高中數(shù)學(xué)第三章不等式3-4-2基本不等式的應(yīng)用同步課件新人教A版必修5

第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用

主題基本不等式的應(yīng)用1.已知x,y都是正數(shù),若x+y=s(和為定值),那么xy的取值范圍是什么?提示:方法一:因?yàn)閤+y=s,所以x=s-y,所以xy=y(s-y)=-y2+sy=又x>0,y>0,所以0<xy≤方法二:由基本不等式,得s=x+y≥2所以xy≤,當(dāng)x=y時(shí),xy取得最大值,又因?yàn)閤>0,y>0,所以0<xy≤.2.已知x,y都為正數(shù),若xy=p(積為定值),即x+y的取值范圍是什么?提示:由基本不等式,得x+y≥2當(dāng)x=y時(shí),x+y取得最小值2,所以x+y≥2.3.一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大?最大是多少?提示:把矩形菜園的長、寬分別記為x,y,則2(x+y)=36,即x+y=18,由基本不等式得xy≤=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時(shí),等號(hào)成立,即x=y=9m時(shí)矩形菜園的面積最大,最大為81m2.結(jié)論:設(shè)x,y為正實(shí)數(shù).(1)若x+y=s(定值),則當(dāng)________時(shí),xy有最大值____.(2)若xy=p(定值),則當(dāng)________時(shí),x+y有最小值____.x=y=x=y=【拓展延伸】求條件最值的方法求條件最值是基本不等式的一個(gè)重要應(yīng)用.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí):①通過對(duì)所給式進(jìn)行巧妙分拆、變形、組合、添加系數(shù)使之能夠出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵;②必須指出等號(hào)成立的條件.

【拓展延伸】求條件最值的方法求條件最值是基本不等式的一個(gè)重要應(yīng)用.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí):①通過對(duì)所給式進(jìn)行巧妙分拆、變形、組合、添加系數(shù)使之能夠出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵;②必須指出等號(hào)成立的條件.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.設(shè)x>0,y>0且x+4y=40,則xy的最大值是 (

)A.100

B.50

C.40

D.20【解析】選A.x·4y≤=400,即xy≤100,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=20時(shí),上式取等號(hào).2.若正數(shù)m,n滿足2m+n=1,則的最小值為(

)A.3+2 B.3+C.2+2 D.3【解析】選A.由題意,因?yàn)?m+n=1,則=·(2m+n)=3+≥3+2=3+2,當(dāng)且僅當(dāng),即n=m時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為3+2.3.若x>0,則y=4x+的最小值為________.

【解析】因?yàn)閤>0,所以y=當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即x=時(shí),y=4x+取最小值.答案:123.若x>0,則y=4x+的最小值為________.

【解析】因?yàn)閤>0,所以y=當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即x=時(shí),y=4x+取最小值.答案:12類型一利用基本不等式求最值、范圍【典例1】(1)若正數(shù)a,b滿足ab+a+b=3,則a+b的最小值為________.

(2)(2019·天津高考改編)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則的最小值為________.

【解題指南】(1)利用基本不等式可得,ab≤,將ab+a+b=3轉(zhuǎn)化成3≤+(a+b),求解a+b的范圍并檢驗(yàn)等號(hào)成立即可.(2)先由x+2y=4,借助基本不等式求出xy≤2,再對(duì)化簡求解.【解析】(1)因?yàn)閍,b為正數(shù),所以≤成立.所以ab≤,所以3=ab+a+b≤+(a+b).即(a+b)2+4(a+b)-12≥0,解得:a+b≥2或a+b≤-6(舍去).當(dāng)

時(shí),等號(hào)成立,即a=b=1時(shí),等號(hào)成立.所以a+b的最小值為2.答案:2(2)由x+2y=4,得x+2y=4≥2,得xy≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=2,y=1時(shí)等號(hào)成立.故所求的最小值為.答案:

【方法總結(jié)】1.利用基本不等式求最值的方法(1)若“一正二定三相等”中的條件滿足時(shí),直接用公式求解.(2)若條件不滿足時(shí),則需對(duì)條件作適當(dāng)調(diào)整和轉(zhuǎn)化,使其滿足.2.利用基本不等式求條件最值的方法【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)x>0,則函數(shù)y=x+的最小值為________.

【解析】y=x+

當(dāng)且僅當(dāng)x+=,即x=時(shí)等號(hào)成立.所以函數(shù)的最小值為0.答案:0類型二利用基本不等式求參數(shù)的值、范圍【典例2】(1)若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y滿足=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 (

)

A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)(2)已知a>0,b>0,若不等式恒成立,則m取最大值時(shí),=________.

【解題指南】(1)根據(jù)基本不等式求出x+2y的最小值,從而得到關(guān)于m的不等式,進(jìn)而求得m的取值范圍.(2)利用分離常數(shù)法和基本不等式求出m的最大值,以及m取最大值時(shí)a與b的關(guān)系,再計(jì)算的值.【解析】(1)選D.x+2y=(x+2y)當(dāng)且僅當(dāng),即4y2=x2時(shí)等號(hào)成立.由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,m2+2m-8<0,解得-4<m<2.(2)a>0,b>0時(shí),不等式可化為

(a+4b)≥m,即m≤8+;又≥2=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)取等號(hào),所以m≤16,且m取最大值時(shí),a=4b,此時(shí).答案:

【方法總結(jié)】運(yùn)用基本不等式求參數(shù)的取值范圍(1)若已知不等式,則要先將字母參數(shù)分離出來,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,從而求出參數(shù)的取值范圍.(2)若是已知等式,則要用基本不等式得出關(guān)于參數(shù)的不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.【跟蹤訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x++2的值域?yàn)?-∞,0]∪[4,+∞),則a的值是 (

)

【解析】選C.由已知若a≤0,則f(x)值域?yàn)镽,所以a>0,①當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x++2≥2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取等號(hào);②當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x++2≤-2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-時(shí)取等號(hào).所以解得a=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知不等式(x+y)≥16對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為 (

)A.1

B.2

C.4

D.6【解析】選C.(x+y)=4+a+,因?yàn)閤>0,y>0,a>0,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由已知可得4+a+4≥16,即a+4-12≥0,解得≥2或≤-6(舍去),所以a≥4,即a的最小值為4.2.若對(duì)任意x>0,≤a恒成立,則a的取值范圍是________.

【解析】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào),所以a∈答案:

類型三基本不等式的實(shí)際應(yīng)用【典例3】(2019·武漢高二檢測(cè))已知A,B兩地的距離是130km,每輛汽車的通行費(fèi)為50元.按交通法規(guī)規(guī)定,A,B兩地之間的公路車速應(yīng)限制在50～100km/h.假設(shè)汽油的價(jià)格是7元/L,一輛汽車的耗油率(L/h)與車速的平方成正比,如果此車的速度是90km/h,那么汽車的耗油率為22.5L/h,司機(jī)每小時(shí)的工資是70元.從A地到B地最經(jīng)濟(jì)的車速是多少?如果不考慮其他費(fèi)用,這次行車的總費(fèi)用是多少(精確到1元)?【解題指南】先設(shè)車速為x(50<x<100),耗油率為m,行車總費(fèi)用為f(x),根據(jù)題意求出m,得到f(x),再由基本不等式求其最值,即可得出結(jié)果.【解析】設(shè)車速為x(50<x<100),耗油率為m,行車總費(fèi)用為f(x),因?yàn)橐惠v汽車的耗油率(L/h)與車速的平方成正比,所以m=kx2(k>0),又此車的速度是90km/h時(shí),汽車的耗油率為22.5L/h,所以22.5=k×902,解得k=,故m=x2,因此,由題意可得,f(x)=x2×

×7+×70+50=x++50≥2+50=+50≈353,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=60時(shí),f(x)取最小值.因此,從A地到B地最經(jīng)濟(jì)的車速是60km/h,此時(shí)的行車總費(fèi)用約為353元.【方法總結(jié)】應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟(1)先理解題意,設(shè)出變量,一般把要求最值的量定為函數(shù).(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系,把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大或最小值問題.(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值.(4)寫出正確答案.【跟蹤訓(xùn)練】圍建一個(gè)360m2的矩形場地,要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長度為x(單位:m),修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用為y(單位:元).(1)將y表示為x的函數(shù).(2)試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最少,并求出最少總費(fèi)用.【解題指南】(1)利用矩形的面積將矩形的另一邊長也用x來表示,進(jìn)而寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.(2)在(1)的基礎(chǔ)上利用基本不等式求出目標(biāo)函數(shù)的最值.【解析】(1)如圖,設(shè)矩形的另一邊長為am,則y=45x+180(x-2)+180·2a,由已知xa=360,得a=.所以y=225x+-360(2)因?yàn)閤>0,所以225x+=10800.所以y=225x+-360≥10800-360=10440,當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號(hào)成立.即當(dāng)x=24m時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最少,最少總費(fèi)用是10440元.【知識(shí)思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞(2)因?yàn)閤>0,所以225x+=10800.所以y=225x+-360≥10800-360=10440,當(dāng)