=120Xi=1202i=120D(Xi故E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1)(ii)由(i)可知X的均值E(X)=E(X1)=100M由公式得X1的方差D(X1)=100MN所以D(X)=5MN依題意有100解得N=1456,M=624,所以可以估計M=624,N=1456.練風向(新定義理解)(2024浙江金麗衢十二校聯(lián)考二,17)某工廠生產(chǎn)某種元件,其質(zhì)量按測試指標劃分為指標大于或等于82為合格品,小于82為次品,現(xiàn)抽取這種元件100件進行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計如下表:測試指標[20,76)[76,82)[82,88)[88,94)[94,100]元件數(shù)(件)121836304(1)現(xiàn)從這100