解直角三角形單元作業(yè)設(shè)計

初中數(shù)學(xué)解直角三角形單元作業(yè)設(shè)計

一、單元信息

基本學(xué)科年級學(xué)期教材版本單元名稱

信息數(shù)學(xué)九年級第一學(xué)期滬科版解直角三角形

單元

用自然單元口重組單元

組織方

式

序號課時名稱對應(yīng)教材內(nèi)容

1銳角三角函數(shù)第23.KP112-116)

2特殊角的三角函數(shù)值第23.KP117-119)

課時

信息3一般銳角的三角函數(shù)值第23.1(P120-122)

4解直角三角形第23.2(P124-125)

5解直角三角形的應(yīng)用第23.2(P126-127)

解直角三角形的應(yīng)用第

6/C\23.2(P127-128)

7解直角三角形的應(yīng)用第23.2CP128-130)

二、單元分析

(-)課標(biāo)要求

(數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版，第38頁)1、利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳

角三角函數(shù)(sinA,cosA,tanA)，知道30。,45。,60。角的三角函數(shù)值。

2、會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對

應(yīng)銳角。

3、能利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問

題。

課標(biāo)在“知識技能”方面指出：經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、

位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能；參與綜合實踐活動，

積累綜合運用數(shù)學(xué)知識、技能和方法的解決簡單問題的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。在“數(shù)學(xué)

思考”方面指出：通過用銳角三角形…等表示三角形邊角關(guān)系的過程，體會模型

思想，建立數(shù)形結(jié)合思想；體會通過合情推理得出數(shù)學(xué)結(jié)論，運用演繹推理加以

證明結(jié)論強(qiáng)化推理能力，清醒地表達(dá)自己的想法；學(xué)會獨立思考問題，體會數(shù)學(xué)

的基本思想和思維方式。

在“問題解決”方面指出：通過銳角三角函數(shù)解決邊角關(guān)系的過程，學(xué)會從

數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題，增強(qiáng)

應(yīng)用意識，提高實踐能力；體會獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗

1

解決問題方法的多樣性，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識；在知識的形成核應(yīng)用過程中，

學(xué)會與他人合作交流；初步形成評價與反思的意識。在“情感態(tài)度”方面指出：

通過實際問題引入的活動，使得學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)有好奇心和求知

欲；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服苦難的意志，建立自信

心；通過類比學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)的特點，了解數(shù)學(xué)的價值；在問題解決過程中使學(xué)

生養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣；形成堅持真理、修

正錯誤、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度。

（二）教材分析

1.知識網(wǎng)絡(luò)

2.內(nèi)容分析

解直角三角形是滬科版數(shù)學(xué)九年級上冊的最后一章，是一類特殊三角形中的

邊角之間關(guān)系主要研究銳角三角函數(shù)定義、性質(zhì)和計算。它是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了

“全等三角形、相似三角形、勾股定理”等內(nèi)之后安排的。在知識結(jié)構(gòu)上，遵循

了數(shù)學(xué)的一般研究規(guī)律；在研究方法上，讓學(xué)生經(jīng)歷了由實際問題一一研究特例一

一歸納性質(zhì)一一運用知識解決實際問題等活動內(nèi)容；滲透類比、從特殊到一般等

數(shù)學(xué)研究的思想和方法。發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)推理等能力。

通過本章知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠建立起比較完善的直角三角形運算的知識結(jié)

構(gòu)，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合思想形成的一般路徑。由于解直角三角形的知識廣泛運

用于測量、建筑、工程技術(shù)與其他學(xué)科的融合中，從而使得實際問題的內(nèi)容是多

種多樣的，要把這些問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的教學(xué)問題，主要是用來測量寬度、

高度、角度、行程等其充分體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)與實際生活的緊密聯(lián)系，使得數(shù)

學(xué)真正回歸于生活，進(jìn)而本章知識對于學(xué)生分析問題的能力要求較高，使得學(xué)生

感到解決問題困難，解直角三角形啟著承上啟下的作用，把實際問題中的數(shù)量關(guān)

系轉(zhuǎn)化為直角三角形中個元素之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問題，這也是本章學(xué)習(xí)內(nèi)容

中的重點難點。

（三）學(xué)情分析

從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來看：在“解直角三角形”這章，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了勾股定

理，直角三角形的兩角互余，相似三角形的對應(yīng)邊成比例等，在一定程度地認(rèn)識

了直角三角形的邊與邊、角與角的關(guān)系，這些知識的學(xué)習(xí)都為本章的學(xué)習(xí)奠定了

2

基砒Io

i艮據(jù)學(xué)生學(xué)情給出以下學(xué)習(xí)指導(dǎo)建議：重視對基本概念的理解，本章知識的

生成和實際問題，堅持理論與實踐的相結(jié)合，體會數(shù)學(xué)來源于生活又回歸于生活。

在本章知識的學(xué)習(xí)過程中更多的是在積累了一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗上自主學(xué)習(xí)

和合作探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生成為一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探究者。但是初中學(xué)生的思

維方式和習(xí)慣還不夠完善，數(shù)學(xué)的運算和推理能力尚且不足。因此，讓學(xué)生養(yǎng)成

嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真的學(xué)習(xí)態(tài)度，有條理地表達(dá)自己的想法，同時規(guī)范解題步驟，加強(qiáng)數(shù)形

結(jié)合，提升學(xué)生分析問題和解題的能力。

三、單元學(xué)習(xí)與作業(yè)目標(biāo)

1.正確理解三角函數(shù)的概念，準(zhǔn)確把握直角三角形中邊、角的關(guān)系，通過作

業(yè)練習(xí)加深對“正弦、余弦、正弦”的認(rèn)識，提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識；

2.掌握特殊角的三角函數(shù)值，會使用計算機(jī)進(jìn)行一般角三角函數(shù)求值；3.

能夠運用準(zhǔn)確的銳角三角函數(shù)來解直角三角形，并解決測量、建筑、工程技術(shù)與

物理學(xué)中的實際問題。進(jìn)一步認(rèn)識和體會實際問題變化與解直角三角形對應(yīng)的思

維，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想。

四、單元作業(yè)設(shè)計思路

分層設(shè)計作業(yè)。每課時均設(shè)計“基礎(chǔ)性作業(yè)”（面向全體，體現(xiàn)課標(biāo)，要求

學(xué)生必做）和“發(fā)展性作業(yè)”（體現(xiàn)個性化，探究性、實踐性、可操作性，要

求學(xué)生有選擇的完成）。具體設(shè)計體系如下：

一常規(guī)作業(yè)

基礎(chǔ)性作業(yè)------整合運用

J思雄柘展

作業(yè)設(shè)計體系L探究性作業(yè)

一個性化作業(yè)

發(fā)展性作業(yè)—

一實踐性作業(yè)

跨學(xué)科作業(yè)

五、課時作業(yè)

第一課時（銳角三角函數(shù)）

作業(yè)1（基礎(chǔ)性作業(yè)）

1.作業(yè)內(nèi)容

3

(1).如圖所示，在RtZ\ABC中,NC=90°,AC=8,BC=6,則tanA的值()

⑵.在RtAABC中，若各邊長都擴(kuò)大為原來的2倍,則銳角A的正弦值()

A.擴(kuò)大為原來的2倍B.不變

C.縮小為原來的2D.以上都不對

(3).如圖，點AIBIC均在正方形網(wǎng)格的格點上，則cosNABC的值為

(4).2022年在北京舉辦第24屆冬季奧運會結(jié)束后，一些學(xué)校也開展了冰雪項目

學(xué)習(xí)，一位同學(xué)乘滑雪板沿坡度為/T:3的斜坡滑行100米，則他下降的高度為

(5).如圖，在4ABC中,NC=90°,AB是CD邊上的中線,BD=2,AB=?5求NDAC

的各個三角函數(shù)。

2.時間要求(10分鐘以內(nèi))

3.作業(yè)評價

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

4

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

等。

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第(1)題要求學(xué)生理解正切的概念，會在直角三角形中求銳角的正切。第(2)

題通過擴(kuò)大邊長，判斷正弦值是否變化，鞏固了正弦的概念，同時也可以讓學(xué)生

思考，正切和余弦值是否也發(fā)生變化，讓學(xué)生運用同種方法可以解決同類型題目。

第(3)題通過網(wǎng)格三角形求角的余弦，鞏固在網(wǎng)格中構(gòu)造直角三角形的方法及余弦

的概念。也可以使學(xué)生利用此方法求在網(wǎng)格三角形的正切和正弦。第(4)題以2022

年北京冬奧會為問題背景，通過畫圖解決實際問題，不僅鞏固了坡度、坡角及正

切的概念，而且鍛煉了學(xué)生的畫圖能力，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的思想，也讓學(xué)生感受到

數(shù)學(xué)來源于生活，運用數(shù)學(xué)知識可以解決實際問題，也可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

積極性。第(5)題通過利用中線，在直角三角形中利用勾股定理求出線段的長度，在

直角三角形中準(zhǔn)確求出所求角的三角函數(shù)。鞏固了三角函數(shù)的概念使學(xué)生養(yǎng)成良

好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

作業(yè)2(發(fā)展性作業(yè))

1.作業(yè)內(nèi)容

⑴.如圖，ABC中，AC90，AB于。點，已知sin/BCD其，則的值

NA為()。B3cos

(2).正比例函數(shù)與反比例函數(shù)扁圖象在第一象限內(nèi)交于點p(3,m),若OP與x軸

正方向的夾角為a,求a的各個三角函數(shù)值。

5

⑶.如圖，定義:在直角三角形中,銳角Q的鄰邊與對邊的比叫做角a的余切，記作

5

cota,BPcota=(:需'="根據(jù)上述角的余切定義，解下列問題:

?cot60°=.

2

②如圖，已知tanA=3,其中/A為銳角，試求cotA的值.

③直接寫出tana與cota關(guān)系.

2.時間要求(10分鐘以內(nèi))

3.作業(yè)評價

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

通過同角的余角相等進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化和勾股定理知識來解決此題，讓學(xué)生熟練

掌握三角函數(shù)的定義以及各個知識點之間的聯(lián)系，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.第

(2)題通過在平面直角坐標(biāo)系中，利用函數(shù)關(guān)系求點P的坐標(biāo)，根據(jù)點的幾何意義

構(gòu)造直角三角形，然后準(zhǔn)確求出銳角a的三角函數(shù)，不僅鞏固了三角函數(shù)的概念，

而且使學(xué)生建立了數(shù)與形，函數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。第(3)題以新定義問題為背景，

通過從定義中獲得信息，并運用所學(xué)的正切概念來解決新的問題，不僅鞏固正切

的概念及直角三角形的性質(zhì)，而且讓學(xué)生知道遇到新的問題，可以用學(xué)過的知識

來解決，用自己的儲存知識來應(yīng)對新的問題。

6

第二課時(特殊角的三角函數(shù)值)

作業(yè)1(基礎(chǔ)性作業(yè))

1.作業(yè)內(nèi)容：

⑴.計算：①J&2sin45tan45

②.4sin30cos60tan30

⑵.已為銳角，且4sin2A30,則.

⑶.如losA-|WanB3|0,則AABC的形狀是________.

里V2

(4).在RtaABC中，ZC=90°，cosB求sinA的值。--------------

若2

2.時間要求(10分鐘以內(nèi))

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

AA-

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第(1)題考察學(xué)生運用特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行計算的能力，第⑵題首先利

用等式計算出NA的正弦值，根據(jù)銳角的正弦值為正數(shù)舍去負(fù)值，然后逆向思維

得到NA的度數(shù)。第(3)題根據(jù)已知條件可分別算出NA的余弦值和NB的正切值,

7

然后反向得到NA和NB的角度，由NA和NB互余可知aABC為直角三角形。

作業(yè)第(5)題根據(jù)互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系：sin(900一a)=cosa,cos(900一a)

=sina解答即可。本題重在考察互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系，掌握當(dāng)NA+NB=900時,

sinA=cosB是解題的關(guān)鍵。

作業(yè)2(發(fā)展性作業(yè))

1.作業(yè)內(nèi)容

(1)若0°<ZA<45°,那么sinA-cosA的值()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

(2)如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形

AB'C'D',求圖中陰影部分面積.

2.時間要求(10分鐘以內(nèi))

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

A7r

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第(1)題：cosA=sin(90°-A),再根據(jù)余弦函數(shù)隨著角的增大而減小進(jìn)

8

行分析即可；學(xué)生需熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)值的增減性是

解題的關(guān)鍵。作業(yè)第（2）題：設(shè)B'C'與CD交于點E,由于陰影部分的面積=S

正方形ABCD-S四邊形ABED,又因為S正方形ABCD=1,所以關(guān)鍵是求S四邊形AB，ED。為此，連接

AEo根據(jù)HL易證aAB'E全等于4ADE得出NB'AE=/DAE=300.在直角

△ADE中，由正切的定義得出口￡=人62!!/口雇=33,再利用三角形的面積公式求

出S四邊形AB-ED=2SAADE。本題主要考察了正方形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定

及性質(zhì)，圖形的面積以及三角函數(shù)等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度。

第三課時（一般銳角的三角函數(shù)值）

作業(yè)1（基礎(chǔ)性作業(yè)）

1.作業(yè)內(nèi)容

⑴用計算器求tan63°5241"的值，按鍵順序為：顯示

所以tan63°5241”=（精確到0.0001）

（2）.已知三角函數(shù)值，用計算器求銳角A,角度精確到1"。

sinA=0.8979,

cosA=0.9781.

（3）.探究：itAABC中，ZC為直角，直角邊a=3cm,b=4cm,求

sinA+sinB+sinC的值（利用計算器進(jìn)行求解）。

2.時間要求（12分鐘以內(nèi)）

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

B等，答案正確、過程有問題。

答題的準(zhǔn)確性C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

9

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

第(1)題利用計算器求tan63°52'41",取近似數(shù)，要求學(xué)生熟練應(yīng)用計算器,

對計算器給出的結(jié)果，根據(jù)有效數(shù)字的概念用四舍五入法取近似數(shù)。第(2)題讓同

學(xué)們注意不同的計算器用法不同，要學(xué)會讀懂計算器說明書，根據(jù)說明書正確使

用計算器。第(3)題解題思路在直角三角形中，可得sinA為字3,sinB為X,

ZC=90°,

用計算器求出sinC為1,通分計算得到答案。在直角三角形中，利用題目中給定

的數(shù)值計算正弦值，了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用正弦值表示不同的

角度或邊長。加強(qiáng)學(xué)生運用新知的意識，培養(yǎng)學(xué)生解決實際問題的能力和學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的興趣。

作業(yè)2(發(fā)展性作業(yè))

1.作業(yè)內(nèi)容

(1).用不等號連結(jié)右面的式子：cos40°cos20°,

sin37°sin42°,

tan37°tan42°；

探究：Na與N0是銳角，且Na<NB；

試比較：sinasinB,

cosacosB,

tanatanB.

⑵.如圖，在RtZ^ABC中，NABC=75°,在AC邊上取一點D,使得CD=DB,

求tan75°的值(結(jié)果保留根號)。

2.時間要求(10分鐘以內(nèi))

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

10

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

A/r

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

第(1)題首先通過使用計算器，比較銳角三角函數(shù)值的大小，在進(jìn)一步探究正

弦值和正切值隨銳角增大而增大、余弦值隨銳角增大而減小的道理。掌握正弦，

余弦角度大小的比較方法，提高學(xué)生分析問題，解決問題和概括總結(jié)的能力。第

(2)題通過角度的關(guān)系，在不使用計算器的情況下就能得出一般三角函數(shù)值，促使

學(xué)

生在探索這個問題的過程中，自然地體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性，體驗到數(shù)學(xué)與現(xiàn)

實生活的緊密聯(lián)系。這樣設(shè)計不僅有利于突破難點，而且為歸納結(jié)論打下了基礎(chǔ)。

第四課時(解直角三角形)

作業(yè)1(基礎(chǔ)性作業(yè))

1.作業(yè)內(nèi)容

(1).根據(jù)下列條件，解直角三角形：

①.在RtZSABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=6,求BC的長.

②.在WABC中，已知NC=90°,NA、ZB所對的邊分別為a、b,—3,

b=33，求NB的度數(shù).

③.在放ABC中，ZC=90°,AB=8,cosA

cA

11

⑵.如圖，已知ABC中，ABC30，45,AB.求ABC的面積。

4n

2.時間要求（10分鐘以內(nèi)）

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第1、2題要求學(xué)生會運用直角三角形中各元素的關(guān)系解直角三角形，

第1題除直角外，已知NB=30°,斜邊AB=6,可選擇正弦或余弦來解決。第

2題除直角外已知兩直角邊，可選擇正切來解決，方法不唯一。本題還穿插考察

了二次根式的分母有理化?？煽偨Y(jié)規(guī)律：有斜用弦，無斜用切。第3題是教材

例2的

變式，過點A作AD垂直于BC,垂足為點D,因AB30,45這樣就

構(gòu)造了兩個特殊的直角三角形，進(jìn)而便于求解。在解斜三角形時「二般通過作高

構(gòu)造直角三角形來解。做高時不能盲目作，要根據(jù)題設(shè)條件特征，除了要注意特

殊角的保護(hù)與構(gòu)造外，還要注意使構(gòu)造出來的直角三角形有利。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的

化歸思想。

12

作業(yè)2（發(fā)展性作業(yè)）

1.作業(yè)內(nèi)容

（1）.如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是BC邊上的高，若sinNCAD=

3

~5,

BC=25,求AC的長.

（2）.如圖所示，在RtZSABC中，ZC=90°,AC=3,D為BC邊上一點，且

BD=2AD,ZADC=60°,求4ABC的周長.（結(jié)果保留根號）

（3）.（安徽中考題）如圖，游客在點J處坐纜車出發(fā)，沿的路線可至山頂

。處.假設(shè).曲和3。都是直線段，且.宓=BP=600冽，，，求DE

的長.

（參考數(shù)據(jù)：配，需F頤財，W渾:堯:%麗：3&,、尸+1.41）

（4）.舉一個生活中運用三角函數(shù)解決問題的例子.

2.時間要求（10分鐘以內(nèi)）

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

13

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

A/r

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第(1)題先根據(jù)同角的余角相等得出NB=NCAD,那么sinB=sinZCAD

3,

=可，再解Rt^ABC,根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求出AC的長.加深學(xué)生對三角

函數(shù)的理解，同時增強(qiáng)了解直角三角形的應(yīng)用。要求學(xué)生具有一定的觀察能力和

數(shù)學(xué)思維能力。第(2)題要求ABC的周長，只要求得BC及AB的長度即可.根據(jù)

RtADC中NADC的正弦值，可以求得AD的長度，也可求得CD的長度;再根據(jù)

已知條件求得BD的長度，繼而求得BC的長度運用勾股定理可以求得AB的長

度，求得4ABC的周長.本題考查了解直角三角形中三角數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好

邊角之間的關(guān)系。作業(yè)第(3)題通過利用兩個銳角三角函數(shù)分別求解BC、DF的長

度，讓學(xué)生感受解直角三角形的初步應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生實際運用銳角三角函數(shù)解決實

際問題的能力；第(4)題是開放題根據(jù)生活中的實際例子解答即可，也為下一節(jié)的

應(yīng)用做好鋪墊,同時也培養(yǎng)了學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力。

第五課時(解直角三角形的應(yīng)用(1))

作業(yè)1(基礎(chǔ)性作業(yè))

1.作業(yè)內(nèi)容

(1).如圖，一學(xué)生要測量校園內(nèi)旗桿的高度.他站在距離旗桿12m的E處，測得旗桿

的仰角53°,已知測角器的架高1.5m,問旗桿的高度為多少米?(精確到0.1m).(參

考數(shù)

43tan53°—34)

據(jù)：sin53°心5cos53°弋寫

14

(2).如圖，韓明在教學(xué)樓距地面10米高的窗口C處，測得正前方旗桿頂部A點

的仰角為37°,旗桿底部B點的俯角為45°,問旗桿的高度為多少米？

(參考數(shù)據(jù)：sin37°弋0.60,cos37°-0.80,tan37°心0.75)

(3).亳州薛閣塔又名薛家塔、位于亳州市觀音山遺址公園內(nèi)，整座塔為八角七層

樓閣式磚塔，，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)欲測量薛閣塔AB的高度，他們先在D處測

得古塔頂端點B的仰角為45°,再沿著AB的方向后退25米至C處，測得

古塔頂端

點D的仰角為30°求薛閣塔的高度為多少米？(精確到1m,參考數(shù)據(jù)：3

^1.73)

C

2時間要求(25分鐘)

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

15

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第（1）題考查學(xué)生對仰角和正（余）弦公式公式的理解應(yīng)用，以及解題

格式的規(guī)范性和學(xué)生的計算能力，初步學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用

三角函數(shù)解直角三角形，滲透轉(zhuǎn)化思想；第（2）題在第（1）題基礎(chǔ)上，考查學(xué)

上把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題能力，引導(dǎo)學(xué)生會主動發(fā)現(xiàn)隱含的條件輔助線CD

（直角三角形的邊）構(gòu)造直角三角形，分別解兩個直角三角形從而把問題解決。

培養(yǎng)學(xué)生良好的運算習(xí)慣和抽象思維能力以及數(shù)形結(jié)合思想；第（3）題中的線段

CD不再是直角三角形的邊，需學(xué)生會利用方程的思想結(jié)合兩個直角三角形的邊

角關(guān)系解決問題，解決問題的策略可以進(jìn)行多維思考，提高學(xué)生分析問題和解決

問

題的能力。感受生活中處處有數(shù)學(xué)，體會轉(zhuǎn)化和建構(gòu)思想。

作業(yè)2（發(fā)展性作業(yè)）

1.作業(yè)內(nèi)容

（1）.（安徽中考題）為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直

放置標(biāo)桿CD,并在地面上水平放置個平面鏡E,使得B,E,D在同一水平線上，

如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A（此時

NAEB=NFED）.在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3。，平面鏡E的俯角為45。，

FD=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：

tan39.3°~0.82,tan84.3%10.02）

（2）.“雪龍2號”是我國第一艘自主建造的極地科學(xué)考察破冰船，并在2021年順

利完成我國第37次南極考察，“雪龍2”船上午9時在B市的南偏東25°方向

上的點A處，且在C島的北偏東59°方向上，已知B市在C島的北偏東28°

方向上，且距離C島232km。此時，“雪龍2”船沿著AC方向以24km/h的速度

航行請你

計算“雪龍2”船大約幾點鐘到達(dá)C島?（參考數(shù)據(jù)：sin31°^2-1cos31°七6

343tan53°七34）

tan31°心5sin53°%cos53°打5

16

（3）圖1是疫情期間測溫員用“額溫槍”對小明測溫時的實景圖，圖2是其側(cè)面

示意圖，其中槍柄BC與手臂MC始終在同一直線上，槍身BA與額頭保持垂直.

量得胳膊MN=26cm,MB=40cm,肘關(guān)節(jié)M與槍身端點A之間的水平寬度為

25.3cm（即MP的長度），槍身BA=8.5cm.測溫時規(guī)定槍身端點A與額頭距離范圍為

3~5cm.在圖2中，若測得NBMN=68.6°,小紅與測溫員之間距離為55cm.問此時

槍身端點A與小紅額頭的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)？并說明理由.（結(jié)果保留小數(shù)

點后一位）（參考數(shù)據(jù)：sin66.4°心0.92,cos66.4°"0.40,sin23.曠^0.40,

2^1.414）

D

2.時間要求（25分鐘）

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

17

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

A/r

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第（1）題通過證明△FDEsaABE,利用相似三角形的判定與性質(zhì)從而

得ABAE,在RsFEA中，由tanNAFE=AE,通過運算求得AB的值即可.本題不

DFEFEF

僅考查了解直角三角形的應(yīng)用，同時也讓學(xué)生鞏固了相似三角形的有關(guān)知識，同

時讓學(xué)生接觸中考題，培養(yǎng)學(xué)生的計算能力和對知識的綜合運用能力;作業(yè)第（2）

題是方位角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，利用方程思想結(jié)合兩個直角

三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在復(fù)雜的情境分析問題和解決問

題，并積累處理此類問題經(jīng)驗，培養(yǎng)探究意識和克服困難的勇氣，提升數(shù)學(xué)運算

和邏輯推理等素養(yǎng)，向?qū)W生展示科技的力量和祖國的強(qiáng)大，提升學(xué)生的愛國主義

情懷。第（3）題，以疫情防控維背景，學(xué)生會主動從大量的文字描述中獲取數(shù)學(xué)

信息，作出輔助線構(gòu)造直角三角形本題得以解決。積累數(shù)據(jù)處理技巧提升數(shù)據(jù)處

理能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題解的意識，解決問題的能力。學(xué)生明白祖國雖然強(qiáng)大

但仍然面臨巨大的挑戰(zhàn)。少年強(qiáng)則國強(qiáng)，加強(qiáng)學(xué)生為中華崛起而讀書的信念。

第六課時（解直角三角形的應(yīng)用（2））

作業(yè)1（基礎(chǔ)性作業(yè)）

1.作業(yè)內(nèi)容

（1）.隨著亳州十河花海大世界的不斷升級改造，近年吸引越來越多的游客來到藥都

亳州欣賞春景，某攝影愛好者用無人機(jī)這一美景進(jìn)行航拍.如圖，在無人機(jī)鏡頭

C處，觀測風(fēng)景區(qū)A處的俯角為30。，B處的俯角為45。，已知A,B兩點之間的距離

為

18

200米，則無人機(jī)鏡頭C處的高度CD為多少？（點A,B,D在同一條直線上，精確

到小數(shù)點后一位，行1.73）

（2）.每年的一月到七月為我國近海禁漁期，我漁政船在A處發(fā)現(xiàn)正北方向B處有一

艘可疑船只，測得A,B兩處距離為200海里，可疑船只正沿南偏東45。方向航

行.我漁政船迅速沿北偏東30。方向去攔截，經(jīng)歷4小時剛好在C處將可疑船只攔

截.求該可疑船只航行的平均速度（結(jié)果保留根號）.

2.時間要求（20分鐘以內(nèi)）

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

19

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第（1）題通過兩個俯角構(gòu)造兩個直角三角形AACD,ABCD,在AB已知的條

件下設(shè)BD邊長，通過在直角三角形AACD中用邊AD表示邊CD,之后在直角三角形△

BCD中，用邊BD表示邊CD,進(jìn)而列出方程求解邊BD；也可以通過有一個為45°的直

角三角形是等腰直角三角形得出CD=BD來進(jìn)行求解。本題三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌

握三角函數(shù)的定義及解直角三角形是關(guān)鍵。第（2）題通過在一般三角形中做輔助線

CD垂直于AB垂足為D,構(gòu)造兩個含特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行求解以BC,AC為斜邊的兩

個直角三角形BD,AD,進(jìn)而得出AB之間的距離，在通過路程、速度、時間的關(guān)系

求出船只航行的平均速度。本題主要是讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的過程，掌握構(gòu)

造直角三角形的方法，提升學(xué)生解決實際問題的能力，以及審題能力。

作業(yè)2（拓展性作業(yè)）

1.作業(yè)內(nèi)容

（1）.（安徽中考題）如圖，山頂上有一個信號塔AC,已知信號塔高AC15米,

在

山腳下點6處測得塔底C的仰角CBD36.9，塔頂A的仰角

ABD42.求山

高（點ACD在同一條豎直線上）.（參考數(shù)據(jù)：/

tan36.90.75,sin36.90.60,tan42.00.兜、、）

⑵足球射門時，在不考慮其他因素的條件下，射點到球門AB的張角越大，射門越

好.當(dāng)張角達(dá)到最大值時，我們稱該射點為最佳射門點.通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所

示，一學(xué)生帶球在直線CD上行進(jìn)時，當(dāng)存在一點Q,使得NCQA=NABQ（此時也有

ZDQB=ZQAB）時，恰好能使球門AB的張角NAQB達(dá)到最大值，故可以稱點Q為直線

CD上的最佳射門點.如圖2所示，是一個矩形形狀的足球場，AB為球門一部分，CD

LAB于點。，AB=6米，BD=2米.某球員沿CD向球門AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門點為點Q.

①.tanAAQB=.

（2）.已知對方守門員伸開雙臂后，成功防守的范圍《

為2米，若臨時守門員站在張

角NAQ8內(nèi),雙臂張開MN垂直于AQ進(jìn)行防守，為了確俾防守成物中點與A8

的距離至少為米.

ABD

圖120

(3).如圖，神醫(yī)華佗是亳州歷史文化名人，在亳州老城門樓有一座令人敬仰、懸壺

濟(jì)世的華佗像，雕塑由華佗像和基座兩部分組成，現(xiàn)要求測出華佗像的高度，現(xiàn)

有工具：一根1m長的標(biāo)桿，卷尺，和測角器。請同學(xué)們利用現(xiàn)有的工具，設(shè)計

一個測量華佗像高度的方案。具體要求如下：

①測量時數(shù)據(jù)盡可能少；

⑦畫出你所設(shè)計的幾何圖形，并將所測得的數(shù)據(jù)標(biāo)在相應(yīng)的位置；

③根據(jù)你所測量的數(shù)據(jù)，計算出華佗像的高度。

2.時間要求(25分鐘以內(nèi))

3.評價設(shè)計

作業(yè)評價表

評價指標(biāo)等級備注

ABC

A等，答案正確、過程正確。

答題的準(zhǔn)確性B等，答案正確、過程有問題。

C等，答案不正確，有過程不完整；答案不準(zhǔn)確，

過程錯誤、或無過程。

A等，過程規(guī)范，答案正確。

答題的規(guī)范性B等，過程不夠規(guī)范、完整，答案正確。

C等，過程不規(guī)范或無過程，答案錯誤。

A等，解法有新意和獨到之處，答案正確。

解法的創(chuàng)新性B等，解法思路有創(chuàng)新，答案不完整或錯誤。C

等，常規(guī)解法，思路不清楚，過程復(fù)雜或無過

程。

綜合評價等級AAA、AAB綜合評價為A等；ABB、BBB、

AAC綜合評價為B等；其余情況綜合評價為C

21

4.作業(yè)分析與設(shè)計意圖

作業(yè)第（1）題設(shè)山高CO=x米，先在中利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式

表示出8D,再在RtZiAB。中，利用三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示出AO,然后可得

關(guān)于x的方程，解方程即得結(jié)果.本題設(shè)計意圖是為了進(jìn)一步鞏固學(xué)生對仰角、俯

角的掌握，會熟練運用銳角三角函數(shù)解直角三角形的一般步驟、一般方法；作業(yè)

第（2）題證明△BOQS^QDA,利用相似三角形的性質(zhì)求出過點8作

于點從利用面積法求出8”,再利用勾股定理求出Q”,可得結(jié)論；第（2）問設(shè)

NM的中點為O,過點N作NKLA。于點K,根點。作OJLNK于點J.解直角三角形

求出AV,NK,可得結(jié)論.本題考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形

的判定和性質(zhì)等知識，要求學(xué)生將已學(xué)的知識能夠靈活運用、融會貫通。結(jié)合中

考命

題趨勢，文字量加大，訓(xùn)練學(xué)生的閱讀和理解題意，并從中提取準(zhǔn)確的、有效的

數(shù)學(xué)信息的能力。教師在講解本題時，最后再把角度固定的話，這一問可牽涉到

圓周角的引入，為以后學(xué)習(xí)圓周角做好鋪墊；作業(yè)第（2）題主要讓學(xué)生利用身邊

的工具對未知物體進(jìn)行測量高度，綜合運用解直角三角形的知識，加深對知識的

理解和認(rèn)識；在小組合作的過程中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能

力、動手實踐能力、團(tuán)隊合作的能力及創(chuàng)新意識；在解決問題的過程中發(fā)展學(xué)生

的數(shù)據(jù)分析觀念、數(shù)學(xué)建模思想。

第七課時（解直角三角形的應(yīng)用（3