第一章直流電路教案

第一章直流電路

本章將著重介紹并討論電流和電壓的參考方向及基爾霍夫定律等。

通過本章內(nèi)容的學習可了解和掌握電路中的基本概念和定律，為后續(xù)分

析復雜電路打下一個基礎。

1.1電路的組成和基本物理量

1.1.1實際電路及其基本功能

實際電路的結(jié)構(gòu)組成包括：電源、負載和中間環(huán)節(jié)。其中電源的作

用是為電路提供能量，如發(fā)電機利用機械能或核能轉(zhuǎn)化為電能，蓄電池

利用化學能轉(zhuǎn)化為電能，光電池利用光能轉(zhuǎn)化為電能等；負載則將電能

轉(zhuǎn)化為其他形式的能量加以利用，如電動機將電能轉(zhuǎn)化為機械能，電爐

將電能轉(zhuǎn)化為熱能等；中間環(huán)節(jié)用作電源和負載的聯(lián)接體，包括導線、

開關、控制線路中的保護設備等。如圖1T中的白熾燈照明電路。圖1-2

是圖1T的電路模型。

口R

電路的作用可以概括為以下兩個方面：一是實現(xiàn)電能的傳輸和轉(zhuǎn)

換，將電能轉(zhuǎn)化為光能和熱能等，二是實現(xiàn)信號的傳遞和處理。

1.1.2電路的基本物理量

電路中的基本物理量包括電流、電壓和功率及其相關的概念。

1電流及其參考方向

電荷的定向移動形成電流。習慣上規(guī)定正電荷的移動方向為電流的方向

(事實上，金屬導體內(nèi)的電流是由帶負電的電子的定向移動產(chǎn)生的)。

電流的大小為單位時間內(nèi)通過導體橫截面的電量，用公式表示即

dr

336

量綱：安培(A)lkA=10A；lmA=10^A；l^A=10-Ao

前面提到的電池提供的就是直流電流，通常直流電流用大寫字母I表示,

而隨時間變化的電流用小寫字母i表示。

電流的參考方向(referencedirection)：是一種任意的選定的方向，

當i>0時參考方向與實際方向一致，當i<0時參考方向與實際方向相反。

2電壓及其參考方向

電壓也稱電位差(或電勢差)，定義為電場力將單位正電荷由點a移動

到點b所做的功。電路中a、b兩點間的電壓用Uab表示，即

Unab,二一W

q

量綱：伏特(V)lkV=103V；lmV=10-3V；lgV=10-6Vo

電路中，電壓的實際方向定義為電位降低或稱電壓降的方向，可用極性

“+”和“-”表示，其中“+”表示高電位，“-”表示低電位；也可用

雙下標表示，如Uab表示電壓的方向由a到b。電源電動勢的實際方向，

規(guī)定為從電源內(nèi)部的“-”極指向“+”極，即電位升高的方向。

電壓的參考方向(referencedirection)：是一種任意的選定的方向，

當u>0時參考方向與實際方向一致，當u<0時參考方向與實際方向相反。

如果不特別指出，書中電路圖上所標明的電流和電壓方向都為參考方

向。當電流、電壓的參考方向一致時，稱為關聯(lián)方向；否則為非關聯(lián)方

向。

3電位及其計算

電位：電路中某點與參考點之間的電壓稱為該點的電位。

電位的計算；計算電路中各點電位時，一般選定電路中的某一點作參考

點（referencenode）,規(guī)定參考點的電位為0,并用，表示，稱為接

地（并非真與大地相接），電路中其他各點的電位等于該點與參考點之

間的電壓。

4電動勢

衡量電源的電源力大小及其方向的物理量叫做電源的電動勢。

電動勢通常用符號E或e（t）表示，E表示大小與方向都恒定的電動勢（即

直流電源的電動勢），e（t）表示大小和方向隨時間變化的電動勢，也可

簡記為e。電動勢的國際單位制為伏特，記做V。

電動勢的大小等于電源力把單位正電荷從電源的負極，經(jīng)過電源內(nèi)部移

到電源正極所作的功。如設W為電源中非靜電力（電源力）把正電荷量q從

負極經(jīng)過電源內(nèi)部移送到電源正極所作的功，則電動勢大小為

q

電動勢的方向規(guī)定為從電源的負極經(jīng)過電源內(nèi)部指向電源的正極，即與

電源兩端電壓的方向相反。

1.1.3電功率和電能

1、電功率

電功率（簡稱功率）所表示的物理意義是電路元件或設備在單位時間內(nèi)

吸收或發(fā)出的電能。兩端電壓為U、通過電流為I的任意二端元件（可推

廣到一般二端網(wǎng)絡）的功率大小為

P=UI

功率的國際單位為瓦特（W）,常用的單位還有毫瓦（mW）、千瓦（kW）,它

們與W的換算關系是

1mW=10-3W；1kW=103W

吸收或發(fā)出：一個電路最終的目的是電源將一定的電功率傳送給負載，

負載將電能轉(zhuǎn)換成工作所需要的一定形式的能量。即電路中存在發(fā)出功

率的器件（供能元件）和吸收功率的器件（耗能元件）。

習慣上，通常把耗能元件吸收的功率寫成正數(shù)，把供能元件發(fā)出的功率

寫成負數(shù)，而儲能元件（如理想電容、電感元件）既不吸收功率也不發(fā)出

功率，即其功率P=Oo

通常所說的功率P又叫做有功功率或平均功率。

2、電能

電能是指在一定的時間內(nèi)電路元件或設備吸收或發(fā)出的電能量，用符號

W表示，其國際單位制為焦爾（J）,電能的計算公式為

W=P.t=Ult

通常電能用千瓦小時（kW?h）來表示大小，也叫做度（電）：

1度（電）=1kW-h=3.6x106Jo

即功率為1000W的供能或耗能元件，在1小時的時間內(nèi)所發(fā)出或消耗的

電能量為1度。

常用理想元件及符號

名稱符號名稱符號

電阻0-------CZZJ--------O電壓表O——（V）——O

電池O---------1|----------O接地-J—或-L

電燈O---------------------O熔斷器O-------日------O

開關O-------O電容O---------II----------O

0------

電流表O。電感o

1.2電阻

本節(jié)討論電阻元件的伏安特性及其連接。

1.2.1電阻元件

電阻元件是對電流呈現(xiàn)阻礙作用的耗能元件，例如燈泡、電熱爐等電器。

電阻定律：飛

p——制成電阻的材料電阻率，國際單位制為歐姆?米g-m)；

/——繞制成電阻的導線長度，國際單位制為米(m)；

S——繞制成電阻的導線橫截面積，國際單位制為平方米(m》；

R——電阻值，國際單位制為歐姆(Q)。

經(jīng)常用的電阻單位還有千歐(k。)、兆歐(MQ),它們與。的換算關系

為

1kQ=103。；1MQ=106Q

1.2.2電阻與溫度的關系

電阻元件的電阻值大小一般與溫度有關，衡量電阻受溫度影響大小的物

理量是溫度系數(shù)，其定義為溫度每升高1冤時電阻值發(fā)生變化的百分數(shù)。

如果設任一電阻元件在溫度tl時的電阻值為R1,當溫度升高到t2時電阻

值為R2,則該電阻在tl~t2溫度范圍內(nèi)的(平均)溫度系數(shù)為

R2-Rl

a=

與“2-八）

如果R2>R”則a>0,將R稱為正溫度系數(shù)電阻，即電阻值隨著溫度

的升高而增大；如果R2<R”則a<0,將R稱為負溫度系數(shù)電阻，即

電阻值隨著溫度的升高而減小。顯然a的絕對值越大，表明電阻受溫

度的影響也越大。

1.2.3電阻的聯(lián)結(jié)八&旦4c

1、電阻的串聯(lián)

設總電壓為U、電流為I。

1.等效電阻：R=R1+R2+…+Rn

2.電壓關系:U=U(+U2+…+Un

3.電流關系:I=Ii=12=…=In

2、電阻的并聯(lián)

設總電流為I、電壓為U。

1.等效電導：G=Gi+Gz+…+Gn

11+1+,??+1

即R&?2R.

2.電壓關系：U=Ui=U2=…=Un

3.電流關系：I=Ii+L+…+In

3、電阻的混聯(lián)

分析步驟

在電阻電路中，既有電阻的串聯(lián)關系又有電阻的并聯(lián)關系，稱為電阻混

聯(lián)。對混聯(lián)電路的分析和計算大體上可分為以下幾個步驟:

首先整理清楚電路中電阻串、并聯(lián)關系，必要時重新畫出串、并聯(lián)關系

明確的電路圖；

利用串、并聯(lián)等效電阻公式計算出電路中總的等效電阻；

利用已知條件進行計算，確定電路的總電壓與總電流；

根據(jù)電阻分壓關系和分流關系，逐步推算出各支路的電流或電壓。

1.3歐姆定律及應用

1.3.1部分電路歐姆定律

電阻元件的伏安關系服從歐姆定律，即

U=RI或I=U/R=GU

其中G=1/R,電阻R的倒數(shù)G叫做電導，其國際單位制為西門子（S）。

1.3.2閉合電路歐姆定律

閉合電路歐姆定律的數(shù)學表達式為

P

E=RI+U或1=

R+r

其中r表示電源的內(nèi)部電阻，R表示電源外部聯(lián)接的電阻（負載）。

R￡■

外電路兩端電壓U=RI=E-ri=R+r,顯然，負載電阻R值越大，

其兩端電壓U也越大；當R?r時（相當于開路），貝網(wǎng)=E；當R?r時

（相當于短路），則U=0,此時一般情況下的電流（I=E/r）很大，電源

容易燒毀。

1.4基爾霍夫定律

基爾霍夫定律是電路中的基本定律，不僅適用于直流電路也適用于交流

電路。它包括基爾霍夫電流定律(Kirchhoff'scurrentlaw)簡稱KCL

和基爾霍夫電壓定律(Kirchhoff'svoltagelaw)簡稱KVL?；鶢柣?/p>

夫電流定律是針對節(jié)點的，基爾霍夫電壓定律是針對回路的。

1.4.1幾個概念

在具體講述基爾霍夫定律之前，我們以下圖為例，介紹電路中的幾個基

本概念。

1.支路：電路中的每一分支稱為支路，一十

條支路流過一個電流。圖中共有6條支路，

分別是ab、bc>cd、da、ac、db0

2.節(jié)點：電路中三條或三條以上支路的連

接點稱為節(jié)點。圖中共有4個節(jié)點，分別是節(jié)點a、節(jié)點b、節(jié)點c和節(jié)

點d。

3.回路：電路中的任一閉合路徑稱為回路。圖中共有7條回路，分別

是abda、dbcd、adca^abdca、adbca、abcda>abca。

4.網(wǎng)孔：電路中無其他支路穿過的回路稱為網(wǎng)孔。圖中共有3個網(wǎng)孔,

分別是abda、dbcd、adca。

1.4.2基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律(KCL)指出：對于電路中的任一節(jié)點，任一瞬時流

入(或流出)該節(jié)點電流的代數(shù)和為零。我們可以選擇電流流入時為正,

流出時為負；或流出時為正，流入時為負。電流的這一性質(zhì)也稱為電流

連續(xù)性原理，是電荷守恒的體現(xiàn)。KCL用公式表示為

￡I入+EI出=0

上式稱為節(jié)點的電流方程。由此也可將KCL理解為流入某節(jié)點的電流之

和等于流出該節(jié)點的電流之和。即：￡1入=21出

KCL不僅適用于電路中的任一節(jié)點，也可推廣到包圍部分電路的任一閉

合面（因為可將任一閉合面縮為一個節(jié)點）?？梢宰C明流入或流出任一

閉合面電流的代數(shù)和為0。

1.4.3基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律（KVL）指出：對于電路中的任一回路，任一瞬時沿該

回路繞行一周，則組成該回路的各段支路上的元件電壓的代數(shù)和為零。

可任意選擇順時針或逆時針的回路繞行方向，各元件電壓的正、負與繞

行方向有關。一般規(guī)定當元件電壓的方向與所選的回路繞行方向一致時

為正，反之為負。KVL用公式表示為

XU=0

上式稱為回路的電壓方程。注意當你選擇了某一個回路時，在回路內(nèi)畫

一個環(huán)繞箭頭，表示你選擇的回路的繞

行方向。下圖中，我們在兩個網(wǎng)孔中分

憶

別選擇了順時針和逆時針的繞行方向。

3HCa200V

其意義為，在直流電路里，KVL又可以

表述為回路中電阻的電壓之和（代數(shù)和）等于回路中的電源電動勢之和。

注意應用KVL時，首先要標出電路各部分的電流、電壓或電動勢的參考

方向。列電壓方程時，一般約定電阻的電流方向和電壓方向一致。

KVL不僅適用于閉合電路，也可推廣到結(jié)構(gòu)不閉合電路。

1.4.4支路電流法

以各支路電流為未知量，應用基爾霍夫定律列出節(jié)點電流方程和回路電

壓方程，解出各支路電流，從而可確定各支路（或各元件）的電壓及功率,

這種解決電路問題的方法叫做支路電流法。對于具有b條支路、n個節(jié)點

的電路，可列出（n-1）個獨立的電流方程和b-（n-1）個獨立的電壓

方程。

第二章單相正弦交流電路

2.1單相正弦交流電路的基本概念

2.1.1直流電和交流電

直流電：大小和方向都不變的電量（電動勢、電壓或電流）。

交流電：大小及方向都隨時間做周期性變化的電量（電動勢、電壓或電

流）。

脈動直流電：方向不變，大小周期變化的的電量（電動勢、電壓或電流）。

2.1.2正弦量介紹

正弦量：隨時間r按照正弦規(guī)律變化的物理量，都稱為正弦量，它們在

某時刻的值稱為該時刻的瞬時值，則正弦電壓和電流分別用小寫字母i、

u表示。

周期量：時變電壓和電流的波形周期性的重復出現(xiàn)。周期T：每一個瞬

時值重復出現(xiàn)的最小時間間隔，單位：秒（S）；頻率f：是每秒中周

期量變化的周期數(shù)，單位：赫茲（Hz）。顯然，周期和頻率互為倒數(shù)，

即f=l/T。

交變量：一個周期量在一個周期內(nèi)的平均值為零?？梢?，正弦量不僅是

周期量，而且還是交變量。

2.1.3正線交流電動勢的產(chǎn)生一交流發(fā)電機簡介

發(fā)電機的基本組成部分是磁極和線圈（線圈匝數(shù)很多，嵌在硅鋼片制成

的鐵心上，通常叫電樞）。電樞轉(zhuǎn)動、而磁極不動的發(fā)電機，叫做旋轉(zhuǎn)

電樞式發(fā)電機。磁極轉(zhuǎn)動、而電樞不動，線圈依然切割磁感線，電樞中

同樣會產(chǎn)生感應電動勢，這種發(fā)電機叫做旋轉(zhuǎn)磁極式發(fā)電機。不論哪種

發(fā)電機，轉(zhuǎn)動的部分都叫轉(zhuǎn)子，不動的部分都叫定子。

旋轉(zhuǎn)電樞式發(fā)電機，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的電流必須經(jīng)過裸露著的滑環(huán)和電刷引到

外電路，如果電壓很高，就容易發(fā)生火花放電，有可能燒毀電機。這種

發(fā)電機提供的電壓一般不超過500Vo旋轉(zhuǎn)磁極式發(fā)電機克服了上述缺

點，能夠提供幾千伏到幾十千伏的電壓，輸出功率可達幾十萬千瓦。所

以，大型發(fā)電機都是旋轉(zhuǎn)磁極式的。

發(fā)電機的轉(zhuǎn)子是由蒸汽機、水輪機或其他動力機帶動的。動力機將機械

能傳遞給發(fā)電機，發(fā)電機把機械能轉(zhuǎn)化為電能傳送給外電路。

2.1.4正弦交流電的三要素：幅值、角頻率、初相位

1、幅值、有效值、瞬時值

在電工技術(shù)中，有時并不需要知道交流電的瞬時值，而規(guī)定一個能夠表

征其大小的特定值一一有效值，其依據(jù)是交流電流和直流電流通過電阻

時，電阻都要消耗電能（熱效應）。

設正弦交流電流i（t）在一個周期T時間內(nèi)，使一電阻R消耗的電能為QR,

另有一相應的直流電流I在時間T內(nèi)也使該電阻R消耗相同的電能，即QR=

2

IRTO

就平均對電阻作功的能力來說，這兩個電流（i與D是等效的，則該直流

電流I的數(shù)值可以表示交流電流i⑴的大小，于是把這一特定的數(shù)值I稱

為交流電流的有效值。理論與實驗均可證明，正弦交流電流，的有效值I

等于其振幅（最大值）Im的0.707倍，即

/=^=0.707/m

V2

正弦交流電壓的有效值為

U=%=0.707（7,,,

V2

正弦交流電動勢的有效值為

E

E=-^=0.7074

V2

2、周期、頻率、角頻率

周期：正弦交流電完成一次循環(huán)變化所用的時間叫做周期，用字母T表

示，單位為秒（s）。顯然正弦交流電流或電壓相鄰的兩個最大值（或相鄰

的兩個最小值）之間的時間間隔即為周期，由三角函數(shù)知識可知

CO

頻率：交流電周期的倒數(shù)叫做頻率（用符號f表示），即

它表示正弦交流電流在單位時間內(nèi)作周期性循環(huán)變化的次數(shù)，即表征交

流電交替變化的速率（快慢）。頻率的國際單位制是赫茲（Hz）。

角頻率：表示正弦交流電在單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù)，它與頻率之間的

關系為

co=2nf

3、相位、初相位、相位差

任意一個正弦量y=Asin（cot+（p0）的相位為（cot+（p0）,本章只涉及

兩個同頻率正弦量的相位差（與時間t無關）。設第一個正弦量的初相為

（p01,第二個正弦量的初相為（p02,則這兩個正弦量的相位差為

（pl2=（p01-（p02

并規(guī)定

|^12|<180°或同2〔￡兀

在討論兩個正弦量的相位關系時：

（1）當q>12>0時，稱第一個正弦量比第二個正弦量的相位越前（或超

前）（pl2；

（2）當（pl2<。時，稱第一個正弦量比第二個正弦量的相位滯后（或落

后）I<pl21；

（3）當（pl2=。時，稱第一個正弦量與第二個正弦量同相；

（4）當（p12=±n或±180。時，稱第一個正弦量與第二個正弦量反相；

=+二

（5）當以-一萬或土90。時，稱第一個正弦量與第二個正弦量正交。

我國工業(yè)和民用交流電源電壓的有效值為220V、頻率為50Hz,因而通

常將這一交流電壓簡稱為工頻電壓。

因為正弦交流電的有效值與最大值（振幅值）之間有確定的比例系數(shù)，所

以有效值、頻率、初相這三個參數(shù)也可以合在一起叫做正弦交流電的三

要素。

2.1.5正弦量的相量表示法

1、相量

可以通過數(shù)學的方法，把一個實數(shù)域的正弦時間函數(shù)與一個復數(shù)域的復

指數(shù)函數(shù)一一對應起來，而復指數(shù)函數(shù)的復常數(shù)部分是用正弦量的有效

值(最大值)和初相結(jié)合成一個復數(shù)表示出來的。運用相量進行正弦穩(wěn)

態(tài)電路的分析和計算，可同時將正弦量(最大值)的有效值和初相計算

出來。有效值(最大值)上方加的小圓點是用來與普通復數(shù)相區(qū)別的記

號，在數(shù)學運算上與一般復數(shù)的運算并無區(qū)別。

相量既然是復數(shù)，它也可以在復平面上用一條有向線段表示。如下圖所

示為正弦電流i=V^Isin(cot+H)的相量，其中叫＞0。相量/的長度

是正弦電流的有效值I,相量/與正實軸的夾角是正弦電流的初相。這種

表示相量的圖稱為相量圖。為了簡化起見，相量圖中不畫出虛軸，而實

軸改畫為水平的虛線，如下圖所示。/

1=1乙甲、

同頻率正弦量的相量運算

同頻率正弦量的加減法

(pui=(-30°)-(+60°)=-9o°,即"比i滯后90。，或讓匕"超前90。。

例如正弦交流電流i=2sin(cot-30°)A的有效值I=2x0.707=1.414

A,如果交流電流i通過R=10Q的電阻時，在一秒時間內(nèi)電阻消耗的

電能(又叫做平均功率)為P=I2R=20W,即與I=1.414A的直流電

流通過該電阻時產(chǎn)生相同的電功率。

我國工業(yè)和民用交流電源電壓的有效值為220V、頻率為50Hz,因而通

常將這一交流電壓簡稱為工頻電壓。

因為正弦交流電的有效值與最大值(振幅值)之間有確定的比例系數(shù)，所

以有效值、頻率、初相這三個參數(shù)也可以合在一起叫做正弦交流電的三

要素。

三、相位和相位差

任意一個正弦量y=Asin(m+仰)的相位為(加+例)，本章只涉及兩個同頻率正弦量的相位

差(與時間f無關)。設第一個正弦量的初相為仰|，第二個正弦量的初相為例2,則這兩個正弦量

的相位差為

(P12二例1一例2

并規(guī)定

MM4180°或|。12|4兀

在討論兩個正弦量的相位關系時：

(1)當82>0時，稱第一個正弦量比第二個正弦量的相位越前(或超前)劭2；

(2)當團2<0時，稱第一個正弦量比第二個正弦量的相位滯后(或落后)1例21；

(3)當g2=0時，稱第一個正弦量與第二個正弦量同相，如圖7-l(a)所示；

(4)當矽2=土?；颉?80。時，稱第一個正弦量與第二個正弦量反相，如圖7-l(b)所示；

(5)當劭2=±^或±9?！銜r，稱第一個正弦量與第二個正弦量正交。

2.2電路定律的相量形式

1.KCL的相量形式

m

y

KCL時域形式iik=0

2.KVL的相量形式

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，沿任一回路，KVL可表示為

mtn

y.y.

*=iumk=0*=iUk=0

式中Umk、Uk為回路中第k條支路的電壓相量。

必須強調(diào)指出，KCL、KVL的相量形式所表示的是相量的代數(shù)和恒等于零,

并非是有效值的代數(shù)和恒等于零。

2.3R、L、C的相量模型

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，三種基本電路元件R、L、C的電壓、電流之間的關

系都是同頻率正弦電壓、電流之間的關系，所涉及的有關運算都可以用

相量進行，因此這些關系的時域形式都可以轉(zhuǎn)換為相量形式。

2.3.1正弦交流電路中的電阻元件

1.伏安特性一、

也⑺

￡-------1---------=￡>

+W)

在電壓和電流的參考方向關聯(lián)時，電阻R的伏安關系的時域形式

uR(t)=RiR(t)

則在電壓和電流關聯(lián)參考方向下電阻的伏安關系的相量形式為

UR=RIRURm—RIRin

線性電阻購相量電路、相量圖如下。

/RR

0；------------------------zp

UR

2.功率：

①瞬時功率：

由于瞬時功率P是由同一時刻的電壓與電流的乘積來確定的，因此當流

過電阻R的電流為iR(t)=IRmsin(①t+中i)時,電阻所吸收的瞬時功率

為

PR⑺="R⑺￡⑺

=^RmCOS(初+6)，RmCOS(Mt+弘)

=2UR/Rcos，血+9)

=[/4+〃&COS(2M+%)>0

常量兩倍于原頻率的正弦量

可以看出，電阻吸收的功率是隨時間變化的，但pR始終大于或等于零，

表明了電阻的耗能特性。上式還表明了電阻元件的瞬時功率包含一個常

數(shù)項和一個兩倍于原電流頻率的正弦項，即電流或電壓變化一個循環(huán)

時，功率變化了兩個循環(huán)。瞬時功率的波形圖如下圖所示。

②平均功率：

瞬時功率在一周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，記為P，即

1rT19

&~J()PR⑴出=UR/R=^/血/?=MR

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，我們通常所說的功率都是指平均功率而言。平均功

率又稱為有功率。它們的單位為W。

2.3.2正弦交流電路中的電感元件

1.伏安特性

O__V_______o

+以⑺一

當電壓和電流參考方向關聯(lián)時，電感L伏安關系的時域形式為

電壓、電流的最大（有效）值之間符合歐姆定律。

感抗值心人

冗

匕=^i+-

電壓超前電流90

ULm=jCOLI

Ulf

伏安關系的相量形式

上述式表明：

★在正弦電流電路中，線性電感的電壓和電流在瞬時值之間不成正比，

而在有效值之間、相量之間成正比。

★此時電壓與電流有效值之間的關系不僅與L有關，還與角頻率3有關。

當L值不變，流過的電流值IL一定時，3越高則UL越大；（0越低則UL越小。

當3=0（相當于直流激勵）時，UL=0,電感相當于短路。

★在相位上電感電壓超前電流90。。

線性電感的相量電路如下。

線性電感中正弦電壓和電流的相量圖圖(a)所示。

2,功率：

①瞬時功率：

當電感兩端的電壓為uL(t)=V2(jLcos(ot,流過電感的電流為iL(t)=

V2ILcos(cotf/2)時-，則瞬時功率為

pL(t)=uL,iL=2ULILcoscotsincot

=ULILsin2(ot

正弦穩(wěn)態(tài)電路中電感元件瞬時功率的波形圖如下圖所示。

瞬時功率pL(t)僅為一個兩倍于原電流頻率的正弦量，其平均值為零，

即

PL=0

也即在正弦電流電路中，電感元件不吸收平均功率。

③無功功率：

為了描述電感元件與外部能量交換的規(guī)模，引入無功功率的概念。電感

元件與外部能量交換的最大速率(即瞬時功率的振幅)定義為無功功率

Q.UJ.單位(Var)

④能量

電感元件的瞬時能量則為

11

WL(t)=2LiL2(t)=2L(V2ILsincot)2=2LIL2(l-cos2(ot)

電感貯能的平均值

WL=2LIL2

由電感的功率及其能量的波形圖看出，當pL>0時，電感吸收能量，其

貯能增長；當pLVO時，電感輸出能量，其貯能減少。而電感的貯能在0

與LIL2之間變動。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電感元件與外部電路總間不斷進

行能且交換的現(xiàn)象，是由電感的貯能本質(zhì)所確定的。

2.3.3正弦交流電路中的電容元件

1.伏安關系

ic⑺

當電壓和電流參考方向關聯(lián)時，電容c的伏安關系的時域形式為

i=C皿

（dt

當正弦電壓%。）=4mCOS（W+K）加于電容C上時，

u

=C："C⑺=C4cmsin（胡+匕）

atat

=oCUcmSin3+k+g

=4msin（"+〃i）

可見

ICm=coCUCm

l

^Cm=~~C'

（DCm

Ur=—/r

/C。J電流最大（有效值）之間也符合歐姆定律。

°Cm=1|xI

Ak公°一容抗值

71

%=^u+-

9=X，i=_

%滯后"c90

%⑴=Ucm=Ucm"

(/)=/cm=/Z%=90

icCmcocUCmZ.匕,+=ycoCUcm

/cm=jCOCUCm

UCm=--------ICm=-J--------ICm

切。沅伏安關系的相量形式

線性電容的相量電路如下。

.1

g-J-

/COC

；caL—~~=°

C的相量模型

線性電容中正弦電壓和電流的相量圖如圖(a)所示o

(a)

2.功率

①瞬時功率：

當電容兩端的電壓為uC(t)=UCmcoscot,流過電容的電容iC(t)=ICm

COS(3t+7T/2)時，則瞬時功率為

pC(t)=uCiC=—2UCICsincotcoscot=-UCICsin2cot

正弦穩(wěn)態(tài)電路中電容瞬時功率的波形圖如下圖所示。

電容元件的平均功率

1=44>。吸收無功功率

Qc=-UcIc<0發(fā)出無功功率

④能量

電容元件的瞬時能量則為

WC(t)=(C/2)uC2(t)=(C/2)(上UCcoscot)2

=(C/2)UC2(l+cos2cot)

其波形圖如下圖所示。電容貯能的平均值

WC=(C/2)UC2

由電容的功率及其能量的波形圖看出，當pCVO時，電容輸出能量，其

貯能減少；當pC>0時，電容吸收能量，其貯能增長。而電容的貯能在0

與CUC2之間變動。在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電容元件與外部電路不斷進行能

量交換的現(xiàn)象，也是由電容的貯能本質(zhì)確定的。

2.4正弦穩(wěn)態(tài)電路分析

3.4.1復阻抗

1.定義：在正弦穩(wěn)態(tài)無源二端網(wǎng)絡端鈕處的電壓相量與電流相量之比

g

U

定義為該二端網(wǎng)絡的阻抗，記為Z.

gg

注意：此時電壓相量U與電流相量/的參考方向向內(nèi)部關聯(lián)。

U=u%

/“網(wǎng)(復數(shù))阻抗Q)

=|Z|N%=H+jX

其中國=79)一阻抗z的模，即阻抗的值。I，/

/=匕一弘一阻抗Z的阻抗角/

7?=|Z|cos%(Q)—阻抗Z的電阻分量阻般角形

X=|Z|sin%(C)—阻抗Z的電抗分量

電阻元件的阻抗：在電壓和電流關聯(lián)參考方向下電阻的伏安關系的

相量形式為/RR

?—-----二

UR

UR=RIR

則/R

電感元件的阻抗：在電壓和電流關聯(lián)參考方向下電感的伏安關系的相

量形式為

IL

q=----------------工

UL

U-■■

ZL=j?L=^-jXL

則/L

電容的阻抗：在電壓和電流關聯(lián)參考方向下電容的伏安關系的相量

形式為

.1

L一，嬴

;‘LH2

Ic^jcoCUc

zc=-j—=—!jxc丫i

則3ciccoC一容抗

歐姆定律的相量形式再Z/

2.電阻、電感、電容的串聯(lián)阻抗

在電壓和電流關聯(lián)參考方向下，電阻、電感、電容的串聯(lián)，得到等效阻

抗4g

1ZRZL

QF-/YY\

g

u士Zc

7UZI+ZI+ZI777

RLC

Z叫=一=>—————=zR+zL+zc

]

=R+ja)L+-—=R+jXL+jXc=R+jX

jo)C

=|z|/%

其中：阻抗z的模為\Z\=>IR2+X2

+

XX,XCCOL-\/MC

阻抗角分別為仁…g五R一=：一—0

可見，電抗X是角頻率3的函數(shù)。

當電抗X>O（3L>1/3C）時，阻抗角（pZ>0,阻抗Z呈感性；

當電抗XVO（3LV1/3C=0^,阻抗角（pZ<。，阻抗Z呈容性；

當電抗X=0（3L=l/coC）時，阻抗角（pz=。，阻抗z呈阻性。

3.串聯(lián)阻抗分壓公式：

引入阻抗概念以后，根據(jù)上述關系，并與電阻電路的有關公式作對比,

不難得知，若一端口正弦穩(wěn)態(tài)電路的各元件為串聯(lián)的，則其阻抗為

z=￡k=\z*

串聯(lián)阻抗分壓公式

Uk=^~U

G=|y|cos0Y（s）—導納Y的電導分量

B=Msm外（s）—導納丫的電納分量

Yc

團

導納三角形

可見，同一二端網(wǎng)絡的Z與Y互為倒數(shù)

特例：

%」=GZR

電阻的導納R

電容的％==zcBC電容的電納，簡稱容納。

Y.=-j—=jB,Z,

電感的BL稱為電感的電納，簡稱感納;

2.歐姆定律的另一種相量形式

UYU

若一端口正弦穩(wěn)態(tài)電路的各元件為并聯(lián)的，則其導納為

y=±Y.

*=|

并聯(lián)導納的分流公式：

%

注意：兩個電阻的并聯(lián)與兩個阻抗的并聯(lián)對應

R^2=Z^

=R、+R>=4+Z]

一般情況下，一個由電阻、電感、電容所組成的不含獨立源的一端口正

弦穩(wěn)態(tài)電路的等效阻抗Z(j3)是外施正弦激勵角頻率3的函數(shù)，即

Z(jco)=R(co)+jX(co)

式中R(co)=1^[26€0)]稱為2。3)的電阻分量，X(co)=Im[Z(jco)]稱為

Z(jQ的電抗分量。式中電阻分量和電抗分量都是角頻率3的函數(shù)。所

1

coC

以，要注意到電路結(jié)構(gòu)和R、L、C的值相同的不含獨立源的正弦穩(wěn)態(tài)電

路，對于角頻率3不同的外施正弦激勵而言，其等效阻抗是不同的。如

下圖電路的等效阻抗

R1①L

Zeq=T~~：~~7+J=-----------十(一j-

R+)①LcoCR+(coL)a)C

_R(叫之["L__1_'

一內(nèi)+(叫2+J[斤+包)2.茄

=R(M+jX(co)

3.4.2簡單正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析、相量圖

例1:已知：%⑺n^^QcosSOOOrV,求：i?),

1.5kQ

1.5kQ

，L⑺icQ)

()Us

=1/6PF

解：將電路轉(zhuǎn)化為相量模型

ZL=j&L=j3000x；=jlk。

1

Zc~J---------i--------=—j2k。

3000X-X10-6

6

(l-2j)-jl”2+jl_(2+jl)(l+jl)

Zeqr1.J-r1.Js-+1.5=2+jl.5k。=2.5Z36.9攵Q

(l-j2)+jl1-jl2

=-4°/0-=162—36.9mA

Zeq2.5Z36.9

——/=^-/=2/90X16Z_36.9=8&N98.1mA

(l-j2)+jl1-jl72Z-45

—/=/-/c=25.3N-55.3mA

(l-j2)+jl

z(r)=16>/2cos(3000z-36.9)mA

zc(r)=16cos(3000/4-98.1)mA

^(r)=25.3x/2cos(3(XX)r-55.3)mA

例2：已知：U=100V,I=5A,且。超前/53.1,求RXL

解法］:令/=5N0A,則U=100N53.1V

U100Z53.1

=20/53.1=12+jl6Q

&,=12QXf（7=16Q

RX；

R2+X：

R'XL

XL=25c

R2+X：

解法2:令U=l（）0N0一純實數(shù),

貝『=5N—53.1A=3-j4A

八U100Z0100小

R=—

IR

U100Z0

=j25。

例3：已知/C=2A,/R=0A,XL=100Q,且U與/c同相，求u=?

jXc/c

解代數(shù)法：令/R=>/^NOA,則UR=R0NOV

空―迪A

/L

jXL100

IR+IL

2=/⑸+*

/?=10()0

UR=1000/0VII——jV2A7c=/R+/L=X/2Z-45A

RjXU

Zeq=jXc+

H+jXLIc

jXc+50+j50=—

Ic

u與/c同相?1-Im[zeq]=o即Xc+50=。貝|jXc=-50C

U=]XCIC+UR=-j50x2Z-45+1000=50夜-j50夜=100N-45V

U=100V

在正弦穩(wěn)態(tài)電路分析和計算中，往往需要畫出一種能反映電路中電壓、

電流關系的幾何圖形，這種圖形就稱為電路的相置圖。與反映電路中電

壓、電流相量關系的電路方程相比較，相量圖能直觀地顯示各相量之間

的關系，特別是各相量的相位關系，它是分析和計算正弦穩(wěn)態(tài)電路的重

要手段。通常在未求出各相量的具體表達式之前，不可能準確地畫出電

路的相量圖，但可以依據(jù)元件伏安關系的相量形式和電路的KCL、KVL方

程定性地畫出電路的相量圖。在畫相星圖時一，可以選擇電路中某一相量

作為參考相量，其它有關相量就可以根據(jù)它來確定。參考相量的初相可

任意假定，可取為零，也可取其它值，因為初相的選擇不同只會使各相

量的初相改變同一數(shù)值，而不會影響各相量之間的相位關系。所以，通

常選參考相量的初相為零。在畫串聯(lián)電路的相量圖時，一般取電流相量

為參考相量，各元件的電壓相且即可按元件上電壓與電流的大小關系和

相位關系畫出。在畫并聯(lián)電路的相量圖時，一般取電壓相量為參考相量,

各元件的電流相置即可按元件上電壓與電流的大小關系和相位關系畫

出。

3.4.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率

1.瞬時功率

如圖所示的任意一端口電路NO,在端口的電壓u與電流i的參考方向?qū)﹄?/p>

路內(nèi)部關聯(lián)下，其吸收瞬時功率

p(O=w(r)-/(O

若設正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路的正弦電壓和電流分別為

w(f)=y/2Ucoscoti(t)=Olcos(cot-

式中為正弦電壓的初相位，

弘二一伊為正弦電流的初相位，

匕=%一-=。為端口上電壓與電流的相位差。

則在某瞬時輸入該正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路的瞬時功率為

則P(^)=V2t/coscot->/2/cos(<yr-(p)

-UI[cos(P+COS(269t-(p)\

=UIcos(p+UIcos(2tyt-(p)

常量兩倍于原頻率的正弦量

=UIcos(p+UIcos269/cos(p+UIsin2cotsin(p

=UIcos0(1+cos2691)+UIsin2cotsin(p

不可逆部分"⑺Q°)可逆部分心⑺

2.平均功率

]T

-￡pQ)dt=UIc°s(p

可見：1.P是一個常量，由有效值U、I及（夕=匕一-）三者乘積確

定，量綱：W

2.當P＞0時，表示該一端口電路吸收平均功率P；當PVO時，表示該一

端口電路發(fā)出平均功率IPl。

3.單一無源元件的平均功率：PR=UI,4=0,

0<夕<90感性

＞P＞0

—90<(p<0容性,始終消耗功率。

3.無功功率

正弦穩(wěn)態(tài)一端口電路內(nèi)部與外部能量交換的最大速率（即瞬時功率可逆

部分的振幅）定義為無功功率Q,即

QUIsm（p

可見：1.Q也是一個常量，由U、I及sin。三者乘積確定，量綱：乏（Var）

2.QR=。，2="，/

0＜。＜9。。＞。吸收無功功率

-90＜。＜0Q＜0發(fā)出無功功率

1.3.2電感元件

電感(Inductance)元件是一種能夠貯存磁場能量的元件，是實際電感

器的理想化模型，單位是亨利(H)。

伏安特性

dt

關聯(lián)參考方向非關聯(lián)參考方向

只有電感上的電流變化時，電感兩端才有電壓。在直流電路中，電感上

即使有電流通過，但U=0,相當于短路。

W=-Li2

存儲能量

1.3.3電容元件

電容(Capacitance)元件是一種能夠貯存電場能量的元件，是實際電

容器的理想化模型，單位是法拉（F）。

符號

伏安特性

i"

dt

^du

i=-C—

dt

關聯(lián)參考方向非關聯(lián)參考方向

只有電容上的電壓變化時，電容兩端才有電流。在直流電路中，電容上

即使有電壓，但i=0,相當于開路，即電容具有隔直作用。

W=-Cu2

存儲能量2

1.4電壓源和電流源

獨立電源指電源輸出的電壓（電流）僅由獨立電源本身性質(zhì)決定與電路

中其余部分的電壓（電流）無關。

［電壓源

分類［電流源

1.4.1電壓源

1.理想電壓源：若一個二端元件輸出電壓恒定則稱為理想電壓源。

①電路符號

e_*1-a：~~G-1

②基本性質(zhì)G".⑺

輸出電壓厘定,+和50

Q

外電啊AU/Rl0

其流過的電流由外葉

電路決定^----*----

I工L

RR

③伏安曲線

2.實際電壓源

若一個二端元件所輸出的電壓隨流過它的電流而變化就稱為實際電流

源。

①電路模型

②伏安特性

u=iRs+us

③三種工作狀態(tài)

a.力口載u=us-Rsi

b.開路i=0uoc=us（uoc開路電壓）

c.短路u=0isc=us/R（isc短路電流）

1.4.2電流源

理想電流源

若一個二端元件的輸出電流恒定時，則稱為理想電流源.

①電路符號

4(0(4)

②基本性質(zhì)

a.輸出電流恒定和外電路無關

U=RI=RI,

b.其端電壓由外電路確定

③伏安曲線

實際電流源

若一個二端元件所輸出的電流隨其端電壓變化而變化稱為實際電流源.

①電路模型

②伏安特性

i=is-us/Rs=is-Gsu

③三種工作狀態(tài)

加載i=is-u/Rs

短路u=0,isc=-is

開路i=0,uoc=Rsis

1.5受控電源

前面提到的電源如發(fā)電機和電池，因能獨立地為電路提供能量，所以被

稱為獨立電源(independentsource)。而有些電路元件，如晶體管、運

算放大器、集成電路等，雖不能獨立地為電路提供能量，但在其他信號

控制下仍然可以提供一定的電壓或電流，這類元件被稱為受控電源

(dependentsource)。受控電源提供的電壓或電流由電路中其他元件(或

支路)的電壓或電流

控制。受控電源按控制量和被控制量的關系分為四種類型：電壓控制電

壓源(VCVS)、電流控制電壓源(CCVS)、電壓控制電流源(VCCS)、電

流控制電流源(CCCS)。

1.電壓控制電壓源(VCVS)2.電流控制電

壓源(CCVS)

|i(無綱量)一電壓放大倍數(shù)r一轉(zhuǎn)移電阻,

電阻量綱

3.電壓控制電流源(VCCS)4.電流控制電

流源(CCCS)

1/]=0122

2'

12'

g—電導量綱B一無綱量，電

流放大倍數(shù)

注意：判斷電路中受控電源的類型時，應看它的符號形式，而不應以它

的控制量作為判斷依據(jù).圖『6所示電路中，由符號形式可知，電路中

的受控電源為電流控制電壓源，大小為101,其單位為伏特而非安培。

aRD段

+r~np-n+

6vb帆＜匆

圖1-6含有受控源的電路

圖1-10結(jié)構(gòu)不閉合電路

例題求圖示電路中的電流I1、I2

【解】選擇回路1的繞行方向如圖所示，列節(jié)點a的電流方程

II1210

列回路1的電壓數(shù)值方程

308113120

解上面兩個方程得

I13A122A

例題1-2已知u=4.9V,求us=?

【解】

us=6xz+0.1x0.002

4Q

0.98=—=>z=lA

5

us=6.002V

1.7電功率和電位的計算

除了電壓和電流兩個基本物理量外，還需要知道電路元件的功率。

1.7.1電功率

電路中，單位時間內(nèi)電路元件的能量變化用功率表示，即

/、△dw(Z)dvv(r)dq,、./、

P?)=——=——?—=?，⑺

瞬時功率dfdqdt(關聯(lián)參考方向下成立)

其中p表示功率。國際單位制中，功率的單位是瓦特(W),規(guī)定兀件1秒

鐘內(nèi)提供或消耗1焦耳能量時的功率為1W0常用的功率單位還有千瓦

(kW)。關聯(lián)方向下，如果P>0,表明元件吸收或消耗功率，稱該元

件為負載；如果P<0,表明元件發(fā)出功率，稱該元件為電源。非關聯(lián)

方向下的結(jié)論與此相反。

電功率的計算

P=5x2=10W（吸收）

下面我們通過圖所示電路中的四種情況來具體討論。

3A3A

0

c）非關聯(lián)方向d）希關聯(lián)方向

圖1-11功率的計算

圖a、b中，關聯(lián)方向下

P43W12W>0

元件分別吸收12W的功率，均為負載。

圖1-11c、d中，非關聯(lián)方向下

P-43W-12W<0

元件分別發(fā)出12W的功率，均為電源。

任何電路都遵守能量守恒定律，因此無論是關聯(lián)方向還是非關聯(lián)方向

下，電路中元件的功率之和為0,即

Po

或者說，電路中所發(fā)出的功率等于所吸收的功率。

例題1-3求uab和uad及各段電路的功率并指明吸收發(fā)出功率

4

U1=1VI1=2A

U2=-3VI2=1A

U3=8VI3=-1A

U4=-4VU5=7V

U6=-3V

【解】：Uab=Uac+Ucb=-Ul+U2=-（l）+（-3）=-4V

Uab=U4=-3V

Pl=-UI11=-2W<0（發(fā)出）

P2=U2I1=-6W<0（產(chǎn)生）

P3=U3Il=16W>0（吸收）

P4=U4I2=-4W<0（產(chǎn)生）

P5=U5I3=-7W<0（產(chǎn)生）

P6=U6I3=3W>0（吸收）

通常電業(yè)部門用千瓦時測量用戶消耗的電能。1千瓦時（或1度電）是

功率

為1千瓦的元件在1小時內(nèi)消耗的電能。

1度電=1kWh3,600,000J

如果通過實際元件的電流過大，會由于溫度升高使元件的絕緣材料損

壞，甚至使導體熔化；如果電壓過大，會使絕緣擊穿，所以必須加以限

制。電氣設備或元件長期正常運行的電流容許值稱為額定電流(rated

current),其長期正常運行的電壓容許值稱為額定電壓(rated

voltage)；

額定電壓和額定電流的乘積為額定功率(ratedpower)o通常電氣設備

或元件的額定值標在產(chǎn)品的銘牌上。如一白熾燈標有220V40W,表示它

的額定電壓為220V,額定功率為40W。

1.7.2電位的計算

前面提到電位是與電壓相關的概念。分析電路時，除了經(jīng)常計算電路中

的電壓外，也會涉及到電位的計算。在電子線路中，通常用電位的高低

判斷元件的工作狀態(tài)，如：當二極管的陽極電位高于陰極電位時，管子

才能導通；判斷電路中一個三極管是否具有電流放大作用，需比較它的

基極電位和發(fā)射極電位的高低。計算電路中各點電位時，一般選定電路

中的某一點作參考點(referencenode),規(guī)定參考點的電位為0,并

用，表示，稱為接地(并非真與大地相接)，電路中其他各點的電位等

于該點與參考點之間的電壓。

我們以圖1-12為例來討論電路中各點的電位。

圖1T2電路中的電位

以。點為參考點，則Va10V

則％=匕1+%=(2+4)xlV=6V

匕=2xlV=2V

U“=九-吸=4V

若以a點為參考點，則Va=0V

%=U“=-4V

K=Us=-8V

Ube=Pb-/c=4V

由以上計算可知，參考點選的不同，電路中各點的電位也不同，但任意

兩點間的電壓是不變的。在電子線路中，通常將電路中的恒壓源符號省

去，各端標以電位值。如圖lT3a可以簡化為圖lT3b

-15VR.&-15V

------C=J-------------co------Q-----1~I