湖南長沙市雅境中學2025屆九上數(shù)學期末考試模擬試題含解析

湖南長沙市雅境中學2025屆九上數(shù)學期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，是的內切圓，切點分別是、，連接，若，則的度數(shù)是()A． B． C． D．2．下列命題中正確的是（）A．對角線相等的四邊形是矩形B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形3．如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為31m，寬為10m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m1．若設道路的寬為xm，則下面所列方程正確的是（）A．（31﹣1x）（10﹣x）=570 B．31x+1×10x=31×10﹣570C．（31﹣x）（10﹣x）=31×10﹣570 D．31x+1×10x﹣1x1=5704．關于拋物線y＝x2﹣4x+4，下列說法錯誤的是（）A．開口向上B．與x軸有兩個交點C．對稱軸是直線線x＝2D．當x＞2時，y隨x的增大而增大5．用配方法解方程，下列配方正確的是（）A． B． C． D．6．如圖為4×4的正方形網(wǎng)格，A，B，C，D，O均在格點上，點O是()A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的內心 D．△ABC的內心7．下列二次根式能與合并的是（）A． B． C． D．8．已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC與△A1B1C1的相似比為3：2，則△ABC與△A1B1C1的周長之比是（）A．2：3 B．9：4 C．3：2 D．4：99．下列說法不正確的是（）A．所有矩形都是相似的B．若線段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2C．若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC＝cmD．四條長度依次為lcm，2cm，2cm，4cm的線段是成比例線段10．下面是投影屏上出示的搶答題，需要回答橫線上符號代表的內容則回答正確的是（）A．◎代表∠FEC B．@代表同位角C．▲代表∠EFC D．※代表AB11．一個不透明的布袋中有分別標著數(shù)字1，2，3，4的四個乒乓球，現(xiàn)從袋中隨機摸出兩個乒乓球，則這兩個乒乓球上的數(shù)字之和大于5的概率為（）A． B． C． D．12．將拋物線向左平移個單位長度,再向．上平移個單位長度得到的拋物線的解析式為（）A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．一個不透明的布袋里裝有100個只有顏色不同的球，這100個球中有m個紅球通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，從布袋中隨機摸出一個球摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則m的值約為______．14．學生曉華5次數(shù)學成績?yōu)?6，87，89，88，89，則這5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是___________.15．已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是____________.16．邊長為1的正方形，在邊上取一動點，連接，作，交邊于點，若的長為，則的長為__________．17．如圖，點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x﹣m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側），點C的橫坐標最小值為﹣3，則點D的橫坐標最大值為_____．18．若關于的分式方程有增根，則的值為__________．三、解答題（共78分）19．（8分）已知直線y＝x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B．（1）求拋物線解析式；（2）點C（m，0）在線段OA上（點C不與A，O點重合），CD⊥OA交AB于點D，交拋物線于點E，若DE＝AD，求m的值；（3）點M在拋物線上，點N在拋物線的對稱軸上，在（2）的條件下，是否存在以點D，B，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．20．（8分）如圖,已知直線y=-2x+3與拋物線y=x2相交于A,B兩點,O為坐標原點.(1)求點A和B的坐標；(2)連結OA,OB,求△OAB的面積.21．（8分）在等邊三角形ABC中，點D，E分別在BC，AC上，且DC=AE，AD與BE交于點P，連接PC．(1)證明：ΔABE≌ΔCAD．(2)若CE=CP，求證∠CPD=∠PBD．(3)在(2)的條件下，證明：點D是BC的黃金分割點.22．（10分）（1）計算：；（2）解方程：＝1．23．（10分）如圖，已知直線y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A（1，4）、B（4，1）兩點，與x軸交于C點．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接回答：在第一象限內，當x取何值時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值？（3）點P是y＝（x＞0）圖象上的一個動點，作PQ⊥x軸于Q點，連接PC，當S△CPQ＝S△CAO時，求點P的坐標．24．（10分）如圖，四邊形是平行四邊形，、是對角線上的兩個點，且．求證：．25．（12分）在平行四邊形中，為對角線，，點分別為邊上的點，連接平分.（1）如圖，若且，求平行四邊形的面積.（2）如圖，若過作交于求證:26．某校以“我最喜愛的體育運動”為主題對全校學生進行隨機抽樣調查，調查的運動項目有：籃球、羽毛球、乒乓球、跳繩及其它項目（每位同學僅選一項）．根據(jù)調查結果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖：請根據(jù)以上圖表信息解答下列問題：（1）頻數(shù)分布表中的m=________，n=________；（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“乒乓球”所在的扇形的圓心角的度數(shù)為________°；（3）從選擇“籃球”選項的60名學生中，隨機抽取10名學生作為代表進行投籃測試，則其中某位學生被選中的概率是________．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】由已知中∠A＝100°，∠C＝30°，根據(jù)三角形內角和定理，可得∠B的大小，結合切線的性質，可得∠DOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可得到∠DFE的度數(shù)．【詳解】解：∠B＝180°?∠A?∠C＝180?100°?30°＝50°

∠BDO＋∠BEO＝180°

∴B、D、O、E四點共圓

∴∠DOE＝180°?∠B＝180°?50°＝130°

又∵∠DFE是圓周角，∠DOE是圓心角

∠DFE＝∠DOE＝65°

故選：C．【點睛】本題考查的知識點是圓周角定理，切線的性質，其中根據(jù)切線的性質判斷出B、D、O、E四點共圓，進而求出∠DOE的度數(shù)是解答本題的關鍵．2、C【解析】試題分析：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項錯誤；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項錯誤；C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以C選項正確；D、一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，所以D選項錯誤．故選C．考點：命題與定理．3、A【解析】六塊矩形空地正好能拼成一個矩形，設道路的寬為xm，根據(jù)草坪的面積是570m1，即可列出方程:(31?1x)(10?x)=570，故選A.4、B【分析】把二次函數(shù)解析式化為頂點式，逐項判斷即可得出答案．【詳解】∵y=x2﹣4x+4=(x﹣2)2，∴拋物線開口向上，對稱軸為x=2，當x＞2時，y隨x的增大而增大，∴選項A、C、D說法正確；令y=0可得(x﹣1)2=0，該方程有兩個相等的實數(shù)根，∴拋物線與x軸有一個交點，∴B選項說法錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的頂點式是解答本題的關鍵，即在y=a(x﹣h)2+k中，其對稱軸為x=h，頂點坐標為(h，k)．5、D【分析】把方程兩邊都加上4，然后把方程左邊寫成完全平方形式即可．【詳解】∵，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的正確應用．①把常數(shù)項移到等號的右邊；②把二次項的系數(shù)化為1；③等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方得出即可．6、B【解析】試題解析：由圖可得：OA=OB=OC=，所以點O在△ABC的外心上，故選B.7、C【分析】化為最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義解答．【詳解】解：的被開方數(shù)是3，而=、=2、是最簡二次根式，不能再化簡，以上三數(shù)的被開方數(shù)分別是2、2、15，所以它們不是同類二次根式，不能合并，即選項A、B、D都不符合題意，=2的被開方數(shù)是3，與是同類二次根式，能合并，即選項C符合題意．故選：C.【點睛】本題考查同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．8、C【分析】直接利用相似三角形的性質求解．【詳解】解：∵△ABC與△A1B1C1的相似比為3：1，∴△ABC與△A1B1C1的周長之比3：1．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．9、A【解析】根據(jù)相似多邊形的性質，矩形的性質，成比例線段，黃金分割判斷即可．【詳解】解：A.所有矩形對應邊的比不一定相等，所以不一定都是相似的，A不正確，符合題意；B.若線段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2，B正確，不符合題意；C.若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC＝cm，C正確，不符合題意；D.∵1：2=2：4，∴四條長度依次為lcm，2cm，2cm，4cm的線段是成比例線段，D正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是相似多邊形的性質，矩形的性質，成比例線段，黃金分割，掌握它們的概念和性質是解題的關鍵．10、C【解析】根據(jù)圖形可知※代表CD，即可判斷D；根據(jù)三角形外角的性質可得◎代表∠EFC，即可判斷A；利用等量代換得出▲代表∠EFC，即可判斷C；根據(jù)圖形已經內錯角定義可知@代表內錯角．【詳解】延長BE交CD于點F，則∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角之和）．又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC．故AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）．故選C．【點睛】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質，比較簡單．11、B【解析】列表得：

1

2

3

4

1

－

2＋1=3

3＋1=4

4＋1=5

2

1＋2=3

－

3＋2=5

4＋2=6

3

1＋3=4

2＋3=5

－

4＋3=7

4

1＋4=5

2＋4=6

3＋4=7

－

∵共有12種等可能的結果，這兩個乒乓球上的數(shù)字之和大于5的有4種情況，∴這兩個乒乓球上的數(shù)字之和大于5的概率為：．故選B．12、B【分析】原拋物線的頂點坐標(0,0)，再把點(0,0)向左平移4個單位長度得點(0,-4)，再向上平移1個單位長度得到點(-4,1),然后根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式.【詳解】解：拋物線先向左平移個單位長度，得到的拋物線解析式為,再向上平移個單位長度得到的拋物線解析式為,故選:．【點睛】本題考查的是拋物線平移，根據(jù)拋物線平移規(guī)律“左移加右移減，上移加下移減”寫出平移后的拋物線解析式.需要注意左平移是加，右平移是減.二、填空題（每題4分，共24分）13、1【解析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關系入手，列出方程求解．【詳解】根據(jù)題意，得：，解得：，故答案為：1．【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．14、1【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可．【詳解】這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：86，87，1，89，89，

則這5個數(shù)的中位數(shù)為：1．

故答案為：1．【點睛】本題考查了中位數(shù)的知識：將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．15、1【分析】把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，將其整體代入所求的代數(shù)式進行求值即可．【詳解】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1.∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1.16、或【分析】根據(jù)正方形的內角為90°，以及同角的余角相等得出三角形的兩個角相等，從而推知△ABE∽△ECF，得出，代入數(shù)值得到關于CE的一元二次方程，求解即可．【詳解】解：∵正方形ABCD，

∴∠B=∠C，∠BAE+∠BEA=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠BEA+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF，．解得，CE=或．故答案為：或．【點睛】考查了四邊形綜合題型，需要掌握三角形相似的判定與性質，正方形的性質以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)相似三角形得出一元二次方程，難度不大．17、1【分析】根據(jù)題意當點C的橫坐標取最小值時，拋物線的頂點與點A重合，進而可得拋物線的對稱軸，則可求出此時點D的最小值，然后根據(jù)拋物線的平移可求解．【詳解】解：∵點A，B的坐標分別為（1，4）和（4，4），∴AB=3，由拋物線y=a（x﹣m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側），可得：當點C的橫坐標取最小值時，拋物線的頂點與點A重合，∴拋物線的對稱軸為：直線，∵點，∴點D的坐標為，∵頂點在線段AB上移動，∴點D的橫坐標的最大值為：5+3=1；故答案為1．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的平移及性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．18、3【分析】將分式方程去分母轉化為整式方程，并求出x的值，然后再令x+2=0，即可求得m的值.【詳解】解：由得：x=4-2m令x+2=0，得4-2m+2=0，解得m=3故答案為3.【點睛】本題考查了分式方程的增根，解分式方程和把增根代入整式方程求得相關字母的值是解答本題的關鍵.三、解答題（共78分）19、（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝﹣2；（3）存在，點N的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0），理由見解析【分析】（1）先確定出點A，B坐標，再用待定系數(shù)法即可得出結論；（2）先表示出DE，再利用勾股定理表示出AD，建立方程即可得出結論；（3）分兩種情況：①以BD為一邊，判斷出△EDB≌△GNM，即可得出結論．②以BD為對角線，利用中點坐標公式即可得出結論．【詳解】（1）當x＝0時，y＝3，∴B（0，3），當y＝0時，x+3＝0，x＝﹣3，∴A（﹣3，0），把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，（2）∵CD⊥OA，C（m，0），∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，∵AC＝m+3，CD＝m+3，由勾股定理得：AD＝（m+3），∵DE＝AD，∴﹣m2﹣3m＝2（m+3），∴m1＝﹣3（舍），m2＝﹣2；（3）存在，分兩種情況：①以BD為一邊，如圖1，設對稱軸與x軸交于點G，∵C（﹣2，0），∴D（﹣2，1），E（﹣2，3），∴E與B關于對稱軸對稱，∴BE∥x軸，∵四邊形DNMB是平行四邊形，∴BD＝MN，BD∥MN，∵∠DEB＝∠NGM＝90°，∠EDB＝∠GNM，∴△EDB≌△GNM，∴NG＝ED＝2，∴N（﹣1，﹣2）；②當BD為對角線時，如圖2，此時四邊形BMDN是平行四邊形，設M（n，﹣n2﹣2n+3），N（﹣1，h），∵B(0，3),D(-2，1),∴∴n＝-1，h＝0∴N（﹣1，0）；綜上所述，點N的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，0）．【點睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)線段之間的數(shù)量關系求點坐標，根據(jù)點的位置構建平行四邊形，（3）中以BD為對角線時，利用中點坐標公式計算更簡單.20、（1）A(1,1)，B(-3,9)；（2）6.【分析】（1）將直線與拋物線聯(lián)立解方程組，即可求出交點坐標；（2）過點A與點B分別作AA1、BB1垂直于x軸，由圖形可得△OAB的面積可用梯形AA1B1B的面積減去△OBB1的面積，再減去△OAA1得到.【詳解】（1）∵直線y=-2x+3與拋物線y=x2相交，∴將直線與拋物線聯(lián)立得，解得或，∴A（1，1），B（-3，9）；（2）過點A與點B分別作AA1、BB1垂直于x軸，如下圖所示，由A、B的坐標可知AA1=1，BB1=9，OB1=3，OA1=1，A1B1=4，梯形AA1B1B的面積=，△OBB1的面積=，△OAA1的面積=，∴△OAB的面積=.故答案為6.【點睛】本題考查了求一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點和坐標系中三角形的面積計算，求函數(shù)圖像交點，就是將兩個函數(shù)聯(lián)立解方程組，坐標系中不規(guī)則圖形的面積通常采用割補法計算.21、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）因為△ABC是等邊三角形，所以AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，又AE=CD，即可證明ΔABE≌ΔCAD；（2）設則由等邊對等角可得可得以及，故；（3）可證可得，故由于可得，根據(jù)黃金分割點可證點是的黃金分割點；【詳解】證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，在ΔABE與ΔCDA中，AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△AEB≌△CDA；（2）由（1）知，則，設，則，∵，∴，∴，又，∴；（3）在和中，，，∴，∴，∴，又，∴，∴點是的黃金分割點；【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，掌握等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.22、（2）3；（2）x＝2或-2．【分析】（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入及利用零指數(shù)冪法則計算即可得到結果；（2）方程移項后，利用因式分解法求出解即可．【詳解】解：（2）＝4×-2＋2×2＝2－2＋2＝3；(2）＝2∴或，∴，．【點睛】本題考查了解一元二次方程和特殊角的三角函數(shù)值的應用，能熟記特殊角的三角函數(shù)值是解（2）小題題的關鍵，能正確分解因式是解（2）小題題的關鍵．23、（1）y＝﹣x+1；（2）當1＜x＜4時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值；（3）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得即可；（2）由兩個函數(shù)圖象即可得出答案；（3）設P（m，），先求得△AOC的面積，即可求得△CPQ的面積，根據(jù)面積公式即可得到|1﹣m|?＝1，解得即可．【詳解】解：（1）把A（1，4）代入y＝（x＞0），得m＝1×4＝4，∴反比例函數(shù)為y＝；把A（1，4）和B（4，1）代入y＝kx+b得，解得：，∴一次函數(shù)為y＝﹣x+1．（2）根據(jù)圖象得：當1＜x＜4時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值；（3）設P（m，），由一次函數(shù)y＝﹣x+1可知C（1，0），∴S△CAO＝＝10，∵S△CPQ＝S△CAO，∴S△CPQ＝1，∴|1﹣m|?＝1，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴P（，）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決問題的關鍵．24、見解析【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質得，，則，再證明得到AE＝CF．【詳解】證明：∵四邊形為平行四邊形∴，∴∵∴∴【點睛】本題考查了平行四邊形的性質：平行四邊形的對