初中幾何輔助線大全

初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談

人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問(wèn)題的，當(dāng)問(wèn)題的條件不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)

成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決

的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題常用的策略。

一.添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們，相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半

線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類(lèi)似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基

本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止

亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

(1)平行線是個(gè)基本圖形：

當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與一條平行線都相交的等第三條直線

(2)等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：

當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行

線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的

二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形

的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。

(5)三角形中位線基本圖形

幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線時(shí)

則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公

共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍

半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中

位線基本圖形。

(6)全等三角形：

全等三角形有軸對(duì)稱(chēng)形，中心對(duì)稱(chēng)形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相

等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱(chēng)就可以添加軸對(duì)稱(chēng)形全等三角形：或添對(duì)稱(chēng)軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱(chēng)軸翻

轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱(chēng)形全

等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線

(7)相似三角形：

相似三角形有平行線型(帶平行線的相似三角形)，相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊

在一直線上時(shí)(中點(diǎn)可看成比為1)可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過(guò)端點(diǎn)添則可

以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類(lèi)題目中往往有多種淺線方法。

(8)特殊角直角三角形

當(dāng)出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三

邊比為1：1：V2；30度角直角三角形三邊比為1：2：J3進(jìn)行證明

(9)半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦-一直徑；平面

幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。

二.基本圖形的輔助線的畫(huà)法

1.三角形問(wèn)題添加輔助線方法

方法1:有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)

這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱(chēng)軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全

等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫(huà)輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類(lèi)題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂

截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添

輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形

問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：

(1)連對(duì)角線或平移對(duì)角線：

(2)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形

(3)連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線

(4)連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。

(5)過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題

化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形常用到的輔助線有:

(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形內(nèi)平移兩腰

(4)延長(zhǎng)兩腰

(5)過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

(6)平移對(duì)角線

(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。

(8)過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。

(9)作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋

梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或二角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

4.圓中常用輔助線的添法

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從

而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生

分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。

(1)見(jiàn)弦作弦心距

有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑)，通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論

間的聯(lián)系。

(2)見(jiàn)直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用”直徑所對(duì)的圓周角是直角“這一特征來(lái)

證明問(wèn)題。

(3)見(jiàn)切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用〃切線與半徑垂直''這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

(4)兩圓相切作公切線

對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有

關(guān)的角的關(guān)系。

(5)兩圓相交作公共弦

對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓

周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。

作輔助線的方法

一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等

于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目

的。

二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，

得到全等形，，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線或角的平分線。

三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可

以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”

和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。

四:造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造

兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一

線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)?！?/p>

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）

五：兩圓若相交，連心公共弦。

如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。

六：兩圓相切、離，連心，公切線。

如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公

切線。

七：切線連直徑，直角與半圓。

如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，

半徑，那么輔助線是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。

如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，

那么在直徑上找圓周角一直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。

如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。

如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦

成立。

有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。

九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，

而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。

如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。

另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面

積找底高，多邊變?nèi)叀薄?/p>

三角形中作輔助線的常用方法舉例

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形,

使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：

例1：已知如圖IT：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AOBD+DE+CE.

證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N,

在AAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）

在△BDM中，MB+MD>BD；(2)

在ACEN中,CN+NE>CE；(3)

由(1)+(2)+(3)得:

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

AAB+AOBD+DE+EC

（法二：）如圖1-2,延長(zhǎng)BD交AC于F,延長(zhǎng)CE交BF于G,

在4ABF和aGFC和aGDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）

GF+FOGE+CE(同上)........................(2)

DG+GE>DE(同上)............................(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

.?.AB+AOBD+DE+ECo

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造

三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定

理：

例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：NBDONBAC。

分析I：因?yàn)?BDC與/BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添

加輔助線構(gòu)造新的三角形，使NBDC處于在外角的位置，NBAC處于在內(nèi)角的

位置；

證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/BDC是AEDC的外角，

AZBDOZDEC,同理NDEO/BAC,AZBDOZBAC

證法二：連接AD,并延長(zhǎng)交BC于F

ZBDF是4ABD的外角

.\ZBDF>ZBAD,同理，ZCDF>ZCAD圖2—1

二ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD

即：ZBDOZBACo

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三

角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等

如：

例如：如圖3-1：已知AD為AABC的中線，且N1=N2,N3=N

BD

圖3—1

+CF>EF。

分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE,CF,EF移到同一個(gè)三角形中，而由

已知Nl=/2,/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN,FN,EF

移到同一個(gè)三角形中。

證明：在DA上截取DN=DB,連接NE,NF,則DN=DC,

在ADBE和ADNE中：

DN=輔助線的作法）

/1=/2（已知）

ED=（公共邊）

.,.△DBE^ADNE（SAS）

/.BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在AEFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.".BE+CF>EF?

注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角

形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。

四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

例如:如圖4T:AD為△*（：的中線，且N1=N2,N3=N4,求證:BE+CF>EF

證明：延長(zhǎng)ED至M,使DM=DE,連接

CM,MFo在4BDE和aCDM中,

=（中點(diǎn)的定義）

,-■-Zl=NCDM（對(duì)頂角相等）

ED=（輔助線的作法）

JAABDE^ACDM（SAS）

又；Nl=/2,Z3=Z4（已知）

Zl+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定義）

/.Z3+Z2=90°,即：ZEDF=90°

.*.ZFDM=ZEDF=90°

在AEDF和△MDF中

ED=MD（輔助線的作法）

NEDF=/ROM（已證）

DF=（公共邊）

/.△EDF^AMDF（SAS）

.*.EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

?.?在ACMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

/.BE+CF>EF

注：上題也可加倍FD,證法同上。

注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散

的條件集中。

五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。

例如：如圖5-1：AD為aABC的中線，求證：AB+AC>2ADo

分析：要證AB+AO2AD,—由圖想到:AB+BD>AD,AC+CD>AD,_所以有..AB+AC+.BD+CD>AD+AD=

2AD,左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要

證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。

證明：延長(zhǎng)AD至E,使DE=AD,連接BE,則AE=2AD

：AD為AABC的中線（已知）

.*.BD=CD（中線定義）

在4ACD和AEBD中

BD=CD（已證）

ZADC=對(duì)頂角相甯

40=ED（輔助線的作法）

/.△ACD^AEBD（SAS）

.-.BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

VlSAABE中有：AB+BE>AE（三角形

.?.AB+AC>2AD=

（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）

練習(xí)：已知△ABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、直角邊各

向形外作等腰直角三角形，如圖5-2,求證EF=2AD。圖5_2

六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1：在4皿（：中，AB>AC,N1=N2,P為AD上任一點(diǎn)。求證:AB—AC>PB—PC。

分析：要證：AB—AC>PB—PC,想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊

之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB—AC,故可在ABA上截取

AN等于AC,得AB—AC=BN,再連接PN,則PC=PN,又在△PNB

中,PB—PN<BN,_即:_AB—AC>PB—PC。//

在AB上截取AN=AC連接PN,在4APN和4APC中圖6-1M

'AN=AC（輔助線的作法）

：<Z1=/2（已知）

AP=”（公共邊）

/.△APN^AAPC（SAS）

/.PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

:在4BPN中，有PB—PNVBN（三角形兩邊之差小于第三邊）

.?.BP-PC<AB-AC

證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M,使AM=AB,連接PM,

在4ABP和AAMP中

’48=AM（輔助線的作法）

]/1=/2（已知）

AP=AP（公共邊）

AAABP^AAMP（SAS）

.--PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

又：在4PCM中有：CM>PM—PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

.".AB-AOPB-PCo

七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形:

例如:如圖7-1：已知AC=BD,ADJ_AC于A，BC_LBD于B,求證:AD=BC

分析：欲證AD=BC,先證分別含有AD,BC的三角形全等，有幾種方案：4ADC與ABCD,AA0D與^

BOC,ZkABD與ABAC,但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角

作為兩個(gè)三角形的公共角。

證明：分別延長(zhǎng)DA,CB,它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn),

VAD±ACBCXBD（已知）

/.ZCAE=ZDBE=90°（垂直的定義）

在4DBE與4CAE中

NE=/E（公共角）

NDBE=NCAEr（已證）

BD=AC（已知）

.,.△DBE^ACAE（AAS）

.*.ED=ECEB=EA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

.\ED-EA=EC-EB

即：AD=BC。

（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）

八、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。

例如:如圖8T:AB〃CD,AD〃BC求證:AB=CD。

分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。

證明：連接AC（或BD）

VAB/7CDAD〃BC（已知）

>\Z1=Z2,/3=/4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

在4ABC與4CDA中

21=/2（已證）

<AC=CA（公共邊）

Z3=/4（已證）

AAABC^ACDA（ASA）

.?.AB=CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。

例如:如圖9T：在RtAABC中，AB=AC,NBAC=90°,Nl=/2,CEJ_BD的延長(zhǎng)于E。求證:BD=2CE

分析：要證BD=2CE,想到要構(gòu)造線段2CE,同時(shí)CE與/ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。

證明：分別延長(zhǎng)BA,CE交于點(diǎn)F。

F

VBEXCF（已知）

AZBEF=ZBEC=90°（垂直的定義）

在ABEF與4BEC中，

21=N2（已知）

，BE=BE（公共邊）2

ZBEF=ZBEC（已證）BC

圖9—1

VZBAC=90°BE±CF（已知）

.?.ZBAC=ZCAF=90°Zl+ZBDA=90°Zl+ZBFC=90°

.*.ZBDA=ZBFC

在AABD與AACF中

ABAC=NG4/（已證）

ABDA=ZBFC（Bffi）

AB=AC（已知）

/.△ABD^AACF（AAS）.\BD=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）；.BD=2CE

十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。

例如：已知：如圖10T;AC、BD相交于0點(diǎn)，且AB=DC,AC=BD,求證:NA=ND。

分析：要證/A=/D,可證它們所在的三角形AABO和△DCO全等，而只有AB=DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差

一個(gè)條件，，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB=DC,AC=BD,若連接BC,則△皿（：和4

DCB全等，所以，證得/A=/D。

證明：連接BC,在AABC和4DCB中

AB=DC（已知）\ox\

BC=C2（公共邊）上/

.'.△ABC^ADCB（SSS）BC

：.ZA=ZD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）圖10-1

十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。

例如:如圖11-1：AB=DC,NA=ND求證:NABC=NDCB。

分析:由AB=DC,/A=/D,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接NB,NC,再由SAS公理有△ABNgADCN,故BN

=CN,NABN=NDCN。下面只需證/NBC=NNCB,再取BC的中點(diǎn)M,連接MN,則由SSS公理有

NCM,所以/NBC=/NCB。問(wèn)題得證。

證明：取AD,BC的中點(diǎn)N、M,連接NB,NM,NC?貝!JAN=DN,BM=CM,在AABN和△DCN中：

'AN=ON（輔助線的作法）AND

-ZA=ZD（已知）//j\\

ZXABNgADCN（SAS）D--------------、

AZABN=ZDCNNB=NC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）明一，

p>lII—I

在ANBM與△NCM中''

‘N8=NC（已證）

<8M=CM（輔助線的作法）

NM=NM（公共邊）

（SSS）ZNBC=ZNCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）二/NBC+NABN=NNCB+/DCN即

/ABC=/DCB。

巧求三角形中線段的比值

例1.如圖1,在△ABC史,BD：DC=1：3,AE：ED=2：3,求AF：FC。

解：過(guò)點(diǎn)D作DG〃AC,交BF于點(diǎn)G

所以DG：FC=BD：BC

因?yàn)锽D：DC=1：3所以BD：BC=1：4

即DG：FC=1：4,FC=4DG

因?yàn)镈G：AF=DE：AE又因?yàn)锳E：ED=2：3

所以DG：AF=3：2

22

AF=-DG-DG

即3所以AF：FC=3:4DG=1：6

例2.如圖2,BC=CD,AF=FC,求EF：FD

解：過(guò)點(diǎn)C作CG〃DE交AB于點(diǎn)G,則有EF：GC=AF：AC

因?yàn)锳F=FC所以AF：AC=1：2

EF=-GC

即EF：GC=1：2,2

因?yàn)镃G：DE=BC：BD又因?yàn)锽C=CD

所以BC：BD=1：2CG：DE=1：2即DE=2GC

1313

2GC--GC=-GC-GC：-GC=1：3

因?yàn)镕D=ED—EF=22所以EF：FD=22

小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)

處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙!

例3.如圖3,BD：DC=1：3,AE：EB=2：3,求AF：FD。

解：過(guò)點(diǎn)B作BG〃AD,交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。

所以DF：BG=CD：CB

因?yàn)锽D：DC=1：3所以CD：CB=3：4

3

DF=-BG

即DF：BG=3：4,4

因?yàn)锳F：BG=AE：EB又因?yàn)锳E：EB=2：3

2

AF=-BG

所以AF：BG=2：3即

3

-BQ：-5G=8：9

所以AF：DF=$4

例4.如圖4,BD：DC=1：3,AF=FD,求EF：FC。

解：過(guò)點(diǎn)D作DG〃CE,交AB于點(diǎn)G

所以EF：DG=AF：AD

因?yàn)锳F=FD所以AF：AD=1：2圖4

EF=-DG

即EF：DG=1：22

因?yàn)镈G：CE=BD：BC,又因?yàn)锽D：CD=1：3,所以BD：BC=1：4

BPDG：CE=1：4,CE=4DG

17

ADG--DG=-DG

因?yàn)镕C=CE-EF=22

17

-DG：-DG

所以EF：FC=22=1：7

練習(xí):

L如圖5,BD=DC,AE：ED=1：5，求AF：FB。

2.如圖6,AD：DB=1：3,AE：EC=3：bBF：FC,

初中幾何輔助線

一初中幾何常見(jiàn)輔助線口訣

人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱(chēng)中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱?/p>

平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。

上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

圓形

半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。

切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

注意點(diǎn)

輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。

基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。

二由角平分線想到的輔助線

口訣：

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角

形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔

助線的作法，一般有兩種。

①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；

②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。

通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于

選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。

與角有關(guān)的輔助線

（一）、截取構(gòu)全等

幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)

的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到

的輔助線作以介紹。

如圖IT,ZAOC=ZBOC,如取OE=OF,并連接DE、DF,則有aOED會(huì)△OFD,從而為我們證明線段、角

相等創(chuàng)造了條件。

例1.如圖「2,AB//CD,BE平分/BCD,CE平分/BCD,點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD0

分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)

稱(chēng)圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或

截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證

明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等,

進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。

簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角

平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自己證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)

證明。自己試一試。

例2.已知：如圖1-3,AB=2AC,ZBAD=ZCAD,DA=DB,求證DC_LAC

分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自己證明。

例3.已知：如圖-4,在AABC中，/C=2/B,AD平分/BAC,求證：AB-AC=CD

分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差

倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證

明呢？

練習(xí)

1.已知在AABC中，AD平分/BAC,ZB=2ZC,求證：AB+BD=AC

2.已知：在AABC中，ZCAB=2ZB,AE平分/CAB交BC于E,AB=2AC,求證：AE=2CE

3.已知：在△ABC中，AB〉A(chǔ)C,AD為/BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC

4.已知：D是AABC的/BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC?

（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

例1.如圖2T,已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BC?

求證：ZADC+ZB=180

分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線。近而證/ADC與NB之和為平角。

例2.如圖2-2,在△ABC中，/A=90,AB=AC,/ABD=NCBD。

求證：BC=AB+AD

分析：過(guò)D作DELBC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差

倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。

例3.已知如圖2-3,AABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：NBAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。

分析：連接AP,證AP平分/BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。

練習(xí):

1.如圖2-4NA0P=NB0P=15,PC//OA,PD±OA,

如果PC=4,則PD=()

A4B3C2D1

A

oD

圖2-4

2.已知在△ABC中，ZC=90,AD平分/CAB,CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3.已知：如圖2-5,ZBAC=ZCAD,AB>AD,CE_LAB,

1

AE=2(AB+AD).求證：ZD+ZB=180=

4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC

上的點(diǎn)，ZFAE=ZDAEo求證：AF=AD+CF0

5.已知：如圖2-7,在RtZXABC中，ZACB=90,CDXAB,垂足為D,AE平分/CAB交CD于F,過(guò)F

作FH//AB交BC于H。求證CF=BHo

圖2-7

（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊

上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。

（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。

例1.已知：如圖3T,ZBAD=ZDAC,AB>AC,CD_LAD于D,H是BC中點(diǎn)。求證：久

DH=2-（AB-AC）一/\

”圖示3-1

分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問(wèn)題可證。

F

人

A/、

例2.已知：如圖3-2,AB=AC,/BAC=90,AD為NABC的平分線，CE±BE.」

求證：BD=2CE。

c

圖3-2

分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)

造出等腰三角形。

例3.已知：如圖3-3在4ABC中，AD、AE分別/BAC的內(nèi)、外角平分

線，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。

求證：AM=MEo

分析：由AD、AE是NBAC內(nèi)外角平分線，可得EALAF,從而有BF〃AE,

所以想到利用比例線段證相等。

例4.已知：如圖3-4,在AABC中，AD平分/BAC,AD=AB,CM±

AD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM--(AB+AC)

2

分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作4ABD關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)AAED,

然后只需證DM=^EC,另外由求證的結(jié)果AM=L(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可嘗試作aACM關(guān)于CM的對(duì)

22

稱(chēng)△FCM,然后只需證DF=CF即可。

練習(xí)：

1.已知：在AABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點(diǎn)，AE是NBAC的平分線，且CE_LAE于E,連接DE,

求DE。

2.已知BE、BF分別是AABC的NABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF_LBF于F,AE_LBE于E,連接EF分

別交AB、AC于M、N,求證MN=^BC

2

(四)、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線

有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的

點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。

圖4-2

圖4-1

例4如圖，AB>AC,Z1=Z2,求證:AB-AOBD-CDo

B

例5

例6如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分/BAD各/ADE,求證：AD=AB+CD?

AB

練習(xí)：

1.已知，如圖，ZC=2ZA,AC=2BCo求證：z\ABC是直角三角形。

2.已知：如圖，AB=2AC,Z1=Z2,DA=DB,求證：DC±AC

3.已知CE、AD是AABC的角平分線，ZB=60°,求證：AC=AE+CD

4.已知：如圖在AABC中，NA=90°,AB=AC,BD是/ABC的平分線，求證：BC=AB+AD

三由線段和差想到的輔助線

口訣：

線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。

對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊,

故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。

、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角

形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如:

例1、已知如圖IT：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AOBD+DE+CE.

證明：(法一)

將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N,

在AAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;(1)

在△BDM中，MB+MD>BD；(2)

在△CEN中，CN+NE>CE；(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

.'.AB+AOBD+DE+EC

（法二：圖1-2）

延長(zhǎng)BD交AC于F,廷長(zhǎng)CE交BF于G,在4ABF和4GFC和△GDE中有:

A

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）

GF+FOGE+CE（同上）⑵

DG+GE>DE（同上）（3）

由⑴+（2）+（3）得:

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

.,.AB+AOBD+DE+ECo

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，

構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外

角定理：

例如:如圖2-1：已知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:NBDONBAC。

碰：因?yàn)?BDC與/BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形,

使/BDC處于在外角的位置，/BAC處于在內(nèi)角的位置；

證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)/BDC是AEDC的外角，

/.ZBDOZDEC,同理NDEO/BAC,.'.ZBDOZBAC

證法二：連接AD,并廷長(zhǎng)交BC于F,這時(shí)/BDF是AABD的

夕卜角，/.ZBDF>ZBAD,同理，ZCDF>ZCAD,/.ZBDF+

ZCDF>ZBAD+ZCAD,即：ZBDC>ZBAC=

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)

三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：

例如:如圖3-1：已知AD為aABC的中線,且N1=N2,/3=/4,求證:BE+CF>EF。

畫(huà)：要證BE+CF>EF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE,CF,EF移到同一個(gè)三角形中，而

由已知/1=/2,

Z3=Z4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN,FN,EF移到同個(gè)三角

形中。

證明：在DN上截取DN=DB,連接NE,NF,則DN=DC,

在ADBE和ANDE中：

rDN=DB（輔助線作法）

IZ1=Z2（已知）

|ED=ED（公共邊）

〔.'.ADBE^ANDE（SAS）

；.BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在4EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

/.BE+CF>EFo

注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三

角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。

四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1：在AABC中，AB>AC,Z1=Z2,P為AD上任一點(diǎn)

求證:AB-AOPB-PCo

畫(huà)：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊

之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN