全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練(三)(原卷版+解析)(北師大版成都專(zhuān)用)

全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（三）1．如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．42．如圖，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分線BP于點(diǎn)P．若△ABC的面積為32cm2，BP=6cm,且△APB的面積是△APC的面積的3倍．則AP＝________cm.3．如圖，在中，.點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接FD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，則的面積為_(kāi)_____．4．如圖，在四邊形中，，，，面積為18，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，若點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段和邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．5．如圖，在等邊ABC中，AD⊥BC于D，AC＝6，點(diǎn)F是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BF，以BF為邊作等邊BFE，連接DE，則點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DE長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．6．如圖，為等腰的高，其中分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)____．7．如圖，已知在中，和分別為和的角平分線，若的周長(zhǎng)為22，那么線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______．8．如圖，中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，若，，，則___________．9．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，直線，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值是______．10．如圖，與為等腰直角三角形，，，，，連接、．(1)如圖，若，，求的度數(shù)；(2)如圖，若、、三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)，且，，求的面積；(3)如圖，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，在上有一點(diǎn)且，連接，請(qǐng)猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．11．已知：為等邊三角形，點(diǎn)、點(diǎn)是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，且兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度相同．(1)如圖（1）若動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，連接交于點(diǎn)．求證：(2)如圖（2）若動(dòng)點(diǎn)在射線上，動(dòng)點(diǎn)在射線上，連交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．(3)如圖（3）若動(dòng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，連接交于．求證：．12．已知：在中，，點(diǎn)在上，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線，于點(diǎn)，，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，求的面積．13．如圖所示，在中，，點(diǎn)D是線段CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰．連接，且．(1)若，則_______；(2)過(guò)D點(diǎn)作，垂足為G．①填空：_______；②求證：；(3)如圖2，若點(diǎn)F是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．14．如圖所示，是邊的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，滿足，；求的度數(shù)．15．如圖，已知和均為等腰直角三角形，且(1)試說(shuō)明：(2)試判斷和的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．16．如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍，小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到的理由是______．(2)求得的取值范圍是______．(3)如圖2，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，若，求證：．全等三角形的七大模型綜合訓(xùn)練（三）1．如圖，在中，，和的平分線、相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若已知周長(zhǎng)為，，，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4答案:B分析：證明得出，證明得出，即可求解．【詳解】解：如圖，在上截取，連接平分，平分，，，，，，，在和中，，，，，，在和中，，，，，周長(zhǎng)為，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角分線的定義，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分線BP于點(diǎn)P．若△ABC的面積為32cm2，BP=6cm,且△APB的面積是△APC的面積的3倍．則AP＝________cm.答案:4分析：延長(zhǎng)AP交BC于E，根據(jù)AP垂直∠B的平分線BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同高，可以證明兩三角形面積相等，再根據(jù)已知條件△ABC的面積為32cm2，即可求得△APB的面積，再根據(jù)面積公式即可求得AP的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)AP交BC于E，∵AP垂直的平分線BP于P，∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，在△ABP和△EBP中，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴S△ABP=S△EBP，AP=EP，∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC=S△PCE，∵S△ABP=3S△APC，∴S△EBP=3S△PCE，設(shè)S△PCE=x，則S△APC＝x，S△ABP=S△EBP=3x，∵△ABC的面積為32cm2∴x+x+3x+3x=32，∴x=4，∴S△ABP＝12，∵AP垂直∠ABC的平分線BP于點(diǎn)P，∴S△ABP＝＝12又∵BP＝6cm∴AP=4【點(diǎn)睛】本題考查的是面積及等積變換以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，.點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接FD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，若∠BED=2∠ADC，AF=2，DF=7，則的面積為_(kāi)_____．答案:分析：作CD的垂直平分線交AD于M，交CD與N，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得MC=MD，進(jìn)而可得∠MDC=∠MCD，根據(jù)已知及外角性質(zhì)可得∠AMC=∠BED，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠B=∠CAB=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ACM=∠BDE，進(jìn)而可證明∠ADF=∠ACM，進(jìn)而即可證明∠FCD=∠FDC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CF=DF，根據(jù)已知可求出AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式即可得答案.【詳解】作CD的垂直平分線交AD于M，交CD與N，∵M(jìn)N是CD的垂直平分線，∴MC=MD，∴∠MDC=∠MCD，∵∠AMC=∠MDC=∠MCD，∴∠AMC=2∠ADC，∵∠BED=2∠ADC，∴∠AMC=∠BED，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠CAB=45°，∵∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC，∠BDE=180°-∠B-∠BED，∴∠ACM=∠BDE，∵∠BDE=∠ADF，∴∠ADF=∠ACM，∴∠ADF+∠ADC=∠ACM+∠MCD，即∠FCD=∠FDC，∴FC=FD，∵AF=2，F(xiàn)D=7，∴AC=FC-AF=7-2=5，∴S△ABC=×5×5=.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)，到線段兩端的距離相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等；熟練掌握相關(guān)的定理及性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4．如圖，在四邊形中，，，，面積為18，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，，若點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段和邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．答案:6分析：連接AQ，過(guò)點(diǎn)D作于H．利用三角形的面積公式求出DH，由題意得：，求出AQ的最小值，AQ最小值是與DH相等，也就是時(shí)，根據(jù)面積公式求出DH的長(zhǎng)度即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AQ，過(guò)點(diǎn)D作于H．∵面積為18，BC=6，∴，∴，∵M(jìn)N垂直平分線段AB，∴，∴，∴當(dāng)AQ的值最小時(shí)，的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，AQ的值最小，∵，∴AQ=DH=6，∴的最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，把最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線段最短是解題關(guān)鍵．5．如圖，在等邊ABC中，AD⊥BC于D，AC＝6，點(diǎn)F是線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接BF，以BF為邊作等邊BFE，連接DE，則點(diǎn)F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段DE長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．答案:分析：以BD為邊在BC上方作等邊△BDD'，連接D'F，證明△FBD'≌△EDB，得DE＝D'F，由點(diǎn)到直線垂線段最短得D'F⊥AD時(shí)，D'F取最小值，再證明四邊形D'GDH為矩形，結(jié)合等邊三角形“三線合一”求出DG，即可得DE長(zhǎng)度的最小值．【詳解】解：如圖，以BD為邊在BC上方作等邊△BDD'，連接D'F，∵∠FBE＝∠D'BD＝60°，∴∠FBD'＋∠FBD＝∠FBD＋∠DBE，∴∠FBD'＝∠DBE，在△FBD'與△EDB中，，∴△FBD'≌△EDB（SAS），∴DE＝D'F，∵點(diǎn)到直線垂線段最短，∴D'F⊥AD時(shí)，D'F取最小值，過(guò)點(diǎn)D'作D'H⊥AD交AD于H，作D'G⊥BD交BD于G，∵∠D'GD＝∠ADG＝∠D'HD＝90°，∴四邊形D'GDH為矩形，∵BD'＝DD'，AB＝AC，∴由等腰三角形“三線合一”得：BG＝GD，BD＝DC，∴GD＝BC＝，∴DE長(zhǎng)度的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到直線垂線段最短、矩形的判定與性質(zhì)，以BD為邊在BC上方作等邊△BDD'證明△FBD'≌△EDB是本題關(guān)鍵．6．如圖，為等腰的高，其中分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取最小值時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)____．答案:分析：作，且，連接交于M，連接，證明，得到，，當(dāng)F為與的交點(diǎn)時(shí)，即可求出最小值；【詳解】解：如圖1，作，且，連接交于M，連接，是等腰三角形，，，，，，，，在與中，，，∴當(dāng)F為與的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，的值最小，此時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．7．如圖，已知在中，和分別為和的角平分線，若的周長(zhǎng)為22，那么線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案:9分析：如圖：在上截取，連接，由角平分線的定義可得，再證可得，再結(jié)合可得，進(jìn)一步可得即；再說(shuō)明，最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)及等量代換即可解答．【詳解】解：在上截取，連接，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵周長(zhǎng)∵，∴，∴．故答案為：9【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，若，，，則___________．答案:20分析：作于M，于N，則是等腰三角形，得出，證明，得到，得出，因此，設(shè)，則，，根據(jù)求出a的值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到答案．【詳解】作于M，于N，如圖：則，，則是等腰三角形，，，，，在中，,，，，，設(shè)，則，，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的判定，證明三角形全等是關(guān)鍵．9．如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，直線，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值是______．答案:分析：取線段的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出以及，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理證出≌，進(jìn)而即可得出，再根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即可得出的最小值，此題得解．【詳解】解：取線段的中點(diǎn)，連接，如圖所示．為等邊三角形，，且為的對(duì)稱軸，，，，．≌，．當(dāng)時(shí)，最小，點(diǎn)為的中點(diǎn)，此時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)全等三角形的性質(zhì)找出．10．如圖，與為等腰直角三角形，，，，，連接、．(1)如圖，若，，求的度數(shù)；(2)如圖，若、、三點(diǎn)共線，與交于點(diǎn)，且，，求的面積；(3)如圖，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，在上有一點(diǎn)且，連接，請(qǐng)猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．答案:(1)(2)(3)，理由見(jiàn)解析分析：（1）證明△ACD≌△BCE（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥DE于Q．證明△CQF≌△BEF（AAS），推出CQ=BE=3，QF=EF，求出EF，可得結(jié)論．（3）如圖3中，結(jié)論：CN+MN=BG．如圖過(guò)點(diǎn)B作BT⊥BC交CN的延長(zhǎng)線于T．證明△CBT≌△BCG（ASA），△BNM≌△BNT（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖中，，，，在和中，，≌，，，，，，；（2）如圖中，過(guò)點(diǎn)作于．同理可得：≌，，，，，，在和中，，≌，，，，，；（3）如圖中，結(jié)論：．理由：如圖過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，，，，同理：≌，，，，，在和中，，≌，，，，，在和中，，≌，，．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．11．已知：為等邊三角形，點(diǎn)、點(diǎn)是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，且兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度相同．(1)如圖（1）若動(dòng)點(diǎn)在線段上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，連接交于點(diǎn)．求證：(2)如圖（2）若動(dòng)點(diǎn)在射線上，動(dòng)點(diǎn)在射線上，連交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．求證：．(3)如圖（3）若動(dòng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，動(dòng)點(diǎn)在線段上，連接交于．求證：．答案:(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，證明，即可證明結(jié)論；（2）證明，可得，然后由，，求得；（3）首先過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，則可證得為等邊三角形，繼而證得，則可證得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，根據(jù)題意得：，在和中，，∴∴；（2）根據(jù)題意，，∴，即，在和中∴，∴，∵，，∴；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵是等邊三角形，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，12．已知：在中，，點(diǎn)在上，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線分別交的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線，于點(diǎn)，，，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，求的面積．答案:(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)．分析：（1）設(shè)，根據(jù)題意用表示出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，結(jié)合圖形證明；（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，證明，得到，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（3）連接，證明，得到，求出AG，根據(jù)三角形的面積公式求出，得到答案．【詳解】（1）證明：如圖1，設(shè)，則，，在中，∵，∴，∴，∴；（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：如圖3，連接，在△AFG和△AFH中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的面積計(jì)算，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．如圖所示，在中，，點(diǎn)D是線段CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)，連接，以為斜邊作等腰．連接，且．(1)若，則_______；(2)過(guò)D點(diǎn)作，垂足為G．①填空：_______；②求證：；(3)如圖2，若點(diǎn)F是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．答案:(1)60(2)①；②見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析分析：（1）在等腰直角三角形中，，，根據(jù)余角的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答；（2）①如圖1，過(guò)D作于G，在中，由余角的定義得到，由于，推出，證得；②根據(jù)可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和余角的定義得到，推出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論；（3）如圖2，過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于M根據(jù)余角的定義和三角形的內(nèi)角和得到，證得，由全等三角形的性質(zhì)得到，由于，，推出，證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1：在等腰直角三角形中，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：60（2）解：①如圖1，過(guò)D作于G，在中，，∵，∴，∵，在與中，，∴，故答案是：；②∵，∴，∵，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：如圖2，過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于M，∵，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵，，∵，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及同角的余角相等，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖所示，是邊的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，滿足，；求的度數(shù)．答案:分析：延長(zhǎng)至，使，連接BG，在上截?。粯?gòu)造出，配合等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊，得出；進(jìn)而可證明，得出，從而得到等邊三角形，即可求得結(jié)果；【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至，