考點08 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式-2022年高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)考點微

考點08同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

1.（2017?全國高考真題（文））函數(shù)負x）=」sin（x+三）+cos（x-￡）的最大值為

536

6人31

A.—B.1C.-D.一

555

【答案】A

【詳解】

函數(shù)/（X）的最大值為

所以選A.

【名師點睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換

把函數(shù)化為y=Asin（s+9）+3的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、

函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征.

2.（2020?全國高考真題（理））若a為第四象限角，則（）

A.cos2a>0B.cos2a<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

【分析】

由題意結(jié)合:倍角公式確定所給的選項是否正確即可.

【詳解】

方法一：山a為第四象限角，可得——+2k7i<a<2TT+2k7i,k&Z,

2

所以3〃+或兀<2a<4〃+4卜兀,keZ

此時2a的終邊落在第三、四象限及>軸的非正半軸上，所以sin2c<0

故選：D.

TC

方法二：當(dāng)。=一一時,cos2a=cos---->0,選項B錯誤;

6I3）

7t

當(dāng)a=—時,cos2a=cos選項A錯誤;

3

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0,則sin2a=2sinacosa<0,選項C錯誤，選項D正確；

故選：D.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計

算求解能力.

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：；'n/-=(anafay?+far,ZCZ).

cosa\乙j

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—?二三四五六

兀J

角2E+a（攵￡Z）兀+。~a兀-a2~a2i?

正弦sina-sina一sinasinacosacosa

余弦cosa"cosacosa-cosasina—sina

正切tanatana-tana-tana

口訣奇變偶不變，符號看象限

1.（2020?福建福州市?高三月考）sinl55°sin55o-cos25ocosl25o=（）

1

AGRC.—D.B

2222

已知cos(W-a]+cos(乃+。)=應(yīng)，則tana+―—=()

2.（2021?安徽高三其他模擬（文））

<2)tana

A.2B.-2C.-D.3

3

3.(2021?四川攀枝花市?高三一模(文))已知cos(5+a)=-2cosa,tanl^-ezj=()

C1

A.-3B.——C.-D.3

33

4.（2021?云南高三其他模擬（文））已知cos［尤一（）=（,則cos彗-x）=（）

4

A.

5

5.（2021?黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三二模（文））當(dāng)。€（0,兀）時，若cos（g-，）=一|,則sin（e+W）

的值為（）

4443

A.---B.—C.±—D.—

5555

6.（2020?正陽縣高級中學(xué)高三月考（文））0.618被公認為是最具有審美意義的比例數(shù)字，是最能引起美感

的比例，因此被稱為黃金分割.被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在

V5-lfV5-l）

生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.他認為底與腰之比為黃金分割比*/三一”0.618的黃金

2I2J

三角形是''最美三角形”，即頂角為36。的等腰三角形，例如，中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”

與一個正五邊形組成的，如圖，在其中一個黃金AAHC中，黃金分割比為生.根據(jù)以上信息，計算

sin1674°=()

A

B

3+75逐+12V5-14+小

A.DR.---------------------

8448

7.（2020?全國高三專題練習(xí)（文））若角A,B,C是8c的三個內(nèi)角，則下列等式中一定成立的是（

)

A.cos(A+B)=cosCB.sin(A+B)=-sinC

AD.sinkc"

C.cos(y+C)=sinB

22

a=—g,且cosa<0,則sin(7i+a)=()

8.（2020?全國高三專題練習(xí)（文））若tan

B一述D,速

A.C

55-f5

,則cos(x7121\

9.（2020?江西省信豐中學(xué)高三月考（文））已知cos+sin)

A?考

B.-1C.0

sin(二一")+cos(7一a)、

10.（2020?西藏拉薩市?拉薩那曲第二高級中學(xué)高三月考（文））設(shè)tana=3,則.TC71

sin——a+cos一+a

2)2)

()

A.3B.2C.1D.-1

已知sin（a+2）=’,則cos（色-a）的值等于（）

11.（2020?全國高三專題練習(xí)（文））

434

2&2V211

A.RC.—D.——

r333

12.(2020?全國高三專題練習(xí)(文))設(shè)函數(shù)〃x)=sin—x-^-0—\[3-x+6)且其圖象

關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)y=/(x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是()

13.(2020?重慶八中高三月考(文))已知。是第三象限角，且COS(?+6)=；,則tan，=()

A.當(dāng)B.2C.25/2D.Ji。

14.(2020?湖北十堰市?(文))如果兩個方程的曲線經(jīng)過若干次平移或?qū)ΨQ變換后能夠完全重合，則稱這兩

個方程為“互為鏡像方程對“，給出下列四對方程：

③爐=4y與y?=4x④>=/與丁=》3-3%2+3%+2

則“互為鏡像方程對''的是()

A.①②③B.①③?C.②③④D.①②(§)④

TT

15.(2016?上海高考真題(文))設(shè)aeH,。6[0,2乃].若對任意實數(shù)*都有豆11(3%-1)=411(3:+份，則

滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(a,b)的對數(shù)為.

16.(2013?全國高考真題(文))已知sin2a2，則cos2(a+-)=(

34

]_

3

17.(2008?陜西高考真題(文))sin330°等于

3]_

A.B.C.D.

2222

18.(2010?全國高考真題(理))記cos(—80°)=3那么tanl(X)0=

71-A:2k

口。一聲

k

57ri

19.(2013?廣東高考真題(文))已知sin(y+a)=—,那么cosa=

2112

A.一一B.——C.-D.

5555

cos(a-——)

20.(2015?重慶高考真題(理))若tana=2tan-,則--------支-=()

5?/萬、

sin(cr-y)

A.1B.2C.3D.4

基礎(chǔ)練

1.D

【分析】

利用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解即可得答案.

【詳解】

因為sin155°=sin(180°-25°)=sin25°,cos125°=cos(90°+35°)=-sin35°,

所以sin155°sin55°-cos25°cos125°=sin25°cos35°+cos25°sin35°

=sin(25°+35。)=sin60。=4.

故選：D.

2.A

【分析】

用誘導(dǎo)公式化簡，平方后求得sinacosa,求值式切化弦后易得結(jié)論.

【詳解】

+cos(?+a)=^2,/.—sina-cosa=播

即sina+cosa=->/2,(sina+cosa)2=2,sinacosa--.

2

sinacosa1

二?tana+------=-------H—:--=-------—2,

tanacosasinasinacosa

故選：A.

3.B

【分析】

山誘導(dǎo)公式對條件化簡求得tana=2,根據(jù)兩角差的正切公式，代入問題里面，求得結(jié)果即可.

【詳解】

71

cos—+a=-sina=-2cosa=>tana=2,

71

tan----tana1-21

則tan4

1+tan—冗-tana1+23

4

故選：B

4.B

【分析】

注意到？47-r一人=》一(卜-7T9T\，用誘導(dǎo)公式求解.

3

【詳解】

71713

7T-x~~=-cosX——

I375

故選：B.

提升練

5.B

【分析】

先求得的取值范圍，再由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得sin[1--ej的值，最后由誘導(dǎo)公式，得解.

【詳解】

解：?.?。€（0,兀），

2兀_（兀2兀）

3133J

（2TI327rzi，兀2兀、

<3）53U3）

（2n4

..sin----0,

13）5

..以幻.「（lit.（lit、4

..sin0+—=sin兀-----夕J]=sin——6——.

\3/\3JJ\3）5

故選：B.

【點睛】

方法點睛：三角恒等變換求值，常用的方法有：三看（看角看名看式）三變（變角變名變式）.要根據(jù)已知

條件靈活選擇方法求解.

6.B

【分析】

=墾1,然后由誘導(dǎo)公式求解.

利用正弦定理及正弦的：倍角公式求得cos36。

4

【詳解】

sinABAC_sin36°_sin3601小-

在AABC中，由正弦定理可得一=

ACsinZABCsin7202sin36°cos3602cos3602

o

：.cos36=-=J—=sin16740=sin(4x360°+234°)=sin234°=sin(180°+54°)=

75-14

-sin54°=-sin(90°-36°)=-cos3€

4

故選：B..

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦定理和正弦的二倍角公式，考查誘導(dǎo)公式.本題考查關(guān)鍵是利用正弦定理把三

角函數(shù)值與黃金分割比聯(lián)系起來，得cos36。=苴±L

4

7.D

【分析】

利用三角形的內(nèi)角和公式、誘導(dǎo)公式逐一判斷各個選項中的式子是否成立，從而得出結(jié)論.

【詳解】

解：：角A,B,C是AABC的三個內(nèi)角，.?.4+8=萬一€',，cos(A+8)=cos(〃-C)=-cosC,故排

除A；

又5抽04+8)=5抽(左一0=5111。，故排除8；

,/sinB+C=sin冗'=cos—,故。滿足條件；

222

AA

由于u+C有可能為鈍角，故cos(—+C)可能小于零，而sin3>0,故C不一定成立；

22

故選：D.

【點睛】

本題主要考查三角形的內(nèi)角和公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.A

【分析】

利用三角函數(shù)的定義求出sina,再由誘導(dǎo)公式得出結(jié)論.

【詳解】

；tana=-;，且cosa<0,所以a為第二象限角，

???可在a終邊上取一點P(-2,1),則|OP|=V5,

..]小../、.yf5

??sina=-=---，??sin(兀+a)=-sina=----

755''5

故選：A.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式，在sina,cosa,tana中已知一個三角函數(shù)值，可以在其終邊上

取一點，利用三角函數(shù)的定義求解其他兩個函數(shù)值.

9.A

【分析】

利用誘導(dǎo)公式將cos,結(jié)合已知條件即可得到

答案.

【詳解】

cosfx-->l+sinf--x^cosf--x>l+sinf--X+—

I6jI3J<6){62J

f￡_Af￡_Xf￡_^空

=cos16Jcos16J2cos16)

故選：A

【點睛】

本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

10.B

【分析】

先利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡得到sma+c°sa=tana+1,代入即可求解.

sma-cosatana-l

【詳解】

sin(a-〃)+cos(;r-a)__sina-cos。_sina+cosa

由誘導(dǎo)公式，可得.(兀、(7t\cosa-sinasina-cosa

sin1-2---a)+cos1—2+a

sina+cosa

二cosa_tana+l3+1=2

sina-cosatana-13-1

cosa

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，其中解答中熟記三角函

數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.

11.C

【分析】

'Jijrl

根據(jù)(a+2)+(A-a)=W，將所求式子中的角變換后，利用誘導(dǎo)公式變形后，將己知的等式代入即可求

442

出值.

【詳解】

TT1TTTTTT7TI

因為sin(a+—)=-,所以cos(——a)=cos[—-(a+—)]=sin(a+-)=-.

故選：C.

【點睛】

本題考查了運用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式，靈活變換角度是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【分析】

根據(jù)輔助角公式把/(%)化為"x)=2sin(gx+e-q),由“力的圖象關(guān)于y軸對稱，且網(wǎng)<]，可

得。的值.求出八%)的解析式，即求其單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】

/(x)=sin(；x+e)_Gc(好(；工+6)=25E(3尤+6-5)的圖象關(guān)于,，軸對稱,

乂網(wǎng)<奉二。=一

Zo

.../(x)=2sin(*?_])c1

=-2cos—x.

2

由2女萬-7i<—x<2k兀,keZ,可得4k兀-2/r<x<4ki,keZ.

2

當(dāng)左=0時，/(力的單調(diào)遞減區(qū)間是[一2鞏0],

?'?/(x)在(一宗―今)遞減，

故選：C.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的輔助角公式、誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

13.C

【分析】

先由誘導(dǎo)公式得出cos。=一L,再由同角三角函數(shù)關(guān)系式得出sin。和tan0的值即可.

3

【詳解】

cos（萬+6）=-cos9=；,所以cos6=-；,又夕是第三象限角,

所以sind=-Jl-cos?0=一/一11）=-'

2」

所以tan0=si."=2-=2\[2.

cos0_￡

"3

故選：C.

【點睛】

本題考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.B

【分析】

對于①，根據(jù)誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)后可知，y=cos(x+g)可以通過平移變換得到，所以①是互為鏡像

方程對方程；

對于②，將y=lnV化為分段函數(shù)后，可知②不是互為鏡像方程對方程；

對于③，兩個函數(shù)的圖象關(guān)于曠=%對稱，所以③是互為鏡像方程對方程；

對于④，利用差的立方公式變形可知，④是互為鏡像方程對方程

【詳解】

ITITIT77r77t

對于①，因為y=cos(x+—)=sin(x+—+—)=sin(x+——),所以將y=sinx向左平移——可得

5521010

y=cos(x+g),所以①是互為鏡像方程對方程；

_9iif21nxx>0°

對于②因為y=lnf=21nx,、八，所以y=21nx的圖象是y=ln/的圖象的一部分，故

121n(-x)x<0

②不是互為鏡像方程對方程;

對于③因為/=分與V=4x關(guān)于y=x對稱，所以③是互為鏡像方程對方程;

對于④因為y=/—3/+3x+2=(x—+3,所以將y=V的圖象向右平移1個單位，再向上平移3個

單位可得y=1一3/+3x+2的圖象，故④是互為鏡像方程對方程.

故選：B

【點睛】

本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了圖象的平移變換和對稱變換，考查了差的立方公式，屬于基礎(chǔ)題.

真題練

15.B

【詳解】

試題分析：sin(3x--)=sin(3x--+2^)=sin(3x+—),能如翔=解，駕,

333署

又sin(3x一方)=sin[萬一(3x—y)]—sin(-3x+,(a,h)—(-3,?)，

注意到be[0,2%),只有這兩組.故選B.

【考點】三角函數(shù)

【名師點睛】本題根據(jù)三角函數(shù)